1 Indices
Lorsqu'on veut suivre dans le temps l'évolution d'une valeur à intervalles réguliers, tout en gardant la possibilité d'une comparaison simple avec ce qu'elle était au départ, on peut utiliser un indice. La valeur initiale sert de référence ; pour cela, elle est mise en correspondance avec une valeur « ronde », indice initial de référence appelé base, au choix : 1, 10, 100, 1000, 10000, … Puis les valeurs suivantes sont converties proportionnellement à ce choix, pour devenir des indices.
Exemple :
Coût d’achat moyen du coton : 1,84 €/kg à l’année N, 2,12 €/kg à l’année N+1, 1,53 €/kg à l’année N+2. En fixant l’indice initial du cours du coton à 1000 à l’année N, on obtient par produits en croix les indices du cours pour la suite.
N N+1 N+2
1,84 2,12 1,53
1000 1152,17 831,52
indice N+1 = 2,12×1000/1,84 ≈ 1152,17 indice 2014 : 1,53×1000/1,84 ≈ 831,52 De N à N+1, le cours du coton a augmenté de 152 points pour 1000, soit 15,2 pour cent (%).
De N à N+2, le cours du coton a diminué de 168 points pour 1000, soit 16,8 pour cent (%).
On appelle pourcentage un indice de base 100.
2 Taux et pourcentages
2.1 Taux et pourcentages fixes
* Le taux d'une valeur v par rapport à une valeur de référence V est le rapport t = v V . Taux de 20 par rapport à 25 : 20/25 = 0,8 = 80%
Taux de 50 par rapport à 48 : 50/48 ≈ 1,042 = 104,2%
Taux de 8 par rapport à 32 : 8/32 = 0,25 = 25%
Taux de 56 par rapport à 28 : 56/28 = 2 = 200%
* Le "symbole" % :
« % » signifie « /100 » ; c’est une opération.
La conversion d’un rapport en une fraction sur 100, par exemple : 20/25 = 0,8 = 80/100 est
extrêmement courante depuis longtemps, et l’écriture manuelle souvent rapide de cette division par 100 s’est déformée au fil des siècles jusqu’à ce que l’un des zéros de 100 se retrouve du mauvais côté du trait de fraction et que le 1 de 100 disparaisse.
Dire 80%, c’est donc dire 80/100, c’est-à-dire : 80% = 0,8.
* Pourcentage fixe :
Le pourcentage d'une valeur v par rapport à une valeur de référence V est le nombre p = v×100= ×100
V t .
pourcentages…
de 20 par rapport à 25 : 80 de 50 par rapport à 48 : 104,2 de 8 par rapport à 32 : 25 de 56 par rapport à 28 : 200
* Pourcentage fixe et proportion :
Calculer une valeur v égale à un pourcentage p d'une valeur V, c'est : calculer une valeur v qui a le même rapport à V que le rapport de p à 100.
Les listes (v ; V) et (p ; 100) sont proportionnelles.
Exemple :
valeur pourcentage
testée 20 80
référence 25 100
" 20 représente 80 % de 25 ".
valeur pourcentage
testée 50 104,2
référence 48 100
" 50 représente 104,2 % de 48 ".
valeur pourcentage
testée 8 25
référence 32 100
" 25 % de 32 valent 8 ".
valeur pourcentage
testée 56 200
référence 28 100
" 200 % de 28 valent 56 ".
2.2 Taux et pourcentages de variation
On considère qu'une grandeur a évolué d'une valeur initiale v1 vers une valeur finale v2. La valeur de référence est dans tous les cas v1, la valeur initiale.
La variation est égale à v2 - v1. Le taux de variation est le nombre 2 1
1
v v
t v
= − (le pourcentage vaut cent fois le taux).
