OPTIMAL PUBLIC INVESTMENT WITH AND WITHOUT GOVERNMENT COMMITMENT

Working Paper Series

This paper can be downloaded without charge from:

http://www.richmondfed.org/publications/

Optimal Public Investment with and without Government Commitment

WP 03-10 Marina Azzimonti-Renzo University of Rochester Pierre-Daniel Sarte

Federal Reserve Bank of Richmond Jorge Soares

George Washington University

oëïäéÇç pñÉçäÑ ièóÜîïéÜèï òäïâ ÇèÖ òäïâêñï gêóÜìèéÜèï cêééäïéÜèï

mÇìäèÇ aõõäéêèïäMrÜèõê päÜììÜMdÇèäÜç sÇìïÜ^|

uèäóÜìîäïö êá rêÑâÜîïÜì fÜÖÜìÇç rÜîÜìóÜ bÇèå êá räÑâéêèÖ

jêìàÜ sêÇìÜî

gÜêìàÜ wÇîâäèàïêè uèäóÜìîäïö

fÜÖÜìÇç rÜîÜìóÜ bÇèå êá räÑâéêèÖ wêìåäèà pÇëÜì PSMQP añàñîï RPPS

aÉîïìÇÑï

wÜ ÇèÇçöõÜ ïâÜ ëìêÉçÜé êá êëïäéÇç ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèï òâÜè àêóÜìèéÜèï ëñìÑâÇîÜî êá ëìêM ÖñÑïäóÜ ÑÇëäïÇç ÇîîÜïî ÇìÜ <èÇèÑÜÖ ïâìêñàâ äèÑêéÜ ïÇôÜîN väìïñÇççö Ççç ëìÜóäêñî òêìå äè ïâäî çäïÜìÇïñìÜ âÇî ëìÜîÑìäÉÜÖ Ç îâÇìÜ êá ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèï äè gdp ïâÇï äî Éêïâ ÑêèîïÇèï ÇèÖ ïäéÜ ÑêèîäîïÜèïN tâäî ëÇëÜì îâêòî ïâÇï ïâäî îïìÇäàâïáêìòÇìÖ ëìÜîÑìäëïäêè ÖÜìäóÜî áìêé îëÜÑä<Ñ ÇîîñéëM ïäêèî ìÜçÇïäèà ïê ëìÜáÜìÜèÑÜî ÇèÖ ïÜÑâèêçêàöN iè Ç éêìÜ àÜèÜìÇç áìÇéÜòêìåL ïâÜ êëïäéÇç ëêçäÑö äî èÜäïâÜì ÑêèîïÇèï èêì ïäéÜ ÑêèîäîïÜèïN wäïâ áñçç ÑêééäïéÜèïL Ç ëêçäÑöéÇåÜì òäçç ïöëäÑÇççö ÑâêêîÜ Ç ïÇô ìÇïÜL êì ÇçïÜìèÇïäóÜçö Ç îâÇìÜ êá ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèïL ïâÇï äèÑìÜÇîÜî êóÜì ïäéÜN hÜ ÖêÜî èêï Üôëçêäï ïâÜ <ìîïMëÜìäêÖ èêèMÖäîïêìïäêèÇìö ïÇô êè ÑÇëäïÇç Éñï äèîïÜÇÖ ÖÜçÇöî ïÇôÇïäêè äè êìÖÜì ïê àÜèÜìÇïÜ Ç 0ïÇåÜMêff1 ëâÇîÜ òäïâ âäàâÜì Ñêèîñéëïäêè ÇèÖ âäàâÜì ëìäóÇïÜ äèóÜîïéÜèïN wÜ Ççîê îâêò ïâÇï Çççêòäèà áêì ÖäîÑìÜïäêè äè ïâÜ ÖÜîäàè êá êëïäéÇç ëêçäÑö ÖêÜî èêï èÜÑÜîîÇìäçö ìÜîñçï äè âäàâÜì çêèàMìñè ïÇôÜî ìÜçÇïäóÜ ïê ïâÜ ÑêééäïéÜèï ÑÇîÜN tâÜìÜáêìÜL ïâÜ äèÇÉäçäïö ïê Ñêééäï ïê áñïñìÜ ëêçäÑö ÑÇè äéëçö çêòÜì ïÇôÜî ÇèÖ ïêê çäïïçÜ ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèï äè ïâÜ çêèà ìñèN fäèÇççöL äè ÑêèïìÇîï ïê ëìÜóäêñî òêìåL ïâÜ ÜffiÑäÜèï îâÇìÜ êá ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèï äè gdp ÖÜëÜèÖî äéëêìïÇèïçö êè ïâÜ äèïÜìïÜéëêìÇç ÜçÇîïäÑäïö êá îñÉîïäïñïäêèL ÑÇëäïÇç ÖÜëìÜÑäÇïäêè ìÇïÜîL ÇèÖ ïâÜ àìêòïâ ìÇïÜî êá ëìêÖñÑïäóäïö ÇèÖ ëêëñçÇïäêèN

jel cçÇîîä<ÑÇïäêèZ eVQL eVRL hQQ

kÜöòêìÖîZ pñÉçäÑ ièóÜîïéÜèïL cêééäïéÜèïL täéÜ ÑêèîäîïÜèÑöL däîÑìÜïäêè

∗tâÜ óäÜòî ÜôëìÜîîÜÖ äè ïâäî ëÇëÜì ÇìÜ ïâÜ ÇñïâêìîG ÇèÖ Öê èêï èÜÑÜîîÇìäçö ìÜëìÜîÜèï ïâêîÜ êá ïâÜ fÜÖÜìÇç rÜîÜìóÜ

bÇèå êá räÑâéêèÖ êì ïâÜ fÜÖÜìÇç rÜîÜìóÜ söîïÜéN wÜ ïâÇèå ëÇìïäÑäëÇèïî Çï ïâÜ RPPS sed éÜÜïäèàîL aèÖìÜÇî hêìèîïÜäèL rêÉÜìï käèàL pÜì kìñîÜççL ÇèÖ ÜîëÜÑäÇççö açÜô wêçéÇè áêì éÇèö âÜçëáñç ÑêééÜèïîN açç Üììêìî ÇìÜ êñì êòèN

|cêììÜîëêèÖÜèÑÜZ päÜììÜMdÇèäÜç sÇìïÜL rÜîÜÇìÑâ dÜëÇìïéÜèïL fÜÖÜìÇç rÜîÜìóÜ bÇèå êá räÑâéêèÖL pNoN bêô RWVRRL räÑâéêèÖL va RSRVQL ÜMéÇäçZ ëäÜììÜNîÇìïÜ`ìäÑâNáìÉNêìà

Q

Q ièïìêÖñÑïäêè

oóÜì ïâÜ ëêîïMòÇì ëÜìäêÖL ïâÜ uNsN îâÇìÜ êá ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèï äè gdp âÇî âêóÜìÜÖ ÇìêñèÖ T ëÜìÑÜèïL Ç îâÇìÜ ïâÇï ÜôÑÜÜÖî ïâÇï êá èÜï ÜôëêìïîN aï äïî ëÜÇåL ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèï âÇî ìÜëìÜîÜèïÜÖ Çî éñÑâ Çî V ëÜìÑÜèï êá gdp áêççêòäèà äèÑìÜÇîÜî äè éäçäïÇìö îëÜèÖäèà ÇîîêÑäÇïÜÖ òäïâ ïâÜ kêìÜÇè òÇìN tâÜ îâÇìÜ êá ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèï òÇî Ççîê îñÉîïÇèïäÇççö ÇÉêóÜ ÇóÜìÇàÜ Öñìäèà ïâÜ ÑêèîïìñÑïäêè êá ïâÜ äèïÜìîïÇïÜ âäàâòÇö îöîïÜé äè ïâÜ QYVPî HîÜÜ fäàñìÜ QIN ièïÜìÜîïäèàçöL fÜìèÇçÖ HQYYYI ÇìàñÜî ïâÇï ïâäî ÜèÖÜÇóêì ëìêóäÖÜÖ Ç îäàèä<ÑÇèï êèÜMïäéÜ äèÑìÜÇîÜ äè ëìêÖñÑïäóäïöN oïâÜì áêìéî êá ëñÉçäÑ ÑÇëäïÇç ïâÇï ÇìÜ ÑêèîäÖÜìÜÖ ïê ÑêèïìäÉñïÜ ïê ÜÑêèêéäÑ ÇÑïäóäïö äèÑçñÖÜ ïâÜ ëìêóäîäêè êá òÇïÜì ÇèÖ îÜòÜì îöîïÜéîL âêîëäïÇçîL îÑâêêçîL ÇäìëêìïîL ÇèÖ ÜóÜè ëñÉçäÑ îÜÑïêì rFdN iï âÇî ÉÜÜè îñààÜîïÜÖ ïâÇï Ç êèÜ ëÜìÑÜèï äèÑìÜÇîÜ äè ëñÉçäÑ ÑÇëäïÇç ÑêèïìäÉñïÜî Çî éñÑâ Çî PZSY ëÜìÑÜèï ïê gdp HaîÑâÇñÜì {QYXY}IN hêòÜóÜìL éÇèö âÇóÜ àÜèÜìÇççö ÉÜÜè îåÜëïäÑÇç êá ïâäî çÇìàÜ ÜçÇîïäÑäïöL ÇèÖ ÜîïäéÇïÜî ìÇèàäèà áìêé PZPS HhñçïÜè ÇèÖ sÑâòÇÉ {QYYQ}I ïê PZR Haä ÇèÖ cÇîîêñ {QYYS}L löèÖÜ ÇèÖ räÑâéêèÖ {QYYS}I ÇìÜ éêìÜ êáïÜè ÑäïÜÖN

tâÜ äÖÜÇ ïâÇï ëñÉçäÑ ÑÇëäïÇç ÑêèïìäÉñïÜî ïê ëìäóÇïÜ ëìêÖñÑïäêè äééÜÖäÇïÜçö ìÇäîÜî Ç èñéÉÜì êá áñèÖÇéÜèïÇç ëêçäÑö íñÜîïäêèîZ wâÇï ÇìÜ ïâÜ ëìêëÜìïäÜî êá ïâÜ êëïäéÇç ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèï ëÇïâ_ tê òâÇï çÜóÜç ÖêÜî äï ÑêèóÜìàÜ ïê äè ïâÜ çêèà ìñèL ÇèÖ âêò ÖêÜî ïâäî çÜóÜç óÇìö òäïâ ïâÜ ñèÖÜìçöäèà ÜÑêèêéäÑ ÜèóäìêèéÜèï_ hêò ÖêÜî ïâÜ ÜÑêèêéö äèâÜìäïÜÖ Éö Ç èÜò àêóÜìèéÜèï äè=ñÜèÑÜ ïâÜ êëïäéÇç îÜíñÜèÑÜ êá ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèï_ iè Ñâêêîäèà ëêçäÑöL òäçç ïâäî àêóÜìèéÜèï âÇóÜ Çè äèÑÜèïäóÜ ïê ÑâÜÇï êè äïî ëìêéäîÜî_ iá îêL òâÇï äî ïâÜ èÇïñìÜ êá ïâÜ ïäéÜ äèÑêèîäîïÜèÑö ëìêÉçÜé_

