Sur une généralisation de l'inégalité minimax

C ^{AHIERS DU} B ^URO

M ^ARCEL -P ^AUL S CHÛTZENBERGER Sur une généralisation de l’inégalité minimax

Cahiers du Bureau universitaire de recherche opérationnelle.

Série Recherche, tome 2 (1957), p. 2-9

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2

DE L'INÉGALITÉ MINIMAX

par

Marcel-Paul SCHÙTZENBERGER

INTRODUCTION

Soit donné un e n s e m b l e : A = ( ) (i = 1, 2 , . . . , n ; j = 1 , 2 , , . . ,m) de (n . m ) v a l e u r s numériques .

L'inégalité dite " m i n i m a x " :

Min Max a¹? > Max Min a\

L J j L

j o u e un r ô l e fondamental dans la t h é o r i e des jeux et la r e c h e r c h e o p é r a - t i o n n e l l e . Or cette inégalité ne fait a p p e l , pour sa d é m o n s t r a t i o n , qu'aux p r o p r i é t é s l e s plus é l é m e n t a i r e s des opérations a s s o c i é e s à la relation

) entre g r a n d e u r s . Il peut donc p r é s e n t e r un certain intérêt de savoir dans quelle m e s u r e elle se g é n é r a l i s e quand on substitue aux opérations

" M i n " et " M a x " des opérations consistant à prendre non plus seulement le p r e m i e r ( m i n ) et l e d e r n i e r ( m a x ) d'un e n s e m b l e d ' é l é m e n t s rangés dans l ' o r d r e des grandeurs c r o i s s a n t e s m a i s , plus g é n é r a l e m e n t , le

(P) (1) (M)

" p - i e m e " . Ce que nous noterons par M . On a : Min = M ; Max = M ( s i N est l e n o m b r e des é l é m e n t s de l ' e n s e m b l e ) .

C o m m e l e s aj n'interviennent que par leur grandeur relative il est sans importance de l e s r e m p l a c e r par les n . m v a l e u r s 1 , 2 , . . . , n . m et l e s raisonnements seront sans doute plus f a c i l e s à suivre si nous e x a m i - nons d ' a b o r d l ' e x e m p l e numérique c i - d e s s o u s .

E X E M P L E

20 14 1 4 17 6 10 19 18 16

S ° ^{i t A =} 15 3 7 13 5

2 8 9 11 12

4

A p a r t i r de A c o n s t r u i s o n s l e s deux tableaux B = C o l . A et C = L i g . A obtenues en réarrangeant par o r d r e de grandeurs l e s é l é m e n t s de chaque colonne (ligne) :

2 3 1 4 5 1 4 14 17 20 6 8 7 11 12 6 10 16 18 19

3 = 15 10 9 13 16 ^{C =} 3 5 7 13 15

20 14 19 18 17 2 8 9 11 12 R é a r r a n g e o n s maintenant B par ligne et C par c o l o n n e . Nous obtenons

1 2 3 4 5 6 7 8 11 12 D = L i g . B = L i g . C o l . A = ^{9 1 ( )} ^ ¹⁵ ^ 14 17 18 19 20

1 4 7 11 12 2 5 9 13 15 E = C o l . C = C o l . L i g . A = ^{3 8 u 1? 19}

6 10 16 18 20

Désignant par des l e t t r e s minuscules les éléments d e s tableaux c o r - respondants il résuite de la c o n s t r u c t i o n m ê m e et selon des notations évidentes :

(1) b^{c K}= M ai ; Cj = M aj ; d^K= M^L b^K= M^L Mj a.) ; e£ = Mj c j = Mj M i a j Il apparaît sur l ' e x e m p l e c h o i s i un phénomène r e m a r q u a b l e : les é l é - ments de D situés dans l'angle supérieur droit sont systématiquement plus petits que les é l é m e n t s c o r r e s p o n d a n t s de E et l ' i n v e r s e est v r a i pour l'angle inférieur g a u c h e .

En p a r t i c u l i e r on retrouve bien :

Max Min aS < Min Max a.\

J t J L j

(soit i c i 5 < 12)

Le l e c t e u r pourra d ' a i l l e u r s v é r i f i e r en prenant au hasard des v a l e u r s aj que c e s p a r t i c u l a r i t é s n'ont rien d ' e x c e p t i o n n e l et le p r o b l è m e se p o s e donc de savoir quelles sont les conditions n é c e s s a i r e s et suffi- santes pour que

, 4 (W (K) • (K) ( h ) .

