1 Notions d analyse fonctionnelle nécessaires à la programmation dynamique

1 Notions d’analyse fonctionnelle nécessaires à la programmation dynamique

1.1 Espaces métriques

Nous commençons par introduire la notion d’espace métrique:

De…nition 1 Un espace métrique est constitué d’un ensembleSet d’une fonctiond(:; :), appelée une distance, oùd:S S!R. La distancedsatisfait les propriétés suivantes:

(1)8(x; y)2S S,d(x; y) 0,

(2)d(x; y) = 0si et seulement si x=y, (3)8(x; y)2S S,d(x; y) =d(y; x),

(4)8(x; y; z)2S S S,d(x; z) d(x; y) +d(y; z).

La première propriété requiert que la distance soit une fonction positive. La deuxième requiert qu’elle ne prenne la valeur zéro qu’aux points(x; x). Ainsi, les deux premières propriétés combinées impliquent que la distance entre deux points di¤érents est toujours strictement positive. La troisième propriété est une forme de symétrie. La dernière est souvent appelée inégalité triangulaire. La raison pour laquelle ces fonctions sont appelées des distances devrait être claire.

Exemples d’espaces métriques:

(a) Pour1 p 1, soitlp[0;+1)l’ensemble des suites de nombres complexesfxtg⁺t=0¹ telles que la somme

+P1

t=0jxtj^p converge. La fonction dp(x; y) =

+P1

t=0jxt ytj^p

1=p

est une distance. (lp[0;+1); dp)est donc un espace métrique.

(a’) Un cas particulier, souvent utilisé, estl2[0;+1),d2(x; y) = s+P1

t=0jxt ytj².

(b) Un autre cas dérivé est S = l₁[0;1), l’ensemble des suites bornées fx_tg⁺t=0¹ de nombres complexes ou réels. La distance estd₁(x; y) = sup_tjxt ytj.

(c) SoitS=C[0; T]l’ensemble des fonctions continuesf : [0; T]!R. Nous y associons la distance

dp(f; g) =

"

RT

0jf(t) g(t)j^pdt

#1=p

:

(c’) Un cas dérivé est l’espace métrique constitué de l’ensembleS=C[0; T]et de la distance d₁(f; g) = sup

0 t Tjf(t) g(t)j:

Nous introduisons maintenant la notion deséquence de Cauchy et delimite d’une suite.

De…nition 2 Une suite fxngdans un espace métrique (S; d)est une suite de Cauchy si: 8" >0,9N tel que d(x_m; x_n)< ", pour toutm; n N.

De…nition 3 Une suitefxngdans un espace métrique(S; d)converge vers une limitex02S si:8" >0,9N tel qued(x_n; x₀)< ", pour toutn N.

Lemma 4 Soit une suite convergente fxng dans un espace métrique (S; d). Alors fxng est une suite de Cauchy.

Proof. Fixons " > 0. Soit x0 2 S la limite de la suite fxng. Il existe donc N tel que d(x0; xi) < ^"₂ pour tout i N. L’inégalité triangulaire implique que d(x_n; x_m) d(x_n; x₀) +d(x₀; x_m). Ainsi pour tout m; n N,d(xn; xm)< ^"₂+₂^"=". La suitefxng est donc aussi une suite de Cauchy.

Ainsi, toute suite convergente est une suite de Cauchy. Il se trouve qu’une suite de Cauchy n’est pas toujours convergente cependant. Nous allons voir cela à travers un exemple.

Prenons d’abord l’espace métrique(C[0;1]; d2). Nous considérons donc l’espace des fonctions réelles con- tinues sur l’intervalle [0;1] et la distance d₂(f; g) =

sRT

0jf(t) g(t)j²dt. Prenons la séquence de fonctions f_n(t) =tⁿ. Cette suite converge simplement¹ vers la fonction

f0(t) = (

0; 0 t <1;

1; t= 1:

On peut véri…er queffngest une suite de Cauchy dans(C[0;1]; d2). En e¤et, d2(fm; fn)²=

R1 0

(t^m tⁿ)²dt= t^m+1

m+ 1 2 t^m+n+1

m+n+ 1 + tⁿ⁺¹ n+ 1

1

0

= 1

m+ 1

2

m+n+ 1+ 1 n+ 1: Comme chacune de ces quantités peut être ramenée aussi petite que l’on veut par un choix approprié demet den, il est possible de choisirN tel qued₂(f_m; f_n)< "pour toutm; n N. La suiteff_ngest donc une suite de Cauchy. Remarquez toutefois que la fonctionf0 vers laquelle la suite converge n’appartient pas à l’espace métrique car elle n’est pas continue au pointt= 1.

(Il peut être aussi démontré qu’une suite peut être une suite de Cauchy avec une certaine distance, mais pas avec une autre distance.)

De…nition 5 Un espace métrique(S; d)est complet si toute suite de Cauchy dé…nie sur(S; d)converge dans (S; d).

1Par « simplement» , nous voulons dire point par point (ou « pointwise» ). Cela par opposition à la convergenceuniforme.

Exemples d’espaces métriques complets:

(a) Les espaces métriques suivants sont complets 8>

<

>:

(l_p[0;1); d_p); 1 p <1; l₁[0;1); d₁);

C[0; T]; d₁):

(b) L’espace métrique(C[0; T]; dp)n’estpas complet (1 p <1).

(c) L’espace métrique constitué de l’intervalle ouvert(0;1)et de la distanced(x; y) =jx yj(valeur absolue) n’est pas complet.

1.2 Opérateurs

De…nition 6 Un opérateur est une fonction d’un espace métrique(S; d)dans lui-même.

