D E B O R D
1 Les entiers
1.1 Généralités
Définition.
L’ensemble des nombres entiers positifs est appelé ensemble des entiers naturels et est noté N
L’ensemble de tous les entiers est appelé ensemble des entiers relatifs et est notéZ Exemple.
5 est un entier ( relatif et naturel ) -3 est un entier relatif mais pas naturel . Propriété.
N⊂Z
1.2 Multiples et diviseurs
Définition.
On dit qu’un entier a est un multiple d’un entier b s’il existe un entier k tel que a=bk . On dit alors que b est diviseur de a .
Exemple.
12 = 4×3 donc 12 est un multiple de 3 et 3 est un diviseur de 12 . Propriété.
Soit a un entier . Soient b et c deux multiples de a , alors b+c est un multiple de a . Exemple.
12 est un multiple de 3 , 6 est un multiple de 3 alors 18 est un multiple de 3 .
1.3 Nombres pairs , impairs
Définition.
Un nombre pair est un multiple de 2 . On peut donc l’écrire sous la forme 2k avec k entier Un nombre impair n’est pas un multiple de 2 . On peut donc l’écrire sous la forme2k+ 1 avec k entier .
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Exemple.
Donner deux nombres pairs : Donner deux nombres impairs : Propriété.
Le carré d’un nombre pair est pair . Le carré d’un nombre impair est impair .
1.4 Nombres premiers
Définition.
Un nombre premier est un entier qui admet exactement deux diviseurs , 1 et lui même . Exemple.
0 n’est pas premier car il admet tous les entiers comme diviseurs 1 n’est pas premier car il admet un seul diviseur , lui même 2 est le seul nombre premier pair .
A retenir
Les premiers nombres premiers : 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 .
Propriété.
L’ensemble des nombres premiers est infini . Propriété.
Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 est soit premier , soit produit de nombres premiers . Cette décomposition en produit de facteurs premiers est unique .
Exemple.
12 = 22×3; c’est la décomposition en facteurs premiers de 12 .
2 Les décimaux , rationnels et réels
2.1 Les décimaux
Définition.
Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire comme quotient d’un entier par une puissance de 10 .
D E B O R D
L’ensemble des décimaux estD Exemple.
5
10 est un décimal . 7
102 est un décimal .
2.2 Les rationnels
Définition.
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire comme quotient d’un entier par un entier non nul .
L’ensemble des rationnels est Q Exemple.
5
13 est un rationnel mais pas un décimal.
7
102 est un décimal et un rationnel.
Propriété.
Tous les rationnels ne sont pas décimaux .
2.3 Les réels
Définition.
Soit une droite graduée . L’ensemble des abscisses des points de cette droite est l’ensemble des nombres réels . Une telle droite est une droite numérique ;
L’ensemble des réels est R Propriété.
N⊂Z⊂D⊂Q⊂R
Propriété.
Tous les réels ne sont pas rationnels . Par exemple , √
2est irrationnel . Propriété.
Soit x un réel . Alors , il existe d nombre décimal tel que d ≤ x ≤ d+ 10−n . C’est un encadrement décimal de x à 10−n près .
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Exemple.
1,7320≤√
3≤1,7321 est un encadrement décimal de √
3à 10−4 près .
3 Intervalles et valeur absolue
3.1 Intervalles
Définition.
L’intervalle [a ;b] est l’ensemble des réels x tels que a≤x≤b . L’intervalle ]a ;b[ est l’ensemble des réels x tels que a < x < b L’intervalle [a; +∞[ est l’ensemble des réels x tels que x≥a L’intervalle ]− ∞;a] est l’ensemble des réels x tels que x≤a
A retenir
Inéquations Intervalles x < a x∈]− ∞;a[
x > a x∈]a; +∞[ a < x < b x∈]a;b[
a≤x≤b x∈[a;b]
[a;b]∩[c;d] = [c;b]
ba
bb
bc
bd
Exemple.
Déterminer l’intervalle correspondant à 3 ≤ x < 5 et le représenter graphiquement sur une droite graduée .
Exemple.
Déterminer l’intervalle correspondant à 3≤xet le représenter graphiquement sur une droite graduée .
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3.2 Intersections , réunions d’intervalles
Définition.
L’intersection des intervalles [a ;b] et [c ;d] est l’ensemble des réels x qui appartiennent à la fois à l’intervalle [a ;b] et à l’intervalle [c ;d] . On note [a;b]∩(c;d]
La réunion des intervalles [a ;b] et [c ;d] est l’ensemble des réels x qui appartiennent à l’intervalle [a ;b] ou à l’intervalle [c ;d] ou aux deux intervalles . On note [a;b]∪(c;d]
Exemple.
[5; 13]∩[8; 20] = [8; 13]
3.3 Valeur absolue
Définition.
La distance entre deux nombres réels a et b correspond à a−b si a est plus grand que b et à b−a si b est plus grand que a .
Définition.
On appelle valeur absolue de x et on note |x| la distance entre x et 0 . Exemple.
|5|= 5 et | −5| = 5 Propriété.
|x−a| ≤r ⇐⇒ a−r≤x≤a+r
Exemple.
|x−3| ≤2se traduit par la distance entre x et 3 doit être inférieure à 2 et on peut représenter cette inégalité par :
