MF3 - Equation de conservation de la masse
1 Débits
1.1 Notion de flux
On définit le flux Φ d’une grandeur vectorielle~j à travers une surfaceS par : Φ =
¨
S
~j. ~dS avec dS~ ⊥S (eventuellement dS~ =dS.~n) Le flux Φ quantifie l’efficacité avec laquelle~jtraverse S.~j est appelédensité de flux.
Illustration dans le cas du champ des vitesses~v d’un courant d’algues : le flux d’algues traversant l’épuisette de surfaceS (vue de dessus en pointillé) est d’autant plus grand que l’épuisette est orthogonale au courant :
en effet~v. ~ds=v.ds.cos(θ) est max quandθ= 0. Au contraire l’épuisette ne capte aucun flux lorsque sa surface est colinéaire au courant.
1.2 Débits
Les flux les plus concrets que nous rencontrerons cette année sont les flux de~v et de~jm=µ~v, connus sous le nom usuel de débit volumique et de débit massique.
Le débit volumique et le débit massique à travers la surfaceS sont : Dv=
¨
S
~v ~ds =
|{z}si...∗
vS m3/s
Dm=
¨
S
~jmds~ =
|{z}si...∗
µvS [kg/s]
~jm=µ~v= densité de flux de masse. Ces débits sont comptés algébriquement dans le sens duds.~ Les débits permettent d’exprimer la masse ou le volume qui traverse S pendantdt:
dV =Dv.dt et dm=Dm.dt
* : dans les cas les plus simples, d’une part la surface S est orthogonale à~v de sorte que~v ~ds= vdset, d’autre partv est uniforme sur la surface, d’où finalement :Dv=˜
S~v ~ds=˜
v ds=v˜
Sds=vS. Si de plus µ=cston aura de mêmeDm=µvS et doncDm=µDv.
Application : calculer le débit massique d’une canalisation cylindrique de rayon R = 10 cm évacuant de l’eau à une vitesse v = 5 km/h, supposée uniforme et colinéaire aux parois. Puis calculer la masse éjectée pendant 1 minute.
2 Bilan de matière
2.1 Esprit des bilans
Faire le bilan d’une grandeur (de masse, d’énergie, ...) dans une zone d’espace consiste d’une part :
— à comptabiliser pendantdtles entrées et sorties de cette grandeur de la zone
— et d’autre part à exprimer la variation entretet t+dt du stock de cette grandeur dans la zone.
Si la grandeur est conservative, c’est-à-dire si elle ne peut être ni créée, ni annihilée mais seulement échangée, alors :
Variation du stock entre t et t+dt = quantité entrée pendant dt - quantité sortie pendant dt
Utilité d’un bilan : il mène à l’équation différentielle temporelle de la grandeur (donc à son évolution temporelle après résolution). Si la grandeur n’est pas conservative, il suffit d’ajouter à droite "quantité créée pendant dt - quantité annihilée pendant dt ".
2.2 Bilan global
Commençons par faire un bilan de volume à une zone de taille finie, comme un seau. Ce dernier, cubique de taillea, est alimenté par une canalisation véhiculant un débitDvo constant. On note V(t) le volume d’eau présent dans le seau à la datet.
Evaluons :
— le volume d’eau qui entre dans le seau entret ett+dt:Dvo.dt
— le volume d’eau qui sort du seau entret ett+dt: 0
— la variation entret ett+dtdu volume d’eau présent dans le seau :V(t+dt)−V(t) = dVdtdt Le volume d’un liquide ne pouvant varier, le bilan qu’on vient de faire est bien conservatif d’où :
Variation du stock de V= V entré - V sorti dV
dtdt=Dvo.dt−0 ⇒ dV dt =Dvo On obtient, comme prévu, l’équation différentielle temporelle de la grandeurV.
Raffinement : si on appellez(t) le niveau d’eau dans le seau, alors V(t) = a2z(t), ce qui permet d’avoir l’équation différentielle vérifiée par la hauteur d’eau :
dz dt =Dvo
a2 à résoudre...
Rq : on utilise A CHAQUE FOIS la formulef(t+dt)−f(t) =dfdtdtlors de l’expression de la variation du stock.
2.3 Conséquence de la stationnarité et de l’homogénéité
Considérons la situation plus générale suivante :
La zone centrale peut habiter toute sorte d’organe de machine (compresseur, réservoir de stockage, hélice, condenseur, etc...). Les débits et la masse volumique du fluide sont pour l’instant quelconques et à priori différents entre l’entrée et la sortie (notation non primée en entrée, primée en sortie). Faisons cette fois un bilan de masse à la zone centrale :
— la masse d’eau qui entre dans la zone entretett+dtest Dm.dt
— la masse d’eau qui sort de la zone entretet t+dtest D0m.dt
— la variation entret ett+dtde la masse d’eau présente dans la zone estm(t+dt)−m(t) = dmdtdt La masse étant une grandeur bien évidemment conservative (en dehors des réactions nucléaires), on peut écrire :
Variation du stock de m= m entrée - m sortie dm
dt dt=Dm.dt−Dm0 .dt ⇒ dm
dt =Dm−D0m 2.3.1 Ecoulement stationnaire
Rappel : La situation stationnaire correspond au cas où les champs ne varient pas dans le temps : ici donc quem(6t). Intuitivement quelle est la condition pour que cela se produise ?
