Brevet de technicien supérieur Le groupement B de 2001 à 2011

(1)

A.P.M.E.P.

Brevet de technicien supérieur Le groupement B de 2001 à 2011

Métropole 2001 . . . 3

Métropole 2002 . . . 7

Métropole 2003 . . . 10

Métropole 2004 . . . 14

Métropole 2005 . . . 17

Métropole 2006 . . . 21

Nouvelle-Calédonie octobre 2006 . . . 26

Métropole 2007 . . . 29

Métropole 2008 B1 . . . .32

Nouvelle-Calédonie octobre 2007 . . . 35

Métropole–Polynésie B1 2009 . . . 37

Nouvelle-Calédonie novembre 2008 . . . 41

Métropole B1 2010 . . . .43

Métropole B2 2010 . . . .47

Nouvelle-Calédonie octobre 2009 . . . 52

Métropole B1 2011 . . . .54

Métropole B2 2011 . . . .59

Nouvelle-Calédonie octobre 2010 . . . 62

(2)

(3)

A.P.M.E.P.

Brevet de technicien supérieur Groupement B - session 2001

Exercice 1 9 points

Les parties A, B et C de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Une entreprise fabrique, en grande quantité, des pièces métalliques rectangulaires dont les cotes sont exprimées en millimètres.

Un contrôle de qualité consiste à vérifier que la longueur et la largeur des pièces sont conformes à la norme en vigueur.

Dans ce qui suit, tous les résultats approchés seront arrondis à 10⁻³.

Partie A

On note E l’évènement : « une pièce prélevée au hasard dans le stock de l’entreprise est conforme ». On suppose que la probabilité de l’évènement E est 0,9.

On prélève au hasard 10 pièces dans le stock. Le stock est assez important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 pièces. On consi- dère la variable aléatoireX qui, à tout prélèvement de 10 pièces, associe le nombre de pièces conformes parmi ces 10 pièces.

1. Justifier que la variable aléatoireXsuit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

2. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, 8 pièces au moins soient conformes.

Partie B

Une partie des pièces de la production de l’entreprise est fabriquée par une machine automatique notée « machine 1 ». SoientMetNles variables aléatoires qui, à chaque pièce prélevée au hasard dans un lot très important fabriqué par la machine 1, associent respectivement sa longueur et sa largeur.

On suppose queM suit la loi normale de moyennem1=250 et d’écart-typeσ1= 1,94.

On suppose queN suit la loi normale de moyennem2=150 et d’écart-typeσ2= 1,52.

1. Calculer la probabilité que la longueur d’une pièce prélevée au hasard dans ce lot soit comprise entre 246 et 254.

2. Calculer la probabilité que la largeur d’une pièce prélevée au hasard dans ce lot soit comprise entre 147 et 153.

3. Une pièce est conforme si sa longueur est comprise entre 246 et 254 et si sa largeur est comprise entre 147 et 153. On admet que les variablesMetNsont indépendantes.

Montrer que la probabilité qu’une pièce prélevée au hasard dans ce lot soit conforme est 0,914.

Partie C

Une autre machine automatique de l’entreprise, notée « machine 2 » fabrique égale- ment ces mêmes pièces en grande quantité. On suppose que la probabilité qu’une pièce prélevée au hasard dans la production d’une journée de la machine 1 soit conforme estp1=0,914 et que la probabilité qu’une pièce choisie au hasard dans la production de la machine 2 soit conforme estp2=0,879. La machine 1 fournit 60 % de la production totale de ces pièces et la machine 2 le reste de cette production.

(4)

On prélève au hasard une pièce parmi la production totale de l’entreprise de la jour- née. Toutes les pièces ont la même probabilité d’être tirées. On définit les évène- ments suivants :

A : « la pièce provient de la machine 1 » ; B : « la pièce provient de la machine 2 » ; C : « la pièce est conforme ».

1. Déterminer les probabilités P(A), P(B), P(C/A), P(C/B). On rappelle que P(C/A) est la probabilité de l’évènement C sachant que l’évènement A est réalisé.

2. En déduire P(C∩A) et P(C∩B).

3. En admettant que C = (C∩A)∪(C∩B), calculer P(C).

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

A. Résolution d’une équation différentielle.

On considère l’équation différentielle (E) : y^′−2y=e^2x

oùyest une fonction de la variable réellex, définie et dérivable surRety^′sa fonction dérivée.

1. Résoudre surRl’équation différentielle (E0) : y^′−2y=0 2. Soithla fonction définie surRpar

h(x)=xe^2x

Démontrer quehest une solution particulière de l’équation différentielle (E).

3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).

4. Déterminer la solution particulièref de l’équation (E) qui vérifie la condition f(0)= −1.

B. Étude d’une fonction

Soitf la fonction définie surRpar

f(x)=(x−1)e^2x

Sa courbe représentativeCest donnée dans le repère de l’annexe (à rendre avec la copie).

1. a. Calculer lim

x→+∞f(x) b. On admet que lim

x→−∞xe^2x=0. En déduire lim

x→−∞f(x).

c. Interpréter géométriquement le résultat obtenu au b).

2. a. Démontrer que, pour toutxdeR,

f^′(x)=(2x−1)e^2x b. Résoudre dansRl’inéquationf^′(x)>0.

c. En déduire le sens de variation def surR.

3. a. À l’aide du développement limité au voisinage de 0 de la fonction expo- nentiellet7−→e^t, donner le développement limité, à l’ordre 3, au voisinage de 0, de la fonctionx7−→e^2x.

(5)

Brevet de technicien supérieur

b. En déduire que le développement limité, à l’ordre 3, au voisinage de 0, de la fonctionf est :

f(x)= −1−x+2

3x³+x³ε(x) avec

x→0limε(x)=0

c. En déduire une équation de la tangenteT à la courbeCau point d’abscisse 0 et la position relative deCet deTau voisinage de ce point.

d. TracerT dans le repère de l’annexe.

C. Calcul intégral

1. Soitαun réel strictement négatif ; On pose I(α)=

Z0 α

f(x)d x Démontrer que

I(α)= −3 4−

µ1 2α−3

4

¶ e^2α On pourra effectuer une intégration par parties.

2. a. Calculer la limite deI(α)quandαtend vers−∞.

b. À l’aide d’une phrase, donner une interprétation graphique de ce résul- tat.

Groupement B 5 Session 2001

(6)

ANNEXE

O −→ı

−

→

1 1

x y

(7)

A.P.M.E.P.

Brevet de technicien supérieur Groupement B - session 2002

Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.

Dans un groupe d’assurances, on s’intéresse aux sinistres susceptibles de survenir, une année donnée, aux véhicules de la flotte d’une importante entreprise de main- tenance de chauffage collectif.