(2) M M a < M M a,¹

( i ) ( j ) J ( j ) ( l ) J

C A L C U L DE JVIL

Il est bien connu que,N quantités numériques u^L étant données,la f o n c -

(h)

tion l a t t i c i e l l e s y m é t r i q u e ML UJ. est obtenue a u s s i bien par l'une que par l ' a u t r e des deux f o r m u l e s suivantes :

( 3 ) M \ U^l = " S o m m e " de tous l e s " p r o d u i t s " (N-a + 1) à ( N - a + 1 ) des a¹ ( 3 ' ) M[ u^l = " P r o d u i t " de toutes l e s " s o m m e s " a à a des u*-.

L e s m o t s " S o m m e " et " P r o d u i t s " devant être entendus dans leur sens l a t t i c i e l , c ' e s t - à - d i r e que :

- " S o m m e " des é l é m e n t s d'un e n s e m b l e X = l e s plus grands é l é m e n t s de X , - " P r o d u i t " d e s é l é m e n t s de X = le plus petit élément de X .

Par e x e m p l e : Si [x ^ y ^ z t]= X on a :

JsAX = xyzt = x = Min X = Produit de x , y , z et t

2

MX = x y z + xyt + xzt + yzt = x + x + x + y = y ou = (x+y) (x+z) (x+t) ( y + z ) (y+t) (z + t) = yztyyz = y

3

MX = xy + x z + xt + y z + yt + zt = x + x + xy + y + z = z ou (x+y+z) (x+y+t) (x+z+t) (y+z+t) = zttt = z

1VIX = x + y + z + t = t = Max X = " S o m m e " de x , y , z et t

On sait que l e s opérations " S o m m e " et " P r o d u i t " sont à la f o i s a s s o - c i a t i v e s , c o m m u t a t i v e s , a b s o r b a n t e s ( x ( x + y ) = x + xy = x) et distributives ( x ( x + z ) = xy + x z ; (x+y) (x+z) = x+yz) et on o b s e r v e r a que la définition ( 3 ) o u ( 3 ' ) donne un sens à M m ê m e quand p l u s i e u r s des quantités c o n s i d é r é e s sont é g a l e s entre e l l e s . Par e x e m p l e , si x = y : iltX = - la valeur c o m m u n e de x et de y .

a £

C A L C U L DES M L M.

D ' a p r è s ( 3 ) on a pour un p fixé :

d% = M i A a i j = " S o m m e " d e s " P r o d u i t s " (n-a + 1 ) à ( n - a + 1 ) des b^

et e n c o r e d ' a p r è s ( 3 ) pour un i fixé :

b^ = " S o m m e " d e s " P r o d u i t s " (n-P+1) à (n-(3+l) des aj

D o n c , en vertu de la distributivité d e s deux opérations l'une sur l'autre et c o m p t e tenu de leur a s s o c i a t i v i t é :

6

d g = " S o m m e " de tous l e s " P r o d u i t s " d ^ d e tous l e s élément s appartenant à un e n s e m b l e D^k obtenu l u i - m ê m e en choisissant un ensemble A^k de n-a+1 c o l o n n e s de A et dans chacune de c e l l e s - c i m - p + l é l é m e n t s aj .

k p a r c o u r t un e n s e m b l e K comprenant [ S . « + i ] [ £ - 3+ 1 ] indices d i s - tincts et :

f i ai

(4) ^d3 = & d* o ù d ^ = aJ € D <

(4«) e - = NE , où e , - ^ a)

Eg étant obtenu en choisissant a é l é m e n t s aj dans chacune des |3 lignes d'un e n s e m b l e Be (Z € L ) .

Pour la suite, nous aurons avantage à introduire e n c o r e les notations suivantes relatives à un k € K et un i 6 L fixés :

Ai = a) tel que: i 6 A k j 6 B«

A2 = a] M i € Ak j $ B*

A³ = a] M i ( A k j € B*

Donc : D^k C A, U A² ; E ^ C A^tU A³

CONDITIONS DE VALIDITÉ IDENTIQUE DE L'INÉGALITÉ (2)

Il est bien connu que quelque soient x , y et z on a identiquement : xy < x ^ x+z les opérations ayant évidemment leur sens l a t t i c i e l . En p a r -

ci

t i c u l i e r , quelque soient les u^L[(3)]implique xVlL U^l ^ M^uu^L et, d'autre p a r t , si u^L ^ v^l pour tout i, a l o r s M l u*^- < M^Lv^L.

