(1)STATISTIQUE DESCRIPTIVE ¯ y= P iyi n

(1)

STATISTIQUE DESCRIPTIVE

¯ y=

P

iy_i

n ; ˆσ²=_n¹Pn

i=1(y_i−y)¯ ²= Pn

i=1y²_i

n −y¯² ; s²= _n−1ⁿ σˆ² ; r(x, y) =_n¹Pn i=1

x_i−¯x ˆ σ_x

yi−y¯ ˆ σ_y

¯

y=_n¹PK

k=1nkyk =PK

k=1wkyk ; ˆσ²=PK

k=1wk(yk−y)¯²= PK

k=1wky_k²

−y¯²avecwk=nk/n

QUELQUES NOTIONS DE PROBABILITE

SiY₁, . . . , Y_n sont des v.a. ind´ependantes, alors V(Y₁+. . .+Y_n) = V(Y₁) +. . .+ V(Y_n) SiZ=a+bY: E(Z) =a+bµ_Y ; σ²_Z=b²σ²_Y

Variables al´eatoires discr`etes:

µY = E(Y) =P

y_i ∈ Epiyi ; σ_Y² = V(Y) = E(Y −µ)²=P

y_i∈ Epi(yi−µ)²= E(Y²)−µ² Bernoulli: Ei={0,1}et p0= 1−p; p1=p ; E(X) =p; V(X) =p(1−p)

Variables al´eatoires continues:

µX= E(X) =R

Ex f(x)dx ; σ_X² = V(X) = E(X−µ)²=R

E(x−µX)² f(x)dx= E(X²)−µ²_X Distribution normale: X ∼N(µ, σ²) ; E(X) =µ; V(X) =σ²; Z= ^X−µ_σ ∼N(0,1)

SONDAGES

K= _{n! (N}^N!_−n)! ;PK

k=1p(sk) = 1 ; E(ˆθ) =PK

k=1p(sk) ˆθ(sk) ; Biais: E(ˆθ)−θ V(ˆθ) = E(ˆθ −E(ˆθ))² = PK

k=1p(s_k)(ˆθ(s_k)−E(ˆθ))² ; EQM = E(ˆθ−θ)² = V(ˆθ) + (BIAIS)² θ(s) =ˆ P

i∈sW_i(s)Y_i ; W_i(s): poids de sondage ; P_i=P

s:i∈sp(s) ;PN

i=1P_i=n Sondage al´eatoire simple:

Pi= _Nⁿ =f = taux de sondage Total: T =PN

i=1Yi ; ˆT =P

i∈s Y_i Pi =P

i∈s N

n Yi ; V( ˆT)≈N²(1−f) ^s_n² Moyenne: ¯Y =_N^T et ˆY¯ = ¯y=P

i∈s Y_i

n ; V(¯y)≈(1−f) ^s_n² ; IC( ¯Y)≈y¯±2p V(¯y) Proportionπ: ˆπ=p= ^y_n ; V(p)≈(1−f) ^p(1−p)_n ; IC(π)≈p±2 p

V(p) Sondage stratifi´e:

Strateh: ¯Yh=P

i∈Gh

Yi

N_h estim´ee sans biais par ¯yh=P

i∈sh

Yi

n_h. Y¯ =PH

h=1 N_h

N Y¯h estim´ee sans biais par ˆY¯st =PH h=1

N_h

N y¯h; ˆV( ˆY¯st)≈PH h=1

N_h N

²

(1−fh)^s

2 h

nh

Proportion estim´ee parp_st= ˆπ_st=PH h=1

N_h

N p_h ; ˆV(p_st)≈PH h=1

N_h N

²

(1−f_h)^p^h^(1−p_n ^h⁾

h

Allocation proportionnelle: ⁿ_n^h = ^N_N^h ⇒ P_i = Pr(Etre choisi | strate h) = f_h = _Nⁿ^h

h = _Nⁿ =f Allocation proportionnelle avec budgetC: n= PH^C

h=1 Nh

N c_h

Allocation optimale de Neyman: nh=^N^√^h_c^S^h

h

C

PH l=1NlSl

√cl

1