Data Mining : une approche par les graphes

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Alain Sigayret

To cite this version:

Alain Sigayret. Data Mining : une approche par les graphes. Sciences de l’ingénieur [physics].

Uni-versité Blaise Pascal - Clermont-Ferrand II, 2002. Français. �tel-00521946�

E ole Do torale

S ien es Pour l'Ingénieur de Clermont-Ferrand

T h è s e

Présentée par

Alain SIGAYRET

Formation Do torale :

Informatique, Produ tique et Imagerie Médi ale

pour obtenir le grade de

Do teur d'Université

spé ialité : Informatique

Data Mining : une appro he par les graphes

Soutenue publiquement levendredi20 dé embre 2002 devant lejury :

M. PhilippeMahey Président

M. JeanPaulBordat Rapporteur, examinateur

M. Alain Guéno he Rapporteur, examinateur

M. Lhouari Nourine Examinateur

M. Mauri e Pouzet Examinateur

Mme Anne Berry Co-dire tri e de thèse

La dernière démar he de la raison est de re onnaître qu'il y a une innité de hosesqui la dépasse.

La réalisation d'une thèse, bien qu'étant par nature un travail individuel, ne peut se on evoir sans le soutiende tous eux qui ont ontribuéà son aboutissement.

Ainsi,je voudrais tout d'abord remer ierPhilippeMahey quia a epté de présider e jury et a ontribué àme donnerles moyens de faire une thèse.

Ce que je sais de l'algorithmique, je le dois à Jean-Paul Bordat; et apprentissage s'était prolongé durant mon DEA, et au-delà, par des dis ussions passionnantes sur les ensembles ordonnés. Je suis don parti ulièrement heureux qu'il se soit intéressé à ette thèse, non seulement pour en faire un rapport, mais aussi pour suggérer des pistes de re her he intéressantes et a epter une ollaboration sur ertaines d'entre elles. Je lui renouvelle i itoute magratitude.

Audébut de ettethèse, AlainGuéno he avaitdéjà été de bon onseil pour des hoix di iles. Le travail de le ture attentif qu'il a réalisé sur e mémoire an d'en faire un rapportm'aaidé àmettremieuxen éviden elespointsfortsde lapremièrepartie.Jel'en remer ie très haleureusement.

Je souhaiterais également remer ier le professeurMauri e Pouzet qui s'est intéressé à mon travail eten adonné une évaluationtrès en ourageante.

J'avais déjà eu l'o asion de travailler ave Lhouari Nourine pour mon mémoire de DEA à Montpellier; j'ai eu le plaisir de le retrouver à Clermont-Ferrand dans l'équipe d'Algorithmique du LIMOS etdans e jury.

Alain Quilliot a dirigé ette thèse ave une grande ouverture d'esprit et m'a intégré

dans l'équipe d'Algorithmique du LIMOS. Je le remer ie sin èrement, ainsi que David

Hill qui asu, en début de thèse, me suggérer une orientationvers des thèmes en rapport ave mes goûts etmes ompéten es.

Marianne Hu hard ommençait sa arrière d'enseignante- her heuse quand je l'ai eu pour enseignante en li en eet maîtrise d'informatique; ellea ensuite suivimon stage de DEA et m'a en ouragé à poursuivre la re her he. Les dis ussions ré entes qu'elle a eues ave nous m'ont permis de progresser. Je luidois beau oup etje tiens àla remer ier i i.

J'étais ertes familiarisé, avant de ommen er ette thèse, ave les travaux d'Anne Berry, mais je n'avais pas en ore réalisé la diversité de ses thèmes de re her he entrés initialementsur lesgraphes nila puissan e de son travailet de son intuition.Ces années

intenses m'ont permis d'aborder quelques uns de es thèmes et de proposer quelques

avan ées. Je lui exprime i i, très sin èrement, toute ma gratitude pour e qu'elle m'a apporté etpour avoira epté de poursuivre notre ollaboration.

Enn,j'adresseunremer iement olle tifauLIMOSainsiqu'aupersonneladministratif de l'ISIMA etde l'UFRS ien es pour lesoutien qu'ilsm'ontapporté durant es années.

La réalisationd'une thèse est aussi une période di ile pour l'entourage; je remer ie parti ulièrement ma ompagne qui m'a soutenu sans faiblir durant es années, ainsi que le jeune etpatientAxel.

Introdu tion 11 1 Dénitions et notations 15 1.1 Relationsbinaires . . . 15 1.1.1 Notationsensemblistes . . . 15 1.1.2 Relations . . . 16 1.1.3 Graphesorientés . . . 18 1.2 Ensembles ordonnés . . . 20 1.2.1 Ordres . . . 21 1.2.2 Treillis . . . 25 1.2.3 Fermetures . . . 28

1.2.4 Treillisde Galois, treillis des on epts . . . 29

1.3 Graphesnon-orientés . . . 34

1.3.1 Dénitionset notations . . . 34

1.3.2 Classes de graphes . . . 36

1.3.3 Séparateurs minimaux . . . 40

1.3.4 Dé ompositionpar séparateurs minimaux omplets . . . 43

I PHYLOGENIE 47

Introdu tion de la première partie 49

2 Dissimilarité : interprétation par des graphes 51

2.1 De ladissimilaritéà lafamillede graphes . . . 51

2.1.1 Dissimilarités,distan es, représentations arborées . . . 52

2.1.2 Matri e ordinaleasso iée à une dissimilarité . . . 54

2.1.3 Famille de graphes emboîtés asso iée àune matri eordinale . . . . 58

2.2 Lesdistan es triangulées . . . 59

3 Ajustements de données 63

3.1 Ajusterles données en triangulant . . . 64

3.1.1 Un s héma de ompositionde graphespar arêtes. . . 64

3.1.2 Un nouveau on ept de graphes : la sous-triangulation maximale 67

3.1.3 Un algorithmede sous-triangulation de lafamillede graphe dénie par une matri e ordinale . . . 68

3.2 Etude ombinatoiredes ongurations ompatiblesave unedistan eadditive 71

3.2.1 Congurations des familles de graphes instan iant une matri e or-dinale additive . . . 71

3.2.2 Règles extraites de l'étudedes ongurations à 4sommets . . . 76

3.3 Perspe tives . . . 79

Con lusion de la première partie 81

II ANALYSE FORMELLE DE CONCEPTS 83

Introdu tion de la deuxième partie 85

4.1.1 Graphe o-bipartiasso ié àune relation . . . 88

4.1.2 Codage d'un treillis des on epts . . . 92

4.1.3 Sommets universels et sommetssimpli iaux . . . 95

4.2 Séle tion d'un sous-treillis par saturation de séparateurs minimaux du graphesous-ja ent . . . 99

4.2.1 Eetde lasaturation d'un séparateur minimaldu graphesous-ja ent 99 4.2.2 Equivalen e entre haînes maximales du treillis et triangulations minimalesdu graphe . . . 101

4.3 Dé omposition par séparateurs minimaux d'unerelation etde son treillis . 103 4.4 Commentassurer que letreillis d'une relationsoitde taillepolynomiale . . 106

5 La domination : une notion lef 113 5.1 Ladomination lassique . . . 113

5.2 Propriétés remarquables de la domination . . . 115

5.2.1 Dominationdans un graphequel onque . . . 115

5.2.2 Dominationdans le graphesous-ja ent à une relation . . . 118

5.3 Moplexet atomi ité. . . 121

5.3.1 Maxmodset Moplexdans un graphequel onque . . . 121

5.3.2 Equivalen e entre atomi ité dans un treillis et moplex du graphe sous-ja ent. . . 121

5.3.3 Cal ulde la ouverture d'un élément . . . 123

5.3.4 Commentun on ept hérite de la dominationde ses an êtres . . . . 125

5.4 Latable de domination . . . 125

5.4.1 Représentation de la dominationpar une table . . . 126

5.4.2 Requêtes sur la table de domination. . . 127

5.4.3 Miseà jour de latable de domination . . . 127

6.1 Maintien d'une sous-hiérar hiede Galois . . . 131

6.1.1 Treillisdes on epts etsous-hiérar hies de Galois . . . 132

6.1.2 Utilisation de la domination pour dé omposer une sous-hiérar hie de Galois . . . 134

6.1.3 Miseà jour des informationsde domination . . . 138

6.2 Générationdu treillis des on epts . . . 142

6.2.1 Algorithmesexistants. . . 143

6.2.2 Génération des on epts par al ul des séparateursminimaux . . . 144

6.2.3 Génération des on epts par le al ul de la ouverture. . . 144

Con lusion de la deuxième partie 157

Con lusions générales et perspe tives 161

Bibliographie 162

plusieurs domaines

Il y a deux ans, je me suis donné pour but, au ours de e travail de thèse, d'étudier les appli ations a tuelles les plus vitales de l'Informatique et d'essayer d'y apporter ma ontribution selon mes intérêts et mes ompéten es. J'ai hoisi omme hamp d'investi-gation deux grands domaines qui s'oraient à moi, de par l'environnement de re her he du LIMOS et de l'université BlaisePas al :la bio-informatiqueet les basesde données.

Ce travail s'ins rit dans une perspe tive de Data Mining, domaine qui a pour propos d'analyser de vastes bases de données, dans le but d'établir des relations non triviales et de trouver de nouvelles présentations synthétiques des informations ([HMS01℄). Les arbres et les treillis, et plus généralement les graphes, sont des stru tures intéressantes dans ette optique, ar elles mettent en éviden e l'organisation intrinsèque des données et sont fa ilesà visualiser.

