Sujet 2018_06

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ESD2018_06. Conjecture et démonstration

1. Le sujet A. Exercice

Imaginons qu’une calculatrice comporte une nouvelle touche, nommée  qui double le nombre saisi puis retranche 1. J’entre un nombre x et j’appuie n fois sur cette touche 

1. En fonction de x et n, conjecturer l’expression obtenue après avoir appuyé n fois sur la touche . 2. Démontrer votre conjecture.

B. Les réponses de deux élèves de terminale scientifique

Elève 1

1. Je trouve 2x−1 après avoir appuyé une fois sur , 4x−1 après avoir appuyé deux fois sur , 8x−1 après avoir appuyé trois fois sur .

Je conjecture que après avoir appuyé n fois sur , on obtient 2ⁿx−1

2. Pour n=1 on a 2ⁿx−1=2x−1 et si on part de 2ⁿx−1 alors en appuyant encore une fois sur , on obtient 2×2ⁿx−1=2ⁿ⁺¹x−1. Ce qui permet d’établir la conjecture.

Élève 2

1. Je note rn le résultat obtenu après avoir appuyé n fois sur ,

Je pars de r₁ =xdonc après avoir appuyé une fois sur  j’obtiens r₂ =2x−1 Puis r₃ =2r₂ −1 donc r₃=2²x−2−1.

Puis r₄ =2r₃ −1 donc r₄=2³x−2²−2−1.

On peut conjecturer que rn=2ⁿ⁻¹x−2ⁿ⁻²−2ⁿ⁻³−...−2²−2−1 2. Je vais démontrer par récurrence la conjecture ci-dessus.

Pour n=2 la formule conjecturée donne r₂ =2x−1 donc la propriété est vraie au rang 2.

Supposons la vraie pour tout entier n fixé, on a alors r_n₊₁=2r_n−1 donc

(

² ² ² ^... ² ² ¹

)

¹

2 ¹ ² ³ ²

1= ⁻ − ⁻ − ⁻ − − − − −

+ n n n

n x

r donc r_n₊₁=2ⁿx−2ⁿ⁻¹−2ⁿ⁻²−...−2²−2−1. Donc la propriété est héréditaire.

Le principe de récurrence permet alors de dire que la propriété est vraie pour tout n∈N*

C. Le travail à exposer devant le jury

1. Analysez la production de chacun de ces trois élèves en mettant en évidence leurs réussites et leurs éventuelles erreurs. Vous préciserez les aides que vous pourriez leur apporter.

2. Présentez une correction de l'exercice telle que vous l'exposeriez devant une classe de terminale scientifique.

3. Proposez deux exercices sur le thème conjecture et démonstration, l’un au niveau du collège l’autre au niveau du lycée permettant de développer la compétence « communiquer ».

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2. Eléments de correction

Voici une suite arithmético-géométrique qui, telle le concombre, avance masquée. Cette suite est définie en effet à la façon d’un algorithme exprimé en langage courant et qu’il s’agira de traduire en langage mathématique. Nous sommes dans la conversion d’un langage vers un autre, donc dans un aspect de la

« communication ».

Obtenir une expression pertinente de ce qui s’affiche après n itérations n’a rien d’évident, on peut prévoir des difficultés à ce niveau. Démontrer ensuite sa conjecture nécessitera la mise en œuvre d’un raisonnement par récurrence, tâche qui demande une certaine rigueur dans la formulation de la réponse, donc une certaine

« compétence » dans le domaine du raisonnement.

Il s’agit là d’un authentique problème ouvert où aucune piste n’est balisée. On note même que l’énoncé ne mentionne pas une seule fois le terme de « suite ».

L’exercice se prête bien à une activité de recherche menée en classe, car il sera peut-être nécessaire, à un moment donné de la recherche, de donner un coup de pouce pour provoquer des conjectures. Son classement dans le thème « conjecture et démonstration » est parfaitement justifié.

