Analyse, séance 3 : cours
E XEMPLE CANONIQUE DE PROBLÈME ELLIPTIQUE
Le problème de Poisson : analyse du problème
Objectifs
Nous avons étudié en exercice (séance 3) l’approximation d’un problème aux limites pour une équation différentielle. Nous avons étudié (séance 1 et 2) le problème de Poisson dans des do- maines simples avec des méthodes analytiques. Nous allons étudier ce problème en introduisant des méthodes qui s’appliquent à des domaines de forme quelconque et qui s’étendent aux pro- blèmes aux limites pour des systèmes d’équations aux dérivées partielles elliptiques quelconques.
Rappel : les équations aux dérivées partielles sont des équations posées dans des espaces de di- mension infinie et elles n’admettent pas en général de solution explicite. On ne peut que calculer une solution approchée qu’on ne fait dépendre a priori que d’un nombre fini d’inconnues. Le pas- sage d’un problème continu (recherche d’une fonction quelconque) à un problème discret (avec un nombre fini d’inconnues) a déjà été étudié dans en dimension 1 par la méthode des différences finies et la méthode des éléments finis. Nous allons étudier la méthode deséléments finisdans un cadre beaucoup plus général qui s’applique à des domaines de forme quelconque.
Ce document est un résumé du cours. Il correspond aux chapitres 4 et 7 du polycopié.
f(x) u(x)
Γ0
Γ0 u = 0
u = 0 - k ∆ u = f
FIG. 1 – Une membrane tendue
Le problème
Etude de la flexion d’une membrane tendue, comme la membrane d’un tambour. On suppose que la membrane est fixée sur le bord, fortement tendue, et soumise à un effort normal. On veut calculer
Données et hypothèses
La membrane occupe au repos un domaineΩde bordΓ0. Il lui est appliquée une pressionf(x) qui crée une flècheu(x)au pointx= (x1, x2).
Modèle physique
Si la flèche reste faible les efforts résultant des déformations élastiques sont négligeables devant les efforts dus à la tension. On fait de plus l’hypothèse (plus simplificatrice que réelle) que la tension est constante et isotrope, c’est à dire que les contraintes tangentielles sont définies par une matrice scalaire :
σ=kId oùkest une constante positive.
Principes mécaniques
On peut utiliser différents principes de la mécanique pour poser un problème de statique : – Les équations d’équilibre :
La résultante des efforts exercés sur une partie quelconque de la membrane en équilibre est nulle.
– Le principe des travaux virtuels :
Pour tout (petit) déplacement cinématiquement admissible autour de la position d’équilibre la somme des travaux des efforts internes est égale à la somme des travaux des efforts appliqués.
– Le principe du minimum de l’énergie potentielle :
La position d’équilibre réalise le minimum de l’énergie potentielle totale, pour toutes les posi- tions admissibles de la membrane
Nous allons définir précisément ces trois formulations du problème et en montrer l’équivalence. Ce sont les deux derniers principes (formulation dite énergétique ou variationnelle ou encore, en math, formulation faible), qui nous serviront à définir une approximation du problème.
Modèle mathématique
Rappel, hors programme : la méthode de l’équilibre local
On écrit pour une partie quelconqueωde la membrane, les conditions d’équilibre, sur la déformée deω, des contraintes~σnsur son bord (abscisse curviligneset normale~n) et de la densité de forcesfà l’intérieur. On projette ces conditions sur un axe vertical, en utilisant l’approximationsin(θ) = tan(θ) oùθ, est l’angle, petit, d’une tangente à la surface déformée avec l’horizontale ), on obtient :
Z
∂ω
k ∂u
∂nds+ Z
ω
f dω= 0
En utilisant la formule deGreen(cf. fin du document), et en admettant queu ∈ C2(Ω), on en déduit
Proposition 1 La fonctionu(x)qui définit une position d’équilibre est solution duproblème aux li- mites:
u(x) = 0 six∈∂Ω
−Div(kGradu)(x) =−k∆u(x) =f(x) six∈Ω (1) (Attention aux notations : Gradu est le gradient de la fonctionu, DivΦ est la divergence d’un champ de vecteurΦ.)