bÇììê HQYYPIL bÇììê ÇèÖ sÇçÇMäMmÇìïäè HQYYRIL gçêéé ÇèÖ rÇóäåñéÇì HQYYTIL cÇîîêñ ÇèÖ lÇèîM äèà HQYYXIL tñìèêóîåö HQYYYIL eäÑâÜì ÇèÖ tñìèêóîåö HRPPPIL Çî òÜçç Çî aîÑâÇñÜì HRPPPIL ÇìÜ Çéêèà ïâÜ éÇèö ÇìïäÑçÜî ïâÇï éêïäóÇïÜ Ç ëìêÖñÑïäóÜ ìêçÜ áêì àêóÜìèéÜèïN iè ïâÜîÜ ëÇëÜìîL àêóÜìèéÜèï ÜôëÜèÖäïñìÜî ÇìÜ <èÇèÑÜÖ óäÇ äèÑêéÜ ïÇôÜî ÇèÖ ÑêèïìäÉñïÜ ïê ïâÜ ÜÑêèêéöGî ëìêÖñÑïäóÜ ÑÇëÇÑäïöN tâÜ Çñïâêìî <èÖ ïâÇï ïâÜ òÜçáÇìÜMéÇôäéäõäèà äèÑêéÜ ïÇô ìÇïÜ ÖÜëÜèÖî êè áÇÑïêìî îñÑâ Çî ïâÜ êñïM ëñï ÜçÇîïäÑäïö êá ëñÉçäÑ ÑÇëäïÇçL ÑêèàÜîïäêè ÜôïÜìèÇçäïäÜîL ÇèÖ ïâÜ ÖÜàìÜÜ êá ìäóÇçìö äè ëñÉçäÑ àêêÖîN rÜéÇìåÇÉçöL Ççç ïâÜîÜ ÇìïäÑçÜî ëìÜîÑìäÉÜ Çè êëïäéÇç äèÑêéÜ ïÇô ìÇïÜ ïâÇï äî ÑêèîïÇèï êóÜì ïäéÜN

tâÜ ëìÜîÜèï ëÇëÜì ìÜÑêèîäÖÜìî ïâÜ ëìêÉçÜé êá êëïäéÇç ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèï òâÜè ïâÜ àêóÜìèéÜèï ñîÜî äèÑêéÜ ïÇôÜî ïê <èÇèÑÜ äïî ëñìÑâÇîÜî êá ÑÇëäïÇç ÇîîÜïîN iè ëÇìïäÑñçÇìL òÜ <ìîï ÜôëçêìÜ ïâÜ ÇççêÑÇïäêèî ïâÇï ÜéÜìàÜ ñèÖÜì ïâÜ rÇéîÜö êëïäéÇç ëçÇèN oñì ÇèÇçöîäî îâêòî ïâÇï ïâÜ ïäéÜ äèóÇìäM ÇèÑÜ êá ïâÜ êëïäéÇç äèÑêéÜ ïÇô ìÇïÜ áêñèÖ äè ïâÜ ÇÉêóÜ ÇìïäÑçÜî ÖÜìäóÜî áìêé îëÜÑäÇç Çîîñéëïäêèî ïâÇï Ççîê éÇåÜ äï ïäéÜ ÑêèîäîïÜèïN tâÜîÜ Çîîñéëïäêèî äèóêçóÜ ÜäïâÜì îëÜÑä<Ñ ëÇìÇéÜïÜìäõÇïäêèî êá ëìÜáÜìÜèÑÜî ÇèÖ ïÜÑâèêçêàöL êì éêÖÜçäèà ëñÉçäÑ ÑÇëäïÇç Çî Ç =êòN bÜÑÇñîÜ êëïäéÇç ëêçäÑö äî ÇçòÇöî ïäéÜ ÑêèîäîïÜèï äè ïâÜîÜ ëÇëÜìîL ïâÜ èÜÜÖ ïê îïñÖö êëïäéÇç ÖäîÑìÜïäêèÇìö ëêçäÑö èÜóÜì ÇìäîÜîN

iè áÇÑïL Çî äèÖäÑÇïÜÖ äè ïâÜ îÜéäèÇç òêìå êá köÖçÇèÖ ÇèÖ pìÜîÑêïï HQYWWIL ïâÜ ëìÜîÜèÑÜ êá îïÇïÜ óÇìäÇÉçÜîL èÇéÜçö ïâÜ îïêÑåî êá ëñÉçäÑ ÇèÖ ëìäóÇïÜ ÑÇëäïÇçL àÜèÜìÇççö äéëçö ïâÇï êëïäéÇç rÇéîÜö ïÇô ìÇïÜî ÇìÜ èêï ïäéÜ ÑêèîäîïÜèïN tâÜ äéëçÜéÜèïÇïäêè êá rÇéîÜö ÇççêÑÇïäêèîL ïâÜìÜáêìÜL ÇîîñéÜ ïâÇï ïâÜ àêóÜìèéÜèï äî ÇÉçÜ ïê Ñêééäï ïê áñïñìÜ ëêçäÑö ÇÑïäêèîN uèçäåÜ ëìÜóäêñî çäïÜìÇïñìÜL êñì ÇèÇçöîäî

R

âäàâçäàâïî ïâÜ ÖäffÜìÜèÑÜî ÉÜïòÜÜè ïâäî îÑÜèÇìäê ÇèÖ ïâÜ éêìÜ ëìÇàéÇïäÑ áìÇéÜòêìå ïâÇï ÖêÜî èêï ÇîîñéÜ ÑêééäïéÜèïN fêççêòäèà qñÇÖìäèäL kìñîÜççL ÇèÖ räêîMrñçç HQYYWIL òÜ ÑêèîäÖÜì ÇççêÑÇïäêèî ÇîîêÑäÇïÜÖ òäïâ mÇìåêó ïÇô ìÇïÜîN

wÜ <èÖ ïâÇï òäïâ áñçç ÑêééäïéÜèïL Ç ÉÜèÜóêçÜèï ëêçäÑöéÇåÜì àÜèÜìÇççö ÑâêêîÜî Ç çêò <ìîïM

ëÜìäêÖ ïÇô ìÇïÜ ìÜçÇïäóÜ ïê ëìÜóÇäçäèà çêèàMìñè ïÇô ìÇïÜîN uèçäåÜ ïâÜ éêÖÜç êá câÇéçÜö HQYXVIL ïâÜ ëêçäÑöéÇåÜì ÖêÜî èêï èÜÑÜîîÇìäçö ïÇåÜ ÇÖóÇèïÇàÜ êá ïâÜ äèäïäÇç èêèMÖäîïêìïäêèÇìö ïÇô êè ÑÇëäïÇçN ièîïÜÇÖL âÜ éÇö ÑâêêîÜ ïê ÖÜçÇö ïÇôÇïäêè äè êìÖÜì ïê àÜèÜìÇïÜ âäàâÜì Ñêèîñéëïäêè ïêÖÇö Çî òÜçç Çî âäàâÜì ëìäóÇïÜ äèóÜîïéÜèïN^Q tâäî ìÜîñçï âäèàÜî êè ïâÜ áÇÑï ïâÇï âäàâÜì çÜóÜçî êá Ñêèîñéëïäêè äè Çèö ëÜìäêÖ ìÜÖñÑÜ ïâÜ ñïäçäïöMÖÜèêéäèÇïÜÖ ìÜïñìè ïê äèóÜîïéÜèï éÇÖÜ äè ïâÜ ëìÜÑÜÖäèà ëÜìäêÖ ïâìêñàâ äïî ÜffÜÑï êè éÇìàäèÇç ñïäçäïöN hêòÜóÜìL îäèÑÜ èê âäîïêìö Üôäîïî ëìäêì ïê ëÜìäêÖ õÜìêL ïâÜ ëêçäÑöéÇåÜì ÑÇè Çççêò áêì âäàâ Ñêèîñéëïäêè äè ïâÜ äèäïäÇç ëÜìäêÖ òäïâêñï ÑêèÑÜìè áêì ÖäîïêìïäêèÇìö ÜffÜÑïî êè ëÇîï äèóÜîïéÜèï ÖÜÑäîäêèîN tâñîL ñèÖÜì áñçç ÑêééäïéÜèïL êëïäéÇç ëêçäÑö îñààÜîïî Ç 0ïÇåÜMêff1 ëâÇîÜ äè òâäÑâ ïÇôÜî ÇèÖ ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèï ÇìÜ çêòL ÇèÖ Éêïâ Ñêèîñéëïäêè ÇèÖ ëìäóÇïÜ äèóÜîïéÜèï ÇìÜ ÜèÑêñìÇàÜÖN

açêèà Ç ÉÇçÇèÑÜÖ àìêòïâ ëÇïâL ïâÜ êëïäéÇç ïÇô ìÇïÜ áÇççî îâêìï êá ïâÜ ÜçÇîïäÑäïö êá gdp òäïâ ìÜM îëÜÑï ïê ëñÉçäÑ ÑÇëäïÇçN iè ÑêèïìÇîïL ïâÜ Üôäîïäèà çäïÜìÇïñìÜ êè ëìêÖñÑïäóÜ ëñÉçäÑ îëÜèÖäèà áìÜíñÜèïçö ìÜÑêééÜèÖî Ç ïÇô ìÇïÜ ïâÇï ÜôÇÑïçö ÜíñÇçî ïâÜ ëñÉçäÑ ÑÇëäïÇç ÜçÇîïäÑäïö êá êñïëñïN tâäî ëìÜîÑìäëïäêè ÇëëÜÇìî äè bÇììê HQYYPIL bÇììê ÇèÖ sÇçÇMäMmÇìïäè HQYYRIL tñìèêóîåö HQYYYI ÇÉîÜèï ñèÑÜìïÇäèïöL Çî òÜçç Çî aîÑâÇñÜì HRPPPI Çéêèà êïâÜìîL Éñï êèçö éÇôäéäõÜî îïÜÇÖö îïÇïÜ òÜçáÇìÜ äè êñì áìÇéÜM òêìåN iï äî ÇèÇçêàêñîL ïâÜìÜáêìÜL ïê Ç ëêçäÑö àêçÖÜè ìñçÜ ÇèÖ ÜéÜìàÜî Çî ïâÜ áñççö êëïäéÇç îêçñïäêè êèçö äè îäïñÇïäêèî òâÜìÜ ïâÜ ÜÑêèêéö çÇÑåî ïìÇèîäïäêè ÖöèÇéäÑî ïê ïâÜ ÉÇçÇèÑÜÖ àìêòïâ ëÇïâN^R iè àÜèÜìÇçL ïâÜ êëïäéÇç îïÜÇÖö îïÇïÜ îâÇìÜ êá ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèï äè gdp ÖÜëÜèÖî äéëêìïÇèïçö êè ïâÜ äèïÜìïÜéëêìÇç ÜçÇîïäÑäïö êá îñÉîïäïñïäêèL ÑÇëäïÇç ÖÜëìÜÑäÇïäêè ìÇïÜîL Çî òÜçç Çî ïâÜ ìÇïÜî êá ïÜÑâèäÑÇç ëìêàìÜîî ÇèÖ ëêëñçÇïäêè àìêòïâN mêìÜêóÜìL êñì éêÖÜç èÜîïî Ç îëÜÑäÇç ÑÇîÜ òâÜìÜ ïâÜ ÜíñäóÇçÜèï êá Ç éêÖä<ÜÖ ëêçäÑö àêçÖÜè ìñçÜ äî êëïäéÇçN tâäî ìñçÜ îñààÜîïî ÖäîÑêñèïäèà ïâÜ ëñÉçäÑ ÑÇëäïÇç ÜçÇîïäÑäïö êá êñïëñï Éö ÜôÇÑïçö ïâÜ ìÇïÜ êá ïäéÜ ëìÜáÜìÜèÑÜ äè ïâÜ çêèà ìñèN wâäçÜ ïâäî îêçñïäêè ÖêÜî èêï âêçÖ àÜèÜìÇççöL òÜ îâêò ïâÇï ïâÜ êëïäéÇç ïÇô ìÇïÜ èÜóÜìïâÜçÜîî ÇçòÇöî áÇççî ÉÜçêò bÇììêGî HQYYPI îêçñïäêèN iè ÜîîÜèÑÜL Ççïâêñàâ ïâÜ îäéëçÜ ëêçäÑö àêçÖÜè ìñçÜ çÜÇÖî ïê éêìÜ ëñÉçäÑ äèáìÇîïìñÑïñìÜ ìÜçÇïäóÜ ïê ëìäóÇïÜ ÑÇëäïÇçL ïâÜ äéëÇïäÜèÑÜ ìÜ=ÜÑïÜÖ äè ïâÜ ìÇïÜ êá ïäéÜ ëìÜáÜìÜèÑÜ éÜÇèî ïâÇï äï äî èêï êëïäéÇç ïê ìÜÖñÑÜ ÑñììÜèï Ñêèîñéëïäêè ïâìêñàâ âäàâÜì ïÇôÜî ïê ìÜÇÑâ ïâäî âäàâÜì ìÇïäêN

wäïâêñï Ç ÑêééäïéÜèï ïÜÑâèêçêàöL ïâÇï äî òâÜè àêóÜìèéÜèïî îÜï ëêçäÑö äè Ç ÖäîÑìÜïäêèÇìö áÇîâäêèL êëïäéÇç ïÇô ìÇïÜî ÜéÜìàÜ ïê ÉÜ îñìëìäîäèàçö çêòÜì ïâÇè ïâêîÜ ñèÖÜì áñçç ÑêééäïéÜèï äè ïâÜ çêèà ìñèN tâÜìÜáêìÜL ïâÜ äèÇÉäçäïö ïê ÇÉäÖÜ Éö ëÇîï ëìêéäîÜî ÜóÜèïñÇççö çÜÇÖî ïê ïêê çäïïçÜ ëñÉçäÑ