1. Analyse de travaux d’élèves.

Elève 1

Deux interprétations possibles à sa production.

1. Son erreur est due à une compréhension incorrecte de l’algorithme (hypothèse la plus probable).

Dans cette hypothèse, il calcule les doubles successifs du nombre initial puis il retranche 1 à chacun de ces nombres. Dans cette hypothèse, sa conjecture est cohérente avec sa compréhension de l’algorithme et sa démonstration, bien qu’imparfaitement structurée, est acceptable. En effet cet élève ne fait pas référence explicitement à une démonstration par récurrence mais tous les ingrédients, initialisation et passage d’un rang n au rang suivant, sont là. Il aurait dû préciser à partir de quel entier sa conjecture est démontrée.

2. Son erreur est due à une incapacité à proposer une conjecture.

Dans cette hypothèse, il aurait appliqué correctement l’algorithme mais par défaut, parce que le contrat didactique exige que l’on fournisse une réponse, il aurait conjecturé une formule qui lui semblait sympathique. Cela semblerait alors illustrer sa perplexité et soulignerait la difficulté avérée dans cet exercice d’extraire une conjecture pertinente.

Il initialise sa formule au rang 1, puis tente de démontrer l’hérédité. Il y parvient grâce à une erreur de parenthésage : il écrit 2×2ⁿ−1 au lieu de ²^×

( )

²ⁿ⁻¹ ⁻¹. Cette erreur serait peut-être volontaire, arnaque pour que l’hérédité fonctionne.

Avant toute aide, il faudrait vérifier quelle est la bonne hypothèse. A priori, la première hypothèse tient la corde …

Elève 2.

Cet élève propose une conjecture correcte, qu’il démontre moins correctement.

Sa production présente plusieurs éléments très intéressants (réussites):

• Cet élève fait référence explicitement à la notion de suite, puisqu’il indexe au nombre d’itérations les résultats obtenus successivement. Il convient que le nombre initial est r¹, ce qui est son droit, bien que l’indexation r0 aurait été plus en phase avec le contexte.

• Il donne la formule de récurrence attendue rn₊₁=2rn−1.

• Il émet une conjecture pertinente.

Il rédige de façon très claire sa démonstration par récurrence (en voilà un qui « communique »!), démonstration qui, cependant, doit être revue :

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• Il initialise au rang 2, ce qui s’explique car sa somme de puissances de 2 n’a un sens qu’à partir de ce rang. Elle « disparaît » de l’écriture au rang 1. C’est l’unique inconvénient de sa conjecture.

• L’idée qu’il se fait de l’hérédité n’est pas correcte car il suppose la conjecture « vraie pour tout entier n fixé ». Dans ce cas le travail est fini ! C’est la principale critique que l’on peut émettre sur sa production. Elle est certes de taille et elle plombe la qualité de sa démonstration. Faut-il supposer

« vraie pour tout entier n fixé » ou « vraie pour un entier n fixé ». La question sera posée à cet élève, et la distinction sera clairement mise en évidence…

• Une petite erreur dans sa conclusion mais toutefois significative : la formule proposée est initialisée au rang 2 et non au rang 1. Elle n’est donc pas prouvée « pour tout n∈N* ». On soulignera que, dans une démonstration par récurrence, la propriété en jeu est démontrée à partir exactement du rang où elle a été initialisée.

En conclusion, on peut considérer sa démarche comme à peu près aboutie, moyennant les rectifications que l’on vient de citer et sous réserve qu’il serait bien de trouver une formule plus condensée pour la somme des puissances de 2.

2. Une correction de l’exercice.

Il est possible de proposer aux élèves le « coup de pouce » suivant, à l’aide d’un tableur. Surtout si certains d’entre eux pensent que les puissances de deux jouent un certain rôle dans cette affaire.

En cellule a1, la valeur de x, stockée en variable.

