Probabilités ES 1
Probabilités et problèmes
Vérifier les acquis n°1 à 6 p 178
I. Loi de probabilité d’une variable aléatoire A. Variable aléatoire discrète
Définition
𝐸 est l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire.
Définir une variable aléatoire sur 𝐸, c’est associer un réel à chaque issue.
Notations
Une variable aléatoire est généralement notée 𝑋, 𝑌, 𝑍…
Lorsque 𝑥 désigne un nombre réel, l’événement « 𝑿 prend la valeur 𝒙 » est noté (𝑿 = 𝒙)
Exemple :
Soit l'expérience aléatoire : "On lance un dé à six faces et on regarde le résultat."
L'ensemble de toutes les issues possibles est 𝐸 = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
On considère l'événement A : "On obtient un résultat pair."
On a donc : 𝐴 = {2 ; 4 ; 6}.
On considère l'événement élémentaire B : "On obtient un 3".
On a donc : 𝐵 = {3}.
On considère le jeu suivant :
- Si le résultat est pair, on gagne 2€.
- Si le résultat est 1, on gagne 3€.
- Si le résultat est 3 ou 5, on perd 4€.
On a défini ainsi une variable aléatoire X qui peut prendre les valeurs 𝟐, 𝟑 𝒐𝒖 − 𝟒.
On a donc : 𝑋(1) = 3 , 𝑋(2) = 2 , 𝑋(3) = −4 , 𝑋(4) = 2 , 𝑋(5) = −4 , 𝑋(6) = 2.
La variable aléatoire 𝑋 peut ici être considérée comme une fonction qui pour des valeurs de l’ensemble 𝐸 = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} associe des valeurs de l’ensemble {−4 ; 2 ; 3}.
B. Loi de probabilité d’une variable aléatoire Définition
Une loi de probabilité est définie sur un ensemble E d’issues.
𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 sont les valeurs prises par une variable aléatoire définie sur E.
Définir la loi de probabilité de la variable aléatoire X, c’est associer à chaque valeur 𝑥𝑖 prise par X, la probabilité de l’événement (X=𝑥𝑖)
Valeur de X 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛 P(X=𝑥𝑖) 𝑝1 𝑝2 … 𝑝𝑛
Remarque
𝒑𝟏+ 𝒑𝟐+ ⋯ + 𝒑𝒏 = 𝟏
Exemple :
Pour l’exemple précédent, on a
𝑥𝑖 −4 2 3 P(X=𝑥𝑖) 1
3 1 2
1 6
Voir exercice résolu 1 p 181
Exercices n°9 à 14 p 186
Probabilités ES 2 C. Espérance d’une variable aléatoire
Définition
X est une variable aléatoire définie sur E qui prend les valeurs 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛. L’espérance de la variable aléatoire X est le nombre réel, noté E(X) , tel que :
𝑬(𝑿) = 𝒑𝟏𝒙𝟏+ 𝒑𝟐𝒙𝟐+ ⋯ + 𝒑𝒏𝒙𝒏
Exemple :
Pour l’exemple précédent, on a 𝐸(𝑋) =1
3× (−4) +1
2× 2 +1
6× 3 = 1
6
Cela signifie qu’en jouant un grand nombre de fois à ce jeu, un joueur peut espérer gagner 𝟏
𝟔 soit 0,33 € environ en moyenne par partie.
Remarques
L’espérance s’exprime dans la même unité que les valeurs 𝑥𝑖 prises par X.
Un jeu est dit équitable lorsque 𝑬(𝑿) = 𝟎
Voir exercice résolu 2 p 181 Exercices n°15 à 22 p 186 - 187
II. Répétition d’expériences identiques et indépendantes A. Expériences identiques et indépendantes
Il y a répétition d’expériences identiques lorsque la même expérience aléatoire est répétée plusieurs fois.
Ces expériences aléatoires successives sont indépendantes lorsque l’issue de l’une quelconque de ces expériences ne dépend pas de l’issue des autres expériences.
Exemple
Lancer deux fois de suite une pièce de monnaie constitue la répétition de deux épreuves identiques (lancer une pièce) et indépendantes, car le résultat du second lancer ne dépend pas du résultat du premier lancer.
B. Modélisation d’une répétition Propriété
Dans le cas d’une répétition d’expériences aléatoires identiques et indépendantes, une issue est une liste de résultats. On représente cette répétition par un arbre pondéré.
La probabilité d’un événement correspondant à un chemin sur l’arbre est obtenue en multipliant les probabilités portées sur les branches de ce chemin
La probabilité d’un événement correspondant à plusieurs chemins est obtenue en ajoutant les probabilités des événements correspondants à chaque chemin puisque ceux-ci sont incompatibles.
Probabilités ES 3 Exemple
On lance une pièce de monnaie équilibrée 3 fois et on s’intéresse au nombre de fois où la pièce retombe sur pile. Appelons P l’événement la pièce retombe sur Pile et F la pièce retombe sur Face. On a P(P) = P(F) = 1
2
Représentons la situation par un arbre pondéré :
C. Un exemple de variable aléatoire On reprend l’exemple précédent.
A chaque liste obtenue lors d’une répétition de 3 lancers, on associe le nombre de piles obtenus.
On définit ainsi une variable aléatoire qui prend pour valeurs 0, 1, 2 ou 3.
Par exemple, l’événement (X=1) est réalisé par les issues : PFF, FPF, FFP On a donc 𝑃(𝑋 = 1) =1
2×1
2×1
2+1
2×1
2×1
2+1
2×1
2×1
2 =3
8 On calcule de même 𝑃(𝑋 = 2) =1
2×1
2×1
2+1
2×1
2×1
2+1
2×1
2×1
2 =3
8
𝑃(𝑋 = 0) =1
2×1
2×1
2= 1
8
𝑃(𝑋 = 3) =1
2×1
2×1
2= 1
8
𝑥𝑖 0 1 2 3 P(X=𝑥𝑖) 1
8 3 8
3 8
1 8
