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CH IV Statistique II Les indicateurs de position et de dispersion
I) Les indicateurs de position :
1) Le mode, la classe modale :
Le mode est la valeur du caractère ayant ……… Une distribution avec un seul mode est dite ………, avec deux modes, elle est dite ………. Dans le cas de répartition en classes d’égales amplitudes, la classe modale désigne celle qui a………. Le mode est ………de cette classe.
Exemples :
Deux séries de distances entre le domicile et le lycée (en km) rangées en classes.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 km
effectif
La classe modale est : ………
Le mode MO =
……… = ………
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 km
effectif
Les classes modales sont :
……… et ………
Le mode M01 = ………
Le mode MO2 = ………
2) La moyenne d’une série statistique :
On a relevé les âges des participants à une manifestation sportive :
Âges xi 14 17 19 20 25 38 43 50
Effectifs ni 2 3 1 5 3 1 1 1
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………………
………
x = N
n xi i
. = =
Lorsque les valeurs sont regroupées en classes, ………
……….
On peut obtenir la moyenne directement à l’aide de la calculatrice : Voir CH IV Statistique II Utilisation de la calculatrice (en annexe de ce document)
On peut également utiliser un tableur pour obtenir cette moyenne. Voir fiche Calcul des paramètres statistiques à l’aide du tableur (en annexe de ce document).
L’interprétation de la moyenne est la suivante : ………
………
3) La médiane d’une série statistique :
La médiane Me de la série est un nombre qui découpe la liste des âges, rangée dans l’ordre croissant, en deux listes. Si l’effectif total est impair, on obtient la médiane en prenant la valeur correspondant à l’effectif + 1 divisé par 2.
La médiane correspond ici à la 2
1
17 = 9ème valeur. Me = 20.
On place les âges des 17 participants à la manifestation sportive dans l’ordre croissant : 14 14 17 17 17 19 20 20 20 20 20 25 25 25 38 43 50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Lorsque l’effectif est pair, la médiane sera la moyenne des deux valeurs correspondantes aux rangs
2
Effectif et 2
Effectif+ 1
On peut obtenir la médiane directement à l’aide de la calculatrice : Voir CH IV Statistique II Utilisation de la calculatrice (en annexe de ce document).
On peut également utiliser un tableur pour obtenir cette médiane. Voir fiche Calcul des paramètres statistiques à l’aide du tableur (en annexe de ce document).
L’interprétation de la médiane est la suivante : ………
………
La 9ème valeur est 20.
Me = 20
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4) Comparer la moyenne et la médiane pour une série statistique donnée.
Les diagrammes en bâtons suivants donnent la répartition des notes au dernier contrôle sur 10 de deux groupes de 8 élèves.
Groupe 1 Groupe 2
0 2 4 6 8 10 Note
0 1 2 3 4
Effectif
0 2 4 6 8 10 Note
0 1 2 3 4
Effectif
A l’aide de la calculatrice, déterminer la moyenne et la médiane pour chacun des groupes.
Groupe 1 Groupe 2
x = ……… x = ………
Me = ……… Me = ………
Faites une conclusion pour chacun des groupes
………
………
………
………
5) Le 1er et le 3ème quartile :
Voici la liste des notes en mathématiques, sur 20, de 28 élèves de 2nd Bac Pro. Les notes sont rangées dans l’ordre croissant.
3 8 8 8 9 9 9 10 10 10 11 11 11 11
12 12 12 13 13 13 13 14 14 14 15 16 16 16
Les quartiles Q1 et Q3 sont deux nombres qui découpent chacun la liste des notes, rangées en ordre croissant, en 2 listes.
Le premier quartile Q1 est ………
………
Le troisième quartile Q3 est ………
………
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On peut obtenir les quartiles directement à l’aide de la calculatrice : Voir CH IV Statistique II Utilisation de la calculatrice (en annexe de ce document).
Voici la liste des notes en mathématiques, sur 20, de 28 élèves de 2nd Bac Pro. Les notes sont rangées dans l’ordre croissant.