QcâÇéçÜö HQYXVI ÑêèîäÖÜìî ïâÜ ëìêÉçÜé êá ïâÜ êëïäéÇç ÖäîïìäÉñïäêè êá ïÇôÜî ÇÑìêîî áÇÑïêìî àäóÜè Çè ÜôêàÜèêñî ëÇïâ

áêì àêóÜìèéÜèï ÜôëÜèÖäïñìÜîN oñì ÇèÇçöîäî äèîïÜÇÖ áêÑñîÜî êè ïâÜ êëïäéÇç ÑâêäÑÜ êá àêóÜìèéÜèï äèóÜîïéÜèï àäóÜè Çè ÜôêàÜèêñî äèÑêéÜ ïÇô îïìñÑïñìÜN

Raî tñìèêóîåö HQYYWI ëêäèïî êñïL éêîï êá ïâÜ Üôäîïäèà çäïÜìÇïñìÜ éêÖÜçî ëìêÖñÑïäóÜ ÑêèïìäÉñïäêèî áìêé àêóÜìèM

éÜèï ÜôëÜèÖäïñìÜî Çî Ç =êòN tê ïâÜ ÖÜàìÜÜ ïâÇï äï äî ëñÉçäÑ äèáìÇîïìñÑïñìÜ ïâÇï äèÑìÜÇîÜî ëìêÖñÑïäóÜ ÑÇëÇÑäïöL ïâäî áêìéñçÇïäêèL òâäçÜ ÜÇîäçö ïìÇÑïÇÉçÜL äî íñÜîïäêèÇÉçÜ äè ïâÇï äï äî ïâÜ îïêÑå ìÇïâÜì ïâÇè ïâÜ =êò ïâÇï éÇïïÜìîN

S

äèóÜîïéÜèïN uèÖÜì ÖäîÑìÜïäêèL îñÑÑÜîîäóÜ ëêçäÑöéÇåÜìî ïÇåÜ Çî àäóÜè ïâÜ ÖÜÑäîäêè ìñçÜ ÇÖêëïÜÖ Éö ïâÜäì îñÑÑÜîîêìN eÇÑâ àêóÜìèéÜèï ïâÜè ïÜèÖî ïê 0ÑâÜÇï1 ÇèÖ ïê éäéäÑ ïâÜ <ìîï ëÜìäêÖ ÉÜâÇóäêì êá Ç rÇéîÜö ëêçäÑöéÇåÜìL òâäÑâ äî ïê îÜï Ç çêò ïÇô ìÇïÜN tâñîL îïÜÇÖö îïÇïÜ ÖäîÑìÜïäêèÇìö ïÇô ìÇïÜî éÇö ñçïäéÇïÜçö ÜèÖ ñë çêòÜì ïâÇè ïâêîÜ ñèÖÜì ïâÜ rÇéîÜö ëçÇèN tâäî ïöëÜ êá çêèàMìñè ìÜîñçï Ççîê ÇëëÜÇìî äè kçÜäèL kìñîÜçç ÇèÖ räêîMrñçç HRPPSI Éñï áêì Ç ëÇìïäÇççö ÖäffÜìÜèï ìÜÇîêèN iè ïâÜäì áìÇéÜòêìåL 0Çè ñèÑêééäïïÜÖ àêóÜìèéÜèï ÖêÜî èêï ïÇåÜ äèïê ÇÑÑêñèï ïâÇï ïêÖÇöGî ïÇôÜî äèÑìÜÇîÜ öÜîïÜìÖÇöGî äèÑÜèïäóÜî ïê òêìå1L ÇèÖ ïâäî ÜffÜÑï âÜçëî äèÖñÑÜ Ç îéÇççÜì àêóÜìèéÜèï îÜÑïêìN wÜ îâñï Öêòè ïâäî éÜÑâÇèäîé Éö <ôäèà çÇÉêì îñëëçö ÜôêàÜèêñîçöL ÇèÖ äèîïÜÇÖ áêÑñî êè ïâÜ äéëçäÑÇïäêèî êá ïÇôÇïäêè äè Ç àäóÜè ëÜìäêÖ áêì Ñêèîñéëïäêè ÇèÖ äèóÜîïéÜèï äè ïâÜ ëìÜóäêñî ëÜìäêÖN iè ëÇìïäÑñçÇìL òÜ ÜéëâÇîäõÜ ïâÜ äéëêìïÇèÑÜ êá ïâÜ <ìîï ëÜìäêÖGî äèÑÜèïäóÜî ñèÖÜì ÑêééäïéÜèï äè ÜôëçÇäèäèà ïäéÜ ÑêèîäîïÜèï ïÇô ìÇïÜîN

tâäî ëÇëÜì äî êìàÇèäõÜÖ Çî áêççêòîN sÜÑïäêè R îÜïî ïâÜ ÉÇîäÑ ïâÜêìÜïäÑÇç áìÇéÜòêìå ÇèÖ ÖÜìäóÜî Ç ëêçäÑö àêçÖÜè ìñçÜ áêì ëñÉçäÑ ÑÇëäïÇçN sÜÑïäêè S ÇÖÖìÜîîÜî êëïäéÇç ëêçäÑö áìêé ïâÜ îïÇèÖëêäèï êá Ç ÉÜèÜóêçÜèï àêóÜìèéÜèï ïâÇï ÑÇè ÑìÜÖäÉçö Ñêééäï ïê áñïñìÜ ëêçäÑö ÇÑïäêèîN iè îÜÑïäêè TL òÜ ìÜçÇô ïâÜ Çîîñéëïäêè êá áñçç ÑêééäïéÜèï ÇèÖ ÑêèîïìÇäè êëïäéÇç ëêçäÑö ïê ÉÜ ïäéÜ ÑêèîäîïÜèïN sÜÑïäêè U ÑêèÑçñÖÜî ÇèÖ îñààÜîïî îêéÜ ÖäìÜÑïäêèî áêì áñïñìÜ ìÜîÜÇìÑâN

R eÑêèêéäÑ eèóäìêèéÜèï

tâäî îÜÑïäêè îÜïî êñï ïâÜ ÉÇîäÑ ÜèóäìêèéÜèï ÇèÖ ÖÜìäóÜî ïâÜ îïÜÇÖö îïÇïÜ òÜçáÇìÜMéÇôäéäõäèà ëêçäÑö òâäÑâ òÜ ïìÜÇï Çî Ç ÉÜèÑâéÇìåN wÜ ÉÜàäè òäïâ Ç ÑçêîÜÖ ÜÑêèêéö òâÜìÜ Ç çÇìàÜ èñéÉÜì êá <ìéî ëìêÖñÑÜ Ç îäèàçÜ <èÇç àêêÖ ÇÑÑêìÖäèà ïê ïâÜ ïÜÑâèêçêàöL

y_ö ] k_ö ^αHõ_öç_ön_öI^ü−α 2 kõö

n_ö 3θ

L HQI

òâÜìÜ P \ α \ QL ÇèÖ P \ θ \ Q − α äî ïâÜ ëñÉçäÑ ÑÇëäïÇç ÜçÇîïäÑäïö êá êñïëñïN tâÜ óÇìäÇÉçÜî k_ö ÇèÖ kõö ÖÜèêïÜ ïâÜ îïêÑåî êá ëìäóÇïÜ ÇèÖ ëñÉçäÑ îÜÑïêì ÑÇëäïÇç Çï ÖÇïÜ ï ìÜîëÜÑïäóÜçöN tâÜ îäõÜ êá ïâÜ ëêëñçÇïäêè äè ïâÜ ÜÑêèêéö äî àäóÜè Éö n_öN tâñîL èêïÜ ïâÇï Ç çÇìàÜì ëêëñçÇïäêè îäõÜ ìÜÖñÑÜî ïâÜ ÜffÜÑïäóÜèÜîî êá ïâÜ ëñÉçäÑ ÑÇëäïÇç îïêÑå äè ëìêÖñÑïäêèN aèÇçêàêñîçö ïê bÇììê ÇèÖ sÇçÇMäMmÇìïäè HQYYRIL ïâäî áÜÇïñìÜ ÑÇëïñìÜî ÑêèàÜîïäêè ÜffÜÑïî äè ïâÜ ñîÜ êá àêóÜìèéÜèï äèáìÇîïìñÑïñìÜ îñÑâ Çî âäàâòÇöîL òÇïÜì îöîïÜéîL âêîëäïÇçîL ÜïÑNNN aîäÖÜ áìêé ÑêèàÜîïäêèL ïâÜ ïÜÑâèêçêàö äè HQI äî êáïÜè ñîÜÖ ïê éêïäóÇïÜ Ç ìêçÜ áêì àêóÜìèéÜèïN tâäî äî ïâÜ ÑÇîÜ äè bÇôïÜì ÇèÖ käèà HQYYSIL áêì äèîïÇèÑÜL òâäÑâ áêÑñîÜî êè ïâÜ ÜffÜÑïî êá îâäáïî äè ÜôêàÜèêñî ëêçäÑäÜîN

pêëñçÇïäêè àìêòî Çï ìÇïÜ γ_$ ^ Q êóÜì ïäéÜ îê ïâÇï

nö ] γ_$ nö−üL nÑ ] QN HRI

tâÜ ÜôëìÜîîäêè õ_öç_ö äè HQI ìÜëìÜîÜèïî ïâÜ íñÇèïäïö êá îåäççMòÜäàâïÜÖ çÇÉêì äèëñïL òâÜìÜ çÇÉêìM ÇñàéÜèïäèà ïÜÑâèäÑÇç ëìêàìÜîî Çççêòî áêì äèÑìÜÇîÜî äè õ_ö Çï ìÇïÜ γ_ú ^ QL

õö ] γ_ú õö−üL õÑ ] QN HSI T

wÜ ïìÜÇï ïâÜ ëÜì ÑÇëäïÇ îïêÑå êá ëñÉçäÑ ÑÇëäïÇç Çî ÉÜäèà ÇóÇäçÇÉçÜ ïê Ççç <ìéîN iè êïâÜì òêìÖîL òÜ ïìÜÇï k_õö]n_ö äî äèïÜìëìÜïÜÖ Çî Ç ëñÉçäÑ àêêÖ ïâÇï ÇÑïî Çî Ç Ñêééêè ÜôïÜìèÇçäïö òäïâ ìÜîëÜÑï ïê ÜÇÑâ <ìéGî ëìêÖñÑïäêèN

pñÉçäÑ äèóÜîïéÜèïL i_õöL äî <èÇèÑÜÖ Éö Ç =Çï ïÇô êè äèÑêéÜL P \ τ _ö \ QL ïâÇï ÑÇè óÇìö òäïâ ïäéÜN hÜèÑÜL iõö ] τ öyö ÇèÖ òÜ ÑÇè ÜôëìÜîî èÜò êñïçÇöî êá ëñÉçäÑ ÑÇëäïÇçL kõöåüL Çî

kõöåü ] τ öyö K HQ − δIkõöL HTI

ùúõû

pñÉçäÑ ièóÜîïéÜèï

kõÑ ^ P àäóÜèN

òâÜìÜ P \ δ \ QN oÉîÜìóÜ ïâÇï τ ö Ççîê ÑêììÜîëêèÖî ïê ïâÜ îâÇìÜ êá àìêîî ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèï äè gdpL i_õö]y_öN aî äè kçÜäè ÜïN ÇçN HRPPSIL òÜ ÇÉîïìÇÑï áìêé îêóÜìÜäàè ÖÜÉï ÑêèîäÖÜìÇïäêèîN gäóÜè ïâÜ ÖäffiÑñçïö êá äéëêîäèà Ç èêMpêèõäMàÇéÜ ÑêèÖäïäêè êè îñÑÑÜîîäóÜ àêóÜìèéÜèïî äè ïâÜ ÇèÇçöîäî êá ïäéÜ ÑêèîäîïÜèï ëêçäÑäÜîL ïâÜ äèÑçñîäêè êá ÖÜÉï òêñçÖ ìÜíñäìÜ äèïìêÖñÑäèà Çè ÇçïÜìèÇïäóÜ ÑêèîïìÇäèïN wâäçÜ ëêïÜèïäÇççö äèïÜìÜîïäèàL òÜ çÜÇóÜ ïâäî ÑêèîäÖÜìÇïäêè ïê áñïñìÜ ìÜîÜÇìÑâN