CommeJean-PaulBordat, dontj'aiété l'élève,jesuis avanttoutalgorithmi ien.Jeme situe dans une appro he méthodologique, que Brassard et Bratley qualient d'appro he a priori ([BB87℄), qui évalue selon des ritères mathématiques rigoureux la quantité de ressour esinformatiquesné essaires auxalgorithmesenfon tionde latailledesdonnées à traiter.Paroppositionà l'appro he empirique(ou a posteriori),qui teste lesalgorithmes sur divers exemplaires à l'aide d'ordinateurs, l'appro he a priori se on entre sur les di ultés essentielles de la on eption algorithmique. Quand es di ultés se révèlent importantes, ette appro he permet,en diérantleseorts d'implémentation,d'éviter de se perdre dans des solutions ine a es.

Cette thèse seveut également une illustrationde la puissan e des graphes (non orien-tés etnon valués), trop souvent onsidérés omme des objets abstraits, sans appli ation. Or nous montrons, pour deux domaines très diérents, la Phylogénie et l'Analyse F or-melledeCon epts,quel'utilisationdesgraphesapporteun é lairagenouveauetdébou he rapidementsur des résultatsalgorithmiques.

Lesoutils quenous utilisonssont spé iquesaux graphesnon orientés,qui sontla spé- ialité de ma o-dire tri e de thèse, Anne Berry. Ses travaux, empreints d'une appro he très ombinatoire, sans doute héritée d'Alain Guéno he etde Mi helHabib, sont entrés sur lesséparateursminimauxdans lesgraphesnon orientés,que es résultatssoient

théo-riques ou algorithmiques. Ils portent, eux aussi, la marque de la méthode novatri e de Jean-Paul Bordat et les preuves s'y font plus souvent à partir d'invariants que par des méthodes plus lassiques. Ave Jean-Paul Bordat, Anne Berry a su, par ailleurs,utiliser lestreillis, pour extraire de nombreux résultatssur les graphes.

Paradoxalement, mes propres pen hants naturels me poussent plus vers les graphes

orientés que les graphes non orientés. Une de mes ontributions personnelles, dans ette thèse, est la mise en éviden e et l'étude d'une stru ture ordonnée qui apparaît dans les graphes: elle induite par larelation de domination.

C'est la ombinaisonde es deux appro hes, en fait omplémentaires,qui aproduit les résultatsprésentés dans e travail.

Cemémoire omportedeux partiesquiabordentdeuxdomainesenapparen etrès dié-rentsl'un de l'autre, e qui, àpremière vue,pourraitdonner uneimpression de disparité. Il y a ependant des liens forts entre les deux.

Toutd'abord,notreappro he ommuneestd'utiliserunemodélisationpardes graphes. Un graphe non orienté est une relation binaire symétrique, objet mathématique auquel nous her hons à nousramener. Dans la première partie,nous partonsd'une relation va-luée symétrique (une dissimilarité) entre objets et nous la binarisons. Cette stratégie de binarisation est lassique et fréquemment utilisée en Bases de Données et en Data Mi-ning. Dans la deuxième partie, au ontraire, nous partons d'une relationbinaire et nous lasymétrisons, en odant ette relationpar un graphe doté de propriétésremarquables.

Dans les deux as, nous travaillons ensuite sur une famille de graphes emboîtés; es graphes sont dénis par lesseuils d'une matri e ordinalepour la phylogénie, ils sont dé-nis par les éléments ren ontrés lorsdu par ours d'une haîne maximale du treillis pour l'analyse formelle de on epts.

Dans lesdeux as aussi, lespro édés de triangulation (plongementdans un graphe tri-angulé)revêtent unegrandeimportan e,ave lanotionde"sous-triangulationmaximale" danslapremièrepartie,etdansladeuxièmel'explorationdutreillisenutilisantles haînes maximalesquine sontautresquedes triangulationsminimalesdu graphedont nousnous servons pour oder le treillis.

Ce mémoireest organisé omme suit :

Nous ommençons par un hapitre général qui rappelle les résultats onnus qui nous seront utiles et dénitles notations qui seront utiliséesdans les hapitres suivants.

La première partie s'intéresse aux appli ations bio-informatiques et, plus parti ulière-ment, aux mesures de dissimilarités destinées à la onstru tion d'arbres d'évolution. Le hapitre2dé ritlaproblématiquespé iquequenousabordonsetmeten pla edesoutils algorithmiquesetthéoriques permettantde résoudre un problème. Le hapitre3dé rit la solutionalgorithmiqueproposée;ilétudieensuitedesprolongementspossiblesissusd'une étude ombinatoire.

La se onde partie s'intéresseau Data Mininget, plus parti ulièrement,à l'analyse for-melle de on epts. Le hapitre4met en pla eles outilsthéoriques quiseront né essaires, en dé rivant notre odage d'une relationpar un graphenon orienté. Le hapitre 5étudie

plus spé iquement l'ordre de domination sur un graphe. Le hapitre 6, enn, illustre la validité de notre appro he en proposant plusieurs appli ations algorithmiques qui amé-liorentles résultatsexistants.

Dénitions et notations

Ce hapitrea pour but de pré iser les notations qui seront utiliséestout au long de e mémoireetde donnerdes résultatsgénéraux sur lesquels s'appuie e travail,pour autant qu'ils ne soientpas parti uliers àun hapitre. Nousétablissons aussi quelques propriétés élémentaires qui ont un intérêtgénéral pour lesobjets dénis et sur lesquelles nous nous appuierons dans les hapitressuivants.

1.1 Relations binaires

Après quelques pré isions sur les notations ensemblistes utilisées, nous rappelons des notions fondamentales sur les relations, ainsi que sur les graphes orientés. Nous en pro-tons pour présenter deux stru tures de données indispensables pour notre étude : les tables etles matri es.

1.1.1 Notations ensemblistes

Nous rappelons i i, pour les le teurs peu familiarisés, les onventions ensemblistes gé-néralementadoptées.

Tous les ensembles onsidérés seront, sauf mention ontraire, nis, même si ertains résultats ou dénitions pourraient être étendus au as inni. Le ardinal d'un ensemble E sera notée jEj.

L'opérateur  sera utilisé pour l'in lusion large tandis que  dénotera l'in lusion stri te. Nousutiliserons aussi les opérateurs duaux  et .

X est un sous-ensemble propre de E quand X  E et X 6= ;. Deux ensembles sont

L'opérateur ensembliste + pourra rempla er le symbole [ pour l'union disjointe :

X+Y =X[Y ave X\Y =;.

L'opérateurensembliste dénotera ladiéren eentredeux ensembles :X Y =fx2

Xjx62Yg; notonsque ette dénition n'obligepas Y à être in lus dans X.

La notation [p::q℄, inspirée du langage Pas al, orrespondra à un intervalle entier : [p;q℄ZZ.

Pour deux ensembles X et Y, le produit artésien f(x;y)jx 2 X; y 2 Yg sera noté XY. Leproduit artésien XX sera aussi noté X

2 .

L'ensemble des partiesd'un ensembleX sera noté 2 X

.

Une partitiond'un ensembleE est une familleF 2

X

de sous-ensembles de E deux

à deux disjoints et dontl'union est égale à E. On dit qu'une partitionF sur E est plus

nequ'une partitionF

0 sur E quand 8E i 2F, 9E 0 i 2F 0 , E i E 0 i . 1.1.2 Relations

La notion de relation fait partie des notions fondamentales des mathématiques. Elle permet d'établir des liens entre les éléments d'un ou de plusieurs ensembles. Par son pouvoir de modélisation, elle est aussi devenue un outil essentiel de l'informatique, en parti ulier pour les bases de données et le data mining. Nous allons pré iser pour les relationsbinaires levo abulaire et lesnotations quenous utiliserons dans e mémoire.

Dénition 1.1.1 Relation.

 On appelle relation binaire sur un ouple (X;Y) d'ensembles tout sous-ensemble R du produit artésien XY. On dira que R est une relation sur (X;Y)

 Nous appellerons relation partielle d'une relation R sur (X,Y) toute relation sur (X,Y) in luseau sens de l'in lusion de deux parties d'un produit artésien dans R.  Nousappelleronssous-relation d'unerelationRsur (X,Y), touterelationR\(A

B), notée R(A;B), dénie sur AX et B Y.

Par abusde langage,nousutiliserons letermesous-relationaulieude relationpartielle quand il n'ya pas d'ambiguïté.Nous noterons jRj la tailled'une relation R.

Dénition 1.1.2 Table d'une relation.

Soit R une relation sur (X;Y). Le tableau booléen T à deux dimensions, tel que 8x 2 X;y2Y, T[x;y℄=1()(x;y)2R, est appelé table de la relation R.

Dans e mémoire,nous représenterons latable ave leséléments de X surles olonneset les éléments de Y sur les lignes. Les ases T[x;y℄ = 1 seront o hées par  et les ases T[x;y℄=0 seront laissées vides.

tel que 8y 2 Y, (x;y)2 R ( olonne de uns) ou par un élément y de Y telque 8x 2 X, (x;y)2R(ligne de uns); nousdénissons de façonsimilaireles zéros((x;y)62R)et les

rangées de zéros.

Exemple 1.1.3

Table d'une relationR sur (X;Y),X =fa;b; ;d;eg etY =fx;y;zg.

R a b d e

x  

y    

z  

Table de R=f(a;x);(a;y);(a;z);(b;x);(b;y);(d;y);(d;z);(e;y)g.