3 8 8 8 9 9 9 10 10 10 11 11 11 11
12 12 12 13 13 13 13 14 14 14 15 16 16 16
On peut également utiliser un tableur pour obtenir les quartiles. Voir fiche Calcul des paramètres statistiques à l’aide du tableur (en annexe de ce document).
Dans l’exemple précédent concernant les 28 élèves de 2nd Bac Pro, quels sont les quartiles Q1 et Q3 ?
Q1 = ……… Q3 = ………
II) Les indicateurs de dispersion :
On reprend la liste des notes en mathématiques, sur 20, de 28 élèves de 2nd Bac Pro. Les notes sont rangées dans l’ordre croissant.
3 8 8 8 9 9 9 10 10 10 11 11 11 11
12 12 12 13 13 13 13 14 14 14 15 16 16 16
1) L’étendue :
Quelle est la note la plus grande ? ………
Quelle est la note la plus petite ? ………
Calculer la différence entre ces deux notes ? ………
L’étendue d’une série statistique est ………
………
2) Évaluer la dispersion d’une série avec l’écart type :
Voici le relevé de 3 notes de mathématiques de Théa, Hector et Basile.
Calculer à l’aide de la calculatrice pour chaque élève la moyenne x et l’écart type . (On arrondira la moyenne à l’unité et l’écart type au centième.)
Théa 11 9 10 x = ……… = ………
Hector 7 15 8 x = ……… = ………
Basile 11 3 16 x = ……… = ………
L’écart type indique la dispersion des valeurs de la série autour de leur moyenne.Sur la calculatrice Casio, l’écart type correspond à la valeur xn ou x.
Sur la calculatrice TI, l’écart type correspond à la valeur x.
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Dans ce cas les moyennes sont les mêmes, les écarts types indiquent une plus grande régularité des notes pour Théa que pour Basile.
Le couple (moyenne ; écart type) rend compte d’un certain point de vue de la série.Plus l’écart type est ……… plus la dispersion sera ……….
3) Évaluer la dispersion d’une série avec l’écart interquartile :
Le premier quartile Q1 partage les valeurs du caractère, rangées en ordre croissant, en deux groupes : le 1er groupe représente à peu prés ……… de l’effectif total et le 2ème groupe à peu près ……….
Le troisième quartile Q3 partage les valeurs du caractère, rangées en ordre croissant, en deux groupes : le 1er groupe représente à peu prés ……… de l’effectif total et le 2ème groupe à peu près ……….
L’écart interquartile Q3 – Q1 représente ……… de l’effectif total.
Le couple (médiane ; écart interquartile) rend compte d’un certain point de vue de la série.La répartition des années d’ancienneté de 24 employés d’une entreprise est donnée par le tableau suivant :
Années d’ancienneté xi 1 2 3 4 5
Nombre d’employés ni 5 5 7 4 3
a) Déterminer l’étendue de cette série. Interpréter ce résultat.
Étendue = ………. ………
………
b) Déterminer, à l’aide de la calculatrice, la moyenne et l’écart type arrondis à 0,1.
x= ……… = ………
c) Déterminer, à l’aide de la calculatrice, le premier et le troisième quartile.
Interpréter ces résultats.
Q1 = ……… ………
………
Q3 = ……… ………
………
d) Calculer l’écart interquartile Q3 – Q1 . Interpréter ce résultat.
Q3 – Q1 = ……… ………
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4) Interprétation des indicateurs de dispersion :
Ces indicateurs vont nous renseigner sur la dispersion des valeurs.
Plus l’étendue est ……… plus la dispersion sera ……….
Plus l’écart entre Q1 et Q3 est ………, plus la dispersion est ……….
Plus l’écart type est ………, plus la dispersion est ……….
On utilise l’étendue, l’écart interquartile et l’écart type comme indicateurs de dispersions.
III) Exercices : Exercice N°1 :
La répartition de près de 1 500 articles scolaires vendus ce jour dans une grande surface est illustrée par l’histogramme suivant :
0 2 4 6 8 10 12 14 Prix (€)
0 100 200 300 400 500 600
Nombre d'articles vendus
300 270
150 180 540
60
1) Établir le tableau statistique correspondant à l’histogramme et ajouter le centre des classes.
