Effets de taille quantiques dans l'élastorésistance de couches minces de bismuth

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Effets de taille quantiques dans l’élastorésistance de couches minces de bismuth

Le Contellec, J.Y. Le Traon, H.A. Combet

To cite this version:

Le Contellec, J.Y. Le Traon, H.A. Combet. Effets de taille quantiques dans l’élastorésistance de couches minces de bismuth. Journal de Physique, 1971, 32 (7), pp.553-559.

�10.1051/jphys:01971003207055300�. �jpa-00207110�

EFFETS DE TAILLE QUANTIQUES

DANS L’ÉLASTORÉSISTANCE DE COUCHES MINCES DE BISMUTH

par LE

CONTELLEC,

^{J. Y. LE TRAON et H. A. COMBET}

C. N. E. T., ^{Centre de} Recherches de

Lannion, 22,

^Lannion

(Reçu

^{le 19}

février 1971)

Résumé. ²⁰¹⁴ Nous avons étudié l’élastorésistance de couches minces de bismuth _par la mesure du coefficient de jauge transverse kT à 300 °K et 77 °K. Les valeurs obtenues à 77 °K sont essentielle- ment liées à une variation du nombre de porteurs lors de la déformation. Les variations de kT en

fonction de l’épaisseur ^{des couches et} de leur déformation s’expliquent ^par l’influence de la quantifi-

cation des niveaux d’énergie dans les bandes de valence et de conduction du bismuth.

Abstract. ²⁰¹⁴ We have studied the elastoresistance of bismuth thin films by measuring ^{the trans-}

verse gauge factor kT at 300 °K and 77 °K. The values of kT at 77 °K are essentially ^{related to the}

variation of the carrier density during the deformation. The variations of kT with film thickness and deformation can be understood when the quantification ^of energy levels in the valence and conduc- tion bands of bismuth is taken into account.

Classification Physics Abstracts :

17.10

1. Introduction. ^- L’élastorésistance d’un solide conducteur peut ^{être définie} par l’intermédiaire du coefficient de

jauge k

liant la variation relative de résistance

ÔRIR

^à la variation relative de

longueur bL/L

lors d’une déformation : k ⁼

ÔRIÔL .

^{R JL Les valeurs de}

ce coefficient k dans le bismuth massif sont relative-

ment élevées et permettent

d’envisager

^des

applica-

tions. Un certain nombre d’études ont

déjà

^{été faites}

sur les couches minces de ce matériau _pour étudier l’influence de

l’épaisseur

^et des conditions de

prépa-

ration

[1], [2]. Cependant,

^le bismuth très mince

présente

^des

propriétés particulières

^{liées aux effets de}

la

quantification

^{du mouvement} transverse des élec-

trons

[3].

Ces effets ont été mis en évidence sur la conductivité

[4] ;

nous avons étudié l’influence de cette

quantification

^{sur les}

propriétés

élastorésistives

en mesurant les coefficients de

jauge

^de couches très minces à 300 et 77 OK.

II. Méthode

expérimentale.

^{- II.1} PRÉPARATION

DES COUCHES. - Les couches sont

préparées

par éva-

poration thermique

^et condensées sur des substrats en

plexiglass

^à

température

^{ambiante. La}

pression

^rési-

duelle dans l’enceinte est inférieure à

10-’

torr

pendant l’évaporation.

^Le contrôle de

l’évaporation

^{est réalisé}

à l’aide d’un

analyseur

^de gaz

quadripolaire placé

^sur

le

trajet

du faisceau de vapeurs

métalliques.

^L’ionisa-

tion des atomes

métalliques

^{fournit un courant pro-}

portionnel

à la densité d’atomes et par

conséquent

^à

la vitesse

d’évaporation

du matériau

[5]. L’épaisseur

totale du

dépôt

^est déterminée en mesurant la

quantité

totale de

charges recueillies,

c’est-à-dire en

intégrant

la courbe du courant

ionique

^en fonction du temps.

Les vitesses de condensation choisies sont de l’ordre de 2 à 3

A/s

^{et sont} maintenues constantes au cours

du

dépôt.

