Brevet de technicien supérieur Le groupement A de 2001 à 2011

(1)

A.P.M.E.P.

Brevet de technicien supérieur Le groupement A de 2001 à 2011

Métropole 2001 . . . 3

Métropole 2002 . . . 7

Métropole 2003 . . . 10

Métropole 2004 . . . 12

Métropole 2005 . . . 16

Métropole 2006 . . . 18

Métropole 2007 . . . 23

Métropole Techniques physiques 2007 . . . .28

Nouvelle-Calédonie octobre 2006 . . . 33

Métropole 2008 A1 . . . .35

Métropole 2008 A2 . . . .38

Nouvelle-Calédonie octobre 2007 . . . 43

Métropole–Polynésie A1 2009 . . . 45

Métropole A2 2009 . . . .48

Nouvelle-Calédonie octobre 2008 . . . 56

Métropole A1 2010 . . . .60

Métropole A2 2010 . . . .67

Nouvelle-Calédonie octobre 2009 . . . 72

Métropole A1 2011 . . . .75

Métropole A2 2011 . . . .82

(2)

Groupe A1 2 12 mai 2010

(3)

Brevet de technicien supérieur

BTS Groupement A session 2001

EXERCICE1 12 points

Partie A

1. On a obtenu à l’aide d’une calculatrice : Z_π

0 sint·costdt=0 et Z_π

0 sint·cos(2t) dt= −2 3. Justifier ces deux résultats en calculant les intégrales.

2. On considère le signal, modélisé par la fonction réellee, de période 2π, définie par :

½ e(t) = sint si t∈ [0 ;π]

e(t) = 0 si t∈]π; 2π[.

a. Dans un repère orthogonal, tracer la représentation graphique de la fonc- tionepourtvariant dans l’intervalle [−2π; 4π].

b. Calculer les coefficients de Fouriera0,a1eta2de la fonctione. On ad- mettra dans la suite de l’exercice que les coefficientsb1etb2valent : b1=1

2etb2=0.

3. a. Calculer le carréE²de la valeur efficace du signale.

b. On sait par ailleurs que la formule de Bessel-Parseval donne :

E²=a²₀+^+∞X

n=1

a²_n+bn²

2 .

Dans le cas présent, on décide de ne garder que les harmoniques de rang 1 et 2.

SoitPle nombre défini par :P=a²₀+1 2

¡a₁²+b₁²+a²₂+b₂²¢ .

CalculerP, puis donner une approximation décimale à 10⁻³près du rapport P

E².

La comparaison de E²et P justifie que, dans la pratique, on néglige les harmoniques de rang supérieur ou égal à 3.

Partie B

On se propose dans cette partie d’obtenir l’intensitéidu courant dans le circuit ci- dessous lorsqu’il est alimenté par le signal d’entréeedéfini dans la partie A.

C

R e(t)

i(t)

(4)

L’équation permettant de trouver l’intensité du courant est, pourt∈[0 ;+∞[, Ri(t)+1

C Zt

0 i(u) du=e(t) (1).

Pour déterminer la fonctioni on remplace le signal d’entréeepar son développe- ment en série de Fourier tronqué à l’ordre 2. L’équation (1) devient alors :

Ri(t)+1 C

Z_t

0 i(u) du=1 π+1

2sint− 2

3πcos(2t) (2).

On admet que l’intensitétdu courant est une fonction dérivable sur [0 ;+∞[.

On suppose dans toute la suite de l’exercice queR=5000ΩetC=10⁻⁴F.

1. Montrer que l’équation (2) peut alors se transformer et s’écrire :





 di

dt(t)+2i(t)=¡ 10⁻⁴¢

cost+ µ 4

15π·10⁻³

¶ sin(2t)

t∈[0 ;+∞[ (3).

2. Vérifier que la fonctioni1telle quei1(t)=¡ 4·10⁻⁵¢

cost+¡ 2·10⁻⁵¢

sintest une solution particulière de l’équation différentielle





 di

dt(t)+2i(t)=¡ 10⁻⁴¢

cost t∈[0 ;+∞[

3. Déterminer une solution particulièrei2de l’équation différentielle





 di

dt(t)+2i(t)= µ 4

15π·10⁻³

¶ sin(2t) t∈[0 ;+∞[

4. Résoudre alors l’équation différentielle (3). En déduire la solution particulière vérifiant la conditioni(0)=0.

Le plan est rapporté à un repère orthonormal³ O,−→

ı ,−→



´.