FIG. 2 – Coupe dans le plan vertical d’un vecteur~nnormal au bord deω, noter quetanθ= ∂u∂n etk~σnk=k.
On notera que les équations d’équilibre sont écrites ici sur la déformée ce qui correspond à un modèle mécanique degrande déformation(cf. le cours de M.M.C.).
Formulation faible
SoitV l’espace des fonctions continues surΩ, qui sontC1par morceaux (notion qui sera précisée ultérieurement), etV0 ⊂V le sous-espace des fonctions nulles sur le bordΓ0. La fonctionu∈C2(Ω) est solution du problème (1) si et seulement siuvérifie :
u∈V0
∀v∈V0
Z
Ω
−Div(kGrad u)v dΩ = Z
Ω
f v dΩ (2)
(Pour la réciproque on admettra le lemme suivant pouru∈C(Ω): {∀v∈V0
Z
Ω
u v dΩ = 0}=⇒u= 0 (3)
si nécessaire...) puis, en utilisant la formule deStokes(cf. fin de ce document), montrer l’équivalence du problème (1) et duprincipe des travaux virtuelspour une solutionu∈C2(Ω):
u∈V0
∀v∈V0
Z
Ω
kGradu .Gradv dΩ = Z
Ω
f v dΩ (4)
Une telle formulation du problème différentiel (1) s’appelle uneformulation faible. Les formulations ausens des distributionssont un autre exemple de formulations faibles. Remarquer que ces formula- tions ne sont équivalentes à la formulation initiale que pour une fonctionurégulière (iciu∈C2(Ω)), mais elles sont plus générales et elles gardent notamment un sens lorsque les données sont disconti- nues contrairement à la formulation locale (1). On pose :
a(u, v) = Z
Ω
kGradu .Gradv dΩ (5)
L(v) = Z
f v dΩ (6)
On peut écrirele principe des travaux virtuels sous forme abstraite:
u∈V0 (7)
∀v∈V0 a(u, v) =L(v) (8)
Application à l’analyse de l’équation
La forme bilinéairea(u, v)est symétrique définie positive1sur l’espaceV0.
On en déduit que le problème 4 admet au plus une solution (Indic. siu1 etu2 sont deux solutions, montrer quea(u1−u2, u1−u2) = 0).
Principe du minimum
On définitl’énergie potentielle totale: J(v) = 1
2a(v, v)− L(v) (9)
La restriction de la fonctionJ(u)à une droite est un trinôme du second degré J(u+λv) = λ2
2 a(v, v) +λ(a(u, v)− L(v)) +J(u) Commea(v, v)>0on en déduit que la fonctionJ(u)est strictement convexe2. Calculons la différentielle deJ(u)
DJ(u).v = d
dλJ(u+λv)|λ=0 =a(u, v)− L(v) (10) Pour une fonction convexe la différentielle est nulle enu siuréalise le minimum absolu deJ. La différentielle est nulle si
∀v∈V0a(u, v) =L(v)
On en déduit que le principe des travaux virtuels (4) est équivalent auprincipe du minimum de l’éner- gie potentielle:
∀v∈V0 J(u)≤ J(v) (11) Noter que, quoique la fonction J(u) tende vers+∞ quandkvk → +∞pour une norme naturelle surV0 (par exemplekGradvk2) il n’est pas trivial de démontrer l’existence du minimum et donc l’existence de la solution, Voir le chapitre 4.
1i.e.
∀v ∈ V v6= 0⇒a(v, v)>0
2Voir le chapitre 2 du cours d’optimisation.