Les masques utilisés nous permettent ^de

déposer

sur un même substrat

cinq

^{couches de forme} rectangu- laire

(12

^{mm x 1}

mm).

^Les

dépôts

^ainsi

préparés

^ont

une forte texture avec l’axe

trigonal perpendiculaire

au

plan

^{du substrat}

[4].

^{Ils se}

présentent

^{comme une}

juxtaposition

^de

grains

^{dont la dimension} moyenne

dg dépend

^{de la vitesse de}

condensation ;

^{dans notre cas}

dg

^est

supérieure

^à

l’épaisseur

^du

dépôt.

Il. 2 DISPOSITIF DE MESURE. ^- La déformation de la couche est créée _par la flexion

plane

^du support encastré à une extrémité

(Fig. la).

^{La couche est}

soumise à une tension ou à une

compression

^selon

qu’elle

^est

placée

^{d’un côté ou de} l’autre du support.

L’allongement

^{relatif de la couche est} défini par :

h : flèche

imposée

^à l’extrémité du support,

t :

épaisseur

^du support,

Lo : longueur

^{de la}

partie

^{libre du} support, xo : distance de la couche à l’extrémité

libre,

L : dimension de la couche mesurée dans le sens

de la déformation.

La variation de résistance est mesurée par ^une méthode

classique d’opposition,

^{la couche étant ali-}

mentée en courant continu. Dans notre cas nous mesurons une variation de résistance

perpendiculaire-

ment à la déformation ce

qui

^{nous conduit à une}

valeur de coefficient de

jauge

transverse

kT =ÔR ÔL RIL

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01971003207055300

554

Nous avons vérifié la

proportionnalité

^de

ÔRIR

^{à la}

distance _{xo et à}

l’épaisseur t

du support.

Des

précautions

^{sont à}

prendre

^{dans la mesure du}

coefficient de

jauge

^à

température ambiante ;

^en

effet,

si nous

appliquons

^une contrainte sous forme d’une fonction échelon du temps, ^{nous observons une varia-} tion

rapide

de résistance à

l’instant t 1 d’application

^de

FIG. la. ^- Dispositif d’application de la déformation Lo = 26 mm, xo=l9mm, t = 1 mm ;

b. ^- Phénomène de relaxation.

la contrainte suivie d’une décroissance lente

jusqu’à

une stabilisation à

l’instant t2 (t’2

- t’, - 1 minute :

Fig. lb).

^{Nous utilisons la valeur de la résistance}

l’instant t2

pour le calcul du coefficient de

jauge.

Pour les mesures à 77 OK, l’ensemble du

système

^est

plongé

^{dans un dewar contenant de l’azote}

liquide.

III. Résultats

expérimentaux.

- III. 1 COEFFICIENT

DE JAUGE EN FONCTION DE L’ÉPAISSEUR. ^- Nous avons

mesuré le coefficient de

jauge

^à

température

^ambiante

FIG. 2. ^- Coefficient de jauge ^en fonction de l’épaisseur ^à

300 OK.

pour des flèches de

50/100

^{mm en} fonction de

l’épais-

seur d des

dépôts (Fig. 2).

^Les

points expérimentaux correspondent

à des séries de quatre ^couches

placées

de

façon étagée

^dans

l’évaporateur

pour obtenir des

épaisseurs

échelonnées.

Nous observons une forte variation du coefficient de

jauge

pour des

épaisseurs

inférieures à 400

A

et des minima au

voisinage

^de

400,

^{800 et 1 100}

A.

Nous avons confirmé ces anomalies ^en suivant l’évo- lution au cours du temps de couches

d’épaisseur

voisine de 400

A.