Centres de classes Effectifs
……… ……… ………
……… ……… ………
……… ……… ………
……… ……… ………
……… ……… ………
……… ……… ………
2) Déterminer à l’aide de la calculatrice, la moyenne de cette série. Conclure par une phrase.
x = ………
………
Exercice N°2 :
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Les tableaux ci-dessous présentent les mesures de la concentration horaire moyenne en ozone (mesurée en microgrammes par m3 d’air) durant une journée d’été, pour 2 stations, l’une située dans le Cantal, l’autre à Nîmes.
Heures 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Cantal 110 120 120 117 108 106 109 120 131 138 137 135 Nîmes 23 21 15 12 17 21 36 87 119 142 161 179
Heures 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Cantal 128 138 140 126 112 94 95 98 110 129 130 115 Nîmes 184 190 190 198 215 212 183 160 134 109 89 68
1) Pendant combien d’heures consécutives a-t-on dépassé à Nîmes le seuil d’information, fixé à 180 g/m3. ………
2) Pour chacune des deux stations, déterminer à l’aide du tableau ordonné ci-dessous la médiane, l’étendue, le premier et le troisième quartile. (On utilisera suivant les possibilités, le tableur ou la calculatrice).
Cantal 94 95 98 106 108 109 110 110 112 115 117 120 120 120 126 128 129 130 131 135 137 138 138 140
Nîmes 12 15 17 21 21 23 36 68 87 89 109 119 134 142 160 161 179 183 184 190 190 198 212 215
Cantal Nîmes
Me = ……… Me = ………
Étendue = ……… Étendue = ………
Q1 = ……… Q1 = ………
Q3 = ……… Q3 = ………
3) Indiquer, en précisant les indicateurs statistiques utilisés, sur quelle(s) station(s), ce jour-là :
a) La dispersion des mesures a été la plus importante ?
………
b) La moitié des mesures au moins ont été inférieures ou égales à 127 g/m3 ?
………
c) 75 % des mesures au moins ont été inférieures ou égales à 132 g/m3 ?
………
IV) Comment comparer et interpréter les indicateurs de tendance centrale :
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Reprenons la liste des notes en mathématiques, sur 20, de 28 élèves de 2nd Bac Pro. Les notes sont rangées dans l’ordre croissant.
3 8 8 8 9 9 9 10 10 10 11 11 11 11
12 12 12 13 13 13 13 14 14 14 15 16 16 16
Calculer (en arrondissant au dixième) : x = ………
Me = ………
Voici les notes d’un deuxième contrôle, puis d’un troisième.
Contrôle N°2
3 3 8 9 10 10 10 11 12 13 13 13 13 14
14 14 14 14 15 15 15 15 15 16 16 16 16 16
Calculer (en arrondissant au dixième) : x = ………
Me = ………
Contrôle N°3
3 8 9 9 10 11 11 11 11 12 12 12 13 13
13 13 14 14 15 15 16 16 16 16 19 19 19 19 Calculer (en arrondissant au dixième) : x = ………
Me = ………
Conclusion :
………
………
V) Comparer deux séries statistiques à l’aide d’indicateurs de dispersion :
Voici les températures mensuelles moyennes relevées à Brest et à Moscou durant une année.
Mois J F M A M J J A S O N D
Brest (°C) 9,1 9,4 11 12,5 15,6 18,1 20,4 20,6 18,7 15,3 11,9 10 Moscou (°C) -6,3 -4,2 1,5 10,4 18,4 21,7 23,1 21,5 15,4 8,2 1,1 -3,5
a) Déterminer pour chaque ville la température médiane annuelle. Comparer.
Brest Me = ……… Moscou Me = ………
………
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b) Calculer l’étendue des températures de chaque ville.
Brest E = ……… Moscou E = ………
c) Pour chaque ville, déterminer l’écart inter quartile Q3 – Q1.