Dans cet exercice, sauf mention contraire, les résultats approchés sont à arrondir à 10⁻³.

1. Étude du nombre de sinistres par véhicule

SoitXla variable aléatoire qui, à tout véhicule tiré au hasard dans un des parcs de la flotte, associe le nombre de sinistres survenant pendant l’année consi- dérée. On admet queXsuit la loi de Poisson de paramètre 0,28.

a. Calculer la probabilité de l’évènement A : « un véhicule tiré au hasard dans le parc n’a aucun sinistre pendant l’année considérée ».

b. Calculer la probabilité de l’évènement B : « un véhicule tiré au hasard dans le parc a, au plus, deux sinistres pendant l’année considérée ».

2. Étude du nombre de sinistres dans une équipe de 15 conducteurs.

On note E l’évènement : « un conducteur tiré au hasard dans l’ensemble des conducteurs de l’entreprise n’a pas de sinistre pendant l’année considérée ».

On suppose que la probabilité de l’évènement E est 0,6.

On tire au hasard 15 conducteurs dans l’effectif des conducteurs de l’entreprise. Cet effectif est assez important pour que l’on puisse assimiler ce prélè- vement à un tirage avec remise de 15 conducteurs.

On considère la variable aléatoireY qui, à tout prélèvement de 15 conducteurs, associe le nombre de conducteurs n’ayant pas de sinistre pendant l’an- née considérée.

a. Justifier que la variable aléatoireY suite une loi binomiale et déterminer ses paramètres.

b. Caculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, 10 conducteurs n’aient pas de sinistre pendant l’année considérée.

3. Étude du coût des sinistres

Dans ce qui suit, on s’intéresse au coût d’une certaine catégorie de sinistres survenus dans l’entreprise pendant l’année considérée.

On considère la variable aléatoireCqui, à chaque sinistre tiré au hasard parmi les sinistres de cette catégorie, associe son coût en euros. On suppose queC suit la loi normale de moyenne 1 200 et d’écart type 200.

Calculer la probabilité qu’un sinistre tiré au hasard parmi les sinistres de ce type coûte entre 1 000 euros et 1 500 euros.

4. On considère un échantillon de 100 véhicules prélevés au hasard dans le parc de véhicules mis en service depuis 6 mois. Ce parc contient suffisamment de véhicules pour qu’on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise. On constate que 91 véhicules de cet échantillon n’ont pas eu de sinistre.

(8)

a. Donner une estimation ponctuelle du pourcentagepde véhicules de ce parc qui n’ont pas eu de sinistre 6 mois après leur mise en service.

b. SoitF la variable aléatoire qui à tout échantillon de 100 véhicules pré- levés au hasard et avec remise dans ce parc, associe le pourcentage de véhicules qui n’ont pas eu de sinistre 6 mois après leur mise en service.

On suppose queFsuit la loi normale

N



p, sp¡

1−p¢ 100





oùpest le pourcentage inconnu de véhicules du parc qui n’ont pas eu de sinistre 6 mois après leur mise en service.

Déterminer un intervalle de confiance du pourcentagepavec le coefficient de confiance 95 %.

c. On considère l’affirmation suivante :

« le pourcentagepest obligatoirement dans l’intervalle de confiance obtenu à la question b. »

Est-elle vraie ? On ne demande pas de justification.

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A : Résolution d’une équation différentielle On considère l’équation différentielle :

(E) y^′′−y^′−2y=(−6x−4) e⁻^x

oùy est une fonction de la variable réellex, définie et deux fois dérivable surR,y^′ sa fonction dérivée première ety^′′sa fonction dérivée seconde.

1. Résoudre surRl’équation différentielle :

(E0) y^′′−y^′−2y=0 2. Soithla fonction définie surRpar :

h(x)=¡ x²+2x¢

e^−x

Démontrer quehest une solution particulière de l’équation différentielle (E).

4. Déterminer la solutionf de l’équation différentielle (E) qui vérifie les condi- tions initiales :

f(0)=1 f^′(0)=1 Partie B : Étude d’une fonction

Soitf la fonction définie surRpar :

f(x)=(x+1)²e^−x

Sa courbe représentativeC dans un repère orthonormal est donnée sur la figure ci- après.

1. a. Calculer lim

x→−∞f(x).

b. Déterminer lim

x→+∞x²e^−xet lim

x→+∞xe^−x. En déduire lim

x→+∞f(x).

c. Interpréter graphiquement le résultat obtenu au b..

(9)

2. a. Démontrer que pour toutxdeR, f^′(x)=¡

1−x²¢ e^−x b. Résoudre dansRl’inéquationf^′(x)>0.

c. En déduire le sens de variation def surR.

3. a. À l’aide du développement limité au voisinage de 0 de la fonction expo- nentiellet→e^t, donner le développement limité, à l’ordre 2, au voisinage de 0 de la fonction x→e⁻^x.

b. Démontrer que le développement limité, à l’ordre 2, au voisinage de 0 de la fonctionf est :

f(x)=1+x−1

2x²+x²ε(x) avec limx→0ε(x)=0.

c. En déduire une équation de la tangenteT à la courbeCau point d’abscisse 0 et la position relative deCetT au voisinage de ce point.

Partie C : Calcul intégral

1. a. La fonction f définie dans la partie B étant une solution de l’équation différentielle (E) :

y^′′−y^′−2y=(−6x−4) e^−x montrer quef vérifie, pour toutxdeR:

f(x)=1 2

£f^′′(x)−f^′(x)+(6x+4)e^−x¤ b. SoitFla fonction définie surRpar :

F(x)=1 2

£f^′(x)−f(x)−(6x+10)e⁻^x¤ Vérifier que pour toutxdeR,

F^′(x)=f(x) c. Vérifier que pour toutxdeR:

F(x)=¡

−x²−4x−5¢ e^−x

2. Utiliser ce qui précède pour démontrer que l’aireAde la partie du plan ha- churée sur la figure est, en unités d’aire,

A=2e−5.

1 2

−1

1 2 3 4

−1

−2-2 -1 0 1 2 3 4 5

-1 0 1 2 3

(10)

A.P.M.E

Brevet de technicien supérieur Groupement B - session 2003

Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes Dans une usine du secteur de

l’agroalimentaire, une machine à embouteiller est alimentée par un réservoir d’eau et par une file d’approvisionnement en bouteilles vides, selon le schéma ci- contre.

L’exercice consiste en une étude statistique du bon fonctionnement de ce système.

Réservoir

File d’entrée File de sortie Machine

1. Défaut d’approvisionnement

On considère qu’il y a un défaut d’approvisionnement : – soit lorsque la file d’entrée des bouteilles est vide, – soit lorsque le réservoir est vide.