Taux de variation de 20 vers 25 : 25 20 5 % 0,25 25
20 20
− = = = +
Taux de variation de 50 vers 48 : 48 50 2 % 0,04 4
50 50
− =− = − = −
Exemple 1 : Au 1er janvier 2019, salaire minimum interprofessionnel de croissance (SMIC) est passé à 10,03 € brut par heure. Il s'établissait à 9,88 €/h le 1er janvier 2018. Donner les variations absolues et relatives du SMIC entre ces deux dates.
* Pourcentage de variation et proportion :
tableau de proportion mettant en rapport : * la valeur initiale, * la variation, * la valeur finale Exemple : Un article est vendu 35€. Puis il est soldé : "-40%". A combien se vend-il, soldé ?
valeur pourcentage valeur initiale (référence) 35 100
variation -14 -40
valeur finale 21 60
* Coefficient multiplicateur (ou de variation) :
Faire varier une valeur v1 de p% pour obtenir une valeur v2 revient à conduire le calcul : v2 = 100%×v1 + p%×v1 donc, v2 = (100% + p%)×v1.
Mais comme % signifie /100 : 2 =1+100× = + × = ×1
(
1)
1 1
v p v t v c v
On voit donc qu'appliquer un pourcentage de variation p à une valeur, pour la diminuer ou pour l'augmenter, revient à la multiplier par un coefficient c.
2 1
v 1
c t
v = = +
Exemple 2 :
1. Une facture fait état d'un montant hors taxes (HT) de 248,5 € sur lequel devra être appliquée une TVA à 20%. Quel sera le montant TTC de la facture ? Quel sera le prix net à payer si on applique 10% de remise ? Si on appliquait d’abord la remise au montant HT, puis la TVA, aurait-on le même prix net à payer ? 2. Une autre facture affiche un prix à payer de 71,25 € après remise de 15%. Quel était le prix normal sans la
remise ? Quel était le prix HT si le taux de TVA est 5,5% ?
* Variations successives et taux moyen :
Lorsque plusieurs variations a%, b%, c%, … sont successivement appliquées à une valeur initiale v1, cela revient à multiplier celle-ci par les coefficients adéquats, les uns à la suite des autres :
2 a b c ... 1
v = × × × ×c c c v
Le taux global T de variation correspond au coefficient global ...
a b c
C = × × ×c c c et C = +1 T . Le taux moyen tM de variation correspond au coefficient c qu’il aurait fallu appliquer autant de fois que nécessaire pour obtenir le même résultat : ... ...
a b c
c × × × = × × ×c c c c c .
Plus simplement : si n variations successives se sont produites, alors : ca× × × =cb cc ... cn et donc :
(
a b c ...)
1nc= c × × ×c c
Exemple 3 : le prix du baril de pétrole valait 32 $ à une date 1, puis il est monté à 96 $ à une date 2, 140 $ à une date 3, et enfin est redescendu à 40 $ à une date 4.
1. Donner le détail des taux d'augmentation ou de baisse entre chaque date.
2. Donner le taux global de variation entre les dates 1 et 4.
3. Quel a été le taux moyen de variation d'une date à l'autre ?
3 Exercices du thème 1
Ouvrir le classeur Excel « LPTC – Maths – Thème 1 – Exercices.xlsx »
Les exercices doivent être résolus dans ce classeur-même, avec des formules Excel.
Ex1 : Augmentations et prix
1. Le prix d’un article est augmenté de 15 %. Puis cet article est soldé à 20 %. Quel a été le taux d’augmentation ou de diminution du prix de cet article à la suite de ces deux opérations ?
2. Le prix d’un article est augmenté de 8 %. Il coûte maintenant 6 € de plus qu’au départ. Combien coûte maintenant cet article ?
Ex2 : Salaire brut et net
Le salaire net d’un commercial est de 1923,50 €. Quel est le salaire brut, sachant que les charges sociales s’élèvent à 22,5% de celui-ci ?
Ex3 : Calcul de variations et d’indices
Compléter le tableau fourni sur la feuille de calcul en respectant les règles de calcul fournies dans ce thème.
