Recueil d’examens de Mécanique rationnelle de 1999 à 2009 :A.KADI ; A.HADI Université de Boumerdès Année 2006-2007
Faculté des sciences
Département de physique
EMD02
: Mécanique rationnelle 29 mai 2007 Exercice N°01 : (08 points)Exercice N°02 : (12 points)
Soit un télésiège de montagne constitué d’un siège en forme de
L
articulé en un point O1 à un chariot mobile se déplaçant linéairement à vitesse constante tel que→
→
−− 1 =x(t)x0
OO ; x• =V0 =Cte. Un skieur est assis dans le siège et le vecteur position de son centre de gravité dans le repère R2 s’écrit :
→
→
→
−
−
−2 2 = 2+ 2 6
4 L y
Lx G
O . Sa jambe s’articule autour de son genou au point O3. Soit P un point de la jambe du skieur tel que :
→
→
−3P=L/2x3
O .
On donne O1O2 =L et O2O3 =L/2 . Les repères sont définies comme suit : Le repère 0( , 0, 0, 0)
→
→
→
z y x O
R est fixe.
Le repère 1( 1, 1, 1, 1)
→
→
→
z y x O
R est en translation rectiligne par rapport à R0 Le repère 2( 2, 2, 2, 2)
→
→
→
z y x O
R , lié au siège, est en rotation par rapport 1( 1, 1, 1, 1)
→
→
→
z y x O
R tel que
→
→1 ≡z2
z et
) , ( ) ,
( 1 2 1 2
→
→
→
→ =
= x x y y
θ sens négatif ;
Le repère 3( 3, 3, 3, 3)
→
→
→
z y x O
R , lié à la jambe du skieur, est en rotation par rapport à 2( 2, 2, 2, 2)
→
→
→
z y x O
R tel que
→
→2 ≡z3
z et ( 2, 3) ( 2, 3)
→
→
→
→ =
= x x y y
ϕ sens négatif.
Soit une plaque mince S, homogène de densité surfacique σ, comme indiqué sur la figure ci-contre.
1- Exprimez la masse M de la plaque en fonction de a et σ ; 2- Donnez les coordonnées du centre d’inertie G de cette
plaque dans R0 ;
3- Déterminez la matrice d’inertie de la plaque au point O dans R0 en fonction de M et a ;
4- Calculez le moment d’inertie par rapport à l’axe
→
−
Gx0 ; 5- Déterminez les moments d’inertie :IOx1x1,IOy1y1 ; 6- La base (O,
→
→
→ 1 1 1,y ,z
x ) est-elle une base principale ?
justifiez la réponse sans faire de calcul. 0
→
x
0
→
y R
a 2a
1
→
y
1
→
x
2a a
On prendra R
2comme repère de projection
On considère que : θ• =Cte et ϕ• =Cte Déterminez :
1) Les matrices de passage de R1 vers R2 et de R3 vers R2 ;
2) Les vitesses de rotation instantanées des repère R2 et R3 par rapport à R0 ; 3) Les coordonnées du point G par rapport à R0 ;
4) La vitesse absolue du point O2 par dérivation ; 5) La vitesse du point O3 par la cinématique du solide ;
6) La vitesse absolue du point P par composition de mouvement avec 2( 2, 2, 2, 2)
→
→
→
z y x O
R comme repère
relatif ;
7) Les accélérations relative et de Coriolis du point P ;
G
O3
O
θ
→
y0
→
x1 x→0
P O2
O1
→
y1
x(t)
→
y2
→
x2
→
x3
ϕ
Recueil d’examens de Mécanique rationnelle de 1999 à 2009 :A.KADI ; A.HADI
Solution :
Exercice 01 : (08 points)
1- Masse de plaque : M =σ(S1−S2)=σ(4a2−a2)=3σa2, m M m M 3 , 4
3
/ 1
2 = =
2- Centre de la plaque dans R1 : Ox1 est une axe de symétrie, le centre d’inertie appartient à cet axe.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
→ =
−
0 2 /
2 /
0
1 a
a
R
OG ;
⎪⎩
⎪⎨
⎧
→ =
−
0
0
2 a
a
R
OG
2 1
2 2 1 1 2
1
2 2 1
1. . . .
S S
OG S OG S m
m
OG m OG OG m
−
= −
−
= −
→
−
→
−
→
−
→
→ −
−
M a a a M M xG
6 2 7 3 . 3 .
4
=
−
= ; a
M a a M M yG
6 2 7 3 . 3 .