On tire un jour ouvrable au hasard dans une année. On noteAl’événement :

« la file d’entrée est vide au moins une fois dans la journée » etBl’évènement :

« le réservoir est vide au moins une fois dans la journée ».

On suppose que les évènementsAetBsont indépendants et une étude statistique a montré queP(A)=0,04 etP(B)=0,02.

Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants : a. E1=A∩B

b. E2: « la machine a connu au moins un défaut d’approvisionnement dans la journée ».

2. Pannes de la machine sur une durée de 100 jours

On noteX la variable aléatoire qui à toute période de 100 jours consécutifs, tirée au hasard dans les jours ouvrables d’une année, associe le nombre de pannes de la machine. Une étude, menée par le constructeur sur un grand nombre de machines de ce type, permet d’admettre queXsuit la loi de Pois- son de paramètre 0,5.

Déterminer, à l’aide de la table du formulaire : a. P(X62) ;

b. la probabilité de l’évènement : « la machine a au plus quatre pannes pendant la période de 100 jours consécutifs ».

c. le plus petit entierntel queP(X6n)=0,99.

Dans ce qui suit les volumes sont exprimés en litres et tous les résultats approchés sont à arrondir à 10⁻³.

3. Qualité de l’embouteillage à la sortie

On désigne parY la variable aléatoire qui, à toute bouteille prise au hasard dans la production d’une heure, associe le volume d’eau qu’elle contient. On admet que, lorsque la machine est bien réglée,Y suit la loi normale de moyenne 1,5 et d’écart type 0,01.

(11)

Une bouteille est conforme aux normes de l’entreprise lorsqu’elle contient entre 1,47 et 1,53 litre d’eau.

Calculer la probabilité qu’une bouteille satisfasse à la norme.

4. Test d’hypothèse

Pour contrôler le bon fonctionnement de la machine, on construit un test d’hypothèse bilatéral qui sera mis en ?uvre toutes les heures.

Pour une production d’une heure, la variable aléatoire Z qui, à toute bouteille prise au hasard dans cette production associe le volume d’eau qu’elle contient, suit la loi normale de moyenneµet d’écart typeσ=0,01. Dans cette question, la moyenneµest inconnue.

On désigne par ¯Z la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 100 bouteilles prélevé dans cette production d’une heure, associe la moyenne des volumes d’eau contenus dans les bouteilles de cet échantillon (la production pendant une heure est assez importante pour que l’on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise).

On considère que la machine est bien réglée lorsqueµ=1,5.

L’hypothèse nulle estH0: «µ=1,5 ».

L’hypothèse alternative estH₁: «µ6=1,5 ».

Le seuil de signification du test est fixé à 0,05.

a. Justifier le fait que, sous l’hypothèse nulleH0, ¯Z suit la loi normale de moyenne 1,5 et d’écart type 0,001.

b. Sous l’hypothèse nulleH₀, déterminer le nombrehpositif tel que : P(1,5−h6Z^¯61,5+h)=0,95

c. Énoncer la règle de décision permettant d’utiliser ce test.

d. On prélève un échantillon de 100 bouteilles et on observe que, pour cet échantillon, la moyenne des volumes d’eau contenus dans ces bouteilles est ¯z=1,495.

Peut-on, au seuil de 5 %, conclure que la machine est bien réglée ?

A. Résolution d’une équation différentielle On considère l’équation différentielle

(E) : y^′+y=2e^−x

oùyest une fonction de la variable réellex, définie et dérivable surR, ety^′sa fonction dérivée.

1. Déterminer les solutions surRde l’équation différentielle (E0) : y^′+y=0.

2. Soithla fonction définie surRparh(x)=2xe^−x.

Démontrer que la fonctionhest une solution particulière de l’équation diffé- rentielle (E).

4. Déterminer la solution f de l’équation différentielle (E) dont la courbe re- présentative, dans un repère orthonormal, passe par le point de coordonnées (0 ; 3).

(12)

1. La courbeC ci-dessous représente dans un repère orthonormal³

O,→−ı ,−→

 ´ une fonctionf définie surRparf(x)=(ax+b)e^−x, oùaetbsont des nombres réels.

La droite∆est la tangente à la courbeC au point A d’abscisse 0. Cette tangente passe par le point B de coordonnées (3 ; 0).

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-2 -1 0 1 2 3 4

C

B

∆ A

a. Déterminer graphiquementf(0).

b. Déterminer, graphiquement ou par le calcul,f^′(0).

c. Déterminer les valeurs des nombres réelsaetb.

Dans la suite on admet quef est définie surRpar : f (x)=(2x+3)e^−x

d. Démontrer que, pour toutxdeR:f^′(x)=(−2x−1)e^−x; e. Résoudre surRl’inéquationf^′(x)>0 ;

f. En déduire le sens de variations def surR (on ne cherchera pas les limites en−∞et+∞)

2. a. Déterminer le développement limité, à l’ordre 2, au voisinage de 0, de la fonctionx7→e^−x.

b. Démontrer que le développement limité, à l’ordre 2, au voisinage de 0, de la fonctionf est :f(x)=3−x−1

2x²+x²ε(x) avec lim

x→0ε(x)=0.

1. La fonctionf définie dans la partieBest une solution de l’équation différen- tielle (E) de la partieA. Donc, pour toutxdeR,f(x)= −f^′(x)+2e⁻^x.

En déduire une primitiveFdef surR.

2. On noteI= Z¹₂

0 f(x) dx

(13)

a. Démontrer queI=5−6e⁻¹².

b. Donner une valeur approchée arrondie à 10⁻³deI. 3. On noteJ=

Z¹₂

0

µ

3−x−1 2x²

¶ dx.

a. Démontrer queJ=65 48

b. Donner une valeur approchée à 10⁻³deJ.

c. Vérifier que les valeurs approchées obtenues ci-dessus pourI etJ dif- fèrent de moins de 10⁻².

(14)

A.P.M.E

Brevet de technicien supérieur Groupement B session 2004

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

Une entreprise fabrique, en grande quantité, des tiges métalliques cylindriques pour l’industrie. Leur longueur et leur diamètre sont exprimés en millimètres.

Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à 10⁻² A. Loi normale

Une tige de ce type est considérée comme conforme pour la longueur lorsque celle- ci appartient à l’intervalle [99,45 ; 100,55].

On noteXla variable aléatoire qui, à chaque tige prélevée au hasard dans la production, associe sa longueur.

On suppose queXsuit la loi normale de moyenne 100 et d’écart type 0,25.

1. Calculer la probabilité qu’une tige prélevée au hasard dans la production soit conforme pour la longueur.

2. Déterminer le nombre réelhpositif tel que

P(100−h6X6100+h)=0,95.