Notre bilan nous donne la même réponse, à savoir dmdt = 0 ssiDm=D0m. Conclusion à retenir : En écoulement stationnaire, le débit massique est identique pour toute section de l’écoulement.
Est-ce également le cas du débit volumique ?
2.3.2 Ecoulement homogène et stationnaire
Homogène signifie que la masse volumiqueµest uniforme . µ est donc le même en tout point de l’écou- lement à un moment donné. Tous les liquides sont donc en écoulement homogène. On a alors Dm = µDv =cst.Dv. Si, par stationnarité,Dmse conserve il en va donc de même pour Dv.
En écoulement homogène stationnaire, le débit volumique (en plus du débit massique) est identique pour toute section de l’écoulement. (On dit alors que "le champ des vitesses est à flux conservatif").
Application : soit un tuyau d’arrosage de rayon R = 1 cm parcouru par un courant d’eau constant de vitesse v = 1 m/s. A quelle vitesse l’eau est-elle éjectée au niveau de l’embout dont le rayon estr = 0.3 cm? On justifiera les hypothèses faites.
2.3.3 Propriété des lignes de champ d’un écoulement stationnaire et homogène
Considérons un tube de champ de section infinitésimale (où la vitesse est nécessairement uniforme au sein d’une section puisqu’elle est microscopique) :
La propriété précédente permet d’écrire que dans le cas d’un écoulement stationnaire homogène : v1S1=v2S2 ⇔ vS=cst ⇔ v= cst
S ⇔ v % si les lignes de champ se resserrent
Exemple de l’écoulement stationnaire et homogène de l’air autour d’une aile d’avion : les tubes de champs se rétrécissent au-dessus de l’aile, ce qui trahit une accélération du fluide à cet endroit...
2.4 Bilan local : loi de conservation de la masse à une dimension
Faisons cette fois un bilan de masse dans un volume d’espace élémentaire situé entre les sections S(x) et S(x+dx) d’une canalisation :
On suppose pour simplifier que l’écoulement est unidimensionnel, à savoir :
- la section est constanteS(x) =S(x+dx) =S. La zone étudiée a donc pour volumeSdxet contient une masse m(t) =Sdxµ(t)
- le champ des vitesses et celui des masses volumiques sont uniformes au sein d’une section :µ(M, t) =µ(x, t) et~v(M, t) =v(x, t).~ux.
Evaluons entretett+dt:
1. la massedmeentrant dans le volume par S(x) : dme=Dm(x)dt=
¨
S(x)
µ~v ~dsdt=
¨
S(x)
µv dsdt=µv
¨
S(x)
dsdt=µ(x)v(x).Sdt .
NB :µv sortent de l’intégrale car ils sont uniformes au sein du domaine d’intégration.
2. la massedmssortant du volume parS(x+dx) :dms=Dm(x+dx)dt=µ(x+dx)v(x+dx).Sdt 3. la variation entret ett+dtde la masse d’eau présente dans la zone :
m(t+dt)−m(t) =Sdx.µ(t+dt)−Sdx.µ(t) =Sdx∂µ
∂tdt La masse étant conservative, le bilan donne :
m(t+dt)−m(t) =dme−dms ⇔ Sdx∂µ
∂tdt=µ(x)v(x).Sdt−µ(x+dx)v(x+dx).Sdt
⇔ Sdx∂µ
∂tdt=Sdt(−∂(µv)
∂x dx)
2.5 Généralisation à 3D
Désormais~v(M, t) =~v(x, y, z, t).
2.5.1 Equation de conservation de la masse (admise)
Quelque soit le type de coordonnées, l’équation de conservation de la masse s’écrit :
∂µ
∂t +div(µ~v) = 0
Vérifier que l’équation 1D établie au paragraphe 2.1 se retrouve bien à partir de l’équation 3D.
2.5.2 Propriété d’un écoulement stationnaire et homogène
Si l’écoulement est stationnaire, l’équation de conservation de la masse devient : div(µ~v) = 0. Si de plus l’écoulement est homogène, on arrive à :
div(µ~v) =µ.div(~v) = 0 ⇔ div(~v) = 0
Retrouvons la propriété de l’écoulement stationnaire homogène établie à 1D. Pour cela intégronsdiv(~v) = 0 sur le volumeV d’un tube de champ, délimité par ses sections d’entrée et de sortieS1etS2et par sa surface latéral Slat (qu’on peut voir comme la peau du saucisson dans une image charcutière) :
˚
V
div(~v)dτ = 0
Intervient alors un théorème du même style que celui de Stokes-Ampère mais plus difficile à orthographier, appelé Green-Ostrogradsky, affirmant que,∀W~ :
‹
S
W ~~ dsext=
˚
V
div(W~ )dτ
S étant la surface qui emprisonne le volumeV et ds~ extl’élément de surface normal à l’enveloppeS dirigé vers l’extérieur du volume... les voici représentés ci-dessous dans les cas oùV est une sphère puis un cylindre :
Revenons à notre tube de champ et appliquons-y le théorème de Green-Ostrogradsky au champ des vitesses :