Donc si a 4 a'et P < (3':

a (3 : a' 3' ; Mi Mj a} ^ M l M j aj

c e qui s'interprète immédiatement sur l e s tableaux D et E . Revenons à l'inégalité ( 2 ) . C e l l e - c i s ' é c r i t :

dp = Z dk « e£ = J~L ee

et est donc satisfaite sauf si eL 1 < d ^ p o u r au m o i n s un couple d ' i n d i c e s ki 6 K et li G L . Mais si l e s e n s e m b l e s Dk et Et possédaient un élément a)J

c o m m u n on aurait dk ^; aJJ et, par conséquent, (2) ne peut se t r o u v e r en défaut que si l e s deux conditions suivantes sont satisfaites :

(5) Il existe au m o i n s un couple ( D^{k l}, E ^ ) tel que D^{k l} 0 E ^ = 0 (6) dk i = Min Dk l, eh = M a x ,t

En p a r t i c u l i e r , puisque D^k contient (n-cr+1) ( m- P + 1) é l é m e n t s et E ,a P, il s e r a p o s s i b l e de satisfaire à (5) si :

(7) (n-a+1) ( m- P + 1) + aP > n + (n-a + 1) m - P (n-a+1) c ' e s t - à - d i r e si : (7") ((3-1) ( n - a ) > 1

puisque le m e m b r e de droite de (7) est le n o m b r e des c a s e s de l ' e n s e m b l e A 1 U A 2 U A 3. On trouve ainsi une généralisation de l'inégalité Minimax :

8 B

(2) M a x^L Mj aj < Mj M a x^L < a) pour tout P (1 < P < m ) M^L Minj a) < Minj Mj. aj pour tout a (1 < a < n ) .

Supposons maintenant que 0 ^ 1 et a 4- n et montrons que l ' o n peut satisfaire à ( 5 ) , A ^K et Bf étant f i x é s .

En effet, dans chaque colonne de A ^ , m-P+1 é l é m e n t s aj seulement figurent dans Dk. On peut donc c h o i s i r cet e n s e m b l e de telle façon que m - p + 1 - ( m - p ) = un seul a} par colonne se trouve dans AT et de m ê m e pour l e s l i g n e s . D'où l e résultat puisque A¹ étant un rectangle qui c o m p o r t e au m o i n s deux l i g n e s et deux c o l o n n e s il est p o s s i b l e de faire en sorte que c e s deux d e r n i e r s e n s e m b l e s de aj soient d i s j o i n t s .

C o m m e ( 6 ) peut toujours être satisfaite, il en résulte que (2) est le seul c a s où (2) soit identiquement v é r i f i é . E x e m p l e : n = m = 4 . Pour le tableau suivant on a :

8 = Ma) > Û] A; aj = 7 ( A^k : l e s c o l o n n e s 2 et 4 ; B j¹ l e s lignes 2 et 3)

11 8 16 13 3 2 1 7 8 11 13 16

3 14 1 7 4 8 5 9 1 3 7 14

A = 6 2 5 9 ^{B =} 6 12 10 1 3 ^{C = :} 2 5 8 9

4 12 10 15 11 14 16 15 14 10 12 15 1 2 3 7 1 3 6 9

4 5 0 9 2 5 0 14

D = 6 10 12 13 ^E ~ 4 10 12 15

11 14 15 16 8 11 13 16

3

8

Validité limite de (2)

Il apparaît cependant v r a i s e m b l a b l e pour des r a i s o n s de s y m é t r i e que s i ( 3 / m est plus petit que a / n (2) doit être "généralement v r a i e " dans un sens qui r e s t e à p r é c i s e r . Nous le f e r o n s ici t r è s simplement sous l e s h y p o t h è s e s suivantes :

1 ° - n = m tend v e r s l'infini

2 ° - P = n-a+1 est l'entier le plus v o i s i n de X n ou X est une constante finie « 1/2

3 ° ) L e s ( n²) | permutations p o s s i b l e s des a.) sont é q u i p r o b a b l e s .

