Travaux dirigés de mathématiques
Classe : 1ères C , D, TI année Scolaire 2014/2015
Proposés par Hugues SILA, professeur de mathématiques des lycées
EXERCICES 1-1 : Basique 1
La location d'une machine coûte 60 FCFAla 1ère journée. La 2ème journée de location coûte 65 FCFAet chaque journée supplémentaire 5 FCFAde plus que la précédente.
Combien de jours pourra-t-on utiliser la machine avec un budget de 3570 FCFA? Vous ferez apparaître sur votre copie tous les calculs nécessaires.
1-2 : Basique 2
1. (un) désigne une suite arithmétique de premier terme u0 = 1 et de raison 4. a. Calculer u1, u2, u3.
b. Donner un en fonction de n et calculer u19.
2. (vn) désigne une suite géométrique de premier terme v0 = 2 et de raison 3. a. Calculer v1, v2, v3.
b. Donner vn en fonction de n et calculer v10.
c. Calculer la somme des 10 premiers termes de la suite (vn).
1-3 : Basique 3
Au pays des plantes géantes, les nénuphars poussent en doublant chaque jour leur surface. Un matin un nénuphar éclôt au centre d'un étang circulaire d'un rayon de 100 m ; le nénuphar mesure alors 1 cm de rayon.
1. Exprimer la surface Sn du nénuphar après n jours en fonction de l'entier n.
2. À l'aide de la calculatrice, déterminer le jour au cours duquel le nénuphar recouvrira tout l'étang. 3. Montrer que le rayon rn du nénuphar, après n jours, est le terme général d'une suite géométrique dont on précisera la raison.
4. Deux nénuphars éclosent un certain jour à une distance de 20 m l'un de l'autre. L'un mesure 1 cm de rayon, l'autre 2 cm. A l'aide d'une calculatrice, déterminer le jour au cours duquel leurs feuilles se chevaucheront.
1-4 : Basique 4
(un) est la suite définie sur par 2 3 2 1 n u
n . Déterminer le sens de variation de cette suite.
Préciser sa limite. 1-5 : Basique 5
1. Calculer les termes u1, u2, u20.
2. Montrer que la somme Su0 u1 ... u20 est égale à
21 17 2 1 2 1-6 : Basique 6
Soit la suite (un) définie par u0 = 1 et
1 2 2 3 n n n u u u .
1. Calculer les termes u1 et u2.
2. La suite (un) est-elle arithmétique ? géométrique ?
3. Reprsenter graphiquement les premiers termes de un. Quelles conjectures émettez-vous ?
4. On admet que, pour tout n, un n’est pas nul. On pose n 1 2 n
v
u .
a. Calculer v0, v1, et v2.
b. Calculer vn+1 en fonction de vn. En déduire que (vn) est une suite arithmétique.
c. Exprimer vn en fonction de n. En déduire un en fonction de n.
1-7 : Basique 7
Déterminer la monotonie des suites
un et
vn définies par 3 2 2007 1 2008 2 3 n u n n et 2 n n n
v (on pourra comparer n1
n v v et1). 1-8 : Basique 8 On considère la suite
1 n n w définie par 1 1 ... 1 1 2 n w n n.1. Écrire le terme général wn à l'aide du symbole .
2. Donner une valeur approchée de w1, w2 et w3 à 0,1 près. Conjecturer la monotonie de la suite
wn .3. Démontrer votre conjecture. 1-9 : Salaires
Un chef d’entreprise paie 60 000 F par an pour l’entretien de ses machines. Lors du renouvellement du contrat pour les dix prochaines années, une société lui propose deux formules :
Contrat A : Le contrat augmente de 5% par an.
1. Exprimer en fonction de n le montant un du contrat lors de la nième année.
2. Calculer le montant du contrat pour la 10ème année.
3. Au bout de combien d’années le contrat dépasserait-il le double du contrat initial ? 4. Calculer la somme payée, au total, au bout de ces 10 années.
Contrat B : Le contrat augmente de 3500 F par an.