RNQ fäìéî

wÜ ÖÜèêïÜ Éö ì_ö ÇèÖ w_ö ìÜîëÜÑïäóÜçö ïâÜ ìÜèïÇç ëìäÑÜ êá ëìäóÇïÜ ÑÇëäïÇç ÇèÖ ïâÜ òÇàÜ Çï ÖÇïÜ ïN tÇåäèà Çî àäóÜè ïâÜ îÜíñÜèÑÜL áìö[ wöà^∞öDÑL ÜÇÑâ <ìé éÇôäéäõÜî ëìê<ïî ÇèÖ îêçóÜî

2 3θ

éÇô Π_ö ] k_ö ^αHõ_öç_ön_öI^ü−α k_õö

− ì_ök_ö − w_öç_ön_öZ HUI

ÖöÅ Iö$ö n_ö

tâÜ ÑêììÜîëêèÖäèà <ìîïMêìÖÜì ÑêèÖäïäêèî âÜçë ÖÜïÜìéäèÜ ì_ö ÇèÖ w_öN

RNR hêñîÜâêçÖî

tâÜ ÜÑêèêéö äî äèâÇÉäïÜÖ Éö Ç çÇìàÜ èñéÉÜì êá äÖÜèïäÑÇç âêñîÜâêçÖî ïâÇï ÑêéëìäîÜ êèÜ êì éêìÜ òêìåäèà éÜéÉÜìî êá ïâÜ ÑñììÜèï àÜèÜìÇïäêèN fÇéäçö îäõÜ äî ÇîîñéÜÖ ïê äèÑìÜÇîÜ Çï ïâÜ ìÇïÜ êá ëêëM ñçÇïäêè àìêòïâN iè éÇåäèà ëçÇèîL âêñîÜâêçÖî ïÇåÜ ÇÑÑêñèï êá ïâÜäì ÖÜîÑÜèÖÇèïîL ÇèÖ òÜ îñééÇìäõÜ ïâäî äèïÜìàÜèÜìÇïäêèÇç çäèåÇàÜ Éö Üèóäîäêèäèà ïâÇï ÜÇÑâ àÜèÜìÇïäêè éÇôäéäõÜî ñïäçäïö îñÉãÜÑï ïê Ç ÉñÖàÜï ÑêèîïìÇäèï êóÜì Çè äè<èäïÜ âêìäõêèN^S iá cö ìÜëìÜîÜèïî ïêïÇç Ñêèîñéëïäêè Çï ïL ïâÜè cö]nö äî Ñêèîñéëïäêè ëÜì âêñîÜâêçÖ éÜéÉÜìN aîîñéäèà ïâÇï ëìÜáÜìÜèÑÜî ÇìÜ êá ïâÜ cêèîïÇèï rÜçÇïäóÜ räîå aóÜìîäêè ïöëÜL ÜÇÑâ âêñîÜâêçÖ éÇôäéäõÜî

x ∞

u ] β^öγ^ö _$ ñHc_ö]n_öI[ HVI

öDÑ

òâÜìÜ ñHcö]nöI ] Hcö]nöI^ü−σ

òâÜè σ 6] QL Q − σ

ñHcö]nöI ] çèHcö]nöI òâÜè σ ] QL

SsÜÜ bÇììê HQYWTIN

U

ÇèÖ P \ β \ Q äî ïâÜ îñÉãÜÑïäóÜ ÖäîÑêñèï ìÇïÜN aï ÜÇÑâ ÖÇïÜL âêñîÜâêçÖî ÖÜÑäÖÜ âêò éñÑâ ïê ÑêèîñéÜ ÇèÖ îÇóÜ Çî òÜçç Çî âêò éñÑâ ÑÇëäïÇç ïê ìÜèï ïê <ìéîN

eÇÑâ âêñîÜâêçÖ äî ÇîîñéÜÖ ïê ÉÜ ÜèÖêòÜÖ òäïâ êèÜ ñèäï êá ïäéÜL ç_ö ] QL òâäÑâ ïâÜö îñëëçö äèÜçÇîïäÑÇççöN tâÜ ìÜëìÜîÜèïÇïäóÜ âêñîÜâêçÖGî ÉñÖàÜï ÑêèîïìÇäèï äî àäóÜè Éö

c_ö K i_ö ] HQ − τ _öI {w_ön_öç_ö K ì_ök_ö} [ HWI òâÜìÜ

köåü ] iö K HQ − δIkö[ HXI k_Ñ ^ P àäóÜèN

bÜáêìÜ ëìêÑÜÜÖäèà òäïâ ïâÜ ÖÜîäàè êá êëïäéÇç ëêçäÑöL òÜ <èÖ äï âÜçëáñç ïê ÖÜìäóÜ ïâÜ ÜÑêèêéöGî ÑêèîïÇèï ÉÇçÇèÑÜÖ àìêòïâ ìÇïÜ äè ïâÜ îïÜÇÖö îïÇïÜN aî îâêòè äè käèàL pçêîîÜìL rÜÉÜçê HQYXXIL ïâäî òäçç ÜóÜèïñÇççö Çççêò ñî ïê ÜôëìÜîî ëìÜáÜìÜèÑÜî ÇèÖ ïÜÑâèêçêàö äè ïÜìéî êá ïìÇèîáêìéÜÖ óÇìäÇÉçÜî ïâÇï ÇìÜ ÑêèîïÇèï äè ïâÜ îïÜÇÖö îïÇïÜN

RNS bÇçÇèÑÜÖ gìêòïâ

iè ïâÜ áêççêòäèà ÖäîÑñîîäêèL òÜ ÖÜèêïÜ ïâÜ çêèàMìñè àìêòïâ ìÇïÜ êá Ç àäóÜè óÇìäÇÉçÜ x_ö Éö γ_Ñ N eíñÇïäêè HTI ÇèÖ HXI äéëçö γ_Öõ ] γ_rõ ÇèÖ γ_Ö ] γ_r ìÜîëÜÑïäóÜçöN iï áêççêòî áìêé HWI ïâÇï γ₉ ] γ_r ] γ_rõ ] γ_í N hÜèÑÜL Ççç óÇìäÇÉçÜî äè ïâÜ ÜÑêèêéö ÜóÜèïñÇççö àìêò Çï ïâÜ Ñêééêè àìêòïâ ìÇïÜ

ü−α ü−α−θ

γ_í N fìêé ïâÜ ïÜÑâèêçêàö äè HQIL äï äééÜÖäÇïÜçö ïìÇèîëäìÜî ïâÇï γ_í ] γ_ú γ_$ L îê ïâÇï êñïëñï àìêòïâ ìÜ=ÜÑïî Éêïâ çÇÉêìMÇñàéÜèïäèà ïÜÑâèäÑÇç ëìêàìÜîî ÇèÖ ëêëñçÇïäêè àìêòïâN iè ëÜì ÑÇëäïÇ ïÜìéîL çêèàMìñè àìêòïâ äî îäéëçö ÖÜèêïÜÖ Éö

ü−α ü−α−θ

γ ] γ_ú Z HYI

gäóÜè ïâÇï gdp àìêòî Çï ìÇïÜ γγ_$ L Ç îÜèîäÉçÜ èêìéÇçäõÇïäêè áêì êñì ÜÑêèêéö äî êèÜ òâäÑâ ÜôëìÜîîÜî êñì éêÖÜçGî óÇìäÇÉçÜî äè ÖÜïìÜèÖÜÖ ëÜì ÑÇëäïÇ áêìéL òâäÑâ òÜ òìäïÜ ÉÜçêò Çî çêòÜì ÑÇîÜ çÜïïÜìîN tâñîL òÜ òìäïÜ ïâÜ ÖÜïìÜèÖÜÖ ëÜì ÑÇëäïÇ ÑêñèïÜìëÇìï êá Çèö óÇìäÇÉçÜ xö ïâÇï àìêòî Çï ìÇïÜ γγ_$ äè ïâÜ çêèàMìñè Çî ô_ö ] x_ö] n_öγ^ö ! N fñìïâÜìéêìÜL èêïÜ ïâÇï ïâäî ïìÇèîáêìéÜÖ óÇìäÇÉçÜ òäçç ïâÜè ÉÜ ÑêèîïÇèï äè ïâÜ îïÜÇÖö îïÇïÜN

RNT tâÜ tìÇèîáêìéÜÖ eÑêèêéöZ dÜîÑìäëïäêè êá Ç pêçäÑö gêçÖÜè rñçÜ

wÜ èêò ÖÜìäóÜ ïâÜ îïÜÇÖö îïÇïÜ òÜçáÇìÜMéÇôäéäõäèà ëêçäÑö áêì ïâäî ÜÑêèêéö ÇèÖ ìÜçÇïÜ äï ïê ÜÇìçäÜì òêìå êè êëïäéÇç <îÑÇç ëêçäÑöN tÇåäèà ïâÜ îÜíñÜèÑÜ êá ëìäÑÜîL áìöLòöà^∞öDÑL ÇèÖ ïâÜ îÜíñÜèÑÜ êá ïÇô ìÇïÜîL áτ _öà^∞ öDÑL Çî àäóÜèL ïâÜ âêñîÜâêçÖGî ëìêÉçÜé éÇö ÉÜ ÜôëìÜîîÜÖ Çî

x 0 ∞ 1ö Ñ^ü−σ

éÇô u ] βγ_$ γ^{bü−σ9 ö} L HpQI

ípöÅ Cöåü 8^∞öDÑ öDÑ ù úõ û Q − σ

β ∗

V

îñÉãÜÑï ïê

Ñö K γ_$ γåöåü − HQ − δIåö ] HQ − τ öI {òöçö K ìöåö} HQPI åÑ ^ P àäóÜèL

òâÜìÜ ì_ö ] αHö_ö]å_öIL ò_ö ] HQ − αIHö_ö]ç_öIL ÇèÖ ö_ö ] å_ö ^αç_ö ^ü−αå_õö^θ N tâÜ èêìéÇçäõÜÖ ÖäîÑêñèï ìÇïÜL β^∗ ] βγ_$ γ^bü−σ9L ìÜ=ÜÑïî ïâÜ ÜèàäèÜî êá ÜÑêèêéäÑ àìêòïâ äè ïâÜ ñîñÇç áÇîâäêèN iè êìÖÜì áêì HpQI ïê ÉÜ òÜçç ÖÜ<èÜÖL òÜ ÇîîñéÜ γ_$ γ^bü−σ9 \ Q]βN tâäî äéëêîÜî Çè ñëëÜì ÉêñèÖ êè ïâÜ ÜôïÜèï êá ïÜÑâèäÑÇç ëìêàìÜîî ÇèÖ ëêëñçÇïäêè àìêòïâN

tâÜ îêçñïäêè ïê ïâÜ âêñîÜâêçÖGî ÖöèÇéäÑ êëïäéäõÇïäêè ëìêÉçÜé öäÜçÖî ïâÜ áÇéäçäÇì eñçÜì ÜíñÇM ïäêèL