4
=
−
= 3- Moment d’inertie de la plaque :
) / ) ( ) / ) ( ) / )
(plaque R0 I S1 R0 I S2 R0
IO = O − O
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
9 0 32
0
9 0 16 3
4
3 0 4 9
16
3 0 8
0
3 0 4 3 0 4
) / ) (
2 2
2
2 2
2 1 2 1 2 1
2 1 2
1
0 1
Ma Ma
Ma
Ma Ma
a m a a m
m
a a m
m
R S
IO ;
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
9 0 2
0
9 0 12
12 0 9
3 0 2
0
3 0 4
4 0 3
) / ) (
2 2
2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
0 2
Ma Ma
Ma
Ma Ma
a m a
m a m
a m a
m
R S IO
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
9 0 2
0
9 0 12
12 0 9
9 0 32
0
9 0 16 3
4
3 0 4 9
16 ) / ) (
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
0
Ma Ma
Ma
Ma Ma
Ma Ma
Ma
Ma Ma
R S IO
0.5
2x0.5
1
1
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
3 0 10
0
3 0 5 4 ' 5
4 0 5 3
5 ) / ) (
2 2
2 0
Ma Ma
Ma
Ma Ma
R S IO
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
A A B
B A R
S IO
2 0 0
0 0 )
/ )
( 0 ;
3 5Ma2 A= ;
4 5Ma2 B=
4- Moment d’inertie par rapport à l’axe
→
−
Gx 0
D’après le théorème de huygens : IO(plaque)=IG(plaque)+M
[ ]
d2[
2 2]
) (
)
( 0
0 Ox G G
Gx plaque I plaque M y z
I = − +
2 2 2
0 36
11 6
7 3
) 5
( Ma M a Ma
plaque
IGx ⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝
− ⎛
=
5- Produit d’inertie Iox1x1 , Ioy1y1
→ →
= 1 1
1
1x x .I (plaque).x
Iox t O ;
( ) ( )
12 5 4 5 3 5 0
0 , 1 , 2 1 1 0 1 1 2 . 2 2 0 0
0 0 0
, 1 , 2 1
2 2 2 2
1 1
Ma Ma
B Ma A A B
B A
A A B
B A x
Iox = − = − =
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ +
−
−
⎟=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
→ →
= 1 1
1
1y y .I (plaque).y
Ioy t O ;
( ) ( )
12 35 4
5 3 5 0
0 , 1 , 2 1 1 0 1 1 2 .
2 2 0 0
0 0 0
, 1 , 2 1
2 2 2 2
1 1
Ma Ma
B Ma A A B
B A
A A B
B A y
Ioy = + = + =
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ +
−
−
−
⎟=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛−
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
6- La base ( , 1, 1, 1)
→
→
→
z y x
O est elle une base principale ? L’axe
→
−
Ox1 est un axe de symétrie, ce qui implique Iox1y1 =0 ; Iox1z1 =0 Le plan ( , 1, 1)
→
→
z x
O est un plan de symétrie ⇒ Iox1y1 =0 ; Ioy1z1 =0
Tous les produits d’inertie sont nuls, la matrice d’inertie est diagonale alors la base ( , 1, 1, 1)
→
→
→
z y x
O est
principale.