1. Exprimer en fonction de n le montant vn du contrat lors de la nième année.
2. Calculer le montant du contrat pour la 10ème année.
3. Calculer la somme payée, au total, au bout de ces 10 années. 4. Quel est le contrat le plus avantageux ?
1-10 : Suites arithmétiques - 1
1. Soit
un n0 une suite arithmétique. On sait que u5 125 et u16 48. Calculer la raison et le premier terme de cette suite.2. En déduire un en fonction de n.
3. Pour quelle valeur de n a-t-on un 127 ?
4. A partir de quel rang a-t-on un 250 ?
5. Calculer la somme Su1789u1790 ... u2007.
1-11 : Suites arithmétiques - 2
Soit
un n1 la suite arithmétique de raison 4 et de premier u1 5. Calculer la somme
25 1 k k S u k 1-12 : Suites arithmétiques - 3On considère la suite
un définie par u1 1 et 1 4 1 n n nu u n . 1. Calculer u2.
2. Démontrer que la suite
vn définie par vn n un est une suite arithmétique dont on précisera lepremier terme et la raison de
vn .3. En déduire l’expression de vn en fonction de n, puis l’expression de un en fonction de n.
4. En déduire que la suite
un est strictement monotone et bornée.1-13 : Suites géométriques - 1
On laisse tomber une balle d’une hauteur de 1 mètre. A chaque rebond elle rebondit des 3/4 de la hauteur d’où elle est tombée.
1. On note unla hauteur atteinte au n
ième rebond. Calculer la hauteur atteinte au 2ème rebond, au 10ème, au 1000ème.
2. A quel rebond la hauteur atteinte est elle inférieure à 10−12 mètre ? Quelle est alors la distance parcourue par la balle ?
1-14 : Suites géométriques - 2 (c)
1. Soit I0 l’intensité d’un rayon lumineux à son entrée dans la plaque de verre et I1 son intensité à la sortie. Exprimer I1 en fonction de I0.
2. On superpose n plaques de verre identiques ; on note In l’intensité du rayon à la sortie de la n-ième
plaque.
a. Exprimer In en fonction de In1.
b. Quelle est la nature de la suite In ? Déterminer l’expression de In en fonction de n et de I0. c. Quel est le sens de variation de In ?
3. Quelle est l’intensité initiale d’un rayon dont l’intensité après avoir traversé 4 plaques est égale à 15 ?
4. Calculer le nombre minimum de plaques qu’un rayon doit avoir traversé pour que son intensité sortante soit inférieure ou égale au quart de son intensité entrante ?
1-15 : Suites géométriques - 3
On place un capital C de 10 000 FCFAà 6% par an en capitalisant les intérêts. 1. De combien dispose-t-on au bout d’un an ? de 2 ans ? de n ans ?
2. Au bout de combien d’années le capital initial sera-t-il doublé ?
3. On place C à t% par an. Sachant qu’au bout de 10 ans ce capital est doublé quel est le taux annuel des intérêts ?
4. On rajoute C tous les ans, toujours à 6% par an. De combien disposera-t’on au bout de 10 ans ? 1-16 : Encore une suite
On définit une suite (un) par
0 1 1 1 2 1 2 n n u u u n .
1. Calculer u1, u2, u3. La suite (un) est-elle croissante ou décroissante?
2. On pose vn = un − 4n + 10. Calculer v0, v1, v2, v3.
3. Montrer que la suite (vn) est géométrique, en préciser la raison.
4. En déduire l’expression de vn en fonction de n.
5. En déduire l’expression de un en fonction de n.
6. Quelle est la limite de (un)?
7. On pose Sn = u0 + u1 + u2 + ... + un. Donner l’expression de Sn en fonction de n.
8 . Calculer Pn= V0X V1x…XVn 1-17 : Encore une suite - 2 On définit une suite (un) par
0 1 1 1 1 2 n n u u u n
1. Montrer que 1 2 3
1 1 7
, ,
2 4 8
u u u . La suite (un) est-elle géométrique, arithmétique ?
2. On définit la suite (vn) par vnun2n6. Calculer v v v v0, 1, 2, 3.
3. Montrer que la suite (vn) est géométrique de raison 1
2.