γ_$ γÑ⁻_ö ^σ ] β ^∗Ñ⁻_öåü ^σ {HQ − τ _öåüIì_öåü K Q− δ} [ HQQI

ïâÇï ÖÜîÑìäÉÜî ÖÜÑÜèïìÇçäõÜÖ ÇççêÑÇïäêèî êóÜì ïäéÜN iè HQQIL ïÇôÜî Öäîïêìï ëìäóÇïÜ äèÑÜèïäóÜî ïê ÑêèM îñéÜ ÇèÖ îÇóÜL Éñï Ççîê äèÖñÑÜ âäàâÜì áñïñìÜ ìÜïñìèî ïê ëìäóÇïÜ äèóÜîïéÜèï ïâìêñàâ ïâÜ ÖÜóÜçêëéÜèï êá ëñÉçäÑ äèáìÇîïìñÑïñìÜN sëÜÑä<ÑÇççöL ïâÜ ìÜïñìè ïê ëìäóÇïÜ äèóÜîïéÜèïL ìöåüL ÖÜëÜèÖî êè å_õöåü^θ N a íñÜîïäêè ïâÜè äééÜÖäÇïÜçö ÇìäîÜî Çî ïê òâÜìÜ ïê îÜï ïâÜ ïÇô ìÇïÜL êì ÜíñäóÇçÜèïçöL ïâÜ îâÇìÜ êá ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèï äè êñïëñïN

pÜìâÇëî ïâÜ îäéëçÜîï êì éêîï Ñêééêè ÇèîòÜì ïê ïâäî íñÜîïäêèL ïâÇï äî ïâÜ îäéëçÜîï èêïäêè êá êëïäéÇç ëêçäÑöL äî ïê îÜï ïâÜ ïÇô ìÇïÜ îê Çî ïê éÇôäéäõÜ îïÜÇÖö îïÇïÜ òÜçáÇìÜN iè êñì áìÇéÜòêìåL ïâäî ÑêèÑÜëï êá êëïäéÇç ëêçäÑö ìÜëçäÑÇïÜî bÇììêGî HQYYPI êëïäéÇç ïÇô ìÇïÜ ÇèÖL áñìïâÜìéêìÜL äî ÇèÇçêàêñî ïê Ç àêçÖÜè ìñçÜ áêì ëñÉçäÑ ÑÇëäïÇçN

fìêé ÜíñÇïäêè HQQIL ÇèÖ ïâÜ ÇÑÑñéñçÇïäêè ÜíñÇïäêè áêì ëñÉçäÑ ÑÇëäïÇç äè ÖÜïìÜèÖÜÖ áêìéL

γ_$ γå_õöåü ] τ _öö_ö K HQ − δIå_õö[ HQRI

ïâÜ îïÜÇÖö îïÇïÜ ìÇïäê êá ëñÉçäÑ ïê ëìäóÇïÜ ÑÇëäïÇç îÇïäî<Üî â _γ

β

$ ∗ γ

− HQ − δI ä å_õ τ

å ] Z HQSI

α {γ_$ γ − HQ − δI} HQ − τ I

mêìÜ îëÜÑä<ÑÇççöL ïâÜ âäàâÜì ïâÜ ïÇô ìÇïÜL ïâÜ çêòÜì ïâÜ ÇáïÜìMïÇô ìÜïñìè ïê ëìäóÇïÜ ÑÇëäïÇç ÇèÖ ïâÜ éêìÜ àêóÜìèéÜèï äèóÜîïéÜèï ïÇåÜî ëçÇÑÜN tâÜìÜáêìÜL ïâÜ ìÇïäê êá ëñÉçäÑ äèáìÇîïìñÑïñìÜ ïê ëìäóÇïÜ ÑÇëäïÇç ìäîÜî òäïâ τ N gäóÜè ÜíñÇïäêè HQSIL êèÜ ÑÇè ÜÇîäçö îâêò ïâÇï îïÜÇÖö îïÇïÜ òÜçáÇìÜ äèÑìÜÇîÜî éêèêïêèäÑÇççö òäïâ åL ÇèÖ äî êïâÜìòäîÜ äèÖÜëÜèÖÜèï êá τ N iï áêççêòî ïâÇï éÇôäéäõäèà îïÜÇÖöMîïÇïÜ òÜçáÇìÜ òäïâ ìÜîëÜÑï ïê τ ìÜÖñÑÜî ïê <èÖäèà ïâÜ ïÇô ìÇïÜ ïâÇï éÇôäéäõÜî îïÜÇÖö îïÇïÜ ëìäóÇïÜ ÑÇëäïÇçN aî äè ÑêèóÜèïäêèÇç òäîÖêéL ïâäî éÇôäéäõÇïäêè ëìêÉçÜé ëìÜîÑìäÉÜî îÜïïäèà τ ] θN

tâÜ îïÇìåèÜîî êá ïâäî îïÇèÖÇìÖ <èÖäèà îïÜéî áìêé ïâÜ áÇäçñìÜ ïê ïÇåÜ äèïê ÇÑÑêñèï ïìÇèîäïäêè ÖöèÇéäÑîN iè éñÑâ êá ïâÜ çäïÜìÇïñìÜ êè ëìêÖñÑïäóÜ àêóÜìèéÜèïL ïâÜ êñïÑêéÜ τ ] θ ÇëëÜÇìî Çî ïâÜ áñçç òÜçáÇìÜ éÇôäéäõäèà îêçñïäêè ëìÜÑäîÜçö ÉÜÑÇñîÜ ïâÜîÜ éêÖÜçî çÇÑå Çèö ÖöèÇéäÑî ïê ïâÜ ÉÇçÇèÑÜÖ àìêòïâ ëÇïâN tâäî äî ïâÜ ÑÇîÜL áêì äèîïÇèÑÜL äè éÇèö êá ïâÜ ÜèÖêàÜèêñî àìêòïâ éêÖÜçî äèîëäìÜÖ Éö bÇììê HQYYPIN gäóÜè ïâÇï α çäÜî îêéÜòâÜìÜ ÉÜïòÜÜè PZS ÇèÖ PZTU äè uNsN ÖÇïÇL ÇèÖ ïâÇï α K θ ] Q

W

äî ìÜíñäìÜÖ ïê àÜèÜìÇïÜ ÜèÖêàÜèêñî àìêòïâL ïâêîÜ éêÖÜçî ëçÇÑÜ ïâÜ êëïäéÇç îâÇìÜ êá àêóÜìèéÜèï äèóÜîïéÜèï äè gdp ÉÜïòÜÜè PZUU ÇèÖ PZWL òâäÑâ ÇëëÜÇìî ÜôÑÜîîäóÜçö çÇìàÜ òâÜè ÑêéëÇìÜÖ ïê êÉM îÜìóÜÖ óÇçñÜîN tê éÇåÜ îÜèîÜ êá ïâÜ êëïäéÇç îêçñïäêè äè ïâÇï ÑêèïÜôïL êèÜ éñîï ïâÜè ÇìàñÜ ïâÇï ïâÜ ÑêèÑÜëï êá ëìäóÇïÜ ÑÇëäïÇç äî ïê ÉÜ äèïÜìëìÜïÜÖ éêìÜ ÉìêÇÖçö ïê äèÑçñÖÜ Ç âñéÇè ÑêéëêèÜèïN tâäî òêñçÖ ÜffÜÑïäóÜçö ëñîâ α ÑçêîÜì ïê ñèäïö ÇèÖL ïâÜìÜáêìÜL ìÜÖñÑÜ θN hêòÜóÜìL äè ÖÜëÇìïäèà áìêé ïâÜ nÇïäêèÇç ièÑêéÜ ÇèÖ pìêÖñÑï aÑÑêñèïî HnipaI ÖÜ<èäïäêè êá ëìäóÇïÜ ÑÇëäïÇçL òÜ ÇìÜ äèóÇìäÇÉçö áêìÑÜÖ ïêòÇìÖî Ç ÑêèÑÜëï ïâÇï äî çÜîî ïÇèàäÉçÜ ÇèÖ èêï ÜÇîäçö éÜÇîñìÇÉçÜN

oá ÑêñìîÜL äè êñì ÜÑêèêéöL çêèàMìñè àìêòïâ îïÜéî áìêé ÜôêàÜèêñî ÇÖóÇèÑÜî äè çÇÉêì ÇñàéÜèïäèà ïÜÑâèäÑÇç ëìêàìÜîî ÇèÖ îÜïïäèà τ ] θ ÖêÜî èêï âÇóÜ ïê ÉÜ äéëçÇñîäÉçÜN hêòÜóÜìL éêîï ÜîïäéÇïÜî êá ïâÜ êñïëñï ÜçÇîïäÑäïö êá ëñÉçäÑ ÑÇëäïÇç ëçÇÑÜ θ ÉÜïòÜÜè PZPU ÇèÖ PZR äè ïâÜ uNsNL Éñï òÜ Ççîê îÇò ÜÇìçäÜì äè fäàñìÜ Q ïâÇï τ âÇî éêóÜÖ êèçö ÉÜïòÜÜè PZPS ÇèÖ PZPV êóÜì ïâÜ ëêîï òÇì ëÜìäêÖN wâÇï ïâÜè äî ïâÜ èÇïñìÜ êá ïâÜ ìÜçÇïäêèîâäë ÉÜïòÜÜè τ ÇèÖ θ Çï ïâÜ êëïäéñé_ aî òÜ èêò îâêòL ïâÜ áñççö êëïäéÇç îïÜÇÖö îïÇïÜ îâÇìÜ êá ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèï äè gdp ÖÜëÜèÖî äéëêìïÇèïçö êè Éêïâ ëìÜáÜìÜèÑÜî ÇèÖ ïÜÑâèêçêàö äè òÇöî ïâÇï ïÜèÖ ïê çêòÜì äï ìÜçÇïäóÜ ïê ïâÜ ëñÉçäÑ ÑÇëäïÇç ÜçÇîïäÑäïö êá êñïëñïN

S tâÜ rÇéîÜö pìêÉçÜé

tâäî îÜÑïäêè ÖäîÑñîîÜî ïâÜ áñçç òÜçáÇìÜMéÇôäéäõäèà ëêçäÑö ëìêÉçÜé áìêé ïâÜ îïÇèÖëêäèï êá Ç àêóÜìèM éÜèï ïâÇï ÑÇè Ñêééäï ïê Ç îÜíñÜèÑÜ êá áñïñìÜ ïÇô ìÇïÜî ÇèÖ äïî äéëçäÜÖ ëÇïâ áêì ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèïN iè ÇÖÖäïäêèL äï Ççîê çÇöî êñï ïâÜ èÇïñìÜ êá ïâÜ ïäéÜ äèÑêèîäîïÜèÑö ëìêÉçÜé ÇîîêÑäÇïÜÖ òäïâ ïâÜ êëïäéÇç ëÇïâ áêì ïÇô ìÇïÜîN

cêèîäÖÜì Ç ÉÜèÜóêçÜèï àêóÜìèéÜèï ïâÇïL Çï ÖÇïÜ õÜìêL äî ÑêèÑÜìèÜÖ òäïâ Ñâêêîäèà Ç îÜíñÜèÑÜ êá ïÇô ìÇïÜî ÑêèîäîïÜèï òäïâ ïâÜ ÖÜóÜçêëéÜèï êá ëñÉçäÑ äèáìÇîïìñÑïñìÜ ïâÇï éÇôäéäõÜî âêñîÜâêçÖ òÜçáÇìÜN iè Ñâêêîäèà ëêçäÑöL ïâäî àêóÜìèéÜèï ïÇåÜî Çî àäóÜè ïâÜ ÖÜÑÜèïìÇçäõÜÖ ÉÜâÇóäêì êá <ìéî ÇèÖ âêñîÜâêçÖîN wÜ áñìïâÜì ÇîîñéÜ ïâÇï Çï ÖÇïÜ õÜìêL äï ÑÇè ÑìÜÖäÉçö Ñêééäï ïê Çèö îÜíñÜèÑÜ êá ëêçäÑö ÇÑïäêèîN tâÜ ëìêÉçÜé áÇÑÜÖ Éö ïâäî àêóÜìèéÜèï òêñçÖ ïâÜè ÉÜ ïê éÇôäéäõÜ HpQI îñÉãÜÑï ïê ÜíñÇïäêèî HQPIL HQQIL ÇèÖ HQRIN tâÜ ÑêììÜîëêèÖäèà lÇàìÇèàäÇè ÑÇè ÉÜ òìäïïÜè Çî

x ∞ _∗ö Ñ^ü−σ

HpRI éÇô lö ] β ^ö

öDÑ öDÑ Q − σ

ípöÅτ öÅCöåüÅCõöåü8^∞

x ∞

K β ^∗ö6_üö (

β ^∗Ñ⁻_öåü ^σ {HQ − τ öåüIìöåü K Q− δ} − γ_$ γÑ⁻_ö ^σ )