En colonne b, la suite des valeurs obtenues par applications successives sur la touche de la calculatrice.

En colonne c, la suite de terme général x×2ⁿ.

La colonne d est la colonne d=c-b. Lorsqu’on change la valeur de x, on conjecture que les termes de cette colonne ne changent pas. cette différence semble ne pas dépendre de x. Il reste à en conjecturer une expression en fonction de n, ce qui est tout de même plus facile qu’à propos de la suite originelle.

On peut bâtir judicieusement une correction à partir de là ce qui permet de court-circuiter la méthode de résolution « bateau » qui suit.

Variante suite

On décide d’indexer le nombre qui s’affiche au nombre d’appuis. On noteuⁿ le nombre affiché après n appuis sur la touche de la calculatrice. On peut désormais parler d’une suite de nombres, définie par récurrence par :





≥

−

=

+₁ 2 1 0

0

n tout pour u

u x u

n n

gj .

Il s’agit là d’une suite arithmético-géométrique, et on met en oeuvre la méthode usuelle d’étude de ce type de suite :

Pourx=1, la suite est stationnaire, 1 est point fixe. On est donc amené à définir la suite auxiliaire

( )

vn telle que pour tout entier naturel n : vn=un−1.

Cette suite est définie par récurrence par : 

( ( ) )

≥

=

−

− +

=

−

=

−

=

+

+ 1 2 1 1 1 2 0

1

1 1 0

n tout pour v v

u v

x v

n n

n

gj n .

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Il s’agit, on s’y attendait, d’une suite géométrique, de raison 2 et de premier terme

( )

^x⁻¹ , qualité qui permet de proposer pour le terme vn une formule explicite : v_n =²ⁿ

( )

x−¹

De là on déduit une formule explicite pour un, à savoir : ^uⁿ ⁼²ⁿ

( )

^x⁻¹ ⁺¹⁼²ⁿ^x⁻

( )

²ⁿ⁻¹ ^.

Si on compare la formule trouvée ici : « ^uⁿ ⁼²ⁿ^x⁻

( )

²ⁿ⁻¹ pour tout entier naturel n » avec celle trouvée par

l’élève 2 : «



⁼ ⁻

=

+ = −

= ¹

0

1 2 2

n k

k k n

n

n r x

u pour tout entier n strictement positif », on remarque ce qui les

différencie. En effet, 2 2 1

1

0

−



⁼ ⁻ =

= n n k

k

k pour tout entier n strictement positif, mais pas pour l’entier 0.

Lorsque n=0,



⁼ ⁻

= 1

0

2

n k

k

k n’est plus une somme de puissances positives ou nulles de 2. C’est pourquoi l’élève 2 a rencontré une petite difficulté d’initialisation.

3. Exercices complémentaires

Sur le thème « conjecture et démonstration», compétence « communiquer » :

L’exercice présenté par le jury se taille la part du lion, puisqu’il propose une démonstration par récurrence, un cœur de cible.

On peut éventuellement penser (?) pour l’un des deux exercices à une activité type « narration de recherche ». Dans ce type d’activité, les élèves ont pour consigne de noter toutes les tentatives de résolution, même non abouties. On trouvera quelques exemples dans les annales ESD.

Il n’y a pas si longtemps, un exercice de collège classique, véritable marronnier, était le « programme de construction téléphoné ». La consigne était, j’exagère à peine : « tu dois décrire la figure géométrique que voici à ton camarade, de façon qu’il puisse la reproduire, mais tu n’as que ton téléphone pour le joindre » (parfois, ce camarade était parti en week-end en oubliant ses affaires, c’était lui qui, angoissé au bout du fil, suppliait qu’on lui communique la figure à construire pour le lundi). Mais depuis que les téléphones n’ont plus de fil et prennent des photos, voici un type d’exercice qui est entré au grenier de l’Histoire. Sic transit gloria mundi.