On peut ^{se rendre} compte ^{sur la}

figure

^{3 que} le coefficient de

jauge

passe par ^un maxi-

mum si

l’épaisseur

^{initiale est} inférieure à

l’épaisseur do -

^{420 A de la}

figure

2, ^et

qu’il présente

^{d’abord un}

FIG. 3. ^- Variation du coefficient de jauge ^{en fonction du} temps pour les couches d’épaisseur voisine de 400 A.

minimum dans le cas contraire. Cette variation peut être attribuée à une diminution de

l’épaisseur

^effective

du

dépôt

par

oxydation superficielle :

^{nous avons}

vérifié en effet que

l’adsorption

^{des gaz} n’influe pas

sur la valeur du coefficient de

jauge ;

^{pour cela à un}

instant donné nous avons fait désorber les couches

sous ultra-vide.

La valeur de

kT

^diminue alors très faiblement

quelle

que soit

l’épaisseur

^{de la couche pour}

reprendre

ensuite sa valeur initiale.

III.2 VARIATION DU COEFFICIENT DE JAUGE EN FONCTION DE LA FLÈCHE. ^- Nous avons mesuré la variation de résistance des couches ^en fonction de la flèche h à

température

^{ambiante et} à 77 OK. Les valeurs

positives

^{de bR}

correspondent

^{à une tension}

et les valeurs

négatives

^{à une}

compression.

La résistance varie de

façon

^{monotone en fonction}

de la flèche à

température

^{ambiante et ceci}

quelle

que soit

l’épaisseur

^{de la couche}

(Fig. 4).

^{A 77}

OK,

FIG. 4. ^- Variation de résistance des couches en fonction de la flèche à 300 °K.

les variations de résistance sont monotones pour les couches

épaisses

^mais

présentent

des accidents _pour des couches de

plus

^faibles

épaisseurs (Fig. 5).

FIG. 5. ^- Variation de résistance des couches en fonction de la flèche à 77 OK.

Sur la

figure 6,

nous avons retraduit _pour les couches les

plus minces,

^ces variations de résistance en varia- tions de

kT

^{en fonction de} la flèche. Les accidents observés sur la

figure

⁵

apparaissent

^encore

plus

nettement ; ^{il en existe} de deux types ayant ^des

ampli-

tudes différentes. Les accidents du type ^{I sont observés}

sur toutes les couches et

correspondent

^{à des varia-}

tions faibles de

kT ;

^{ceux de} type ^{II sont}

uniquement

FIG. 6. ^- Variation du coefficient de jauge ^{en fonction de}

la flèche à 77 OK.

observés sur les couches de 750

A

et 1 120

A (voir Fig. 6),

^{ils sont} caractérisés par ^une forte variation du coefficient de

jauge

^{avec un}

changement

^de pente dans la courbe

kT

⁼

f (h).

IV.

Interprétation

des résultats. ^- IV .1 MODIFICA-

TION DE LA STRUCTURE DE BANDES LORS DE LA

DÉFORMATION. ^- La structure du bismuth est celle d’un semi-métal avec un faible recouvrement entre la bande de valence et la bande de conduction. Les valeurs des différentes

énergies caractéristiques

^sont

indiquées

^{sur la}

figure

^7.

Sous l’effet d’une déformation il _y a

déplacement

relatif de la bande de conduction _par rapport ^{à la}

FIG. 7. ^- Structure de bandes du bismuth massif.

556

bande de

valence ;

^{on obtient selon}

Keyes [6]

^une

variation de recouvrement des bandes du bismuth massif telle _{que :}

41 :

recouvrement sous

déformation,

81’ E2 ^et 83 : déformations suivant les axes

1,

^{2 et 3}

(1 :

^axe

binaire,

^{3 : axe}

trigonal,

^{2 : axe}

perpendicu-

laire à 1 et

3).

Ei

^et

E2 : potentiels

^de déformations

(El ^{= - E2}

⁼

= 2,8 eV [7]).

8i ^est considéré comme

positif

pour ^un

allongement.

Soit une couche mince

présentant

^{une texture avec}

l’axe

trigonal perpendiculaire

^au

plan

du substrat et

appliquons

^une contrainte suivant la direction x

(Fig. 8).

^{La matrice}

représentative

^{du tenseur des}

déformations dans le

système

oxyz est :

Soit a

l’angle

^{de la direction x et de la direction 1}

liée à un cristallite de la couche.

