Chapitre n°3: Statistiques.

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Chapitre n°3: Statistiques.

Objectifs.

O5. Caractéristiques de dispersion : variance, écart-type. Utiliser de façon appropriée les deux couples usuels qui permettent de résumer une série statistiques : (moyenne, écart- type) et (médiane, écart interquartile).

[On utilise la calculatrice ou un logiciel pour déterminer la variance et l'écart-type d'une série statistique]

O3. Diagramme en boite. Étudier une série statistique ou mener une comparaison pertinente de de deux séries statistiques à l'aide d'un logiciel ou d'une calculatrice.

[Des travaux réalisés à l'aide d'un logiciel permettent de faire observer des exemples d'effets de structure lors du calcul de moyennes]

Durée approximative : 3 cours.

Activité d'approche n°1

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2/18 - Chapitre n°3 :Statistiques

Voici le relevé des températures maximales à Londres, Stuttgart et Nantes au mois d’août 2010 (source : météociel)

Londres 23.9 23.4 23.6 20.1 22.3 21.4 21.8 24.5 25.1 19.1

Stuttgart 26.5 21.5 24.1 22.8 22 23.5 25.6 21.4 23.6 28.3

Nantes 21.7 22 21.6 18.9 20.5 22.8 21.5 21.4 22 19.9

Londres 23 20.4 18.1 18.4 22.7 25.4 21 21.3 21.7 21.7

Stuttgart 24.2 22.1 20.7 25.5 17.3 19.9 16.5 21.1 22.6 28.4

Nantes 20.9 20.2 20.3 19.3 20.5 20.1 20.5 19.9 22.7 21.8

Londres 24.3 23.1 21.4 20.5 18.2 21.3 18.5 20.6 19.3 19.2 20.5

Stuttgart 29.2 26.5 23.8 22.2 23 21.6 21.4 17.4 17 16.7 19.2

Nantes 22.5 22.2 19.6 19.9 17.9 19.4 22.9 22.8 19.1 24 24.8

On souhaite déterminer la ville dans laquelle le climat a été le plus tempéré (i.e.

la ville où les différences de température ne sont pas excessives : doux en hivers, et modérément chaud en été).

On a introduit en troisième et en seconde une mesure de la dispersion : l’étendue de la série statistique, c’est-à-dire la différence entre la plus grande et la plus petite valeur prises par la série.

Cet indicateur est-il efficace pour comparer ces trois villes ? Ou au moins deux ? Pourquoi ?

…...

...

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DM n°2

Cours n°1

Chapitre n°3: Statistiques.

I) Caractéristiques de position d'une série statistique

Définition n°1 : Médianes

Dans une série statistique ordonnée, une médiane partage les valeurs prises par le caractère en deux groupes de …... effectif.

Définition n°2 : Moyenne

Soit x1, x_2,x_{3,... ….,}xN une série statistique quantitative de N valeurs.

Si n₁, n₂, n₃,.... …., n_N sont les pondérations des valeurs x1, x_2,x_{3,... ….,}xN, la moyenne pondérée de la série, notée x, est le quotient :

x =

On peut aussi utiliser les fréquences : x = f₁x₁+ f₂x₂+ f₃x₃+...+f _Nx_N

Définition n°3 : Quartiles

Le premier quartile d'une série statistique numérique est la plus petite valeur prise par le caractère telle qu'au moins ... % des valeurs lui soient inférieures ou égales.

Le troisième quartile d'une série statistiques numérique est la plus petite valeur prise par le caractère telle qu'au moins ... % des valeurs lui soient inférieures ou égales.

Remarque :

 De nombreuses calculatrices considèrent les quartiles comme les médianes des deux séries obtenues après avoir partagé la série initiale par sa médiane … ce qui explique les différences constatées. Dans la pratique, ces différences ont peu d’importance vu la taille des séries.

 De la même façon, on peut définir les déciles d’une série statistique.

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Exemple n°1 :

Calculez la moyenne, la médiane, le premier quartile, et le troisième quartile de la série suivante :

3 ; 4 ; 5 ; 4 ; 4 ; 6 ; 9 ; 17

moyenne :...

médiane : ...

premier quartile :...

troisième quartile : …...

Quelle grandeur est la plus influencée par la valeur 17, la moyenne ou la médiane ? …...

Exercice n°1

Ex.8 p.248 (Indice 2011) Exercice n°2

Ex.10 p.248 (Indice 2011)

Cours n°2

II) Caractéristiques de dispersion d'une série statistique.

Définition n°4 : intervalle interquartile

Soit Q1 et Q3 les premier et troisième quartiles d'une série statistique.

L'intervalle interquartile de cette série est l'intervalle [Q1 ; Q3] Exemple n°2

Reprenez l'exemple n°1. Quel est l'intervalle interquartile de cette série ?

…...

Définition n°5 : écart interquartile

Soit Q1 et Q3 les premier et troisième quartiles d'une série statistique.

L'écart interquartile de cette série est la différence Q3 – Q1

Exemple n°3

Reprenez l'exemple n°1. Quel est l'écart interquartile de cette série ?

…...

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Remarque :

 L’écart interquartile mesure la dispersion des valeurs autour de la médiane ; plus l’écart est petit, plus les valeurs de la série appartenant à l’intervalle interquartile sont concentrées autour de la médiane.