4. En déduire l’expression de vn puis celle de un en fonction de n.
5. Quelle est la limite de (vn) ? Celle de (un) ?
6. Calculer Snv0 v1 ... vn. 7. Calculer ' 0 1 ... n n S u u u . 1-18 : Suite linéaire - 1
On considère la suite un définie par
0 1 5 2 5 3 n n u u u .
1. Calculer les 6 premiers termes de cette suite ; que pouvez vous conjecturer sur son comportement (sens de variation, limite) ?
2. On pose vnun3 ; montrer que vn est une suite géométrique, donner l’expression de vn puis
celle de un en fonction de n. Prouver les résultats obtenus de manière divinatoire au a.
3. On considère snv0 v1 ... vn et Snu0 u1 ... un. Donner les expressions de sn et Sn en
fonction de n ; déterminer leurs limites quand n tend vers l’infini.
Problèmes :
Partie 1 : Les lettres de Gaston
On définit la suite (un) par 0 1
3
2000, 200
4
n n
u u u .
1. Dans un repère de votre choix, représenter les droites d’équation respectives yx et 3 200
4
y x , puis les premiers termes de la suite (un).
2. On pose pour tout n vnun800. Montrer que la suite (vn) est géométrique. En déduire
l’expression de un en fonction de n et la limite de (un). Au bout de combien de temps a-t-on
810
n
u ?
3. Gaston L, garçon de bureau aux éditions Dupuis, se plaint à sa dulcinée : « Voyez-vous, m’oiselle Jeanne, tous les jours je sais traiter le quart de mon courrier en retard, mais il m’arrive 200 lettres de plus chaque matin .» « Monsieur Gaston, vous arriverez bien à trouver une solution, vous êtes si intelligent… » Oui, mais quelle solution, sachant qu’hier soir il y avait 2000 lettres sur le bureau de notre héros ?
a. Si (xn)est une suite croissante, on définit (yn) par 0 1... 1 n n x x x y
n . Montrer que (yn)est
croissante et que pour tout n on a yn xn. Que peut-on dire pour une suite (xn)décroissante (on ne
justifiera pas ses affirmations).
b. On appelle Mn la quantité de lettres qu’il y eu en moyenne sur le bureau de Gaston pendant les n
premiers jours (en comptant comme jour 0 le soir où il y avait 2000 lettres). Exprimer Mn en
fonction de n. Quel est le sens de variation de
Mn
. La suite
Mn
est-elle convergente ?Généralisation : On considère une suite v donnée (???) et la suite u dont le terme général un est la
moyenne arithmétique :
1 1 n n k k u v n .A partir du calcul des premiers termes et d’une représentation graphique, on demande de conjecturer une expression de un en fonction de n, que l’on demande de démontrer
Partie 2 :Équation trigonométrique
On considère l'équation
E1 : 2 cos 4
x 1 0.1. a. Résoudre cette équation dans , puis dans l'intervalle
;
.b. Facultatif : représenter les solutions sur un cercle trigonométrique. Unité graphique : 4 cm. 2. a. Vérifier que pour tout réel x, cos 4x8 cos4x 8 cos2x 1.
b. En déduire que l'équation
E1 est équivalente à
E2 :4 2
16 cos x 16 cos x 1 0 et donner les solutions de
E2 dans l'intervalle
;
.3. a. Montrer que l'équation
E2 est équivalente au système 4 2cos 16 16 1 0 X x X X . b. Résoudre l'équation
E3 : 4 2 16X 16X 1 0.c. En déduire les valeurs exactes de cos 12 , cos5 12 , cos7 12 et cos11 12 .
Problème 2
Partie 1
La courbe Cf est la représentation graphique de la fonction f dérivable sur l’intervalle [−6 ; 7]. Les
droites tracées sont tangentes à Cf.
1. Donner les valeurs de f(−2) et f’1,5).
2. Résoudre graphiquement les équations suivantes : a. f x( )0. c) f(x) = 1
b. f x'( )0. d) f(x)= 5
3. Résoudre graphiquement les inéquations suivantes : a. f x( )0 ; f(x)<2
PARTIE 3
PROBLEME 3
D.
E .
F.