Dans le

système

^{d’axes de ce}

cristallite,

^{la matrice}

des déformations s’écrit :

FIG. 8. ^- Application ^d’une contrainte à un dépôt présentant

une texture.

En prenant la valeur _moyenne sur a pour tenir compte de l’orientation arbitraire des cristallites dans le

plan

xy, ^cette matrice s’écrit :

Pour une contrainte T

appliquée

^au support ^nous

avons des déformations :

E et u : module

d’Young

^et coefficient de Poisson du support. ^La couche subit les déformations _{e,,., et} eyy

qui

^{lui sont}

imposées

par le support ^{et une défor-} mation _Bzz

qui

^{lui est} propre

(Bzz ^El

^{T, E’ et}

a’ : module

d’Young

^et coefficient de Poisson du bis-

muth suivant l’axe

trigonal). Compte

^{tenu de la rela-}

tion

(3)

^{la relation}

(2)

^{s’écrit :}

Nous voyons donc _que la variation de recouvrement

ne

dépend pratiquement

que de _{Gxx que} nous noterons par la suite _Ex.

IV. 2 INFLUENCE DES MOBILITÉS SUR LE COEFFICIENT DE JAUGE DES COUCHES MINCES. ^- Selon Abelés et Meiboom

[8],

la conductivité mesurée

perpendiculai-

rement à l’axe

trigonal

^{est :}

n ⁼ p : densité des électrons et des trous ; y,, vi : mobilités des électrons et des trous.

Lorsque

l’échantillon est soumis à une

déformation,

nous avons une variation de conductivité donnée _{par :}

Dans le modèle à deux bandes

paraboliques,

^la

variation du nombre de porteurs ^sous

contrainte,

compte ^tenu de la relation

(2)

^est

[7] :

Ef, E; : énergies

^{de Fermi} des électrons et des trous ;

F,I, F’ désignent l’intégrale

^{de Fermi et sa dérivée.}

Pour une

dégénérescence complète

du fluide élec-

tronique,

la variation du nombre de porteurs ^se réduit à :

A

4,2

OK, ^Jain

[7]

^a trouvé pour le bismuth massif

Suivant la relation

(5)

^le rapport ^entre la variation du nombre de porteurs ^{à 77 OK et}

4,2

^{OK est}

égal

^à

1,4 ;

^{de sorte} que _q

ôn

- 88 pour le bismuth

nex, 77

^{oK p}

massif. La valeur du coefficient de

jauge

^{mesuré à}

77 OK est d’environ _{73 pour} les couches les

plus épaisses ;

^{il ne}

dépend pratiquement

que de la varia- tion du nombre de porteurs. ^{Ceci se}

comprend ;

^en

effet les mesures de conductivité en fonction de la

température [4]

^montrent que les mobilités dans les couches

évaporées

^sont essentiellement limitées _par la taille de

grains

^et

qu’elles

^varient peu ^avec la

tempé-

rature. Lors de

l’application

d’une contrainte il _y a

bien une déformation

« géométrique »

^des

grains,

mais cet effet dimensionnel n’influe

pratiquement

^pas

sur la mobilité.

IV. 3 EFFETS LIÉS A LA QUANTIFICATION DES NIVEAUX

D’ÉNERGIE. ^-

Lorsque l’épaisseur

^{des couches devient}

comparable

^aux

longueurs

d’onde de De

Broglie

associées au mouvement transverse des électrons et des trous, la

quantification

^{de leur} mouvement est mise en évidence. Ces effets ont été observés par de nombreux auteurs

[9]-[15] principalement

par des

mesures de conductivité ^et d’effets

galvanomagnétiques.

L’énergie

transverse des électrons

comptée

^à

partir

du fond de la bande de conduction du matériau massif est :

m *

^masse eflïcace des électrons suivant l’axe

trigonal.

De même

l’énergie

^{des trous}

comptée

^à

partir

^du

sommet de la bande de valence est :

m 3 :

^masse efficace des trous.

