Universit´e Joseph Fourier - M1 - 2016-2017
Examen session 2
16 mai 2017 - 1h30
De nombreuses questions sont ind´ependantes au sein du probl`eme.
Aucun document ni outil ´el´ectronique autoris´es.
Probl`eme.Pour tout a∈R+, Soit f :R2 →R3
(u, v) 7→ (u, v,1
2(u2+av2)) 1. L’application f est-elle injective ?
2. Montrer (f,R2) est une surface param´etr´ee lisse r´eguli`ere. On pose S =f(R2).
3. On suppose dans cette question que a= 1.
(a) Repr´esenter l’intersection de S avec un plan affine horizontal (on pourra pr´esenter diff´erents cas).
(b) Repr´esenter l’intersection de S avec un plan affine parall`ele `a (Oxz).
(c) Repr´esenter S.
(d) SoitDun disque ferm´ee centr´ee en (0,0), de rayonδ. Calculer l’aire def(D).
4. D´eterminer la matrice de la premi`ere forme fondamentale de S dans la base (fu0, fv0).
5. (Cours) Montrer que
∀(k, h)∈(R2)2,hdN(u, v)(k), df(u, v)(h)i+hN(u, v), d2f(u, v)(h)(k)i= 0 o`uN est le vecteur normal unitaire associ´e `a (f, U).
6. D´eterminer la matrice de la seconde forme fondamentale de S dans la base (fu0, fv0).
7. D´eterminer la courbure de Gauss K, en fonction des coordonn´ees (u, v).
On suppose `a partir de maintenant que a = 1.
8. Calculer les courbures principales k1 etk2.
9. Pour tout p ∈ S, on d´esigne par TpS le plan tangent affine `a S en p. Montrer que TpS∩S ={p}.
10. Soit A∈R3 et g :R3 →R3, ∀M ∈R3, g(x) =kM −Ak2. (a) Que vaut supM∈Sg?
(b) Montrer que la restriction g|S admet un minimum global.
