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Classe : TES
Devoir surveillé n°3
le 09/01/2017
Note :
… / 20 La notation du devoir prendra en compte les efforts de soin, de présentation et de rédaction.
Une fois que vous aurez fini ce devoir vous complèterez la grille d’autoévaluation suivante.
Avis de l’élève Avis du professeur
Je sais : Oui Non Oui Non
Répondre à des questions par des lectures graphiques.
Donner / Interpréter le résultat affiché en sortie d'un algorithme.
Dériver une fonction.
Etudier le signe d'une fonction.
Déterminer les variations d'une fonction / Déterminer un maximum.
Justifier qu'une équation admet un certain nombre de solutions sur un intervalle donné.
Encadrer les solutions d'une équation / Interpréter les résultats obtenus.
Etudier la convexité d'une fonction.
Décrire une évolution en termes d'accélération ou de ralentissement.
Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l'industrie automobile. On suppose que toute la production est vendue. L'entreprise peut fabriquer entre 0 et 3 600 poulies par semaine. On note le nombre de milliers de poulies fabriquées et vendues en une semaine. Ainsi, varie dans l'intervalle [0 ; 3,6]. Le bénéfice hebdomadaire, exprimé en milliers d'euros, est noté . L'objet de cet exercice est d'étudier ce bénéfice.
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.
Partie A : Etude graphique
On a représenté ci-dessous la fonction B dans un repère du plan.
Chaque résultat sera donné en à cent poulies près ou à cent euros près suivant le cas.
Les traits utiles à la compréhension du raisonnement seront laissés sur le graphique et une réponse écrite sur la copie sera attendue pour chaque question posée.
1. Déterminer dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à 20 000 euros.
2. Quel est le bénéfice maximum envisageable pour l'entreprise ? Pour quel nombre N de poulies fabriquées et vendues semble-t-il réalisé ?
x x
B(x)
Partie B : Etude théorique
Le bénéfice hebdomadaire noté , exprimé en milliers d'euros est défini sur [0 ; 3,6] par : = -
1. a) Calculer , à près, et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
b) On donne l'algorithme suivant :
Variables : et sont deux réels Traitement : prend la valeur 0
prend la valeur –2,037 Tant que Y ≤ 0
prend la valeur + 0,001 prend la valeur -
Fin Tant que Sortie : Afficher X
Quel est le résultat affiché en sortie ? Interpréter ce résultat.
2. a) Montrer que, pour tout réel de l'intervalle [0 ; 3,6], on a : = b) Déterminer le signe de la fonction sur l'intervalle [0 ; 3,6].
c) Dresser le tableau de variations de la fonction sur l'intervalle [0 ; 3,6].
On indiquera les valeurs de la fonction , au dixième près, aux bornes de l'intervalle.
d) En déduire, à l'unité près, le nombre de poulies à produire pour que le bénéfice hebdomadaire soit maximal. Quel est ce bénéfice maximal, à l'euros près ?
3. a) Justifier que l'équation = 20 admet deux solutions distinctes et sur l'intervalle [0 ; 3,6].
b) Déterminer un encadrement d'amplitude 0,01 de chacune de ces solutions.
c) En déduire, à la dizaine près, le nombre de poulies à produire pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à 20 000 euros.
4. Un logiciel de calcul formel a permis d'établir, que pour tout réel de l'intervalle [0 ; 3,6], on a : =
a) Etudier la convexité de la fonction sur l'intervalle [0 ; ].
b) Interpréter ces résultats en termes d'accélération ou de ralentissement de la croissance du bénéfice.
B(x)
B(x) 5 + (4¡x)e1,2x¡0,3
x B0(x) (3,8¡1,2x)e1,2x¡0,3 B0
B B
® ¯ B(x)
B(0) 10-3
5 + (4¡X)e1,2X¡0,3 Y
Y Y X X
X X
x B00(x) -12(3x¡7)e
1,2x¡0,3
25 19 B 6
Correction du DS n°3
Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l'industrie automobile. On suppose que toute la production est vendue. L'entreprise peut fabriquer entre 0 et 3 600 poulies par semaine. On note le nombre de milliers de poulies fabriquées et vendues en une semaine. Ainsi, varie dans l'intervalle [0 ; 3,6]. Le bénéfice hebdomadaire, exprimé en milliers d'euros, est noté . L'objet de cet exercice est d'étudier ce bénéfice.
Partie A : Etude graphique
On a représenté ci-dessous la fonction B dans un repère du plan.
1. Graphiquement, il semble que le bénéfice est supérieur ou égal à 20 000 euros lorsque le nombre de poulies fabriquées et vendues est compris entre 2 750 et 3 500.
2. Graphiquement, le bénéfice maximum envisageable pour l'entreprise est d'environ 22 500 €.
Il semble réalisé lorsque l'entreprise fabrique et vend 3 200 poulies.
Partie B : Etude théorique
Le bénéfice hebdomadaire noté , exprimé en milliers d'euros est défini sur [0 ; 3,6] par : = -
1. a) = - = - ≈ -
Cela signifie que lorsque l'entreprise ne vend aucune poulie, elle perd 2 037 euros par semaine.
b) On donne l'algorithme suivant :
Variables : et sont deux réels Traitement : prend la valeur 0
prend la valeur –2,037 Tant que Y ≤ 0
prend la valeur + 0,001 prend la valeur -
Fin Tant que Sortie : Afficher X
L'algorithme permet d'afficher la plus petite valeur de , au millième près, à partir de laquelle = > 0. Le résultat affiché en sortie est = 0,563.