De…nition 7 Soit T : S ! S un opérateur d’un espace métrique (S; d). L’opérateur T est continu en un point x02S si pour tout" >0, il existe >0 tel qued(T(x); T(x0))< "lorsqued(x; x0)< .

De…nition 8 Un opérateurT est continu s’il est continu en tout point deS.

Nous sommes particulièrement intéressés par les opérateurs ayant la propriété de prendre n’importe quels deux points et de les rapprocher l’un de l’autre.

De…nition 9 Soit (S; d) un espace métrique et T : S !S. L’opérateur T est une application contractante (ou une contraction) de module ks’il existe un réel k2[0;1) tel que

d(T(x); T(y)) k:d(x; y); 8(x; y)2S S:

Lemma 10 Une contraction est un opérateur continu.

Proof. Si k = 0, alors l’opérateur est une fonction constante et est donc clairement continu. Si k >0, alors se référant à la dé…nition de la continuité en un point, il su¢ t de choisir ="=k pour obtenir continuité en tout point.

Nous avons le théorème suivant, ditde l’application contractante.

Theorem 11 Soit(S; d) un espace métrique complet et T :S !S une contraction. Il existe alors un point

…xe unique x0 2S tel que T(x0) =x0. De plus, prenant un point quelconque x2S, et dé…nissant la suite fx_ng de façon inductive par x₁=T(x₀), x₂ =T(x₁),...,x_n+1 =T(x_n), alors la suite fx_ng converge vers le point …xex .

Proof. Soit x un point quelconque dans S. Dé…nissons x1 = T(x), x2 = T(x1); :::. On peut alors exprimerx_n =Tⁿ(x). Nous montrons quefx_ng est une suite de Cauchy. Supposons sans perte de généralité quen > m. Alors,

d(x_m; x_n) =d(T^m(x); Tⁿ(x)) =d(T^m(x); T^m(x_{n m})) kd(T^{m 1}(x); T^{m 1}(x_{n m})):

Par induction, nous obtenons

d(x_m; x_n) k^md(x; x_{n m}):

Puisquedest une distance, nous pouvons utiliser l’inégalité triangulaire pour arriver à d(x_m; x_n) k^m[d(x; x₁) +d(x₁; x₂) +::+d(x_{n m 1}; x_{n m})]: Puisqued(xm; xn) k^md(x; xn m) pour toutm < n, alors d(xi; xi+1) kⁱd(x; x1)et donc

d(xm; xn) k^m d(x; x1) +kd(x; x1) +::+k^{n m 1}d(x; x1) ; k^m 1 +k+::+k^{n m 1} d(x; x₁);

k^m1 ₁^kn_k^md(x; x₁);

k^m

1 kd(x; x1):

Puisquek <1, le côté droit de l’inégalité peut être ramené sous n’importe quel" >0donné, en choisissant un msu¢ sament élevé. Par conséquent, d(xm; xn)!0 quandm; n!+1. La suitefxng est donc une suite de Cauchy. Comme l’espace métrique est complet, la suitefxng converge dans S.

Soit x0 la limite de la suite fxng = fTⁿ(x)g. Cette limite est le point …xe de T. Puisque l’opérateur T est continu, lim_n!+1T(x_n) = T(lim_n!+1x_n). Comme T(lim_n!+1x_n) = T(x₀) et lim_n!+1T(x_n) = limn!+1xn+1=x0, on en déduit que T(x0) =x0.

Finalement, nous véri…ons que ce point …xe est unique. Pour cela, supposons au contraire qu’il existe un autre point …xey06=x0. Dans ce cas,

0< d(x₀; y₀) =d(T(x₀); T(y₀)) kd(x₀; y₀)< d(x₀; y₀);

une impossibilité.

(la première inégalité est dûe au fait que dest une distance et quey₀6=x₀; l’égalité re‡ète quex₀ ety₀ sont supposés être des points …xes; la deuxième inégalité est dûe au fait que l’opérateurT est une contraction de module k; la dernière inégalité est vraie car le module k <1.)

Considérons désormais des espaces de fonctions, comme par exempleC[0; T].

De…nition 12 SoitS un espace de fonctions dé…nies sur un domaine donné et deux élémentsf; g deS. On dit que f g si et seulement si f(t) g(t)pour toutt dans le domaine des fonctions.

Nous utilisons la distance d₁(f; g) = sup_tjf(t) g(t)j où le supremum est pris sur le domaine commun des fonctions.

Nous énonçons le théorème suivant:

Theorem 13 (Théorème de Blackwell) Soit T un opérateur sur un espace métrique de fonctions (S; d₁), avec les propriétés suivantes:

(a) (monotonicité) Pour tout(f; g)2S S,f g implique queT(f) T(g),

(b) (escompte) Soit c une fonction réelle constante (égale à c). Pour tout réel positif c et pour tout f 2S, T(f+c) T(f) + c pour un 2[0;1).

Alors, l’opérateurT est une application contractante de module .

Proof. Nous avons que 8t, f(t) g(t) jf(t) g(t)j d₁(f; g) et donc f g d₁(f; g) ou f g+d₁(f; g). Utilisant la propriété de monotonicité, nous obtenons que T(f) T(g+d₁(f; g)). Par la propriété d’escompte, on en déduit que T(f) T(g) + d₁(f; g)et donc T(f) T(g) d₁(f; g). Par le même raisonnement,g f+d₁(f; g)et procédant similairement, nous arrivons à T(g) T(f) d₁(f; g).

Il s’en suit que8t,jT(f)(t) T(g)(t)j d₁(f; g)et doncd₁(T(f); T(g)) d₁(f; g). Ainsi, l’opérateurT est bien une coontraction de module .