R possède une olonne de uns : a, et une olonne de zéros : ; R ne possède niligne de uns ni ligne de zéros.



Dénition 1.1.4 Dualités.

La ré iproque d'une relation R sur (X;Y) est la relation, notée R 1

, sur (Y;X) telle que 8x2X, 8y2Y, (x;y)2R

1

() (y;x)2R.

La omplémentaire d'une relation R sur (X;Y) est la relation, notée 

R , sur (X;Y) telle que 8x2X, 8y 2Y, (x;y)2



R () (x;y)62R.

La table de la relation ré iproque R 0

est obtenue en prenant la transposée  au sens des matri esde latable de R. Latablede la relation omplémentaire



Rest obtenue en remplaçantles zéros par des uns etré iproquement.

Exemple 1.1.5

Ré iproque et omplémentaire de la relationR de l'exemple 1.1.3. R 1 x y z a    b   d   e   R a b d e x    y  z    R 1 ré iproque de R  R omplémentaire de R 

Dénition 1.1.6 Relation interne.

Une relation binaire R sur (X;Y) est dite interne quand X = Y. On dira alors que R est une relation sur X.

Dénition 1.1.7 Propriétés des relations internes.

Une relation R sur X est :

 réexive quand 8x2X, (x;x)2R,

 antisymétrique quand 8x;y 2X,x6=y, (x;y)2R=)(y;x)62R,  transitive quand 8x;y;z 2X, (x;y), (y;z)2R =)(x;z)2R.  a y lique quand elle est irréexive et que, pour toute suite (x 1

;:::;x k

) de k1

éléments de X telle que8i2[2::k℄ (x i 1 ;x i )2R, on a (x k ;x 1 )62R. Théorème 1.1.8

Toute relation a y lique est antisymétrique.

Dénition 1.1.9 Table simpliée

La table d'une relation irréexive et symétrique peut être simpliée en ne onservant qu'une demi-tablesans diagonale sur le modèle i-dessous.

RelationR=f(a;b);(a;d);(b;d);( ;d);(b;a);(d;a);(d;b);(d; )g dénie sur X=fa;b; ;dg.

a b d a   b    d    b d a   b  

Table de R Tablesimpliée de R

Dénition 1.1.10 Préordre, relation d'équivalen e.

On appelle préordre une relation internequi est réexive et transitive.

On appelle relation d'équivalen e une relation interne qui est réexive, symétrique et transitive.

1.1.3 Graphes orientés

L'a te de naissan e des graphes peut être situé en 1737 ave la résolution par Eu-ler du problème des sept ponts de Königsberg : pouvait-on par ourir la ville en passant exa tement une fois sur haque pont? Pour apporter une réponse négative à ette ques-tion, Euler traça un plan de la ville réduit à son plus élémentaire squelette : des points (des "sommets", représentant les diérentes parties de la ville) reliés par des traits (des "arêtes", représentant les ponts); il avait ompris, au delà de l'apparen e géométrique, que le problème était de nature topologique : seul importait la ontinuité du tra é des arêtes entre les sommets. La théoriedes graphes distingue les graphesorientés (dans les-quelsles"arêtes" prennentlenom d'ar ),quenous allonsaborder i ietqui omprennent les stru tures ordonnées que nous aborderons dans la se tion suivante, des graphes non orientés qui ferontl'objet de lan de e hapitre.

Dénition 1.1.11 Graphe orienté.

Ungraphe orientéG=(V;A)est dénipar ladonnéed'unensemble niV desommets

et d'un ensemble A V

2

Dénition 1.1.12 Matri e d'in iden e d'un graphe orienté.

Sur le même prin ipe que la table d'une relation interne, on dénit la matri e

d'in i-den e d'un graphe orienté G = (V;A) omme un tableau booléen M à deux indi es tel

que 8x;y2V, M[x;y℄=1()xy 2A.

Nousallons avoirbesoinde la notionde stable, qui sera déniede façon similairepour lesgraphes non orientés (voir dénition 1.3.3).

Dénition 1.1.13 Stable.

Un graphe orienté est un stable quand il n'a au un ar .

Plus généralement,onpeut faire orrespondreun grapheorientéàtouterelationsur un ouple (X;Y) d'ensembles nis :

Dénition 1.1.14 Graphe biparti (version orientée).

Un graphe orienté G = (V;A) est dit biparti si son ensemble de sommets V peut être

partitionné en deux stables X et Y tels que tous les ar s xy2 A relient un sommet x de

X et un sommet y de Y.

Dénition 1.1.15 Biparti orienté asso iéà une relation binaire (voir [Bor86℄). A unerelationR sur(X;Y), onpeut asso ier un graphe orientébipartiH =(V;A)déni

par : V =X+Y et xy2A()(x;y)2R.

Exemple 1.1.16

Le graphebiparti orienté asso iéà larelationR de l'exemple1.1.3 :

b

a

c

d

e

z

y

x

Dans un grapheorientéG=(V;A),nous appellerons haînetoute suite (x 1

;:::;x k

) de sommetsdistin tstels que8i2[2::k℄,x

i 1 x

i

2A.On ditalors quex k est undes endant de x 1 . Une haîne (x 1 ;:::;x k

) forme un ir uit quand x

k x

1

2 A. Une haîne est dite

maximalesi ellen'est in luse proprement dans au une autre haîne.

Dénition 1.1.17 Arbores en e.

Dans un graphe orienté, nous dirons qu'un sommet r est une ra ine quand, pour tout

sommet x du graphe, il existe une unique haîne(r;:::;x).

Une arbores en e est un graphe orienté qui possède une unique ra ine.

l'ensembledesdes endantsd'unsommetx 0

d'ungrapheG.L'algorithmePARCOURSpermet d'atteindre tous lessommets du graphe.

Algorithme 1.1.18 DESCENDANCE

Donnée : Un graphe orienté G=(V;A), un sommet x

0 2V. Résultat : Atteint est l'ensemble des des endants de x

0 (x 0 ompris). Initialisation Atteint fx 0 g; Exploré ;; Début

Tant que Atteint Exploré6=; faire :

Choisir y dans Atteint Exploré;

Si tous lessu esseurs de y sontdans Atteint

alors Exploré Exploré[fyg;

sinon :

Choisir un su esseur z 62Atteintde y;

Atteint Atteint[fzg;

Fin.

Algorithme 1.1.19 PARCOURS

Donnée : Un graphe orienté G=(V;A).

Résultat : Atteint=V.

Initialisation

Atteint ;;

Exploré ;;

Début

Tant que Atteint6=V faire :

Choisir x 0 dans V Atteint; Atteint Atteint[fx 0 g;

// Appelà DESCENDANCE sans Initialisation de Atteint ni Exploré.

DESCENDANCE(G;x

0 ); Fin.

L'ensembleAtteint Explorépeut être implémentépar un leouune pile. Dans le

premier as, lepar ours sefait en largeur : pour explorer lesdes endants d'un sommet, on ommen e par atteindre tous ses su esseurs et on poursuit de manière on entrique. Dans lese ond as, lepar ours sefait en profondeur :onexplore toute la des endan e d'un premiersu esseur d'un sommet avant de passer àun autresu esseur.

Le par ours d'un graphepeut sefaire en temps linéaire O(n+m).

De nombreux algorithmes de graphes sont basés sur un s héma de par ours.

1.2 Ensembles ordonnés

stru ture fondamentale pour notre travail : les treillis de Galois, après avoir mentionné très brièvement lanotion de fermeturequi lui donne un fondement mathématique. Nous utiliseronspourlesstru turesordonnéesunepartieduvo abulaireetdesnotationsdénies pré édemmentpour lesgraphes orientés.

1.2.1 Ordres

Dénition 1.2.1 Ordres.

 Un ordre largeest un ouple(P,), où P est un ensemble et  une relation sur P qui est réexive, antisymétrique et transitive.

 Unordre stri t est un ouple(P,<), où Pest un ensemble et<une relationsur P qui est irréexive, antisymétrique et transitive.

Danslesdeux as,onditqueP est un ensembleordonné(partial ordered set,en abrégé poset).

Pour tous les éléments x et y de P tels que xy (ou x<y), nous dirons que x est un

as endant de y etque y est un des endant de x.

Théorème 1.2.2 Ordre quotient anonique.

Soit R un préordre sur un ensemble X. On dénit une relation d'équivalen e  entre

sommetsparxy()(x;y)2R^(y;x)2R.LapartitiondeX en lassesd'équivalen e

de  dénit alors une relation d'ordre qu'on appellera ordre quotient anonique du

préordre R.

Exemple 1.2.3

Ordre anoniqueasso iéà un préordre.

R a b d e a  b       d     e   R 0 a b d e a  b   d    e  

Unpréordre R L'ordre anonique asso ié R

0 ,

déni sur X =fa;b; ;d;eg déni sur X

0

=fa;b ;d;eg 

Dénition 1.2.4 Couverture.

Soient (P;) un ordre, x et y deux éléments distin ts de P. On dit que x est ouvert par y ou en ore que y ouvre x quand xy et iln'existeau un autre élémentz de P tel que xz et zy. La relation ainsi dénie sur P est appelée ouverture de l'ordre. La ouverture de x2P est l'ensemble des y de P tels que x est ouvert par y.

su es-La relation de ouverture est don obtenue en supprimant toutes les bou les de ré-exivité et tous les ar s de transitivité dans un ordre. Ce pro édé permet d'alléger les représentationstout en onservant toutes lesinformationspertinentes de la stru ture.Le graphe orienté ainsi obtenu porte le nom de diagramme de Hasse (voir [Bor92℄) ou plus simplementde diagramme ([Bir67℄). Dans l'usage ourant, on onfond souvent un ordre ave sa ouverture.