Interpréter le résultat à l’aide d’une phrase.

B. Loi binomiale et loi de Poisson

Dans un lot de ce type de tiges, 3 % des tiges ne sont pas conformes pour la longueur.

On prélève au hasard 50 tiges de ce lot pour vérification de la longueur. Le lot est suffisamment important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement a un tirage avec remise de 50 tiges.

On considère la variable aléatoireY qui, à tout prélèvement de 50 tiges, associe le nombre de tiges non conformes pour la longueur.

1. Justifier que la variable aléatoireYsuit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

2. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, deux tiges ne soient pas conformes pour la longueur.

3. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux tiges ne soient pas conformes pour la longueur.

4. On considère que la loi suivie parY peut être approchée par une loi de Pois- son.

Déterminer le paramètreλde cette loi de Poisson.

5. On désigne parZune variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre λoùλa la valeur obtenue au4..

CalculerP(Z=2) etP(Z62).

C. Intervalle de confiance

Dans cette question on s’intéresse au diamètre des tiges, exprimé en millimètres.

On prélève au hasard et avec remise un échantillon de 50 tiges dans la production d’une journée.

(15)

SoitDla variable aléatoire qui, à tout échantillon de 50 tiges prélevées au hasard et avec remise dans la production d’une journée, associe la moyenne des diamètres des tiges de cet échantillon.

On suppose queDsuit la loi normale de moyenne inconnueµet d’écart type σ p50 avecσ=0,19.

Pour l’échantillon prélevé, la moyenne obtenue, arrondie à 10⁻²estx=9,99.

1. À partir des informations portant sur cet échantillon, donner une estimation ponctuelle de la moyenneµdes diamètres des tiges produites dans cette jour- née.

2. Déterminer un intervalle de confiance centré surxde la moyenneµdes dia- mètres des tiges produites pendant la journée considérée, avec le coefficient de confiance 95 %.

3. On considère l’affirmation suivante : « la moyenneµest obligatoirement dans l’intervalle de confiance obtenu à la question2».

Est-elle vraie ? (On ne demande pas de justification).

Dans cet exercice, on étudie une fonction qui intervient dans des calculs de probabilité à propos de la crue d’un fleuve.

(Source : un bureau d’étude du domaine de l’équipement)

A. Résolution d’une équation différentielle On considère l’équation différentielle

(E) : y^′+(0,4x)y=0,4x

oùyest une fonction dérivable de la variable réellex, définie et dérivable sur [0 ;+∞[, ety^′sa fonction dérivée.

1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle (E0) : y^′+(0,4x)y=0.

2. Montrer que la fonction constanteh, définie sur [0 ;+∞[ parh(x)=1, est une solution particulière de l’équation différentielle (E).

4. Vérifier que la fonctionFdéfinie sur [0;+∞[ parF(x)=1−e^−0,2x²est la solution particulière de l’équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale F(0)=0.

Soitf la fonction définie sur [0 ;+∞[ par

f(x)=0,4xe^−0,2x².

On désigne parC la courbe représentative def dans un repère orthogonal³

O,−→ı ,−→



´, les unités graphiques étant de 2 cm sur l’axe des abscisses et de 10 cm sur l’axe des ordonnées.

1. On admet que lim

x→+∞f(x)=0.

Que peut-on en déduire pour la courbeC?

2. a. Démontrer que, pour toutxde [0 ;+∞[,f^′(x)=0,4¡ 1−p

0,4x¢ ¡ 1+p

0,4x¢ e^−0,2x². b. En déduire le signe def^′(x) sur [0 ;+∞[.

Groupement B 15 juin 2004

(16)

c. Donner le tableau de variations def sur [0 ;+∞[.

On y fera figurer la valeur approchée arrondie à 10⁻²du maximum de la fonctionf.

3. Un logiciel de calcul formel fournit pourf le développement limité suivant, à l’ordre 3, au voisinage de 0 :

f(x)=0,4x−0,08x³+x³ε(x) avec lim

x→0ε(x)=0.

Ce résultat est admis et n’est donc pas à démontrer.

En déduire une équation de la tangenteT à la courbeC au point d’abscisse 0, et la position relative deT et deC au voisinage de ce point.

4. Tracer sur la copie la tangenteT et la courbeC dans le repère³

O,→−ı ,−→

 ´ défini au début de la partieB.

C. Application à un problème de probabilité

Une étude statistique, fondée sur un historique des crues d’un fleuve, permet de faire des prévisions sur sa hauteur maximale annuelle, en mètres.

On noteX la variable aléatoire qui, à une année prise au hasard dans une longue période, associe la hauteur maximale du fleuve en mètres.

Soitxun réel positif. La probabilité qu’une année donnée la hauteur maximale du fleuve soit inférieure àxmètres estP(X6x)=

Z_x

0 f(t)dtoùf est la fonction définie dans la partieB.

On admet que Z_x

0 f(t) dt=1−e^−0,2x².

1. Les digues actuelles ne protègent l’agglomération que lorsque la hauteur est inférieure à 4 mètres.

Calculer la probabilitéP(X 64) qu’une année donnée, l’agglomération soit protégée de la crue ; arrondir le résultat à 10⁻².

2. Afin de réaliser des travaux pour améliorer la protection de l’agglomération, on cherche la hauteurx0, en mètres, telle queP(X6x0)0,99.

a. Montrer quex0est solution de l’équation : e^−0,2x²=0,01.

b. Déterminer la valeur approché arrondie à 10⁻²dex0. c. On considère l’affirmation suivante :

« En surélevant les digues actuelles d’un mètre, la probabilité qu’une an- née prise au hasard, l’agglomération soit protégée est supérieure à 0,99 ».

Cette affirmation est-elle vraie ? (Donner la réponse sans explication)

(17)

A.P.M.E.P.

Brevet de technicien supérieur Groupement B session 2005

A. Résolution d’une équation différentielle On considère l’équation différentielle (E) :

(1+x)y^′+y= 1 1+x

oùyest une fonction de la variable réellex, définie et dérivable sur ]−1;+∞[ ety^′sa fonction dérivée.

1. Démontrer que les solutions sur ]−1;+∞[ de l’équation différentielle (E0) : (1+x)y^′+y=0

sont les fonctions définies parh(x)= k

x+1oùkest une constante réelle quel- conque.

2. Soitgla fonction définie sur ]−1 ;+∞[ parg(x)=ln(1+x) 1+x

Démontrer que la fonctiongest une solution particulière de l’équation diffé- rentielle (E).