Brest Q3 – Q1 = ……… Moscou Q3 – Q1 = ………
d) Analyser la dispersion à l’aide des résultats précédents.
………
VI) La boîte à moustaches :
On représente sur un graphique que l’on appelle « boîte à moustaches » un certain nombre d’indicateurs statistiques. Chaque « boîte » est délimitée par les premiers et troisièmes quartiles, et les « moustaches » par les valeurs minimales et maximales de la série associée. La médiane est marquée par le segment vertical à l’intérieur de la boîte.Min Q1 Me Q3 Max
Exercice : Compléter le tableau en y reportant la valeur des indicateurs statistiques donnés par le diagramme en boîte à moustaches.
a)
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Minimum Premier quartile Médiane Troisième quartile Maximum
……… ……… ……… ……… ………
b)
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Minimum Premier quartile Médiane Troisième quartile Maximum
……… ……… ……… ……… ………
c)
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Minimum Premier quartile Médiane Troisième quartile Maximum
……… ……… ……… ……… ………
d)
78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102
Minimum Premier quartile Médiane Troisième quartile Maximum
……… ……… ……… ……… ………
Exercice N°2 : La glycémie à jeun est un test sanguin effectué lorsque le patient a passé 12 heures sans s’alimenter ni boire (sauf de l’eau). Pour une personne non diabétique, le taux normal de glycémie est compris entre 0,70 mg/L et 1,10 mg/L.
Un laboratoire a réalisé des analyses de glycémie à jeun sur 50 personnes. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :
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Glycémie xi (en mg/L)
Nombre de personnes ni
a) Quel est le taux de glycémie le plus fréquent de ces personnes ?
………
b) Quel est l’écart maximal des taux de glycémie de ces personnes ?
………
c) Quelle est la glycémie moyenne de ces personnes ? (Arrondir au millième)
………
0,65 1
0,68 1
0,74 3
0,81 5
0,83 10
0,87 11
0,92 8
0,96 6
1,00 1
1,02 1
1,11 2
1,13 1
d) Quel le taux médian de glycémie de ces personnes ?
………
e) Quel est le pourcentage de personnes dont le taux de glycémie est normal ?
Pourcentage = ………
f) Représenter le diagramme à moustache de cette série.
0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1 1,05 1,1 1,15 1,2
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VII) Quelques fonctions d’OpenOffice utilisables en Statistique :
On suppose une série de valeurs contenues dans le tableau (A1;H3). Cette série correspond aux relevés des prix du pain (en €) dans 24 boulangeries.
Organiser des données=SOMME(A1:H3) 21,90 € Somme des valeurs.
=SI(A1=1,1;1;0) 1 1 si la cellule A1 contient 1,1 et 0 dans le cas contraire.
=NB.SI(A1:H3;0,9) 8 Nombre de cellule où 0,9
apparaît.
=NB.SI(A1:H3;">0,9") 9 Nombre de cellules où la valeur est supérieure à 0,9. Attention 0,9 est mis entre guillemets "
" sans espace.
= NB.SI(A1:H3;"<1,1")-NB.SI(A1:H3;"<0,9") 14 Nombre de cellules où la valeur appartient à [0,9 ; 1,1[
Calculer des indicateurs de position=MODE(A1:H3) 0,9 Mode Mo
=MOYENNE(A1:H3) 0,91 € Moyenne x
=MEDIANE(A1:H3) 0,9 Médiane Me
Calculer des indicateurs de dispersion=MIN(A1:H3) 0,70 € Valeur minimale xmin
=MAX(A1:H3) 1,20 € Valeur maximale xmax
=MAX(A1:H3)-MIN(A1:H3) 0,50 € Étendue e
=QUARTILE(A1:H3;1) 0,8 Premier quartile Q1
=QUARTILE(A1:H3;2) 0,9 Deuxième quartile Q2
correspond à la médiane
=QUARTILE(A1:H3;3) 1 Troisième quartile Q3
=ECARTYPEP(A1:H3) 0,12 Écart type Attention il faut écrire écart type avec un P au bout ECARTYPEP.