Sauf pré ision ontraire, dans toute la suite, nous hoisirons de représenter un dia-grammede Hasse enplaçantlesplusgrandsélémentsen hautetlespluspetits enbas (les su esseurs au dessus des prédé esseurs, > au sommet et ? à la base); le sens des ar s est ainsi impli ite.Les onventions dans e domainevarient suivant lesauteurs.

Le pro édé ré iproque du passage àla ouverture, appli able à une relationa y lique, porte lenomde fermeture réexo-transitive ( 'estune fermetureausens dela déni-tion 1.2.36). Le s héma indu tif orrespondant a pour base une relation a y lique R sur un ensembleX etpour règles :

1) Pour x2X, ajouter (x;x) à R;

2) Pour x;y;z2X tels que (x;y);(y;z)2R, ajouter (x;z) à R.

Exemple 1.2.5

Relationde ouverture de l'ordre R 0 de l'exemple 1.2.3. a b d e a b  d  e  Table de la ouverture de R 0

d

bc

e

a

En prenantla fermetureréexo-transitive de ette ouverture, onretrouve l'ordre R 0

. 

Dénition 1.2.6 Sous-ordres.

On appelle sous-ordre d'un ordre (P;), toute partie QP qui est aussi un ordre.

Théorème 1.2.7 Prin ipe de dualité (ordres).

Soit (P;) un ordre. Larelationré iproque sur P dénie par xy()yx est une relation d'ordre sur P. (P;) est appeléordre dual de (P;).

Dénition 1.2.8 Ordre ipsodual.

Un ordre est dit ipsodual quand il est isomorphe à son dual.

Dénition 1.2.9 Comparabilité.

Deux éléments x et y d'un ordre (P;) sont dit omparables quand x  y ou y  x;

ils sont dits in omparables sinon.Une partie non videde P dont tous les éléments sont deux à deux in omparables est appelée anti haîne de P.

Dénition 1.2.10 Ordre total.

Un ordre(P;)est dit total quand tous les élémentsde P sont omparables deuxàdeux. On dit alors que P est une haîne.

Plus généralement, on appelle haîne dans un ordre (P;) quel onque, toute partie de P formant un sous-ordre total.

Une haîne d'unordre P peut don être vue ommeune suite (x 1 ;:::;x k ) d'élémentsde P tels que 8i 2 [2::k℄ x i ouvre par x i 1

; e i nous ramène à la dénition d'une haîne dans un graphe orientéquel onque.

Une haîne d'un ordre est dite maximalesiellen'est proprementin luse dans au une autre haîne de l'ordre.

Exemple 1.2.11

Le diagramme i-dessous représente un ordre ipsodual (P;), ave P =fa;b; ;d;e;f;g;h;i;j;k;l;mg.

e

d

f

g

m

o

j

i

h

k

l

a

c

b

n

Lapermutationfa $o,b $n, $m,d$l,e$k,f $j,g $ggestunisomorphisme qui asso ie(P;)à son dual (P;).

f et m sont omparables(f m);e et m sont in omparables.

afhlmoeta esontdes haînesmaximales;defketb ghksontdesanti haînesmaximales. 

Dénition 1.2.12 Ordre gradué.

Un ordre (P;) est dit gradué quand il existe une appli ation g de P versIlN telle que :

1. g est monotone roissante : sixy alors g(x)g(y), et

2. pour tous sommets x et y de P, si y ouvre x alors g(y)=g(x)+1.

Exemple 1.2.13

b

c

d

e

h

i

j

a

1

2

3

4

k

g

f

l

Surlagure i-dessus, lesélémentsdel'ordresontdessinésenniveauxsu essifsduniveau 1 pour a au niveau 4 pour k etl.



Dénition 1.2.14 Elements maximaux, minimaux.

Unélémentxd'unordre (P;)estditmaximalsiP n'admetau unélémentplusgrand que x; 'est-à-dire 8y2P fxg, x6y.

 Unélément x d'unordre (P;)est dit minimalsiP n'admetau un élémentplus petit que x; 'est-à-dire 8y2P fxg, y6x.

Dénition 1.2.15 Maximum, minimum.

Unordre(P;)admetxpourmaximumsixestplusgrandquetouslesautreséléments de P ; 'est-à-dire 8y2P fxg, yx.

Un ordre(P;)admet xpourminimum sixest pluspetitquetous lesautreséléments de P ; 'est-à-dire 8y2P fxg, xy.

Remarque 1.2.16

Le maximum (resp. minimum)  s'il existe  d'un ordre est unique; il est onvention-nellement appelé Top et noté > (resp. Bottom et ?).

Le maximum et le minimum, s'ilsexistent, appartiennent à toutes les haînesmaximales de l'ordre.

Cette propriété n'est bien évidemment utilisable que si l'ordre possède un maximum. Ce n'est pastoujoursle as, ommelemontrel'ordredel'exemple1.2.11quipossèdeplusieurs éléments maximaux : e, n et o; la haîne maximale afhlmo ne ontient ni e ni n.

Dénition 1.2.17 Majorant, minorant.

Un élément x d'un ordre (P;) admet y pour majorant (resp. minorant) quand xy

(resp.y x). Nous noterons Maj(x) l'ensembledes majorants de x et Min(x)l'ensemble de ses minorants. Pour toute partie non vide A de P, on dénit Maj(A) =

T x2A Maj(x) et Min(A)= T x2A Min(x).

On peuté rireMaj(A)=fy2P j8x2A xyg.SiP aunminimumetunmaximum,

ona Maj(P)=f>g etMin(P)=f?g.

Dénition 1.2.18 Bornes supérieure, inférieure; bottom, top.

 On appelle borne supérieure (on trouve aussi les termes : supremum, union, join,

lowest upper bound) d'une partie A non vide d'un ordre P le minimum, s'il existe de

x_y si A=fx;yg.

 On dénit symétriquement laborne inférieure (on trouveaussi les termes: inmum, inter,meet, greatestlowerbound)deA ommeleplusgrandminorant.Notations:Inf(A), Meet(A),

V

A, voire x^y si A=fx;yg.

 Dans e mémoire, nous utiliserons les notations Inf(A) et Sup(A).

SiP a un maximum > etun minimum ?, ona don Inf(P)=? et Sup(P)=>.

Exemple 1.2.19

Ave les ordres P de l'exemple1.2.11 etQ de l'exemple1.2.13 :

 P a pour élémentsmaximaux e, o et n et pour éléments minimauxa, b etk.

Maj(f)=ff;g;h;j;l;m;n;og,Maj(d)=fd;i;j;og;Maj(d;f)=fj;ogapourminimum j qui est don la borne supérieure de fd;fg. Maj(fb; g) = fd;e;i;j;og = Maj( ), et ensemble n'a pas de minimum (mais deux éléments minimauxd ete) don fb; g n'a pas de borne supérieure.

P n'a nimaximum ni minimum.

 Q apour élémentsmaximaux h, k etl etpour élémentsminimaux a, et f.

Maj(b;e)=fb;g;kg\fe;i;k;lg=fkg,fb;egadon pourbornesupérieurek.Maj(b;j)= fb;g;kg\fj;lg=;, fb;jg n'a don pas de borne supérieure.

Q n'a nimaximumni minimum.



1.2.2 Treillis

Les notions de bornes supérieure et inférieure généralisent la notion de plus pro he an être ommun (nearest ommon an estor) dans une arbores en e. Les treillis peuvent ainsi être vus omme une extension des arbores en es, la notion de plus pro he an être ommun y étant en quelque sorte dédoublée en borne inférieure et borne supérieure. Le le teur trouvera une étude détaillée des treillis dans les ouvrages lassiques [Bir67℄ et [BM70℄.

Dénition 1.2.20 Treillis.

Un ordre (P,) est un demi-treillis supérieur si toute paire d'éléments de P possède une borne supérieure. Un ordre (P,) est un demi-treillis inférieur si toute paire d'éléments de P possède une borne inférieure.

On appelle treillis un ordre qui est à la fois demi-treillis supérieur et demi-treillis infé-rieur.

Dénition 1.2.21 Atomes et o-atomes.

On appelle atome dans un treillis tout élément ouvrant bottom. On appelle o-atome

dans un treillis tout élément ouvert par top.

Dénition 1.2.22 Irrédu tibles.

exa -quand il est ouvert par exa tement un élément. Un élément est dit irrédu tible s'il est sup-irrédu tible ou inf-irrédu tible.

Autrement dit, un sup-irrédu tible x d'un treillis L n'est la borne supérieure d'au- une partie non vide de L fxg. De même, un inf-irrédu tible y n'est la borne inférieure d'au une partie non vide de L fyg.

Dénition 1.2.23 Treillis omplet.

Un treillis (L;) est dit omplet quand toute partie non vide de L possède une borne inférieure et une borne supérieure.

Théorème 1.2.24

Tout treillis ni est omplet et possède don un maximum > et un minimum ?.

Remarque 1.2.25 Un singleton fxg a pour borne supérieure et pour borne inférieure

x. Certains auteurs ([GW99℄) étendent la notion de bornes supérieure et inférieure à l'ensemble vide : Inf(;)=> et Sup(;)=?.