4. Déterminer la solutionf de l’équation différentielle (E) qui vérifie la condition initialef(0)=2.

B. Etude d’une fonction

Soitf la fonction définie sur ]−1;+∞[ parf(x)=^2+ln(1+x)₁₊_x

Sa courbe représentativeC, dans un repère orthonormal où l’unité graphique est 1 cm, est donnée ci-dessous.

C 1

O 1

1. On admet que lim

x→−1f (x)= −∞et que lim

x→+∞f(x)=0.

Que peut-on en déduire pour la courbeC?

2. a. Démontrer que, pour toutxde ]−1 ;+∞[, f^′(x)=−1−ln(1+x) (1+x)²

(18)

b. Résoudre dans ]−1 ;+∞[ l’inéquation−1−ln(1+x)>0.

En déduire le signe def^′(x) lorsquexvarie dans ]−1 ;+∞[.

c. Établir le tableau de variation def.

3. Un logiciel de calcul formel donne le développement limité, à l’ordre 2, au voisinage de 0, de la fonctionf :

f(x)=2−x+1

2x²+x²ε(x) avec lim

x→0ε(x)=0 Ce résultat, admis, n’a pas à être démontré.

a. En déduire une équation de la tangenteT à la courbeC au point d’abscisse 0.

b. Étudier la position relative deC etT au voisinage de leur point d’abscisse 0.

1. Déterminer la dérivée de la fonctionGdéfinie sur ]−1 ;+∞[ par : G(x)=1

2[ln(1+x)]²

2. En déduire qu’une primitive def sur ]−1 ;+∞[ est définie par : F(x)=2ln(1+x)+1

2[ln(1+x)]² 3. a. On noteI=

Z2

0 f(x) dx. Démontrer queI=1

2(ln 3)²+2ln 3.

b. Donner la valeur approchée arrondie à 10⁻²deI.

c. Donner une interprétation graphique du résultat obtenu au b.

Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Une usine fabrique, en grande quantité, des rondelles d’acier pour la construction.

Leur diamètre est exprimé en millimètres.

Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats approchés sont à arron- dir à 10⁻²

A. Loi normale

Une rondelle de ce modèle est conforme pour le diamètre lorsque celui-ci appartient à l’intervalle [89,6 ; 90,4].

1. On noteX1la variable aléatoire qui, à chaque rondelle prélevée au hasard dans la production, associe son diamètre. On suppose que la variable aléatoireX1

suit la loi normale de moyenne 90 et d’écart-typeσ=0,17. Calculer la proba- bilité qu’une rondelle prélevée au hasard dans la production soit conforme.

2. L’entreprise désire améliorer la qualité de la production des rondelles : Il est envisagé de modifier le réglage des machines produisant les rondelles.

On noteDla variable aléatoire qui, à chaque rondelle prélevée dans la production future, associera son diamètre. On suppose que la variable aléatoire Dsuit une loi normale de moyenne 90 et d’écart-typeσ1.

Déterminer σ1 pour que la probabilité qu’une rondelle prélevée au hasard dans la production future soit conforme pour le diamètre soit égale à 0,99.

(19)

B. Loi binomiale

On noteEl’évènement : « une rondelle prélevée au hasard dans un stock important a un diamètre défectueux ».

On suppose queP(E)=0,02.

On prélève au hasard quatre rondelles dans le stock pour vérification de leur dia- mètre. Le stock est assez important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de quatre rondelles.

On considère la variable aléatoireY1qui à tout prélèvement de quatre rondelles associe le nombre de rondelles de ce prélèvement ayant un diamètre défectueux.

1. Justifier que la variable aléatoireY1suit une loi binomiale dont on détermi- nera les paramètres.

2. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, aucune rondelle n’ait un diamètre défectueux. Arrondir à 10⁻³.

3. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus une rondelle ait un diamètre défectueux. Arrondir à 10⁻³.

C. Approximation d’une loi binomiale par une loi normale Les rondelles sont commercialisées par lot de 1 000.

On prélève au hasard un lot de 1 000 dans un dépôt de l’usine. On assimile ce prélè- vement à un tirage avec remise de 1 000 rondelles.

On considère la variable aléatoireY2qui, à tout prélèvement de 1 000 rondelles, associe le nombre de rondelles non conformes parmi ces 1 000 rondelles.

On admet que la variable aléatoireY2suit la loi binomiale de paramètresn=1000 et p=0,02. On décide d’approcher la loi de la variable aléatoireY2par la loi normale de moyenne 20 et d’écart-type 4,43.

On noteZ une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne 20 et d’écart- type 4,43.

1. Justifier les paramètres de cette loi normale.

2. Calculer la probabilité qu’il y ait au plus 15 rondelles non conformes dans le lot de 1 000 rondelles, c’est à dire calculerP(Z615,5)

D. Test d’hypothèse

On se propose de construire un test d’hypothèse pour contrôler la moyenneµde l’ensemble des diamètres, en millimètres, de rondelles constituant une grosse livraison à effectuer.

On noteX2la variable aléatoire qui, à chaque rondelle prélevée au hasard dans la livraison, associe son diamètre.

La variable aléatoireX2suit la loi normale de moyenne inconnueµet d’écart-type σ=0,17.

On désigne par ¯X2la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 100 rondelles prélevé dans la livraison, associe la moyenne des diamètres de ces rondelles (la livraison est assez importante pour que l’on puisse assimiler ces prélève- ments à des tirages avec remise).

L’hypothèse nulle estH0:µ=90. Dans ce cas la livraison est dite conforme pour le diamètre.

L’hypothèse alternative estH1:µ6=90.

1. Énoncer la règle de décision permettant d’utiliser ce test en admettant, sous l’hypothèse nulleH0, le résultat suivant qui n’a pas à être démontré :

P³

89,9676X2690,033´

=0,95

(20)

2. On prélève un échantillon de 100 rondelles dans la livraison et on observe que, pour cet échantillon, la moyenne des diamètres est ¯x=90,02.

Peut-on, au seuil de risque de 5 %, conclure que la livraison est conforme pour le diamètre ?

(21)

A.P.M.E.P.

Brevet de technicien supérieur Groupement B session 2006

y^′′−3y^′−4y= −5e^−x

oùyest une fonction de la variable réellex, définie et deux fois dérivable surR,y^′la fonction dérivée deyety^′′sa fonction dérivée seconde.

1. Déterminer les solutions surRde l’équation différentielle (E0) : y^′′−3y^′−4y=0.

2. Soithla fonction définie surRparh(x)=xe^−x.

4. Déterminer la solution f de l’équation différentielle (E) qui vérifie les condi- tions initialesf(0)=2 etf^′(0)= −1.

B. Étude locale d’une fonction

La courbeC ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormal³

O,→−ı ,−→

 ´

, de la fonctionf définie surRpar f(x)=(x+2)e^−x.