Cela signifie que l'entreprise réalisera un bénéfice si elle vend au moins 563 poulies.
x x
B(x)
B(x)
B(x) 5 + (4¡x)e1,2x¡0,3 B(0)
X Y X Y
X X
Y 5 + (4¡X)e1,2X¡0,3
2,7
| 3,5
22,5
|
3,1
5 + (4¡0)e1,2£0¡0,3 5 + 4e-0,3 2,037
X X Y B(X)
2. a) ∀ ∈ [0 ; 3,6], = - = -
Donc : = avec : et :
= - = -
= =
b) ∀ ∈ [0 ; 3,6], > 0.
On en déduit que a le même signe que
> 0 ⇔ > ⇔ < ⇔ <
Ainsi, la fonction est positive sur l'intervalle [0 ; ] et négative sur l'intervalle [ ; 3,6].
c) On en déduit le tableau de variations de la fonction sur l'intervalle [0 ; 3,6] : 0 3,6
+ –
-2 17,3
Les valeurs de la fonction , aux bornes de l'intervalle, sont arrondies au dixième.
d) ≈ 3,167 et ≈ 22,596
On en déduit que l'entreprise réalise un bénéfice hebdomadaire maximal de 22 596 € en vendant 3 167 poulies.
3. a) On sait que :
◦ La fonction est continue et strictement croissante sur [0 ; ].
◦ ∀ ∈ [0 ; ], ∈ [-2 ; 22,596]
◦ 20 ∈ [-2 ; 22,596].
Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation = 20 admet une unique solution sur [0 ; ].
De même, puisque :
◦ est continue et strictement décroissante sur [ ; 3,6].
◦ ∀ ∈ [ ; 3,6], ∈ [17,3 ; 22,596] et : 20 ∈ [17,3 ; 22,596].
Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation = 20 admet une unique solution sur l'intervalle [ ; 3,6].
Finalement, l'équation = 20 admet deux solutions sur l'intervalle [0 ; 3,6].
b) On a : = 20 avec ∈ [0 ; ] et ≈ 3,167
• ≈ 11,3 < 20 et : ≈ 22,1 > 20 donc : 2 < < 3
• ≈ 19,6 < 20 et : ≈ 20,6 > 20 donc : 2,7 < < 2,8
• ≈ 19,9 < 20 et : ≈ 20,006 > 20 donc : 2,73 < < 2,74 De même : = 20 avec ∈ [ ; 3,6] et ≈ 3,167
• ≈ 21,3 > 20 et : ≈ 19,7 < 20 donc : 3,4 < < 3,5
• ≈ 20,08 > 20 et : ≈ 19,9 < 20 donc : 3,48 < < 3,49 B0
B
B
B(x)
®
¯
B(x) 5 + (4¡x)e1,2x¡0,3 5 +u(x)v(x) x
B0(x)
½ u(x) = 4¡x v(x) =e1,2x¡0,3
½ u0(x) = -1
v0(x) = 1,2e1,2x¡0,3 B0(x) e1,2x¡0,3+ (4¡x)1,2e1,2x¡0,3
u0(x)v(x) +u(x)v0(x)
e1,2x¡0,3+ (4,8¡1,2x)e1,2x¡0,3 B0(x) (-1 + 4,8¡1,2x)e1,2x¡0,3 (3,8¡1,2x)e1,2x¡0,3
x e1,2x¡0,3
B0(x) 3,8¡1,2x 3,8¡1,2x 3,8 1,2x x 3,81,2 x 196
19 6
19 6
B0(x) B(x)
x 19
6
19
6 B(3,167)
B 196
x 196 B(x)
19 6
B
B(x)
x B(x)
19 6 19
6 19
6
B(x)
B(2) B(®)
B(3) ®
® B(2,7) B(2,8)
® B(2,73) B(2,74)
B(¯)
® 196 196
19
¯ 196 6
B(3,4) B(3,5) ¯
¯ B(3,48) B(3,49)
O
c) On a :
0 3,6
22,596 20 20
-2 17,3
Avec :
• ≈ 19,9 < 20 et : ≈ 20,006 > 20 donc : 2,73 < < 2,74
• ≈ 20,08 > 20 et : ≈ 19,9 < 20 donc : 3,48 < < 3,49
On en déduit que l'entreprise doit produire entre 2 740 et 3 480 poulies pour que son bénéfice soit supérieur ou égal à 20 000 euros.
4. Un logiciel de calcul formel a permis d'établir, que pour tout réel de l'intervalle [0 ; 3,6], on a : =
a) 25 > 0 et ∀ ∈ [0 ; ], > 0.
On en déduit que a le même signe que -
- > 0 ⇔ < 0 ⇔ < 7 ⇔ <
On en déduit le tableau suivant :
0
- + –
+ –
convexe concave
b) Puisque la fonction est convexe sur [0 ; ] cela signifie que la dérivée est croissante et que les pentes des tangentes augmentent sur cet intervalle. On en déduit que la croissance du bénéfice s'accélère sur [0 ; ]. En revanche, puisque est concave sur [ ; ] cela signifie que la dérivée est décroissante et que les pentes des tangentes diminuent sur cet intervalle. On en déduit que la croissance du bénéfice ralentie sur [ ; ].
x B00(x) -12(3x¡7)e
1,2x¡0,3
25
x 19
6 B(x)
¯
®
B(2,73) B(2,74) ®
B(3,48) B(3,49) ¯
x e1,2x¡0,3
x 19
6
B00(x) 12(3x¡7)
12(3x¡7) 3x¡7 3x 73
x 19
6 7
3
O B00(x)
B
O 12(3x¡7)
7
B 3 B0
7
3 B 73 196 B0
7 3
19 6