1
1
1
1
0.5
Recueil d’examens de Mécanique rationnelle de 1999 à 2009 :A.KADI ; A.HADI
Exercice 02 : (12 points)
1-Matrice de passage de R1 vers R2 et de R3 vers R2 ;
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−→ =
0 0 0
0 cos sin
0 sin cos
2 1
θ θ
θ θ
R
PR ;
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−→ =
0 0 0
0 cos sin
0 sin cos
3 2
θ θ
θ θ
R PR
2- Vitesse de rotation instantanée des repère R2 et R3 par rapport à R0 ;
→
→ •
→
→ =Ω +Ω =−
Ω02 12 10 θ z2 car
→ →
= Ω10 0
→
•
•
→
•
→
→ •
→
→
→
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ +
−
=
−
−
= Ω + Ω + Ω
=
Ω03 32 12 10 ϕ z2 θ z2 ϕ θ z2 3- Les coordonnées du point G dans R0 ;
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
−−
→
−−
→
−−
→
−− = 1+ 1 2+ 2 2 = 1− 2+ 2+ 2 = 2+ 2 − 2+ 2+ 2 6 ) 4
sin 6 (cos
4 Ly
Lx y L y x
x Ly Lx y L x x G O O O OO
OG θ θ
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
− +
→=
−
0 56 sin
cos 4
2
x L x L
R
OG θ
θ
4 - Vitesse absolue du point O2 par dérivation ; Nous avons:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
=
− +
=
−
= +
= −−→ −−→ → → → → →
→
−
−
0 sin
cos )
sin (cos
2 2 2
2 2
1 2 1 1
2 x L
x
R y L y x
x y L x x O O OO
OO θ
θ θ
θ
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
⎪ ∧
⎩
⎪⎨
⎧
− +
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
+
−
=
∧ Ω +
=
= •
•
•
•
•
→
→ −
→
−
−
→
−
→ −
0 sin
cos 0
0 0
cos sin
sin cos
) (
2 2
2 0 2 2 2 2 0 2
0 x L
x
R x
x
x x
R dt OO
OO d dt
OO O d
V θ
θ θ
θ θ θ
θ θ θ
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧ −
= •
•
•
→
0 sin cos )
(
2 2
0 θ
θ θ x
L x
R O V
2
1
1
1
O.5
5 - Vitesse absolue du point O3 par la cinématique du solide ;
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
= →
→
−
−
0 0 2 / 2
2 2 3
2
L
R Lx O
O ;
→
→ −
→
→0(O3)=V0(O2)+Ω02∧O2O3 V
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
−
=
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎪ ∧
⎩
⎪⎨
⎧
− +
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧ −
= • •
•
•
•
•
•
•
→
0 2 sin cos 0
0 2 0
0 0
sin cos )
(
2 2 2
3
0 θ θ
θ θ θ
θ θ θ
x L
L x
R L
R x
L x
R O V
6- La vitesse absolue du point P par composition de mouvement
) ( ) ( )
( 2 20
0 P V P V P
V
→
→
→ = + ; et
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−
=
−
=
= → → →
→
−
−
0 2sin 2cos )
sin 2(cos
2
2 2 2
3
3 ϕ
ϕ ϕ
ϕ L
L
R y L x
Lx P O
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−
−
=
=
= •
•
→
−
−
→
−
→ −
0 2 cos
2 sin )
(
2 3 2 3
2
2 ϕ ϕ
ϕ ϕ L L
R dt
P O d dt
P O P d
V
→
→ −
→
→ P =V O +Ω ∧O P
V20( ) 0( 2) 02 2 ;
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
− +
=
− +
= +
= +
= −−→ −−→ → → → → →
→
−
−
0 2sin
) cos 1 2( ) sin 2(cos
2 2
2
2 2 2
2 3
2 3
3 2
2 ϕ
ϕ ϕ
ϕ L
L
R y L x
Lx Lx Lx P O O O P O
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
− +
⎪ ∧
⎩
⎪⎨
⎧
− +
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧ −
= •
•
•
•
→
0 2sin
) cos 1 2( 0
0 0
sin cos )
(
2 2
2 0
2 ϕ
ϕ
θ θ
θ θ
L L
R R
x L x
R P V
1
1
1
0.5
Recueil d’examens de Mécanique rationnelle de 1999 à 2009 :A.KADI ; A.HADI
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
+
−
−
−
= • •
•
•
•
→
0
) cos 1 2 ( cos
2 sin sin
) (
2 0
2 θ θ ϕ
ϕ θ θ θ x L
L L x
R P V
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ +
−
−
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ +
−
−
=
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
+
−
−
− +
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−
−
= • • • •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
→
0
sin 2 cos
sin 2
cos 2 sin
cos
0
) cos 1 2 ( sin
2 sin cos
0 2 sin 2 cos )
(
2 2 2
0 θ θ θ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ θ θ θ ϕ
θ θ
ϕ θ θ θ ϕ
ϕ ϕ ϕ
L x L
L L x
R x L
L L x
R L
L
R P V
7- Accélération relative du point P et corriolis
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−
=
= •
•
→ →
0 2 cos 2 sin )
) (
( 2
2
2 2
2
2 ϕ ϕ
ϕ ϕ
γ L
L
R dt
P V P d
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧−
=
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−
−
⎪ ∧
⎩
⎪⎨
⎧
−
⎟⎟=
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛Ω ∧
= • •
•
•
•
•
•
→
→
→
0 cos
sin
0 2 sin 2 cos 0
0 2 ) ( 2
) (
2 2
2 0
2 ϕθ ϕ
ϕ θ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
θ
γ L
L
R L
L
R P
V
c P
1
1
1