öDÑ

x ∞

K β ^∗ö6_Oö áτ ööö K HQ − δIåõö − γ_$ γåõöåüà

öDÑ

x ∞

K β ^∗ö6_)ö áHQ − τ _öIö_ö K HQ − δIå_ö − γ_$ γå_öåü − Ñ_öà Z

öDÑ

tâÜ <ìîï ÑêèîïìÇäèï äè HpRI äéëçäÜî ïâÇï êñì ÉÜèÜóêçÜèï ëçÇèèÜì ïÇåÜî âêñîÜâêçÖîG ÑêèîñéëïäêèM îÇóäèàî ÉÜâÇóäêì Çî àäóÜèN hÜ ÑÇèL âêòÜóÜìL äè=ñÜèÑÜ ïâÜ äèïÜìïÜéëêìÇç ÇççêÑÇïäêèî ïâÜö ÑâêêîÜ Éö

X

ÇçïÜìäèà ïÇô ëêçäÑö êóÜì ïäéÜN

tâÜ êëïäéÇç îÜçÜÑïäêè êá τ _ö äî àêóÜìèÜÖ Éö ïâÜ áêççêòäèà ïòê ÜíñÇïäêèîL

6_OÑ − 6_)Ñ ] PÇï ï ] PL HQTI ÇèÖ

õö − 6_)öå_ö ^α ç_ö ^ü−αå^θ

−6_üö−üÑ⁻_ö ^σ ìö K 6_Oöå_ö ^α ç_ö ^ü−αå^θ _õö ] P∀ï ^PN HQUI

tâÜ áÇÑï ïâÇï ïâÜîÜ <ìîïMêìÖÜì ÑêèÖäïäêèî ÖäffÜì Çï ï ] PÇèÖ ï ^P îñààÜîïî Çè äèÑÜèïäóÜ ïê ïÇåÜ ÇÖóÇèïÇàÜ êá äèäïäÇç ÑêèÖäïäêèî äè ïâÜ <ìîï ëÜìäêÖ òäïâ ïâÜ ëìêéäîÜ èÜóÜì ïê Öê îê äè ïâÜ áñïñìÜN iï äî ÜôÇÑïçö äè ïâäî îÜèîÜ ïâÇï ïâÜ êëïäéÇç ëêçäÑö éÇö èêï ÉÜ ïäéÜ ÑêèîäîïÜèï[ êèÑÜ ÖÇïÜ õÜìê âÇî ëÇîîÜÖL Ç ëçÇèèÜì Çï ÖÇïÜ ï ^ P òâê ìÜMêëïäéäõÜî òêñçÖ òÇèï ïê îïÇìï òäïâ Ç ïÇô ìÇïÜL τ _öL ïâÇï ÖäffÜìî áìêé òâÇï òÇî ÑâêîÜè áêì ïâÇï ÖÇïÜ Çï ïäéÜ õÜìêN fêì èêòL ïâÜìÜáêìÜL òÜ äéÇàäèÜ ïâÇï ïâÜ êëïäéäõÇïäêè ïÇåÜî ëçÇÑÜ êèçö êèÑÜL äè ëÜìäêÖ õÜìêN oèÑÜ êñì ÉÜèÜóêçÜèï ëçÇèèÜì âÇî ÖÜÑäÖÜÖ êè Ç ÑêñìîÜ êá ÇÑïäêèîL âäî âÇèÖî ÇìÜ ïäÜÖ ÇèÖ âÜ äî ëìÜMÑêééäïïÜÖ ïê ïâÇï ÑêñìîÜ êá ÇÑïäêèîN

aî èêïÜÖ äè ÜÇìçö ìÜçÇïÜÖ òêìå Éö köÖçÇèÖ ÇèÖ pìÜîÑêïï HQYXPIL ïâÜ ÑâêäÑÜ êá τ ö äèïìêÖñÑÜî Ç çÇààÜÖ ëìÜÖÜïÜìéäèÜÖ óÇìäÇÉçÜL 6_üö−ü ≥ P äè HQUIN aï Ç ëñìÜçö éÜÑâÇèäÑÇç çÜóÜçL òÜ ÑÇè ïâäèå êá ïâäî óÇìäÇÉçÜ Çî Çè Çìïä<ÑäÇç ÖÜóäÑÜ ïâÇï âÜçëî éÇåÜ ïâÜ <èÇç îöîïÜé êá ÖäffÜìÜèÑÜ ÜíñÇïäêèî ïâÇï ÑâÇìÇÑïÜìäõÜî ïâÜ êëïäéÇç îêçñïäêè îïÇïäêèÇìö ∀ï ≥ PN hêòÜóÜìL ñèçäåÜ áñèÖÇéÜèïÇç îïÇïÜ óÇìäÇÉçÜî îñÑâ Çî ïâÜ ëìäóÇïÜ êì ïâÜ ëñÉçäÑ ÑÇëäïÇç îïêÑåL ïâÜ ÇëëìêëìäÇïÜ äèäïäÇç ÑêèÖäïäêè áêì 6_üö−ü äî èêï ÇìÉäïìÇìöN ièîïÜÇÖL îäèÑÜ ïâÜ êëïäéÇç ÑâêäÑÜ êá τ Ñ éñîï îÇïäîáö ÜíñÇïäêè HQTIL äï éñîï Ççîê ÉÜ ïâÜ ÑÇîÜ ïâÇï 6_üö−ü ] P äè HQUI Çï ï ] PN açïÜìèÇïäóÜçöL dÜèèäî HRPPQI ëêäèïî êñï ïâÇï ïâÜ çÇààÜÖ lÇàìÇèàÜ éñçïäëçäÜìL 6_üö−üL éÇö ÉÜ äèïÜìëìÜïÜÖ Çî ïâÜ 0ÑñììÜèï óÇçñÜ êá ëìêéäîÜî èêï ïê Üôëçêäï ïâÜ äèäïäÇç îïÇïÜ1 ÇèÖL äè ëÇìïäÑñçÇìL ïê ÇÉäÖÜ Éö ëÇîï ÑêééäïéÜèïîN hêòÜóÜìL îäèÑÜ èê âäîïêìö Üôäîïî ëìäêì ïê ëÜìäêÖ õÜìêL ïâÜìÜ ÇìÜ èê ëÇîï ÑêééäïéÜèïî êè òâäÑâ ïê Çîîäàè Çèö óÇçñÜ Çï ïâÇï ÖÇïÜN iï äî êëïäéÇçL ïâÜìÜáêìÜL ïê îÜï 6_üÅ−ü ] PN

tâÜ áÇÑï ïâÇï ïâÜ êëïäéÇç ëêçäÑö äî ÑâêîÜè êèÑÜ ÇèÖ áêì Ççç äè ëÜìäêÖ õÜìê ÖêÜî èêï èÜÑÜîîÇìäçö äéëçö ïâÇï äï äî èêï =ÜôäÉçÜN oè ïâÜ ÑêèïìÇìöL ïâÜ îêçñïäêè ïê ïâÜ rÇéîÜö ëìêÉçÜé ëìêóäÖÜî Ç ÖÜîÑìäëïäêè êá òâÜìÜ ïê îÜï τ _ö äè ÜóÜìö îïÇïÜ êá ïâÜ òêìçÖN wÜ îâÇçç îÜÜ ïâÇï ïâäî îêçñïäêè äî Ççîê ÜôëçäÑäï ÇÉêñï âêò ïâÜ äéëçäÜÖ îâÇìÜ êá ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèï äè êñïëñï ÖÜëÜèÖî êè ïâÜ ÜÑêèêéäÑ ÜèóäìêèéÜèïN tâÜìÜáêìÜL Çî èêïÜÖ äè dÜèèäî HRPPQIL 0äá Ç ÑâÇèàÜ ïê êèÜ êì éêìÜ ëÇìÇéÜïÜìî ïÇåÜî ëçÇÑÜL ïâÜ ëêçäÑö ìñçÜ ÇñïêéÇïäÑÇççö ìÜ=ÜÑïî ïâäî ÑâÇèàÜ[ HÇèÖI ïâÜìÜ äî èê èÜÜÖ áêì ìÜMêëïäéäõÇïäêè ïê ïÇåÜ ëçÇÑÜN1

SNQ tâÜ rÇéîÜö sïÜÇÖö sïÇïÜZ oëïäéÇç pñÉçäÑ ièóÜîïéÜèï ÇèÖ ïâÜ mêÖä<ÜÖ pêçäÑö gêçÖÜè rñçÜ

tâÜ êëïäéÇç îïÇïäêèÇìö ÜíñäçäÉìäñé äî àäóÜè Éö Ç óÜÑïêì áÑ[ ö[ τ [ å[ åõ [ 6_ü[ 6_O[ 6₎à ïâÇï îêçóÜî ïâÜ áêñì <ìîïMêìÖÜì ÑêèÖäïäêèî ÇîîêÑäÇïÜÖ òäïâ ëìêÉçÜé HpRIL ïâÜ ìÜîêñìÑÜ ÑêèîïìÇäèï HQPIL ïâÜ eñçÜì ÜíñÇïäêè HQQIL ïâÜ ÜíñÇïäêè ÖÜîÑìäÉäèà ïâÜ Üóêçñïäêè êá ëñÉçäÑ ÑÇëäïÇç HQRIL ÇèÖ ïâÜ ÖÜ<èäïäêè êá

Y

êñïëñïL ö_ö ] å_ö ^αç_ö ^ü−αå^θ _õöL Ççç òäïâêñï ïäéÜ îñÉîÑìäëïîN tâÜ êëïäéÇç îïÇïäêèÇìö ÜíñäçäÉìäñéL ïâÜìÜáêìÜL îäéëçö ìÜÖñÑÜî ïê Ç îöîïÜé êá Üäàâï ÜíñÇïäêèî äè Üäàâï ñèåèêòèîN

iè ïâÜ çêèà ìñèL âêñîÜâêçÖîG êëïäéÇç ÑêèîñéëïäêèMîÇóäèàî ÖÜÑäîäêèî îÇïäîáö

â 0ö 1 ä

γ_$ γ − β ∗ HQ − τ Iα K Q− δ ] P[ HQVI å

áìêé ïâÜ eñçÜì ÜíñÇïäêèN fñìïâÜìéêìÜL äï äî Ççîê îïìÇäàâïáêìòÇìÖ ïê îâêò ïâÇï ïâÜ êëïäéÇç ìÇïäê êá ëñÉçäÑ ÑÇëäïÇç ïê êñïëñï éñîï ÉÜ îñÑâ ïâÇï