(22)

1 2 3

−1

−2

−3

−4

1 2 3

−1

−2

−3

−4 O x

y

1. Démontrer que le développement limité à l’ordre 3, au voisinage de 0, de la fonctionf est

f(x)=2−x+x³

6 +x³ε(x) avec lim

x→0ε(x)=0.

2. Déduire du1une équation de la tangenteTà la courbeC au point d’abscisse 0.

3. Étudier la position relative deC etTau voisinage du point d’abscisse 0.

C. Calcul intégral On noteI=

Z_0,6

0 f(x) dx.

1. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer queI=3−3,6e⁻^0,6. 2. Donner la valeur approchée arrondie à 10⁻³deI.

3. Donner une interprétation graphique du nombreI.

Une entreprise fabrique des chaudières de deux types : – des chaudières dites « à cheminée »,

– des chaudières dites « à ventouse ».

Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

A. Ajustement affine

Le nombre de chaudières fabriquées lors des années précédentes est donné par le tableau suivant :

Rang de l’année :x_i 0 1 2 3 4 5

Nombre de chaudières fa- briquées par milliers :yi

15,35 15,81 16,44 16,75 17,19 17,30

(23)

1. À l’aide d’une calculatrice, déterminer :

a. le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique double de va- riablesxety; arrondir à 10⁻²;

b. déterminer une équation de la droite de régression de y enx, sous la formey=ax+b, oùasera arrondi à 10⁻³etbsera arrondi à l’unité.

2. En supposant que la tendance observée se poursuive pendant deux années, estimer le nombre de chaudières qui seront fabriquées l’année de rang 7.

B. Probabilités conditionnelles

L’entreprise a fabriqué en un mois 900 chaudières à cheminée et 600 chaudières à ventouse.

Dans ce lot, 1 % des chaudières à cheminée sont défectueuses et 5 % des chaudières à ventouse sont défectueuses.

On prélève au hasard une chaudière dans la production de ce mois.

Toutes les chaudières ont la même probabilité d’être prélevées.

On considère les évènements suivants : – A: « La chaudière est à cheminée » ; – B: « La chaudière est à ventouse » ; – D: « La chaudière présente un défaut ».

1. DéterminerP(A),P(B),P(D/A) etP(D/B).

2. CalculerP(D∩A) etP(D∩B).

3. En remarquant queD=(D∩A)∪(D∩B) et que les événementsD∩AetD∩B sont incompatibles, calculerP(D) etP( ¯D).

C. Loi normale

SoitXla variable aléatoire qui, à chaque chaudière à cheminée prélevée au hasard dans la production, associe sa durée de fonctionnement en années.

On admet queXsuit la loi normale de moyenne 15 et d’écart type 3.

Une chaudière est dite « amortie » si sa durée de fonctionnement est supérieure ou égale à 10 ans.

Calculer la probabilité qu’une chaudière prélevée au hasard dans la production soit

« amortie » ; arrondir à 10⁻³.

D. Intervalle de confiance

On considère un échantillon de 100 chaudières prélevées au hasard dans un stock important.

Ce stock est assez important pour qu’on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise.

On constate que 94 chaudières sont sans aucun défaut.

1. Donner une estimation ponctuelle de la fréquence inconnuepdes chaudières de ce stock qui sont sans aucun défaut.

2. SoitFla variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100 chaudières prélevées au hasard et avec remise dans ce stock, associe la fréquence des chaudières de cet échantillon qui sont sans aucun défaut.

On suppose queFsuit la loi normale de moyennepet d’écart type

rp(1−p) 100 , oùpest la fréquence inconnue des chaudières du stock qui sont sans aucun défaut.

Déterminer un intervalle de confiance de la fréquencepavec le coefficient de confiance 95 %. Arrondir les bornes à 10⁻².

(24)

3. On considère l’affirmation suivante : « la fréquencepest obligatoirement dans l’intervalle de confiance obtenu à la question2».

Est-elle vraie ? (On ne demande pas de justification.)

Exercice 2 groupement B 2 9 points

e(t) s(t)

Système

On considère un système (électrique ou mécanique) et on notee(t) le signal d’entrée ets(t) le signal de sortie. Un système du 1^erordre est un système régi par une équa- tion différentielle du type (ED) : Tds

dt+s(t)=K e(t), oùT etKsont des constantes réelles positives.

On noteE(p)=L(e(t)) etS(p)=L(s(t)) oùLest la transformation de Laplace.

La fonction de transfertHdu système est alors définie par :H(p)=S(p) E(p). Les trois parties 1ô, 2ôet 3ôpeuvent être traitées de façon indépendante 1ôRecherche de la fonction de transfert

En appliquant la transformation de LaplaceLaux deux membres de l’équation dif- férentielle (ED) et en supposant ques¡

0⁺¢

=0 (le système est initialement au repos), montrer que :

H(p)= K 1+T p. Dans le reste de l’exercice, on prendraK=T=1 2^oRecherche du signal de sortie dans un cas particulier On suppose que le signal d’entrée este(t)=2U(t−3).

a. Représenter sur la feuille de copie la fonctione dans un repère orthogonal pourtélément de [−1 ; 6].

b. CalculerE(p).

c. Montrer queS(p)=2 µe⁻^3p

p −e⁻^3p p+1

¶ .

d. En déduire l’expression du signal de sorties(t)=L−1(S(p)).

3^oOn se propose dans cette question de déterminer le « lieu de transfert » associé à la fonction de transfert H

On note j le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ

2 et on posep=jωavec ω∈]0 ;+∞[.

On a alors :H(jω)= 1 1+jω.

Dans ce qui suit, les représentations graphiques demandées sont à réaliser sur une feuille de papier millimétré avec un repère orthonormal³

O,→−u,−→v´

d’unité graphique 5 centimètres.

On appelleMωle point d’affixez=1+jωetNωle point d’affixeH(jω) pour toutωde l’intervalle ]0 ;+∞[.

(25)

a. On lit sur l’écran d’une calculatrice que les valeurs deH(jω) pourω=3 4,ω=1 etω=p

3 sont :

H µ

j3 4

¶

=16 25−12

25j ; H(j)=1 2−1

2j ; H³ jp

3´

=1 4−

p3 4 j.

Placer sur une figure les pointsMωetNωpourω=3

4,ω=1 puisω=p 3.

b. Tracer sur la figure du 3^oa.l’ensembleE₁décrit par le point Mωlorsqueω varie dans l’intervalle ]0 ;+∞[.

c. Quelle est la transformation complexe qui associe au pointMωd’affixe z=1+jωle pointNωd’affixeZ= 1

1+jω.

d. Tracer l’ensembleE₂décrit par le pointNωlorsqueωvarie dans l’intervalle ]0 ;+∞[.