Exemple 1.2.26

Le diagramme i-dessous représente un treillis (L;) ave L=fa;b; ;d;e;f;g;h;i;j;k;l;mg.

a

b

c

e

h

d

i

j

k

l

m

f

g

?=a, >=m; les atomessont b, et d; les o-atomes sont i,j, k et l.

L'ensemble des sup-irrédu tibles est fb; ;d;e;i;jg; l'ensemble des inf-irrédu tibles est fh;i;j;k;lg. nif nig n'est irrédu tible.

abefkmeta hlmsontdes haînesmaximales.ijkletfghisontdesanti haînesmaximales. 

Dénition 1.2.27 Treillis distributif.

Un treillis (L;) est dit distributif quand 8x;y;z 2L x_(y^z)=(x_y)^(x_z).

Dénition 1.2.28 Treillis omplémenté.

Dans un treillis, un élément x est appelé un omplément d'un élément y quand Sup(fx;yg)=> et Inf(fx;yg)=?.

Dénition 1.2.29 Treillis booléen.

Un treillis est dit booléen quand il est distributif et omplémenté.

Propriété 1.2.30

Un treillis L est booléen si et seulement si il est isomorphe à un treillis f0;1g k ordonné par : 8(a 1 ;:::;a k );(b 1 ;:::;b k )2f0;1g k , (a 1 ;:::;a k )(b 1 ;:::;b k ) () 8i2[1::k℄a i b i . Un treillis booléen a don 2

k

éléments, k 2IlN. Tout treillis booléenà 2

k

élémentsest isomorphe au treillis despartiesd'unensemble X à k éléments, ordonnées par in lusion. La notation (a

1 ;:::;a

k

) 2f0;1g est elle du ve teur ara téristiqued'une partieA de X =fx

1 ;:::;x k g : 8i2[1::k℄, x i 2A()a i =1. Exemple 1.2.31 TreillisbooléensB 4 à2 2 =4éléments,B 8 à 2 3 =8éléments.

00

11

01

10

001

010

110

101

111

011

100

000

Théorème 1.2.32 Prin ipe de dualité (treillis).

L'ordre dual d'un treillis est un treillis.

Les notions suivantes sont ainsi duales : bottom et top, atomes et o-atomes, bornes supérieureset bornes inférieures,inf-irrédu tibles etsup-irrédu tibles.

Dans un treillis omplémenté, le omplément de haque élément peut être unique; on peut alors dénir une appli ation qui asso ie à haque élément son unique omplément. Ce i nous amène àla notiond'ortho omplémentation.

Dénition 1.2.33 Ortho omplémentation (voir [BB99℄).

UnTreillisLestdit ortho omplémenté s'ilexisteune appli ation'deL danslui-même telle que :

1. Complémentation : 8a2L, Sup(fa;'(a)g)=> et Inffa;'(a)g =?; 2. Dualité : 8x;y2L, '(Sup(fx;yg))=Inf(f'(x);'(y)g) et

'(Inf(fx;yg))=Sup(f'(x);'(y)g); 3. Involution : 8x2L, '('(x))=x.

L'appli ation ' est appelée ortho omplémentation de L. Pour tout élément x de L,

'(x) est appelé ortho omplément de x ou plus simplement omplément.

d

e

c

f

g

h

a

b

i

j

m

n

l

k

La permutationfa$h;b $i; $j;d$k;e$l;f $m;g $ng est une ortho omplé-mentationde L.



1.2.3 Fermetures

Nous allons voir dans la sous-se tion suivante la notion de treillis de Galois, dont la onstru tion est basée sur un pro édé très général de fermeture que nous rappelons ra-pidement i i et que nous mettons en parallèle ave la notion algorithmique de s héma indu tif.

Dénition 1.2.35 Système de fermeture.

Une famille F de parties d'un ensemble E est appelé système de fermeture quand les

deux onditions suivantes sont réunies : 1. F ontient E;

2. L'interse tion de deux parties de E appartenant à F appartient aussi à F.

Dénition 1.2.36 Opérateur de fermeture ([BM70℄).

Une appli ation ' : 2 E

!2

E

est appelé opérateur de fermeture quand elle vérie les trois propriétés suivantes :

1. Monotonie : 8X;Y 22 E , X Y =)'(X)'(Y); 2. Extensivité : 8X 22 E , X '(X); 3. Idempoten e : 8X 22 E , '('(X))='(X).

Une fermeture peut être vue omme une formalisation mathématique d'un pro édé

algorithmique généralappelés héma indu tif :

Dénition 1.2.37 S héma indu tif

1 .

On dit qu'un ensemble X est déni par un s héma indu tif quand on peut le onstruire en trois phases :

1. Initialisation : une "base" B X donne le ontenu minimal de l'ensemble X;

2. Constru tion : une familleF de règles de produ tiondénissent les opérations per-mettant d'ajouter des éléments à l'ensemble en ours de onstru tion;

3. Fermeture : tous les éléments de X peuvent être atteint par une suite d'opérations et seulement eux-là (X est le plus petit ensemble stable pour e s héma(B;F)).

1.2.4 Treillis de Galois, treillis des on epts

Les treillis de Galois sont issus de réexions assez an iennes. Sans qu'il soit utile de remonter jusqu'àAristote,onpeut mentionnerla"Logique dePort Royal"d'Antoine Ar-naud et Pierre Ni ole, paru en 1662 sous le titre "La logique ou l'art de penser", et qui se ratta he aurayonnementintelle tuel de l'abbaye de PortRoyal auXVII

ieme

siè le. On trouve,dans e livre,lapremièrementionexpli ite delanotionde on ept, onçu omme un ensemble d'objets (une extension) possédant un ertain nombre de propriétés (une intension).Lesmathématiquess'approprièrent ettenotionen dénissant,entre deux en-sembles en relation, une orrespondan e dite de Galois

2

(Galois onne tion, voir [Bir67℄ et [Ore44℄).

Dansle adremathématique,une orrespondan e deGaloispeutreprésenterla stru tu-rationentreillisd'unensembled'objetsen relationave unensemblede propriétés, equi a été formalisé ave la notionde treillis de Galois (voir[BM70℄) etredé ouvert plusieurs fois. Dans les années 1980, Wille et Ganter ont popularisé les treillis de Galois sous le nom de treillis des on epts dans le adre de e qu'ils ont appelé"l'Analyse Formelle de Con epts"(Formal Con ept Analysis,en abrégé FCA).

Willea notamment déniles notionsde ontexte formel etde on ept formel.Le vo a-bulaire orrespondant étant devenu d'usage ourant dans diérents domaines de l'infor-matique, nous l'avons adopté dans e mémoire.Le le teur trouvera des pré isions sur les

bases de la FCA dans ([GW99℄).

Dans ette sous-se tion, nous ommençons par rappeler le adre général des treillis de Galois. Nous abordons ensuite un type parti ulier de treillis de Galois, le treillis de séparabilitéquiaétédénipar Berryen liaisonave laséparabilitédansun graphe.Nous terminons ave lenouveau vo abulaire de l'Analyse Formelle de Con epts.

Dénition 1.2.38 Re tangle maximal.

Soit R une relation sur (X;Y). On appelle re tangle maximal (ou pavé) de R toute

partie (A  B)  R telle que : 8x 2 X A, 9y 2 Bj(x;y) 62 R et 8y 2 Y B,

9x2Aj(x;y)62R.A est appelé intension (intent) du re tangle AB et B extension (extent) de e re tangle.

Cesre tanglesmaximauxsontparfoisappelésfermés( losedsets) par equ'ilsforment un système de fermeture (voir dénition 1.2.35). L'opérateur de fermeture asso ié est

appelé fermeture de Galois de la relation onsidérée et peut être déni omme une

appli ation ': 2 X !2 X ,'=hÆg, ave : g :2 X !2 Y , g(A)=fy2Y j8x2A; (x;y)2Rg, et 2

h : 2 Y

!2

X

, h(B)=fx2Xj8y2B;(x;y)2Rg.

Le ouple(g;h) est aussi appelé orrespondan e de Galois (Galois onne tion).

Dénition 1.2.39 Treillis de Galois.

Soit R une relation sur (X,Y). Le treillis obtenu en ordonnant les re tangles maximaux de R par in lusion sur les intensions est appelé treillis de Galois de R.

Exemple 1.2.40

Treillis de Galois L(R) de la relation R de l'exemple 1.1.3.

a appartient à tous les re tangles maximaux de R; n'appartient à au un re tangle maximal, à l'ex eption de top.

Le al ul du pavé ab  xy ave la orrespondan e

de Galois se fait omme suit : g(fbg) = fx;yg don

h(g(fbg))=h(fx;yg)=fa;bg.

abde

×

y

×

ab

xy

ad

×

yz

=

⊥

a

×

xyz

O

abcde

×

=

⊥

Théorème 1.2.41 Prin ipe de dualité (treillis de Galois) ([Bir67℄).

Le dual d'untreillis de GaloisL(R) asso iéà une relationR sur (X;Y)est un treillis de Galois onstruit sur la relation ré iproqueR

1

sur (Y;X). Ce treillis dual est isomorphe au treillis obtenu à partir de R par in lusionsur les extensionsde L(R).

Propriété 1.2.42 ([BM70℄).

Tout treillis est treillis de Galois d'une relation.

Propriété 1.2.43 Relation réduite ([BM70℄).

Parmi toutes les relations qui ont lemême treillis de Galois (à un isomorphisme près),il en existeune, unique,qui est minimale pour lasomme du nombre de ligneset du nombre de olonnes dans la matri e de la relation. Cette relation est dite relation irrédu tible ou en ore relation réduite.