4 2 3 5

∗ ö

γ_$ γ − β θ K Q− δ ] PZ HQWI å_õ

iï áêççêòî áìêé ÜíñÇïäêèî HQVI ÇèÖ HQWI ïâÇï äè ïâÜ îïÜÇÖö îïÇïÜL ïâÜ rÇéîÜö îêçñïäêè ÜíñÇïÜî ïâÜ ÇáïÜì ïÇô ìÜïñìè ïê ëìäóÇïÜ äèóÜîïéÜèïL HQ − τ IαHö]åIL òäïâ ïâÜ éÇìàäèÇç ìÜïñìè ïê ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèïL θHö]åõ IN cêèîÜíñÜèïçöL òÜ ÑÇè äééÜÖäÇïÜçö ëäè Öêòè ïâÜ ìÇïäê êá ëñÉçäÑ ïê ëìäóÇïÜ ÑÇëäïÇç Çî å_õ ]å ] θ]αHQ − τ IN aî ÜôëÜÑïÜÖL ïâÜ âäàâÜì ïâÜ ïÇô ìÇïÜL ïâÜ çêòÜì ïâÜ ÇáïÜìMïÇô ìÜïñìè ïê ëìäóÇïÜ ÑÇëäïÇç ÇèÖ ïâÜ çÜîî ëìäóÇïÜ ÑÇëäïÇç äî àÜèÜìÇïÜÖ ìÜçÇïäóÜ ïê ëñÉçäÑ äèáìÇîïìñÑïñìÜN

tâÜ äÖÜÇ ïâÇïL Çï ïâÜ êëïäéñéL ïâÜ ÇáïÜìMïÇô ìÜïñìè ïê ëìäóÇïÜ äèóÜîïéÜèï éñîï ÜíñÇç ïâÜ éÇìàäèÇç ìÜïñìè ïê ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèï Ççîê âÜçëî ÖÜïÜìéäèÜ ïâÜ êëïäéÇç ïÇô ìÇïÜ ÇèÖ äéëçäÜÖ îâÇìÜ êá àêóÜìèéÜèï äèóÜîïéÜèï äè êñïëñïN nêïÜ ïâÇï äè ïâäî îÜïïäèàL ïâÜ êëëêìïñèäïö Ñêîï êá Q ñèäï êá ìÜîêñìÑÜî äèóÜîïÜÖ äè ïâÜ ëñÉçäÑ îÜÑïêì äî ïâÜ ÇáïÜì ïÇô ìÜïñìè ïâäî ñèäï òêñçÖ âÇóÜ êïâÜìòäîÜ ÜÇìèÜÖ äè ïâÜ ëìäóÇïÜ îÜÑïêìL HQ − τ Iα Hö]åIN eíñÇïäêè HQVI ïâÜè ïÜççî ñî ïâÇï

HQ − τ Iα 0ö 1

] γ_$

∗

γ − HQ − δIZ HQXI

ù úõ å û β

ìÜïñìè ïê ëìäóÇïÜ äèóÜîïéÜèï

tâÜ éÇìàäèÇç ÉÜèÜ<ï êá äèóÜîïäèà Q ñèäï êá ìÜîêñìÑÜî äè ïâÜ ëñÉçäÑ îÜÑïêì äî θHö]åõ I ÇèÖL îäèÑÜ ëñÉçäÑ ÑÇëäïÇç ÇÑÑñéñçÇïÜî ÇÑÑêìÖäèà ïê ïâÜ çÇò êá éêïäêè å_õ {γ_$ γ − HQ −δI} ] τ ö äè ïâÜ çêèà ìñèL òÜ âÇóÜ

2 3 2 3

θ ö

] θ γ_$ γ − HQ − δI

Z HQYI

åõ τ

ù úõ û

ìÜïñìè ïê ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèï

tâÜìÜáêìÜL ÜíñÇïäèà éÇìàäèÇç Ñêîï ÇèÖ éÇìàäèÇç ÉÜèÜ<ï {äNÜN ïâÜ ìäàâïMâÇèÖ îäÖÜ êá ÜíñÇïäêèî HQXI ÇèÖ HQYI} ÖäìÜÑïçö öäÜçÖî ïâÜ êëïäéÇç çêèàMìñè ïÇô ìÇïÜ ÇèÖ îâÇìÜ êá ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèïL

H I

γ_$ γ − HQ − δI τ ] θ _γ

β

$ ∗ γ

− HQ − δI \ θZ HRPI

aèÇçêàêñîçö ïê ïâÜ éêÖä<ÜÖ àêçÖÜè ìñçÜ áêì ëìäóÇïÜ ÑÇëäïÇç äè ïâÜ êèÜ îÜÑïêì àìêòïâ éêÖÜçL ïâÜ îâÇìÜ êá àêóÜìèéÜèï äèóÜîïéÜèï äè êñïëñï àäóÜè Éö HRPI áÇççî îâêìï êá ïâÜ ëêçäÑö àêçÖÜè ìñçÜ êñïçäèÜÖ äè ïâÜ ëìÜóäêñî îÜÑïäêèL θL Éö Çè Çéêñèï ïâÇï ÖÜëÜèÖî äéëêìïÇèïçö êè ÖäîÑêñèïäèàN iè áÇÑïL êÉîÜìóÜ ïâÇï òâÜè δ ] Q äè ÜíñÇïäêè HRPIL τ äî β θ ∗ \ θ òâäÑâ ÑêììÜîëêèÖî ÜôÇÑïçö ïê Ç

QP

éêÖä<ÜÖ ëêçäÑö àêçÖÜè ìñçÜN^T iè ÇÖÖäïäêèL áìêé ÜíñÇïäêè HQSIL äï òêñçÖ ïâÜè ÉÜ ïâÜ ÑÇîÜ ïâÇï å_õ ]å ] θ] {αHQ − β θI} òâäÑâ äî çÜîî ïâÇè ïâÜ ìÇïäê êá ëñÉçäÑ ïê ëìäóÇïÜ ÑÇëäïÇç äéëçäÜÖ Éö ïâÜ ëêçäÑö ∗

àêçÖÜè ìñçÜL å_õ ]å ] θ] {αβ ∗HQ − θI}N iè êïâÜì òêìÖîL Ççïâêñàâ ïâÜ ëêçäÑö àêçÖÜè ìñçÜ ÜóÜèïñÇççö

çÜÇÖî ïê éêìÜ ëñÉçäÑ äèáìÇîïìñÑïñìÜ ìÜçÇïäóÜ ïê ëìäóÇïÜ ÑÇëäïÇçL ïâÜ äéëÇïäÜèÑÜ ìÜ=ÜÑïÜÖ äè ïâÜ ìÇïÜ êá ïäéÜ ëìÜáÜìÜèÑÜ éÜÇèî ïâÇï äï äî èêï êëïäéÇç ïê ìÜÖñÑÜ ÑñììÜèï Ñêèîñéëïäêè ïâìêñàâ âäàâÜì ïÇôÜî ïê ìÜÇÑâ ïâäî âäàâÜì ìÇïäêN

rÜçÇïäóÜ ïê éêîï ÜÇìçäÜì òêìåL ÜíñÇïäêè HRPI éÇïïÜìî äè Çï çÜÇîï ïòê ìÜîëÜÑïîN fäìîïL äï äéëçäÜî ïâÇï Ç âäàâ êñïëñï ÜçÇîïäÑäïö êá ëñÉçäÑ ÑÇëäïÇçL θL ÖêÜî èêï èÜÑÜîîÇìäçö âÇóÜ ïê ïìÇèîçÇïÜ äèïê Ç çÇìàÜ îâÇìÜ êá ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèï äè êñïëñïL ä_õ ]öN rÜÑÇçç ïâÇï äè ïâÜ uNsNL ÜîïäéÇïÜî êá θ àÜèÜìÇççö ìÇèàÜ ñë ïê PZR òâäçÜ äõ ]ö âÇî êèçö âêóÜìÜÖ ÇìêñèÖ PZPU îäèÑÜ wêìçÖ wÇì iiN sÜÑêèÖL ïâÜ êëïäéÇç îâÇìÜ êá ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèï äè gdp èêò ÖÜëÜèÖî êè Ç óÇìäÜïö êá ëìÜáÜìÜèÑÜ ÇèÖ ïÜÑâèêçêàö ÑêèîäÖÜìÇïäêèî äèÑçñÖäèà çÇÉêì ëìêÖñÑïäóäïö àìêòïâL ëêëñçÇïäêè àìêòïâL ìÇïÜî êá ÖÜëìÜÑäÇïäêèL ÇèÖ ïâÜ ÑêÜffiÑäÜèï êá äèïÜìïÜéëêìÇç îñÉîïäïñïäêèN

fäàñìÜ RIL ëÇèÜç ÇIL ÖÜëäÑïî ïâÜ ÜffÜÑïî êá Ç ìäîÜ äè çÇÉêì ëìêÖñÑïäóäïö àìêòïâ êè ïâÜ êëïäéÇç ìÇïäê êá ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèï ïê êñïëñïN wÜ ÑÇè îÜÜ ïâÇïL Çï ïâÜ êëïäéñéL Çè äèÑìÜÇîÜ ä0è ïâÜ ìÇïÜ 1 êá ïÜÑâèäÑÇç ëìêàìÜîî áìêé γ ïê γ^; ìÇäîÜî Éêïâ ïâÜ éÇìàäèÇç ÉÜèÜ<ï êá ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèïL θ ^{γ$ γ−}_τ ^bü−δ9 L ÇèÖ äïî éÇìàäèÇç ÑêîïL ^γ_β ^σ −HQ −δI áìêé ÜíñÇïäêè HQXIN ièïñäïäóÜçöL ïâÜ ÜíñäçäÉìäñé ìÜïñìè ïê ëìäóÇïÜ ÑÇëäïÇç ìäîÜî ÉÜÑÇñîÜ äï äî èêò éêìÜ Ñêîïçö ïê äèÑìÜÇîÜ áñïñìÜ ÖÜïìÜèÖÜÖ ÑÇëäïÇç[ âêñîÜâêçÖî ïâÜè îÇóÜ çÜîî òâäÑâ ìÜÖñÑÜî ïâÜ ÑÇëäïÇç êñïëñï ìÇïäê ÇèÖL ïâÜìÜáêìÜL ìÇäîÜî ïâÜ ìÇïÜ êá äèïÜìÜîïN bÜÑÇñîÜ ïâäî äèÑìÜÇîÜ ÖÜëÜèÖî êè ïâÜ îäõÜ êá σ äè fäàñìÜ RÇIL äï äî èêï ÑçÜÇì òâÜïâÜì ïâÜ äèäïäÇç êëïäéÇç ìÇïÜ êá ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèïL τ L îâêñçÖ äèÑìÜÇîÜ ïê τ ^;L êì äèîïÜÇÖ ÖÜÑìÜÇîÜ ïê τ ^;;N fêì çÇìàÜì óÇçñÜî êá σL âêòÜóÜìL òÜ ÜôëÜÑï ïâÜ êëïäéÇç ïÇô ìÇïÜ ïê áÇçç òäïâ äèÑìÜÇîÜî äè ëÜì ÑÇëäïÇ àìêòïâN^U

oè Ç çÜîî ÜíñäóêÑÇç èêïÜL áìêé ÜíñÇïäêè HRPIL ïâÜ äéëÇÑï êá Ç ìäîÜ äè ïâÜ ëêëñçÇïäêè àìêòïâ ìÇïÜ êè ïâÜ îïÜÇÖöMîïÇïÜ rÇéîÜö ïÇô ìÇïÜ äî ñèÇéÉäàñêñîçö ëêîäïäóÜL