La valeur du recouvrement des bandes _pour une

couche

d’épaisseur d,

^{diminue de}

par rapport ^à celle du bismuth massif et peut ^s’annuler pour ^une

épaisseur critique do

^telle que :

IV.3.1

Interprétation

^{de la variation du}

coefficient

de

jauge

^en

fonction

^de

l’épaisseur.

^-

Compte

^{tenu des}

valeurs

respectives

^de

m*

^et

m*

que ^nous prenons

égales

^à

0,05

mo et mo

[16],

^on peut ^en

première

appro- ximation

négliger

^la

quantification

dans la bande de valence.

L’épaisseur critique do

du film mince est alors définie _{par :}

A la valeur

d ô

^sous

contrainte,

^nous pouvons de même faire

correspondre

^une

épaisseur critique do’

telle _{que :}

La variation de

l’énergie

^{de Fermi des trous avec}

l’épaisseur

^est du second ordre _par rapport ^au

dépla-

cement des

sous-bandes,

^nous

prendrons

^{dans les}

relations

(8)

^et

(9)

^cette

énergie égale

^à celle du maté- riau massif. De

plus

^nous admettrons _que lors de la

déformation,

^la

position

des sous-bandes

d’énergie

reste

inchangée

dans la bande de conduction.

Pour une couche

d’épaisseur d supérieure

^à

do,

^on

a selon Sandomirskii

[3]

^{un nombre de} porteurs ^à très basse

température

^{donné par :}

[d/do] : partie

entière de

d/da.

yïoo nombre de porteurs ^{dans une couche}

d’épais-

seur infinie. Sous

déformation,

nous aurons une varia- tion bn du nombre de porteurs ^{liée à} la variation

b(da)

de

l’épaisseur critique. D’après

les relations

(8) (9)

^et

(4)

nous avons :

D’où une variation relative du nombre de porteurs donnée _{par :}

Dans la suite du

calcul,

^{nous ne tiendrons} pas compte ^de

bn,,,In,, qui

^est

indépendant

^de

l’épaisseur.

Pour une

déformation Ex donnée, l’équation (11)

permet ^{de tracer}

bnln

^en fonction de

l’épaisseur

(Fig. 9a).

558

Dans le même modèle de

Sandomirskii,

^{la mobilité}

est donnée _{par :}

D’où:

Sur la

figure

^9b nous avons tracé

by/y

^{en fonction}

de

l’épaisseur

pour le même e,, que

précédemment.

FIG. 9. ^- Variations théoriques ^{à très basse} température (en ^unités arbitraires) a) du nombre de porteurs ; b) ^{de la mobi-} lité ; c) de la résistance en fonction de l’épaisseur ^réduite dJdo.

Les relations

(11)

^et

(12)

^nous fournissent la varia- tion de

bRIR (Fig. 9c) ;

^{cette variation est à comparer}

à celle du coefficient de

jauge

^en fonction de

l’épais-

seur

(Fig. 2).

^Les variations observées sur

kT

^{à 300 °K}

sont du même type ^{et se} marquent ^en

particulier

par des transitions brutales aux

voisinages

^de

do, 2 do

et 3

do ;

^{la valeur}

do

^{dans notre cas est voisine de 400}

^A.

On peut remarquer que les variations du coefficient de

jauge

^sont

plus proches

^{de celles de}

bnln

que celles

de

BRIR.

^Ceci

s’explique

par le fait

qu’à

³⁰⁰

OK,

^les effets de surface sur les mobilités sont faibles _par rapport ^aux effets de volume et par

conséquent

l’effet de la

quantification

^{sur les mobilités est}

négli- geable

^{à cette}

température.

Pour une couche

d’épaisseur

inférieure à

do, le

nombre de porteurs ^{est une fonction}

exponentielle

de la bande interdite

[3].

^{La valeur de cette bande}

interdite est :

Le nombre de porteurs ^est alors donné _{par :}

(A :

^constante

qui dépend

^{des masses} efficaces des électrons et des

trous).

Nous obtenons dans ce cas un coefficient de

jauge kT

tels que :

Sur la

figure

10, nous avons tracé

kT

⁼

f(lld2) ;

la loi définie par la relation

(13)

^{est bien vérifiée} par les couches inférieures à 300

Á.