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4. Commentaires

J’attire l’attention sur deux « compétences » du référentiel : Raisonner

• Utiliser les notions de la logique élémentaire (conditions nécessaires ou suffisantes, équivalences, connecteurs) pour bâtir un raisonnement.

• Différencier le statut des énoncés mis en jeu : définition, propriété, théorème démontré, théorème admis...

• Utiliser différents types de raisonnement (par analyse et synthèse, par équivalence, par disjonction de cas, par l’absurde, par contraposée, par récurrence...).

• Effectuer des inférences (inductives, déductives) pour obtenir de nouveaux résultats, conduire une démonstration, confirmer ou infirmer une conjecture, prendre une décision.

Communiquer

• Opérer la conversion entre le langage naturel et le langage symbolique formel.

• Développer une argumentation mathématique correcte à l’écrit ou à l’oral.

• Critiquer une démarche ou un résultat.

• S’exprimer avec clarté et précision à l’oral et à l’écrit.

Elles sont, me semble-t-il, étroitement dépendantes l’une de l’autre, sinon inséparables. Développer une argumentation correcte nécessite au préalable de structurer un raisonnement. Choisir et développer un type de raisonnement nécessite de mettre au point une argumentation articulant de façon pertinente les différents pas de ce raisonnement.

Pour ma part, je dois avouer humblement que trouver un exercice spécifique permettant de développer la compétence « communiquer » me laisse perplexe (en existe-t-il dans lesquels on ne « communique » pas ?).

J’ai désigné dans le passé ce type de compétence par le sobriquet de « compétence-tarte-à-la-crème » tant l’enfonçage de portes ouvertes y paraît évident. Je persiste et signe.

Molière nous donne sa version des faits, que je prends plaisir à rappeler et à laquelle je souscris :

…

M. JOURDAIN: Par ma foi ! il y a plus de quarante ans que je dis de la prose sans que j’en susse rien, et je vous suis le plus obligé du monde de m’avoir appris cela. Je voudrais donc lui mettre dans un billet : « Belle Marquise, vos beaux yeux me font mourir d’amour » ; mais je voudrais que cela fût mis d’une manière galante, que cela fût tourné gentiment.

MAÎTRE DE PHILOSOPHIE : Mettre que les feux de ses yeux réduisent votre cœur en cendres ; que vous souffrez nuit et jour pour elle les violences d’un…

M. JOURDAIN: Non, non, non, je ne veux point tout cela ; je ne veux que ce que je vous ai dit : « Belle Marquise, vos beaux yeux me font mourir d’amour ».

MAÎTRE DE PHILOSOPHIE : Il faut bien étendre un peu la chose.

M. JOURDAIN: Non, vous dis-je, je ne veux que ces seules paroles-là dans le billet ; mais tournées à la mode ; bien arrangées comme il faut. Je vous prie de me dire un peu, pour voir, les diverses manières dont on les peut mettre.

MAÎTRE DE PHILOSOPHIE : On les peut mettre premièrement comme vous avez dit : « Belle Marquise, vos beaux yeux me font mourir d’amour ». Ou bien : « D’amour mourir me font, belle Marquise, vos beaux yeux ». Ou bien : « Vos yeux beaux d’amour me font, belle Marquise, mourir ». Ou bien : « Mourir vos beaux yeux, belle Marquise, d’amour me font ». Ou bien : « Me font vos yeux beaux mourir, belle Marquise, d’amour ».

M. JOURDAIN: Mais de toutes ces façons-là, laquelle est la meilleure ?

MAÎTRE DE PHILOSOPHIE : Celle que vous avez dite : « Belle Marquise, vos beaux yeux me font mourir d’amour ».

M. JOURDAIN : Cependant je n’ai point étudié, et j’ai fait cela tout du premier coup

Dialogue vieux de trois siècles et demi mais dont le piment est toujours d'actualité, compte tenu du babillage