Cara térisation 1.2.44 ([BM70℄)

3 .

Une relation est réduitesi et seulement si dans sa table : 1. Il n'y a au une rangée de uns;

2. Il n'y a pas deux lignes, ni respe tivement deux olonnes, identiques.

3. Au une ligne n'est interse tion de plusieurs autres lignes, et au une olonne n'est interse tion de plusieurs autres olonnes;

On déduit trivialement de e qui pré ède une méthode générale pour réduire une

relationR sur (X;Y):

3

Pro édé algorithmique 1.2.45

Donnée : La table d'une relationR(P O).

Résultat : Latable de la relationréduite orrespondante. Début

Supprimerde latable toutes lesrangées de uns; Fusionner dans latable les lignes identiques; Fusionner dans latable les olonnes identiques;

Supprimerde latable toute ligne qui est l'interse tion de plusieurs autres lignes; Supprimer de latable toute olonnequiest l'interse tionde plusieursautres olonnes; Fin.

Nousverronsqu'ilpeutêtre importantde vérier qu'unerelation ne ontient nirangée de uns ni rangéede zéros.En parti ulier, siune relationR sur (X;Y) n'a au une rangée de uns alors ?=;Y et >=X;.

BarbutetMonjardetontproposéunedémonstration onstru tivedelapropriété1.2.42, basée sur un s héma algorithmique produisant une relation dont un treillis donné est treillis de Galois.

Algorithme 1.2.46 ([BM70℄)

Donnée : Un treillis T.

Résultat : Une relation RXY dontT est le treillis de Galois. L'étiquetage des éléments de T omme treillis de Galois de R. Début

// Déterminer les ensembles X et Y sur lesquels onstruire la relation.

X ensemble des sup-irrédu tibles de T ;

Y ensemble des inf-irrédu tiblesde T ; // Construire larelation RXY.

R ;;

Pour haque sup-irrédu tible x faire : Pour haque inf-irrédu tible y faire :

si xy alors ajouter (x;y) à R; // Etiquetage AB des éléments du treillis.

Pour haque élément t de T faire :

A t fx2Xjxtg; B t fy2Y jytg; Fin.

Sil'on onnaît lesdegrésentrant etsortant des éléments du treillis,un même par ours en largeur de son diagrammede Hasse permet de onstruire larelationR etl'étiquetage des éléments en treillis de Galois. La omplexité en temps est linéaire sur la taille du diagramme. Larelation onstruiteest une relation réduite.

Exemple 1.2.47

La relation R de l'exemple 1.1.3 n'est pas réduite : a est une olonne de uns, la olonne e est l'interse tion des olonnes b et d. La relation réduite R

0

b d

x 

y  

z 

Table de la relationréduite R 0

O

O

bcd

=

⊥

×

xy

=

⊥

×

xyz

×

bd

×

y

b

d

×

yz

Remarquonsquela olonnedezéros aété onservée;en eet,ellen'étaitpasinterse tion d'autres olonnes de R. La suppression de la olonne de zéros dans R

0

provoquerait la disparition de b d; dans son treillis de Galois.



Lapropriété 1.2.42a permis à Berryet Bordat de ara tériserles treillis ortho omplé-mentés :

Cara térisation 1.2.48 ([BB99℄).

UntreillisniLpossèdeunefon tiond'ortho omplémentationsietseulementsilarelation réduite orrespondante(relationdontletreillisdeGaloisestisomorpheàL)estsymétrique et irréexive.

Ces onsidérationsontpermisdedénirun typeparti ulierde treillisdeGalois,asso ié à un graphe :

Dénition 1.2.49 Treillis de séparabilité ([Ber95℄, [BB99℄).

On appelle treillis de séparabilité d'un graphe non orienté G = (V;E) le treillis de Galois de la relation omplémentaire V

2

E, symétrique et irréexive, sur V.

Pour onstruire un treillis de séparabilité, on onsidère impli itement que le graphe possède touteslesbou les.Letreillisest alors ortho omplémenté( ara térisation 1.2.48). On peut étendre ladénition 1.2.49 àun graphepossédant seulement un ertainnombre de bou les (et don àune relationqui n'estpas irréexive), ommenous leferons dans le hapitre 3.

Nous allons terminer ette présentation des treillis de Galois par le vo abulaire de l'Analyse Formelle de Con epts. On s'intéresse toujours à des relations sur une paire d'ensembles. Selon le domained'appli ation onsidéré, lesélémentsdu premierensemble peuvent être des propriétés (Langages à Objets), des attributs (Bases de Données), des questions (S ien es humaines). Les élémentsdu se ondensemble peuvent être des objets, des tuples (n-uplets),ou des individus.

Dénition 1.2.50 Treillis des on epts([GW99℄).

et noté L(R). Le triplet (P;O;R) est appelé un ontexte formel ou plus simplement

ontexte. Les re tangles maximaux de R, éléments du treillis L(R), sont appelés des

on epts formels ou plus simplement on epts.

Pour nosétudesde omplexité, nousutiliseronslesnotationsn=jPj+jOjetm =j  R j; pour simplier, nous assimileronssouvent jPj àn.

En l'absen e de notation standard, nous avons hoisi d'utiliser dans nos exemples des lettrespourreprésenter lespropriétés(élémentsdeP)etdesnombrespourreprésenter lesobjets (élémentsde O).

Il n'y a pas non plus de onvention qui se dégage sur le mode de onstru tion d'un treillis des on epts : on peut le dénir omme le treillis de Galois d'une relation sur (P;O)( onstru tionpar in lusionsur lespropriétés)oufairele hoixduald'unerelation R sur (O;P) (in lusion sur les objets). Ave le premier hoix, un on ept AB aura

pour membre gau he un ensemble A de propriétés et pour membre droit un ensemble B

d'objets;ave lese ond hoix,Aseraunensembled'objetsetBunensembledepropriétés. Lesnotionsd'intensionetd'extensionsontpar ontre lairementdénies:l'intension d'un on ept est un ensemble de propriétés, l'extension d'un on ept est un ensemble d'objets.

Nous avons pris omme onvention le premier hoix où les propriétés sont dans le

membre gau he d'un on ept (intension à gau he) et les objets dans le membre droit

(extension àdroite). Ainsi,?=AO et >=P B, ave A =B =; si larelation ne ontientau une rangéede uns.

Nousappelleronsrelation omplètelarelationR=PO; son treillisdes on epts est réduità un élément: PO.Nousappelleronsrelation videla relationR=;; son treillis des on epts a deux éléments?=;O et >=P ;.

Par onstru tion,un treillisdes on epts aunehauteur bornée parh=min(jPj;jOj);

la longueur d'une haîne maximale y sera don inférieure ou égale à h. Le nombre de

on epts peut pourtant être exponentiel (en O(2

n

)) ar le treillis peut être très large ( ertaines anti haînes maximales peuvent avoir des tailles exponentielles). Le pire as orrespond à un treillis des parties (power set) sur (P;O) qui est ara térisé par le fait que pour toutes lesparties AP etB O, l'élémentAB appartient autreillis.

Exemple 1.2.51

Soitun ontexte(P;O;R)ave P =fa;b; ;d;e;fg,O =f1;2;3;4;5;6getRlarelation dénie par latable i-dessous :

R a b d e f 1 x x x x 2 x x x 3 x x x 4 x x 5 x x 6 x

abf x 3

abc x 2

a x 236

b x 123

c x 125

d x 145

bcde x 1

de x 14

cd x 15

bc x 12

ab x 23

abcdef x

x 123456

φ

φ

Fig.1.1 Treillisdes on epts L(R) asso iéà larelation de l'exemple 1.2.51

l'interse tion des olonnes a etb.

b 12etabf3sontdes re tanglesmaximaux( on epts)deRetdesélémentsdeL(R). b est l'intension de b 12, 12 est son extension.

ab23etb 12ne sont pas omparables,ab23 est un su esseur de a236, a236 est un prédé esseur de ab23.

Les atomesde L(R) sont : a236, b123, 125 et d145.

(;123456,b123, b 12, ab 2,ab def ;) est une haîne maximalede L(R). Cet exemple sera repris dans le hapitre4.



1.3 Graphes non-orientés

Nous rappelons i i les notions de graphes non orientés dont nous aurons besoin pour notre étude :après les prin ipales dénitions et notations et la présentation de quelques lassesdegraphes,nousabordonslanotiondeséparateurminimaldanssesaspe tsformels puisalgorithmiques,nousterminonspar latriangulationminimaled'ungraphe.Pourplus de pré isions sur les graphes, le le teur pourra se référer aux livres de Golumbi [Gol80℄ et de Brandstädt& al.[BLS99℄.

1.3.1 Dénitions et notations

Dénition 1.3.1 Graphe non-orienté.

Ungraphenon-orienté G=(V;E)estdéni par ladonnéed'unensemble V desommets

(n=jVj) et d'un ensemble E (m=jEj) d'arêtes qui sont des paires fx;yg de sommets de V (notées xy). Nousdirons quex voity (etré iproquement)ou en ore quexet y sont voisins dansGsixy2E. Levoisinage d'un sommetx estl'ensemble,notéN(x),des

de ses voisins extérieurs : N(X) = S

x2X

N(x) X. Le degré d'un sommet x est la

taillejN(x)j de son voisinage.

Propriété 1.3.2

Tout graphe orienté G = (V;A) est asso ié à un unique graphe non-orienté G 0

= (V;E)

obtenu par fermeture symétrique de G : xy2E ()xy2A_yx2A.