H I

∂τ γ

∂γ_$ ] θ _γ

β

σ − HQ − δI ^ PZ HRQI

oÉîÜìóÜ äè fäàñìÜ RÉI ïâÇï Çè äèÑìÜÇîÜ äè ëêëñçÇïäêè àìêòïâ áìêé γ_$ ïê γ^;_$ çÜÇóÜî ïâÜ ìÜïñìè ïê ëìäóÇïÜ äèóÜîïéÜèï ñèÑâÇèàÜÖN tâÇï äîL Çè äèÑìÜÇîÜ äè γ_$ ìÇäîÜî gdp àìêòïâL γ_$ γL Éñï Ççîê ìÇäîÜî ïâÜ ÇÖãñîïÜÖ ÖäîÑêñèï ìÇïÜL β ^∗ ] βγ_$ γ^ü−σ L îäèÑÜ âêñîÜâêçÖî ïÇåÜ ÇÑÑêñèï êá ïâÜ àìÜÇïÜì èñéÉÜì êá äèÖäóäÖñÇçî äè ïâÜ áñïñìÜN aï ïâÜ êëïäéñéL ïâÜìÜáêìÜL ïâÜ ìÜïñìè ïê ëñÉçäÑ ÑÇëäïÇç éñîï Ççîê ìÜéÇäè ñèÇffÜÑïÜÖN fìêé ÜíñÇïäêè HQYIL äï äî ÑçÜÇì ïâÇï Ç ìäîÜ äè γ_$ ÑÇè êèçö çÜÇóÜ ïâÜ ìÜïñìè ïê ëñÉçäÑ ÑÇëäïÇç ñèÇffÜÑïÜÖ äá ïâÜ ïÇô ìÇïÜ Ççîê ìäîÜîN ièïñäïäóÜçöL âäàâÜì ëêëñçÇïäêè àìêòïâ ÜìêÖÜî ïâÜ ìÇïäê

Ttâäî èÜîïÜÖ ÑÇîÜ ÇëëÜÇìî äè gçêéé ÇèÖ rÇóäåñééÇì HQYYTIN tâÜ ÇÖÖäïäêèÇç Çîîñéëïäêè êá çêàÇìäïâéäÑ ëìÜáM

ÜìÜèÑÜî äè ïâÇï ëÇëÜì áñìïâÜì äéëçäÜî ïâÇï ïâäî îêçñïäêè âêçÖî êëïäéÇççö Çï ÜóÜìö ÖÇïÜN wÜ ÜôëçÇäè ÉÜçêò òâö ïâäî ÑêèîïÇèï ëêçäÑö ïñìèî êñï ïê ÉÜ ïäéÜ ÑêèîäîïÜèï äè ïâÜäì ÑÇîÜN

∗

Uiè ïâÜ ÑÇîÜ òâÜìÜ δ D üL τ D β θ îê ïâÇï ∂τ G∂γ D bü − σ9βγ_$ γ^−σ θ ≶Ñ ⇔üGσ ≶ÑN iè êïâÜì òêìÖîL òâÜè

âêñîÜâêçÖî ÇìÜ ìÜçÇïäóÜçö çÜîî òäççäèà ïê îñÉîïäïñïÜ Ñêèîñéëïäêè ÇÑìêîî ïäéÜL HäNÜN üGσ & üIL Çè äèÑìÜÇîÜ äè ÜÑêèêéäÑ àìêòïâ éÇåÜî ïâÜé òÇèï ïê ìÇäîÜ ëìÜîÜèï Ñêèîñéëïäêè îê ïâÇï ïâÜ îâÇìÜ êá ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèï éñîï áÇççN

QQ

êá ëñÉçäÑ ÑÇëäïÇç ïê êñïëñïN hÜèÑÜL éêìÜ àêóÜìèéÜèï äèóÜîïéÜèï ìÜçÇïäóÜ ïê gdp äî èêò èÜÑÜîîÇìö ïê ìÜîïêìÜ ïâäî ìÇïäê ïê äïî êìäàäèÇç çÜóÜçN

fäàñìÜ SL ëÇèÜç ÇI ëçêïî ÇóÜìÇàÜ ëÜì ÑÇëäïÇ àìêòïâ ìÇïÜî ÇàÇäèîï ïâÜ =êò êá àêóÜìèéÜèï ÑÇëäïÇç ÜôëÜèÖäïñìÜî ìÜçÇïäóÜ ïê gdp ÇÑìêîî QPV ÑêñèïìäÜî êóÜì ïâÜ ëÜìäêÖ QYWVMQYYWN tâÜ ÖÇïÇ äî êÉïÇäèÜÖ áìêé ïâÜ wêìçÖ dÜóÜçêëéÜèï ièÖäÑÇïêìî ëñÉçäîâÜÖ Éö ïâÜ wêìçÖ bÇèå äè RPPPN cÇëäïÇç ÜôëÜèÖäïñìÜî äè ïâäî ÑÇîÜ äèÑçñÖÜ îëÜèÖäèà êè <ôÜÖ ÑÇëäïÇç ÇîîÜïîL çÇèÖL äèïÇèàäÉçÜ ÇîîÜïîL àêóÜìèéÜèï îïêÑåîL Çî òÜçç Çî èêèMéäçäïÇìöL èêèM<èÇèÑäÇç ÇîîÜïîN tâÜ ÖÇïÇ äè fäàñìÜ SÇI îâêò ïâÇï ïâÜ îâÇìÜ êá ÑÇëäïÇç ÜôëÜèÖäïñìÜî äè gdp ïÜèÖî ïê áÇçç òäïâ ëÜì ÑÇëäïÇ ÜÑêèêéäÑ àìêòïâN tâäî ÖÜÑìÜÇîäèà ìÜçÇïäêèîâäë ÉÜÑêéÜî ÜóÜè éêìÜ ëìêèêñèÑÜÖ òâÜè ïâÜ îâÇìÜ êá ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèï äî ëçêïïÜÖ ÇàÇäèîï ïâÜ çÜóÜç êá ïêïÇç áÇÑïêì ëìêÖñÑïäóäïö Çî äè fäàñìÜ SL ëÇèÜç ÉIN^V wÜ îâÇçç îÜÜ ïâÇï äè ÑÇçäÉìÇïÜÖ óÜìîäêèî êá êñì éêÖÜçL ïâÜ êëïäéÇç ëêçäÑö äèÖÜÜÖ äéëçäÜî Ç ÖÜÑçäèäèà ìÜçÇïäêèîâäë ÉÜïòÜÜè ïâÜ îâÇìÜ êá ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèï äè gdp ÇèÖ ëÜì ÑÇëäïÇ ÜÑêèêéäÑ àìêòïâN ièïÜìÜîïäèàçöL Çî äéëçäÜÖ Éö fäàñìÜ RÉIL fäàñìÜ SL ëÇèÜç ÑIL äççñîïìÇïÜî Ç ëêîäïäóÜ çäèå ÉÜïòÜÜè ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèï ìÜçÇïäóÜ ïê gdp ÇèÖ ëêëñçÇïäêè àìêòïâ ÇÑìêîî èÇïäêèîN

aï ïâäî ëêäèïL òÜ <èÖ äï ñîÜáñç ïê äèïìêÖñÑÜ Ç èñéÜìäÑÇç ÜôÇéëçÜ ïê ÉÜïïÜì âäàâçäàâï ïâÜ ÉÜâÇóäêì êá åÜö ÜÑêèêéäÑ óÇìäÇÉçÜî Çî ïâÜ ìÇïÜ êá ïÜÑâèäÑÇç ëìêàìÜîî ÇèÖ ïâÜ ëêëñçÇïäêè àìêòïâ ìÇïÜ óÇìöN fñìïâÜìéêìÜL îäèÑÜ ïâÜ ÖöèÇéäÑî êá êëïäéÇç ëêçäÑö ÑÇèèêï ÉÜ ÑâÇìÇÑïÜìäõÜÖ ÇèÇçöïäÑÇççöL òÜ îâÇçç Ççîê ñîÜ ïâäî ÜôÇéëçÜ ÉÜçêò äè ÇèÇçöõäèà ïâÜ êëïäéÇç îÜíñÜèÑÜ êá ïÇô ìÇïÜî àäóÜè äèäïäÇç ÑêèÖäïäêèî áêì ïâÜ îïÇïÜ óÇìäÇÉçÜîN

SNR cÇçäÉìÇïäêè ïê uNsN bÜèÑâéÇìåî ÇèÖ sïÜÇÖö sïÇïÜ säéñçÇïäêèî

tâÜ uNsN ÜÑêèêéö âÇî àìêòè Çï Çè ÇóÜìÇàÜ ÇèèñÇç ìÇïÜ êá R ëÜìÑÜèï äè ëÜì ÑÇëäïÇ ìÜÇç ïÜìéî êóÜì ïâÜ ëêîï òÇì ëÜìäêÖL ÇèÖ òÜ ÑâêêîÜ γ ïê éÇïÑâ ïâäî óÇçñÜ äè ïâÜ îïÜÇÖö îïÇïÜN wÜ îÜï γ_$ ïê QZPQR ïê ìÜ=ÜÑï éÜÇè ëêëñçÇïäêè àìêòïâ îäèÑÜ wêìçÖ wÇì iiN fìêé ïâÜ ÑÇëäïÇç ÇÑÑñéñçÇïäêè ÜíñÇïäêèL òÜ âÇóÜ ïâÇï γγ_$ ] ä]å K Q− δN gäóÜè ïâÇï γ ] QZPR ÇèÖ ïâÇï γ_$ ] QZPQRL òÜ áêççêò cêêçÜö ÇèÖ pìÜîÑêïï HQYYUI ÇèÖ ÑâêêîÜ δ ] PZPTT ïê éÇïÑâ Ç óÇçñÜ êá PZPWV áêì ïâÜ ìÇïäê êá äèóÜîïéÜèï ïê ëìäóÇïÜ ÑÇëäïÇçN aî äè bÇôïÜì ÇèÖ käèà HQYYSIL òÜ îÜï ïâÜ îâÇìÜ êá ëìäóÇïÜ ÑÇëäïÇç äè gdpL αL ïê PZTR ÇèÖ ÑâêêîÜ β ïê àÜèÜìÇïÜ Çè ÜíñäçäÉìäñé ìÜÇç ìÇïÜ êá VZUP ëÜìÑÜèïN tâäî äéëçäÜî β ] PZYXRN wÜ îÜï σ ] Rîê Çî ïê éÇåÜ ïâÜ ÑêÜffiÑäÜèï êá äèïÜìïÜéëêìÇç îñÉîïäïñïäêè Q]RN fäèÇççöL àäóÜè óÇçñÜî êá γL γ_$ L δL βL ÇèÖ σL òÜ ñîÜ ÜíñÇïäêè HRPI ïê éÇåÜ êñì ÑâêäÑÜ êá θ ÑêèîäîïÜèï òäïâ Ç ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèï îâÇìÜ äè gdpL τ L êá U ëÜìÑÜèïN tâäî óÇçñÜ êá τ ] ä_õ ]öL òâäÑâ äî ïÇåÜè Çî Ç ÉÜèÑâéÇìå äè bÇôïÜì ÇèÖ käèà HQYYSIL Ççîê ÇëëìêôäéÇïÜî ïâÜ ÇóÜìÇàÜ îâÇìÜ êá ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèï äè fäàñìÜ QI ÇèÖ ìÜíñäìÜî ïâÇï òÜ îÜï θ ] PZPVXN tâÜìÜáêìÜL äá ïâÜ îâÇìÜ êá ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèï äî ìêñàâçö êëïäéÇç äè ïâÜ uNsNL ïâÜè ïâÜ ëñÉçäÑ ÑÇëäïÇç ÜçÇîïäÑäïö êá êñïëñï äéëçäÜÖ Éö ïâÜ ïâÜêìö çäÜî äè ïâÜ çêòÜì ìÇèàÜ êá éêîï ÜéëäìäÑÇç ÜîïäéÇïÜîN

iè ëìäèÑäëçÜL ïâÜ êÉîÜìóÜÖ uNsN ìÇïäê êá ëñÉçäÑ äèóÜîïéÜèï ïê gdp ÖêÜî èêï âÇóÜ ïê ÉÜ êëïäéÇç äè Ç rÇéîÜö îÜèîÜN aéêèà êïâÜì ÑêèîäÖÜìÇïäêèîL òâÜïâÜì àêóÜìèéÜèï ÉÜâÇóäêì ÑÇè ÉÜ ÇëëìêôäéÇïÜçö

VcìêîîMÑêñèïìö ÖÇïÇ êè ïêïÇç áÇÑïêì ëìêÖñÑïäóäïö çÜóÜçî äî êÉïÇäèÜÖ áìêé hÇçç ÇèÖ jêèÜî HQYYXI áêì ïâÜ öÜÇì QYXXN

QR