Généralisation
Voir le polycopié p. 96. Nous considérons une fonction potentielle de la forme J(u) =
Z
Ω
h(x, u,Gradu)dΩ (12)
oùΩest un domaine du plan eth(x, u1, u2)une fonctionC2de trois variables. SoitV0l’espace des fonctionsC1 nulles sur le bordΓdeΩ. Un extrémum de la fonctionJ(u) sur l’espaceV0 annule la différentielle deJ(u)
∀v∈V0 DJ(u).v = Z
Ω
∂h
∂uv+hGraduih,GradvidΩ = 0 (13) où l’on a posé
Gradujh= (∂h
∂uj1
, ..., ∂h
∂un
)t
On en déduit qu’un extrémum deJ(u)vérifie l’équation d’Euler écrite sous la forme canonique
−Divx(Gradujh) +∂h
∂u = 0 (14)
et en développant les dérivées
f(u, ..., uxi, ..., uxixj, ...) =−X
i,j
∂2h
∂uxj∂uxiuxixj+∂h
∂u = 0 (15)
à laquelle il faut ajouter, puisqueu ∈ V0 la conditionuΓ = 0qui définit un problème aux limites.
L’équation d’Euler (15) est une équation quasi-linéaire du second ordre (i.e. elle est linéaire par rapport aux dérivées secondes).Donc :
Proposition 2 Une condition nécessaire d’extrémalité de la fonctionJ(u)sur l’espaceV0est queu vérifie un problème aux limites homogènes pour l’équation d’Euler (14) qui est une équation quasi- linéaire du second ordre.
Nous avons vu en optimisation (chapitre 2) que si la fonctionh(x, u1, u2) est strictement convexe par rapport à(u1, u2) la fonctionJ(u)est strictement convexe. Or si le hessien est défini positif la fonctionh(x, u1, u2)est strictement convexe. Nous en déduisons un cas particulier quand la fonction potentielle ne dépend que des dérivées, c’est à dire sihne dépend pas deu1:
Proposition 3 Si la fonction potentielle ne dépend que des dérivées et si la matrice A(u) de co- efficients A(u)i,j = ∂u∂2h
xi∂uj est définie positive, la problème aux limites (15) est équivalent à la recherche du minimum de la fonction potentielJ(u)surV0.
En effet la fonctionhest alors convexe par rapport àu2. Ce résultat justifie la définition générale des équations aux dérivées partielles elliptiques (p. 94 du polycopié).
Remarque importante : Les équations aux dérivées partielles peuvent s’écrire sous un grand nombre de formes équivalentes. Il est notamment tentant, en développant toutes les dérivées, d’ob-
sait que l’équation peut être obtenue par un principe de minimum, il est bien préférable d’utiliser la forme ( 14) :
−Elle conserve la signification physique des différents termes.
−Elle permet de construire directement les formulations faibles à la base des approximations numé- riques par la méthode des éléments finis.
−Elle permet de construire de façon cohérente des formules d’approximation aux différences finies.
Conclusion provisoire
Nous avons construit trois formulations équivalentes d’un problème aux limites pour une équation aux dérivées partielles de type elliptique. Les principes énergétiques (4) et (11) mettent en évidence le caractère bien posé des problèmes (en particulier l’unicité) et ils permettent de définir une méthode d’approximation très générale du problème.
Formulaire
Soituetvsont des fonctions définies sur un domaineΩdans un espace de dimensionN;Φest un champ de vecteur,~nest le vecteur normal extérieur en un point du bord∂ΩdeΩ.
Formule deGreen
Z
Ω
DivΦdΩ = Z
∂Ω
Φnds (16)
Formule deStokes
Z
Ω
Φ.Gradv dΩ = Z
Ω
−DivΦv dΩ + Z
∂Ω
Φnv ds (17)
et donc en choisissantΦ =kGradu : Z
Ω
kGradu .Gradv dΩ = Z
Ω
−Div(kGradu)v dΩ + Z
∂Ω
k∂u
∂n v ds (18)