3 x M est donc le " X - i è m e quantile inférieur" M et nous c h e r c h e r o n s à

p r o u v e r que si X est a s s e z petit, z é r o est la l i m i t e quand n—»• «> de la probabilité P que :

i-x X • î - X

(2°) M^L MJ a.) > Mj M^L aj

quand l e s aj sont t i r é s au sort indépendamment et selon une seule et m ê m e loi de p r o b a b i l i t é .

Appelons E ^ f l'événement consistant en ce que (6) soit v é r i f i é pour un c o u p l e ( Dk, E-e). On a :

(8) P < S P r ( E^{k f}) o ù l a sommation est étendue à tous l e s c o u p l e s ( D^k, E{ ) t e l s que D^k H E*. - 0. En raison de la s y m é t r i e (8) peut s ' é c r i r e :

(8») P [ Xn ] x Q x P⁰ où :

Po = P r (Ek,f) est indépendant des indices k et 1 .

Q est le n o m b r e des façons de c h o i s i r D^k et Ee disjoints quand A ^k et B£

so nt fixé s .

[nX] ~e st ^e n omDre des façons de c h o i s i r Ak et Bf.

La seule difficulté réside dans le calcul de Q . En effet, et Eg étant fixés et contenant chacun n' = X n (n-X + 1) éléments la probabilité pour que (6) soit v r a i e est :

(9) Po = [^{2 n n}] ¹ = exp ( - n²( X - X²) 2 Log 2 + 0 ( n²) ) .

Au lieu de c a l c u l e r Q nous c a l c u l e r o n s Q' qui en est une estimation g r o s s i è r e pour X voisin de l / 2 mais suffisante pour X petit.

Q' = N o m b r e des f a ç o n s de p r e n d r e deux e n s e m b l e s D' et E ' de n' é l é - ments chacun de telle s o r t e que D¹ C A , U A² ; E ' c A , U A³ et D' fl E ' =0 .

Supposons qu'en outre il soit fixé que X é l é m e n t s de D' et Y é l é m e n t s de E^/ sont dans qui contientX²n² c a s e s , on a :

Q'ky = ^K ' • Donc :

X ! Y ! ( * V - X - Y ) ! [ ⁿ. _^X J L n ' - Y .

Q¹ = 2 Q'x^où la s o m m a t i o n est étendue à toutes l e s v a l e u r s de X et de Y t e l l e s que X+Y X² n² . P o s o n s

X = x X²n² et Y = y \²n²

H(u) = u log l / u + ( 1 - u ) Log l / ( l - u ) ;

H ( x , y ) = x Log 1 / x + y Log l / y + ( l - x - y ) Log 1/ ( l - x - y ) il vient

Log Q '^{x y}= n² X²H ( x , y ) +n*(\-\*)(H(f±) + H ( ^ ) ) + o (n*)

= nH\-\*)Fx(x,y) + o(n*)

Q '^{x y} étant exponentiellement c o n v e x e en x et en y tend pour n c r o i s s a n t v e r s (exp n²(X-X²)F^) ouF^est le m a x i m u m en x , y de F x ( x , y ) .

D ' a p r è s ( 8 ' ) et (9) le résultat s e r a donc établi quand on p o u r r a p r o u - v e r que :

(10) F^x < 2 Log 2

O b s e r v o n s d ' a b o r d que F ( x , y ) n'atteint son m a x i m u m que si x = y . Dans c e cas : Fx ( x , x) = 2 H ( ~ ~ ) + x L 2 + H (2 x ) qui pour x = l / 2 est c e r t a i n e m e n t plus grand que 2 log 2 quand X est v o i s i n de l / 2 . Par c o n t r e , F ^ ( x , x ) c r o i s s a n t en X , tend uniformément v e r s z é r o a v e c cette quantité. Il existe donc une valeur Xo finie telle que ( 2 ° ) soit satisfaite à la l i m i t e quand n — • <» si X < X⁰.

Références sur les treillis

G . B I R K H O F F . Lattice T h e o r y , New Y o r k 1948, Chap III.

M . L . D U B R E I L - J A C O T I N , , L . LE SIEUR et R . CROISOT - T h é o r i e des T r e i l l i s ( P a r i s 1953).