 Contrairement à l’étendue ( notée e ) qui mesure l’écart entre la plus grande et la plus petite valeur, l’écart interquartile élimine les valeurs extrêmes qui peuvent être douteuses, cependant il ne tient compte que de 50% de l’effectif …

On peut correctement résumer une série statistique par le couple : ( médiane ; intervalle interquartile )

Exercice n°3

Ex.14 p.249 (Indice 2011)

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Exercice n°4

Ex.15 p.249 (Indice 2011)

Cours n°3

Définition n°6 : diagrammes en boîte

Un diagramme en boite est un rectangle délimité par le premier quartile et le troisième quartile .

Pour l’obtenir, on trace un axe horizontal ( ou vertical ) sur lequel on place les valeurs de Q1 , Q3 et Me . L’un des côtés du rectangle a pour longueur l’écart interquartile, l’autre est quelconque. On complète ce diagramme en traçant deux traits horizontaux : l’un joignant Q1 au minimun de la série et l’autre joignant Q3 au maximun de la série.

Exemple n°4

Reprenez l'exemple n°1. Faites le diagramme en boite de cette série.

…...

Exercice n°5

Ex.24 p.249 (Indice 2011) Exercice n°7*

Ex.67 p.258 (Indice 2011)

Min Q₁ Me Q₂ Max

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Activité d'approche n°2

On reprend la série des températures de l'activité n°1 (Londres, Stuttgart et Paris)

On introduit donc un nouveau paramètre : la variance.

A.Mesurer la dispersion à l’aide de la variance

1. Calculer à l’aide d’un tableur ou d'une calculatrice mL et mN qui représentent les moyennes respectives des deux séries de températures maximales à Londres et à Nantes.

m_{L :}...

m_{N :}...

2. Afficher à l’aide d’un tableur ou sur papier (avec une calculatrice), les carrés des écarts à la moyenne pour chaque valeur.

3. Calculer les moyennes de ces deux séries de carrés. Comparer et

interpréter les résultats trouvés. Chacune de ses moyennes est appelée variance des deux séries statistiques.

Moyenne des carrés des écarts à m_{L :}...

Moyenne des carrés des écarts à m_{N :}...

B.Ecart-type : motivation et calcul Classe 1 :

Note 1 5 9

Effectif 10 10 10

Classe 2 :

Note 4 5 6

Effectif 10 10 10

Classe 3 :

Note 4 5 6

Effectif 5 20 5

1.Estimer sans faire de calcul quelle série est la plus dispersée, laquelle est la moins dispersée. Vérifier en calculant les variances.

V1 :... ; V2 : …... ; V3 : …...

2.Si le professeur décide finalement de noter sur 20 en doublant toutes les notes sur 10, comment est modifiée la variance ? Plus généralement, que se serait-il passé s’il avait multiplié toutes les notes par un coefficient k ?

…...

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...

C’est la raison pour laquelle on introduit l’écart-type de la série, égal à la racine carrée de la variance. Si les valeurs d’une série sont multipliées par k, l’écart-type est multiplié par |_k| . On peut donc dire que l’écart-type est une mesure de la dispersion qui s’exprime dans la même unité que la série.

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Cours n°4

Définition n°7 : Variance et écart-type

Soit x1, x2, x_{3,... ….,}xN une série statistique quantitative de N valeurs, pondérée par les valeurs n1, n2, n3,.... …., nN.

La variance V est la moyenne des carrés des écarts des valeurs x1, x2, x_{3,... ….,}xN

à la moyenne x:

V = 1

n₁+n₂+...+n_N ( n1 (x1 – x )² + n2 (x2 – x)²+ … … nN (xN – x)²) L'écart-type vaut la racine carrée de la variance :

 =

√

V .

Exemple n°5

On reprend l'exemple n°1 : 3 ; 4 ; 5 ; 4 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 calculez la variance et l'écart-type de cette série.

…...

...

Exercice n°8

Ex.52 p.254 (Indice 2011) Exercice n°10*

Ex.55 p.254 (Indice 2011) Exercice n°11**

Ex.69 p.258 (Indice 2011)

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Indices ou résultats permettant de savoir si on a juste ou faux.

Ex.1 : x=9,4 et =2,154 Ex.2 : x=632 et =140,48

Ex.3 : médiane:76,5;q1=71,3 ;q3=77,7 ; I=6,4

Ex.4 : 1. médiane:107,255;q1=106,79;q2=107,99 2. m=107,28;q1=106,87;q3=108,57.

Ex.5 : 1. 50'' ou moins ; 2'50'' ou moins ; 2'50'' ou plus. 2. Entre 50'' et 2'50'' Ex.6 : 1. m:3,q1=2,q3=4 2. é=6;q1-q1=2

Ex.7 : 1. lycée+loin. 2.m=15'' 3. q3-q1=10,5 4. B :25 % viennent en plus de 20', A : 75 % viennent en plus de 20' 5. 20'.

Ex.8 : 1. moy=7/6;v=7/12;=

√

²¹/6 ; 2. 1,1666...;=0,764 Ex.9 : 1. moy=11;=2,24 2. moy=13,=2,24 3. moy=12,1;=2,46 Ex.10 : 1.

2007:moy=27145,=2743;2008:moy=27620,=4420;2009:moy=48349,=6278 2. 2007 à 2008 : bcp+ de variations mensuelles. 2008 à 2009 : moy×2,  augmente moins.

Ex.11 : 1. med :264,55; q₁:262,3 ; q₃:266,2 ; 2. de g. à d. :

255,8;262,2;264,5;266,1;272,9 3. 52,3 % 4. Q₁=262,3 ; Q₃=266,2;I=3,9 → [256,45;272,05] a. 2 valeurs abs. : 255,8 et 272,9 b. 5 % 5. a.

b. Les deux extremums.

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Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail fait en classe :