Formulaire

On rappelle les formules suivantes sur la transformation de Laplace.

L[U(t)]= 1 p; Plus généralement, si on noteL[f(t)U(t)]=F(p) alors,

L[f(t−τ)U(t−τ)]=F(p)e⁻^τp; L[f(t)e^−atU(t)]=F(p+a) ; L[f^′(t)U(t)]=pF(p)−f¡

0⁺¢ .

(26)

octobre 2006 - groupement B Nouvelle–Calédonie

Dans cet exercice on étudie une fonction intervenant dans la modélisation d’un risque de catastrophe naturelle.

10⁴y^′+2t y=0,

oùyest une fonction de la variable réelle définie et dérivable surRety^′sa fonction dérivée.

1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle (E).

2. Déterminer la solutionf de l’équation différentielle (E ) qui vérifie la condition initialef(0)=1.

B. Étude d’une fonction

Soitf la fonction définie surRparf(t)=e⁻^t

2 104.

On désigne parC sa courbe représentative dans un repère onhogonal.

1. a. Déterminer lim

t→−∞f(t) et lim

t→+∞f(t).

b. Interpréter graphiquement les résultats obtenus au a.

2. On désigne parf^′la fonction dérivée def.

Un logiciel de calcul formel donne l’expression def^′(t) : pour touttdeR,f^′(t)= −2t

10⁴e⁻^t

2 104. Ce résultat, admis, n’a pas à être démontré.

a. Résoudre dansRl’inéquationf^′(t)>0.

b. En déduire le sens de variations def surR.

3. a. À l’aide du développement limité, à l’ordre 1, au voisinage de 0, de la fonctionu7−→e^u, calculer le développement limité, à l’ordre 2, au voisinage de 0, de la fonctionf.

b. Sur la figure ci-après sont tracées la courbeCet la courbe représentative Γde la fonctiongdéfinie surRparg(t)=1− t²

10⁴.

Donner une interprétation graphique du résultat obtenu au B. 3. a.

1

−100 100

−200 O t

y

(27)

4. Démontrer que Z₃₀

0

µ 1− t²

10⁴

¶

dt=29,1.

C. Application à la gestion d’un risque

On admet que la probabilité qu’un certain type de « catastrophe naturelle » ne se produise pas pendant lestannées à venir est donnée parf(t)=e⁻

t² 10⁴.

1. Calculer la probabilité que cette catastrophe naturelle ne se produise pas pendant les 50 ans à venir. Arrondir à 10⁻¹.

2. a. Déterminer un nombre réel positifttel que e⁻ t²

10⁴ =0,5 ; donner la valeur exacte, puis arrondir à 10⁻¹.

b. Traduire le résultat du C. 2. a. à l’aide d’une phrase.

Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante

Un atelier d’une usine d’automobiles est chargé de l’assemblage d’un moteur. Dans cet exercice on s’intéresse au contrôle de qua- lité de l’emmanchement d’une poulie sur une pompe de direction assistée. Cet emmanchement est contrôlé par la mesure, en milli- mètres, de la cotexapparaissant sur la figure ci-contre

Pompe Poulie

x

Dans cet exercice, sauf mention contraire, les résultats approchés sont à arrondir à 10⁻³

A. Probabilités conditionnelles

Dans cette partie, on s’intéresse, un jour donné, à une machine assurant l’installation de la poulie. Cette machine peut connaître une défaillancc susceptible d’être détectée par un système d’alerte.

Le système d’alerte peut aussi se déclencher sans raison.

On noteDl’évènement : « la machine est défaillante » et on noteAl’évènement : « l’alerte est donnée ».

On admet que :P(D)=0,001 ;P(A/D)=0,99 etP(A/D)=0,005.

(On rappelle queP(A/D)=PD(A) est la probabilité de l’évènement Asachant que l’évènementDest réalisé).

1. En remarquant queA=(A∩D)∪

³A∩D´

et queA∩DetA∩Dsont incompatibles, calculerP(A).

2. L’alerte est donnée. Calculer la probabilité qu’il s’agisse d’une « fausse alerte

», c’est à direP³ D A/A´

. Arrondir à 10⁻². B. Loi normale

L’installation de la poulie est considérée comme conforme lorsque la cotexappar- tient à l’intervalle [39,85 ; 40,15].

On noteX la variable aléatoire qui à chaque ensemble pompe-poulie prélevé au hasard dans la production, associe sa cotex. On suppose queX suit la loi normale de moyenne 40 et d’écart type 0,06.

Groupe B 27 octobre 2006

(28)

Calculer la probabilité que la cotexd’un ensemble pompe-poulie prélevé au hasard dans la production soit confonne.

C. Loi binomiale

On suppose que dans la production du jour, 50 % des ensembles pompe-poulie ont des cotesxsupérieures ou égales à 40 millimètres. On prélève au hasard 7 ensembles pompe-poulie dans cette production. La production est suffisamment importante pour qu’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

On considère la variable aléatoireY qui, à tout prélèvement de 7 ensembles pompe- poulie, associe le nombre de ceux dont la cotexest supérieure ou égale à 40.

1. Justifier que la variable aléatoireYsuit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

2. CalculerP(Y=7).

D. Test d’hypothèse

On se propose de construire un test d ’hypothèse pour contrôler la moyenneµdes ensembles pompe-poulie d’n lot important venant d’être réalisé.

On noteZ la variable aléatoire qui, à chaque ensemble pompe-poulie prélevé au hasard dans ce lot, associe sa cotex. La variable aléatoireZsuit la loi normale de moyenne inconnueµet d’écart typeσ=0,06.

On désigne parZla variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 30 ensembles pompe-poulie prélevé dans le lot, associe la moyenne des cotesX de cet échantillon (le lot est assez important pour que l’on puisse assimiler ces prélève- ments à des tirages avec remise).

L’hypothèse nulle estH0 : µ=40. Dans ce cas le lot est dit conforme.

L’hypothèse alternative estH1 :µ6=40.

1. Justifier le fait que, sous l’hypothèse nulleH0,Zsuit la loi normale de moyenne 40 et d’écart type 0,011.

2. Sous l’hypothèse nulleH0, déterminer le nombre réelhpositif tel que : P(40−h6_Z6₄₀₊_h)₌_0,95.

3. Énoncer la régie de décision permettant d’utiliser ce test.

4. On prélève un échantillon de 30 ensembles pompe–poulie dans le lot et on observe que, pour cet échantillon, la moyenne des cotesxestx=39,98.

Peut-on, au seuil de risque de 5 %, conclure que le lot est conforme ?

(29)

A.P.M.E.P.