On dénitdon lamatri ed'in iden eG=(V;E)d'un graphenon-orientésur lemême prin ipe que la matri e d'in iden e d'un graphe orienté omme un tableau booléen M à deux indi es telque 8x;y2V, M[x;y℄=1()xy2A. Cette matri eest symétrique.

D'autrepart,lepar oursd'un graphenon orientéseferasur lemêmeprin ipeque elui des graphesorientés (page1.1.19),l'ensembledes sommetsatteintsà partird'un sommet

donné orrespondant à sa omposante onnexe.

Par la suite, le terme graphe fera référen e à un graphe non-orienté. Nous noterons G(X)lesous-graphedeG=(V;E)induitparX V 'est-à-direayantXpourensemble de sommetsetpour ensembled'arêtes {xy2E|x,y2X}; nousdironsqueG(X)est in lus dansG(in lusionausensdes arêtes).Poursimplierlesnotations,nous é rironssouvent X aulieude G(X)quand il n'y apas d'ambiguïté.

Dénition 1.3.3 Clique, stable; Saturation.

Une lique estun graphe omplet, 'est-à-direun graphe G=(V;E)possédanttoutes les arêtes : E =fxyjx;y2Vg. Un stable (independentset) est un graphe sans arête. Nous

dirons qu'on sature un ensemble X  V de sommets quand on ajoute toutes les arêtes

né essaires pour que G(X) soit une lique.

Dans un graphe G =(V;E), nous appellerons hemin toute suite (x 1

;:::;x k

) de som-mets distin ts tels que 8i 2[2::k℄, x

i 1 et x

i

sont voisins; un tel hemin formeun y le

quand x

k et x

1

sont voisins. Une orde dans un y le est une arête entre deux sommets non onsé utifs, 'est-à-dire une arête x

i x

j

ave ji jj62f1;k 1g.

Dénition 1.3.4 Connexité.

Ungrapheestdit onnexesi,pourtoute paire desommetsdugraphe,ilexisteun hemin quilesrelie.Une omposante onnexed'ungrapheestunsous-graphe onnexenonvide,

maximal au sens du nombre de sommets.

Un graphe non onnexe est don formé d'au moins deux omposantes onnexes non

vides.

Un sommet est dit isolé si son voisinage est vide. Un sommet est dit universel s'il voit tous les autres sommets du graphe. Un sommet non isolé est dit simpli ialsi son voisinageest une lique.

Dénition 1.3.5 Module.

On appelle module (homogeneous set) d'un graphe G=(V,E), toute partie propre X de

Un module X est dit omplet siG(X) est une lique; il est dit omplet maximal side plus au unepartie de Vin luant stri tementX n'est un module omplet.Dans la suitede

e mémoire un module omplet maximal sera dénommé maxmod.

Un sous-ensemble X de sommets sera don un module omplet si et seulement si

8x;y2X, N(x)[fxg=N(y)[fyg.

Théorème 1.3.6 ([BB98℄).

La relation "appartient à un même maxmod"dénit entre les sommets d'un graphe une relation d'équivalen e.

Exemple 1.3.7

Un graphenon orienté onnexe G=(V;E).

V =fa;b; ;d;e;f;g;h;ig etE =fa ;ad;ai;b ;bd;bi; d; h; i;de;ef;eg;fg;fh;ghg.

a

b

d

c

f

g

h

e

i

a est simpli ial : N(a) = f ;d;ig est une lique. fa; ;d;ig et fe;f;gg sont des liques maximales.fa;b;e;hgestunstable. defgh estun y leave deux ordesfheteg; degh est un y le sans orde. ff;ggest un maxmod: N(f)[ffg=fe;f;g;hg=N(g)[fgg. 

Onverradanslasuitequ'ilserautilede ontra terlessommetsd'unmaxmod.Defaçon

général la ontra tion de deux sommetsx et y dans un graphe G est dénie omme

suit : rempla er x ety par un sommetz telque N(z)=N(x)[N(y).

On verra aussi que nous utilisons souvent des s hémas d'élimination, qu'il s'agisse

d'élimination de sommets ou d'arêtes. Un s héma d'éliminationpar sommets onsiste

à itérativement supprimer un sommet du graphe et les arêtes in identes; un s héma

d'élimination par arêtes onsiste à itérativement supprimer une arête du graphe. On

dénit dualement less hémas de omposition par arêtesou par sommets.

1.3.2 Classes de graphes

Dénition 1.3.8 Arbre.

Un arbre est un graphe onnexe et sans y le.

Cara térisation 1.3.9 d'un arbre

 G est onnexe et possède n sommets et m=n 1 ar s;

 G est onnexe et on le dé onne te en retirant une arête quel onque.

 G est sans y le et on rée un unique y le en ajoutant une arête quel onque.  Pourtoute paire fx;yg de sommetsde G, il existeun hemin unique d'extrémitésx

et y.

Théorème 1.3.10

Onpeutorienterd'unemanièreuniqueunarbre enarbores en een hoisissantunera ine parmi n'importe lequel de ses sommets.

Les arbores en essont ainsi souvent appelées arbres enra inés.

Dénition 1.3.11 Graphe biparti (non orienté).

Un graphe G = (V;E) est dit biparti s'il existe une partition de V en X et Y tels que G(X) et G(Y) soient des stables.

Un graphe G = (V;E) est dit o-biparti si son omplémentaire



G = (V;V

2

E) est biparti.

La version orientée de la lasse des graphes bipartis a été présentée dans la dénition 1.1.14. Dans un graphe non-orienté o-biparti, il existe don une partition des sommets en deux liques, ave un ertainnombre d'arêtes reliant es deux liques.

Dénition 1.3.12 Graphe triangulé.

Un graphe G=(V,E) est dit triangulé, ou en ore ordal (triangulated, hordal),s'il ne possède au un y le sans orde.

Lare onnaissan ealgorithmiqued'un graphetriangulésefaiten tempslinéaireàl'aide de l'algorithme Lex-BFS (voir [RTL76℄) ou de l'algorithme MCS(voir [TY84℄). Ces deux

algorithmes sont basés sur un par ours du graphe où le hoix du pro hain sommet à

atteindreestdéterminépar uneMarque.Lessommetsatteintssontnumérotésparordre dé roissantn à1, lepremier sommetde l'ordretotal obtenuétant atteint en dernier.

Dans l'algorithmeLex-BFS, laMarquede haque sommetest une suite d'entiers. Les suites sont omparées en utilisant l'ordre lexi ographique inverse, par exemple : (7)  (6;2)(5;4;2)(5;4)().

Algorithme 1.3.13 Lex-BFS ([RTL76℄)

Donnée : Un graphe G=(V;E).

Résultat : Unenumérotation Numordonnant lessommets de G.

Initialisation

Atteint ;;

i 0;

Pour x2V faire : Marque(x) ();

Début

Pour y2N(x) Atteint faire :

Ajouter lavaleur i+1 à lan de lalisteMarque(y);

Num(x) n i;

i i+1;

Fin.

Dans l'algorithme MCS, la Marquede haque sommetest un entier dont lavaleur est ompriseentre 0et n.

Algorithme 1.3.14 MCS ([TY84℄)

Donnée : Un graphe G=(V;E).

Résultat : Unenumérotation Numordonnant lessommets de G.

Initialisation

Atteint ;;

i 0;

Pour x2V faire : Marque(x) 0;

Début

Tant que Atteint6=V faire :

Choisir x2V Atteinttel queMarque(x) soitmaximal;

Pour y2N(x) Atteint faire :

Marque(y) Marque(y)+1;

Num(x) n i;

i i+1;

Fin.

Dénition 1.3.15 Ordre d'élimination parfait

Un ordre total (x 1

;:::;x n

) sur les sommets d'un graphe G=(V;E) est appelé ordre d'éli-mination parfait (perfe t elimination ordering) quand, pour i 2 [1::n℄, le sommet x

i est simpli ial dans G(x i ;:::;x n ). Théorème 1.3.16 ([RTL76℄, [TY84℄)

Ungrapheesttriangulésiet seulementsil'ordre surlessommetsfournipar uneexé ution de MCS ou de Lex-BFS est un ordre d'élimination parfait.

Ainsi,pour vérier si un graphe est triangulé, on pro èdeen deux temps :

1. Uneexé utionde MCSoude Lex-BFS fournit, en tempslinéaire,un ordre d'élimina-tion parfait (x

1 ;:::;x

n );

2. On vérie, entemps linéaire,que,pouri allantde 1àn, lesommetx i est simpli ial dans G(x i ;:::;x n ).

Dénition 1.3.17 Graphe faiblement triangulé ([Hay85℄).

Un trou dans un graphe est un y le de longueur supérieure à quatre sans orde. Un graphe est dit sans trou (hole-free) quand il n'a au un trou.

Un graphe G est dit faiblement triangulé quand G et



G sont sans trou.

Hayward,quiadéni ette lassedegraphes, aproposépourelleuns héma de ompo-2

re onnaissan e (voir[HSS00℄, [BBH00℄). Ces graphesprésentent des propriétés similaires à ellesdes graphes triangulés (voir[BBH00℄, [BB00℄) qu'ils généralisent.

Nousaurons en ore besoin de quelques lasses de graphes.

Dénition 1.3.18 Graphes sans triplet astéroïdal (AT-Free) ([LB62℄).

Dans un graphe, un triplet fx 1

;x 2

;x 3

g de sommets formant un stable est dit triplet as-téroïdal quand, pour haquepaire fx

i ;x

j

g issu du triplet, il existe un hemin entre x i

et x

j

qui ne passe par levoisinage du troisièmesommet x k

.