La droite

expérimen-

tale nous donne un

potentiel

^de déformation

El

⁼

2,5

eV pour

do

^{= 36}

meV ;

^{cette valeur est en}

bon accord avec celle fournie par Jain

[7].

FIG. 10. - Variation du coefficient de jauge ^{en fonction}

de 1/d2 pour des couches d’épaisseur ^d do.

IV. 3. 2 Variation du

coefficient

^de

jauge

^en

fonction

de la contrainte. ^-

D’après

la relation

(11),

pour ^une

épaisseur

^donnée

^d,

nous aurons une discontinuité dans la fonction

(jn

ⁿ

^{= f (BJ chaque}

^{fois que la}

partie

entière de

dl db change

de valeur.

Physiquement

cela

correspond

^au passage d’une sous-bande

d’énergie

d’une

position

au-dessus du niveau de Fermi sans

contrainte à une

position

au-dessous du niveau de Fermi ^sous contrainte ou inversment suivant le sens de la contrainte.

Si l’on _pose

(q : entier)

^{nous obtenons :}

Nous pouvons écrire une relation

analogue

^pour

les trous en

remplaçant m 3

par

m 3

^et

do

par

l’épais-

seur

critique di correspondant

^{à la}

quantification

des trous.

Sur la

figure 11,

nous avons

tracé Gx = f(I Id’)

pour différentes valeurs de _q, pour les électrons et les trous en prenant

do

^{= 400}

^Á

^et

dl =

⁵⁰

^Á.

^Les

FIG. 11. ^- Variations théoriques ^en fonction de 1/d2, ^des

valeurs de 8z pour lesquelles ^se produisent les accidents dans les courbes kT ⁼ f(8.1)-

droites obtenues

correspondent

^aux différentes sous-

bandes

d’énergie.

^{Nous avons}

reporté

^{sur la}

figure 12,

la

position

^des accidents’ observés dans les varia- tions de

kT

^{en fonction de}

1 1 d2

^{pour des couches}

soumises à une

compression

^{et à une} tension. Il est intéressant de _remarquer que les

points expérimen-

taux

s’alignent

^sur des droites et que la

périodicité

observée

(intersection

^{avec l’axe des}

abscisses)

^{est de}

l’ordre de 45

Á.

Cette valeur est voisine de celle trouvée par Fesenko

[15]

par des mesures de conductivité en fonc-

Fie. 12. ^- Variation en fonction de 1 Jd2 des valeurs de la flèche h _pour lesquelles ^on observe les accidents dans les courbes

kT ⁼ f (h) ^{à 77 oK.}

tion de

l’épaisseur.

Nous pouvons l’attribuer à la

quantification

^{des trous dans la bande de}

valence ;

la masse efficace

correspondant

^{à cette}

valeur,

^en prenant

l’énergie

^{de Fermi}

égale

^{à 11}

meV,

^{est de}

1,4

mo.

Les anomalies du type ^{II observées sur les couches} de 750

A

et 1

120 A correspondent

^{à la}

quantification

des

électrons ;

^{celle-ci n’est visible} que pour les couches

d’épaisseur d

voisine de

do,

²

do

^{comme le}

montrent les courbes

théoriques

^{de la}

figure

^11.

Conclusion. ^- L’étude de l’élastorésistance de couches très minces de bismuth nous a

permis

^de

montrer que les effets d’une déformation sur les variations de résistivité constituent une méthode de choix pour l’étude des effets de taille

quantiques

^dans

les couches minces.

A

température ambiante,

^la

quantification

^du

mouvement transverse des électrons est visible. Elle

se traduit _{par des} oscillations des valeurs du coefficient de

jauge

^avec

l’épaisseur

^des

dépôts.

A la

température

de l’azote

liquide,

^la

quantification

du mouvement des trous peut elle-même être décelée par l’étude des variations du coefficient de

jauge

suivant l’intensité de la contrainte

appliquée.

Remerciements. ^- Nous remercions M. Richard pour ^son aide

expérimentale

^{au cours de ce travail.}

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