Ex4 : Augmenter des ventes et CA.
Le CA réalisée par un commercial en un an s’élève à 270 000 €.
1. Que devient son CA s’il augmente de 5 % par an pendant 4 ans ? (compléter la ligne 4)
2. Sa direction estime que ses ventes doivent augmenter de 26,25 % en quatre ans. Déterminer le taux d’augmentation annuel des ventes, identique chaque année, que ce commercial doit obtenir pour réaliser l’objectif fixé par sa direction.
Ex5 : Calcul d’une marge bénéficiaire.
Un grossiste vend un ensemble de matériaux (bois THT, laine de chanvre) au tarif de 3150 € HT. Dans ce cas, la marge bénéficiaire obtenue par la vente de cet ensemble est de 900 €. Un détaillant souhaite acheter ces matériaux.
1. Que devient la marge du grossiste si le détaillant obtient une remise de 10 % sur le prix HT ? 2. Quel est le taux de diminution de cette marge ? Que vous inspire ce résultat ?
3. À partir de quel taux de remise sur le prix HT, la marge du grossiste devient nulle ? Ex6 : Taux de réduction équivalent.
Un client achète deux produits dont les prix HT sont de 2450 € et 1200 € sur lesquels sont appliquées des remises respectives de 3 % et 7 %. La TVA est de 5,5 % appliquée sur le montant HT après remises.
Quel est le montant TTC de la facture ?
À quel taux unique sur le total HT avant remise correspondent les deux remises ? Ex7 : Prévision d’un CA
Compléter l’ensemble du document. On donnera comme valeurs au CA prévisionnel les CA obtenus en effectuant la même augmentation chaque année de sorte que le CA prévisionnel de 2017 soit celui qui a été effectivement réalisé.
Faire apparaître en rouge les variations relatives qui sont inférieures à la variation moyenne sur 7 ans en utilisant les outils de mise en forme conditionnelle.
Ex8 : Rémunération de commerciaux.
On dispose d’un relevé de chiffre d’affaires (CA) semestriel d’une équipe de commerciaux d’une entreprise. On souhaite calculer le montant de leur prime en appliquant les règles de décision suivantes :
Leur prime sur leur CA vaut 3 % du montant du CA réalisé qui est au-dessus de l’objectif.
Leur prime de négociation vaut 400 € s’ils ont pris contact avec 6 nouveaux clients ou plus, auquel peut s’ajouter 250 € s’ils ont réalisé un devis dans au moins 80 % des négociations.
Compléter le tableau en utilisant la fonction SI pour appliquer la règle de décision donnée ci-dessus.
Mettre en forme les données.
Allure du résultat :
Ex9 : Remplissage d’un facturier.
Introduction : Ce document se compose de deux feuilles de calcul. La première contient un modèle de facture, la deuxième une base de produits. Le tableau qui est sur cette feuille s’appelle TabProduits. Objectif : On souhaite pouvoir réaliser un facturier fonctionnel qui peut être rempli automatiquement par un commercial.
Dans l’onglet Ex9 Facture, sélectionner l’ensemble des cellules de la zone de facture en colonne C.
choisir « Validation des données ». Compléter la fenêtre qui s’affiche de sorte que : Seulement une liste de valeurs soit autorisée.
Sélectionner comme liste de valeurs l’ensemble des références produits situées dans TabProduits. Utiliser les menus déroulants qui sont apparus en colonne C pour faire apparaître les produits ci- dessous. Faire également apparaître les quantités correspondantes.
Entrer en cellule D20 une formule recherchant la description de l’article, puis la recopier vers le bas avec la croix de recopie. Cette formule doit rechercher le contenu de la cellule C20 dans la première colonne de TabProduits et afficher la valeur présente dans la 3ème colonne de TabProduits.
Compléter l’intégralité de la facture. On utilisera les fonctions RECHERCHEV, SOMME et des calculs de taux.