Brevet de technicien supérieur session 2007 Groupement B

Exercice 1 12points

On étudie dans cet exercice une fonctionϕsusceptible d’intervenir dans la modéli- sation du trafic Internet au terminal informatique d’une grande société. Pour un réel t positif,ϕ(t)est la probabilité que le temps séparant l’arrivée de deux paquets de données soit inférieur à t secondes.

A. Résolution d’une équation différentielle

On considère l’équation différentielle (E) : y^′+710y =710 oùy est une fonction de la variable réellet, définie et dérivable sur [0 ;+∞[, ety^′la fonction dérivée dey. 1. Déterminer les solutions définies sur [0 ;+∞[ de l’équation différentielle (E0) :

y^′+710y=0.

2. Soithla fonction définie sur [0 ;+∞[ parh(t)=1.

4. Déterminer la solutionϕde l’équation différentielle (E) qui vérifie la condition initialeϕ(0)=0.

B. étude d’une fonction

Soitϕla fonction définie sur [0 ;+∞[ parϕ(t)=1−e^−710t.

On désigne parCla courbe représentative deϕdans un repère orthogonal³

O,−→ı ,→−

´ où on prend comme unités : 10 cm pour 0,01 sur l’axe des abscisses et 10 cm pour 1 sur l’axe des ordonnées.

1. Montrer que la fonctionϕest croissante sur [0 ;+∞[.

2. a. Démontrer que le développement limité à l’ordre 2, au voisinage de 0, de la fonctionϕest

ϕ(t)=710t−(710t)²

2 +t²ε(t) avec lim

t→0ε(t)=0.

b. En déduire une équation de la tangenteT à la courbeCau point d’abscisse 0, ainsi que la position relative deCetT au voisinage de ce point.

3. Tracer sur la copie la tangenteTet la courbeCdans le repère³

O,→−ı ,−→

 ´ défini au début de la partieB. On pourra se limiter à la partie deCcorrespondant à l’intervalle [0 ; 0,01].

4. a. Déterminer par le calcul le nombre réel positifαtel queϕ(α)=0,5.

Donner la valeur exacte deα, puis sa valeur approchée arrondie à 10⁻⁵. b. Retrouver sur la figure le résultat obtenu au a) : faire apparaître les construc-

tions utiles.

Le nombreαreprésente le temps médian en secondes séparant l’arrivée de deux pa- quets de données.

(30)

1. Pour tout réel positift, on noteI(t)=710 Z_t

0 xe^−710xdx.

Montrer, à l’aide d’une intégration par parties, que : I(t)= −te^−710t− 1

710e^−710t+ 1 710. 2. Calculer lim

t→+∞I(t).

Donner la valeur exacte de cette limite, puis sa valeur approchée arrondie à 10⁻⁵.

Le résultat obtenu est le temps moyen en secondes séparant l’arrivée de deux paquets de données.

Exercice 2 8points

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

Une usine fabrique des ventilateurs en grande quantité. On s’intéresse à trois type de pièces : l’axe moteur, appelée pièce de type 1, l’ensemble des trois pales, appelé pièce de type 2 et le support, appelé pièce de type 3.

d

Pièce de type 1 Pièce de type 2

Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à 10⁻². A. Loi normale

Une pièce de type 1 est conforme lorque son diamètred(voir la figure), exprimée en millimètres, appartient à l’intervalle [29,8 ; 30,2].

On noteXla variable aléatoire qui, à chaque pièce de type 1 prélevée au hasard dans la production des pièces de type 1, associe le diamètredexprimé en millimètres. On suppose que la variable aléatoireXsuit la loi normale de moyenne 30 et d’écart type 0,09.

Calculer la probabilité qu’une pièce prélevée au hasard dans la production des pièces de type 1 soit conforme.

B. Loi binomiale

On considère un stock important de pièces de type 2.

On noteEl’évènement : « une pièce prélevée au hasard dans le stock de pièces de type 2 est défectueuse ».

(31)

On suppose queP(E)=0,03.

On prélève au hasard 20 pièces dans le stock de pièces de type 2 pour vérification. Le stock est assez important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 20 pièces de type 2.

On considère la variable aléatoireY qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de pièces de ce prélèvement qui sont défectueuses.

1. Justifier que la variable aléatoireY suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Calculer la probabilité qu’aucune pièce de ce prélèvement ne soit défectueuse.

3. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, une pièce au moins soit défectueuse.

C. Test d’hypothèse

Une importante commande de pièces de type 3 est passé à un sous-traitant. La hauteur du support doit être de 400 millimètres.

On se propose de construire un test d’hypothèse bilatéral pour contrôler, au mo- ment de la livraison, la moyenneµde l’ensemble des hauteurs, en millimètres, des pièces de type 3.

On noteZla variable aléatoire qui, à chaque pièce de type 3 prélevée au hasard dans la livraison associe sa hauteur.

La variable aléatoireZ suit la loi normale de moyenne inconnueµet d’écart type σ=5.

On désigne parZ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 100 pièces de type 3 prélevé dans la livraison, associe la moyenne des hauteurs des pièces de cet échantillon. La livraison est assez importante pour que l’on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise.

L’hypothèse nulle estH0:µ=400.

L’hypothèse alternative estH1:µ6=400.

1. Sous l’hypothèseH0, on admet que la variable aléatoireZsuit la loi normale de moyenne 400 et d’écart type 0,5.

Déterminer sous cette hypothèse le nombre réelhpositif tel que : P(400−h6Z6400+h)=0,95.

2. En déduire la règle de décision permettant d’utiliser ce test.

3. On prélève un échantillon aléatoire de 100 pièces dans la livraison reçue et on observe que, pour cet échantillon, la moyenne des hauteurs des pièces est z=399,12.

Peut-on, au seuil de 5%, conclure que la livraison est conforme pour la hauteur ?

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session 2008 - groupement B

Exercice 1 12points

A. Résolution d’une équation différentielle

On considère l’équation différentielle (E) :y^′−2y=xe^xoùyest une fonction de la variable réellex, définie et dérivable surR, ety^′la fonction dérivée dey.

1. Déterminer les solutions définies surRde l’équation différentielle (E0) : y^′−2y=0.

2. Soitgla fonction définie surRpar

g(x)=(−x−1)e^x.

Démontrer que la fonctiongest une solution particulière de l’équation diffé- rentielle (E).

4. Déterminer la solutionf de l’équation différentielle (E) qui vérifie la condition initialef(0)=0.

B. Étude locale d’une fonction Soitf la fonction définie surRpar

f(x)=e^2x−(x+1)e^x.

Sa courbe représentativeC est donnée dans un repère orthogonal ci-dessous.

1 2 3 4 5

−1

−2

1 2

−1

−2

−3

−4

−5-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-2 -1 0 1 2 3 4 5

C