Ungrapheestdit AT-free (ATF,sanstripletastéroïdal)quandilnepossèdeau untriplet astéroïdal.

Dénition 1.3.19 Graphes sans griffe (Claw-free).

On appelle law (litt. grie) un graphe isomorphe à K 1;3

. Un graphe est dit Claw-free quand il n'admet pas K

1;3

omme sous-graphe.

Dénition 1.3.20 Graphes d'intervalles.

Un graphe G=(V;E) est un graphe d'intervalless'il existe une bije tion ' de V vers un ensemble I d'intervalles de IR telle que xy2E ()'(x)\'(y)6=;.

Dénition 1.3.21 Graphe d'intervalles propres.

Un graphe d'intervalles est dit graphe d'intervalles propres quand il peut être déni ave un ensemble d'intervalles dans lequel au un intervalle n'est in lus proprement dans un autre.

Pour plusdepré isionssurlesgraphesd'intervallespropres,seréférerà[LB62℄,[Rob69℄ et [Gol80℄.

Exemple 1.3.22

Quelques exemplesde graphes onnexes..

c

g

j

h

e

d

f

a

b

i

b

a

c

d

e

z

y

x

a

b

d

c

f

g

h

e

i

a

b

d

c

f

g

h

e

i

a

f

d

b

e

c

est un graphe biparti; il orrespond à la fermeture symétrique du grapheorientéGdel'exemple1.1.16.G

3

est triangulé.G 4

estfaiblementtriangulé;iln'est pas triangulé ar deh est un y le de taille4sans orde. G

5

est un graphe sans trou;il n'estpas faiblementtriangulé arab defa estun y lesans ordede son omplémentaire. LegrapheGdel'exemple1.3.7apourtrou degh etn'estdon pasfaiblementtriangulé, ni triangulé.

1.3.3 Séparateurs minimaux

La notion de séparateur minimal a été introduite par Dira en 1961 ([Dir61℄) pour

ara tériser la famille des graphes triangulés. Généralisée à des graphes quel onques, la notion a été très étudiée dans la dernière dé ennie ave les travaux de Kloks, Krats h et Spinrad ([KKS93℄ et [KK98℄), de Parra et S heer ([PS95℄ et [Par96℄), de Todin a ([Tod99℄), ainsi que de Berry et Bordat (voir notamment [Ber98℄ et [BBC00℄).

La puissan e de e nouvel outil d'étude des graphes a fournides résulatsthéoriques et algorithmiquesmajeurspourladé ompositiond'ungraphe(voirlasous-se tionsuivante).

Un ertain nombre de propriétés sur la séparation sont utilisées sans que la preuve en aitjamaisétépubliée.Nousprésentons don i ilespreuves despropriétés utiliséesquand ellesnegurentpasexpli itementdansunepubli ationouquandànotre onnaissan e es propriétés sont nouvelles.

Dénition 1.3.23 Séparateurs.

 On appelle séparateur dans un graphe onnexe G = (V;E) toute partie propre S de

V dont le retrait dé onne te legraphe (autrement dit,G(V S) omprend au moins deux

omposantes onnexes).

 UnséparateurS estdit ab-séparateur sidansG(V S) lessommetsa et b se trouvent dans deux omposantes onnexes distin tes.

 Un ab-séparateur S est dit minimal si au un sous-ensemble propre de S n'est un

ab-séparateur.

 Un séparateur S est dit minimal s'il existe deux sommets a et b tels que S soit un ab-séparateur minimal.

Un séparateur permet don de partitionnerles sommetsdu grapheen e séparateur et lesdiérentes omposantes onnexes queson retraitinduit.

La dénition d'un séparateur peut se généraliser aux graphes non- onnexes en

onsi-dérant omme séparateur d'un graphe non- onnexe tout séparateur d'une omposante

onnexe du graphe. La séparation dans un graphe non onnexe nous ramène ainsi à la

séparation dans un graphe onnexe, en raisonnant sur la omposante à dé onne ter au

lieude raisonner sur tout le graphe.

La dénition de la séparationse traduiten termes de hemin omme suit :

Cara térisation 1.3.24

Soient G=(V;E) un graphe,S V et x;y2V S.

 S est un xy-séparateur de G si et seulement si tout hemin reliant x et y passe par

au moins un sommet de S;

 De plus, S est minimal si et seulement si tout sommet de S appartient à un hemin reliant x et y et ne passant par au un autre sommet de S.

ga-Corollaire 1.3.25

Soient G = (V;E) un graphe, x et y deux sommets de G et S  V. Si S est un

xy-séparateur alors il existe un xy-séparateur minimalT S.

Preuve : Soit S est lui-même xy-séparateur minimal;soit e n'est pas le as et, par la ara térisation 1.3.24, il existe un sommet z de S qui n'est sur au un hemin reliant x et y sans passer par un autre sommet de S. S fzg est alors un xy-séparateur. On peut retirer de S tous les sommets qui partagent ette propriété ave z, et obtenir ainsi un xy-séparateur minimal.



Corollaire 1.3.26

Soient G = (V;E) un graphe onnexe. Si x et y sont deux sommets non voisins de G,

alors G possède un xy-séparateur minimal.

Preuve : G(fx;yg) n'est pas onnexe puisque x ety ne sont pas voisins. V fx;yg est non videpuisqueG est onnexeetqu'il ya don un hemin entre xety quipasse par au moinsunautresommet.Par onséquent,leretraitdeV fx;ygdé onne teGenaumoins deux omposantes onnexes ontenant respe tivement x et y; don V fx;yg est un xy-séparateur. Le orollaire 1.3.25 permet d'armer alors que G possède un xy-séparateur minimal.



Il est important de noter qu'un séparateur qui sera minimal pour la séparation d'une pairexyde sommetsdonnéeneserapasfor émentminimalpourlaséparationd'uneautre paire ab, ni même séparateurpour ette autre paire.

Dénition 1.3.27 Composante pleine.

Soit S un séparateur d'un graphe G = (V;E) et soit C une omposante onnexe de

G(V S). C est dite omposante pleine pourS quand N(C)=S.

Cara térisation 1.3.28 d'un séparateur minimal.

Soit G = (V;E) un graphe. Un séparateur S  V de G est un séparateur minimal si et

seulement siG(V S) admet au moins deux omposantes onnexes pleines.

Cette propriété, utilisée depuis des années, notamment dans [Ber98℄, est di ile à at-tribuer àun auteur parti ulier; nous en donnons une preuve i-dessous.

Preuve : Soit Gun graphe.

=)

Soient a et b deux sommets de G et S un ab-séparateur minimal. Supposons que

S induise au plus une omposante pleine. Par dénition d'un séparateur, il existe

une omposanteC

1

induitepar S qui n'est pas pleine.On peut supposer, sans perte de généralité, que a2C

1

. Comme C

1

n'est pas pleine, il existe dans S un sommet x qui ne voit pas C

1

; en parti ulier, l'arête xa est absente. Don S fxg est aussi ab-séparateur, ainsi S n'est pas minimal pour la séparation de a et b, e qui est en

(=

Soit S un séparateur de G qui induit au moins deux omposantes pleines C 1 et C 2 . Soient a2C 1 et b2C 2

. S est un ab-séparateur minimal; en eet, soit un sommet x

quel onque de S. S fxg ne sépare pas a de b ar il y a un hemin entre a et x

(puisqueC 1

est omposante pleine) etun hemin entre b et x. 

Nouspouvonsendéduirele orollairesuivant,quinousserautilepour ertainespreuves.

Corollaire 1.3.29

Soient Gun graphe,S un séparateurminimal induisantles omposantes onnexes pleines C

1 et C

2

. Tout sommet de S a un voisin dans C 1

et un voisin dans C 2

, lesquels voisins ne se voient pas.

Preuve : Soient G un graphe, S un séparateur minimal induisant les omposantes

onnexes pleinesC 1 etC 2 . Comme C 1 et C 2

sont deux omposantes pleines, elles vérient N(C 1

)=N(C 2

)=S; don

tout sommetde S est voisin d'un sommetde C

1

et d'un sommet de C

2

. Soit x2S ayant

notammentpour voisins y

1 dans C 1 et y 2 dans C 2

; puisque S est un séparateur,y 1

et y 2 ne peuvent être voisins.



Exemple 1.3.30

Séparateurs dans legraphe G de l'exemple1.3.7.

di est un séparateur minimal omplet ar il est minimalpour la séparation de a et b et il est omplet. di induit les omposantes pleines fag, fbg et la omposante non pleine fe;f;g;hg(ine voitau unsommetde ette omposante). disépareaussi a de h,maisil n'est pas minimal pour ette séparation ar d sut pour séparer a eth.

fd;hg est un séparateur minimalnon omplet. 

Pour terminer es rappels sur les séparateurs minimaux, nous présentons maintenant lanotion de séparateursminimaux roisants,qui sera utiliséeau hapitre4.

Dénition 1.3.31 ([KKS93℄).

Soit S et T deux séparateurs minimaux d'un graphe G. On dit que T roise S quand il

y a dans G(V S) deux omposantes onnexes diérentes C

1 et C 2 telles que T \C 1 6=; et T \C 2 6=;. Cara térisation 1.3.32 ([Par96℄).

Un séparateur minimal d'un graphe G est omplet si et seulement si il ne roise au un autre séparateur minimal de G.

Propriété 1.3.33 ([PS95℄).