On s’intéresse dans cet exercice à deux courbes de BézierC1etC2.

C1est définie par les quatre points de contrôle A0(0 ; 3), A1(0 ;−2), A2(10 ;−2), A3(5 ; 3) ; C2est définie par les trois points de contrôle A0(0 ; 3), T(0 ; 8), A3(5 ; 3).

On rappelle que la courbe de Bézier définie par les points de contrôleAi(06_i6_n) est l’ensemble des pointsM(t) tels que :

−−−→OM(t)=

n

X

i=0

Bi,n(t)−−−→OAi où Bi,n(t)=Cⁱ_ntⁱ(1−t)ⁿ⁻ⁱ avect∈[0 ; 1].

1. Construction de la courbeC1.

a. Développer, réduire et ordonner les polynômesBi, 3(t), (06_i6_3).

b. Montrer que les coordonnées du pointM(t) de la courbeC1sont :

½ x = f1(t) = 30t²−25t³

y = g1(t) = 3−15t+15t² t∈[0 ; 1].

c. Étudier les variations def1etg1et dresser le tableau des variations conjointes de ces deux fonctions.

(5)

d. Préciser les coordonnées des points deC1à tangentes parallèles aux axes de coordonnées.

e. Montrer que la droite (A2A3) est tangente àC1en A3.

f. Tracer, en exploitant les résultats précédents, la courbeC₁sur la feuille annexe.

2. Étude géométrique de la courbeC2

La représentation paramétrique de la courbeC2est :

½ x = f2(t) = 5t²

y = g2(t) = 3+10t−10t² La courbeC2est donnée sur la feuille annexe.

a. On définit, pour toutt∈[0 ; 1], les pointsN₁(t) etN₂(t) par :

−−−−−→

ON1(t)=(1−t)−−−→OA0+t−−→OT et−−−−−→ON2(t)=(1−t)−−→OT+t−−−→OA3. Justifier que les pointsN1(t) etN2(t) appartiennent respectivement aux segments [A0T] et [TA3].

b. SoitG(t) le point défini, pour toutt∈[0 ; 1], par

−−−−→

OG(t)=(1−t)−−−−−→ON1(t)+t−−−−−→ON2(t) .

Montrer queG(t) appartient àC2et que la droite (N1(t)N2(t)) est tangente àC2enG(t).

c. Placer les pointsN1

µ1 5

¶ ,N2

µ1 5

¶ etG

µ1 5

¶

et la tangente àC2enG µ1

5

¶ .

(6)

Feuille annexe à rendre avec la copie

10

A1 A2

x y

A0 A3

T

1 1

C2

(7)

BTS Groupement A 2002

La fonction échelon unitéU est définie par

U(t)=0 sit<0 et U(t)=1 sit>0.

On considère le système « entrée - sortie »représenté ci-dessous :

e(t) s(t)

On notesle signal de sortie associé au signal d’entréee. Les fonctionss etesont des fonctions causales, c’est-à-dire qu’elles sont nulles pourt<0. On admet que les fonctionsseteadmettent des transformées de Laplace, notées respectivementSet E.

La fonction de transfertHdu système est définie par :S(p)=H(p)×E(p).

On considère le signal d’entreedéfini par :

e(t)=tU(t)−2U(t−1)−(t−2)U(t−2) et la fonctionHdéfinie sur ]0 ;+∞[ parH(p)= 1

p+1.

1. Tracer la courbe représentative de la fonctionedans un repère orthonormal.

2. Pourp>0, déterminerE(p).

3. Déterminer tes nombres réelsA,B, etCtels que, pour toutp>0, on ait : 1

p²(p+1)= A p²+B

p+ C p+1 On admet que :

2 p(p+1)= 2

p− 2 p+1 4. a. DéterminerS(p) puiss(t).

b. En déduire que la fonctionsest définie par :











s(t) = 0 si t<0

s(t) = t−1+e⁻^t si 06t<1 s(t) = t−3+e⁻^t(1+2e) si 16t<2 s(t) = e⁻^t¡

1+2e−e²¢

si t>₂ 5. On rappelle que la notationf¡

a⁺¢

représente la limite de la fonctionf lorsque la variablettend versapar valeurs supérieures :f¡

a⁺¢

=lim

t→a t>a

f(t). De même, f (a⁻)=lim

t→a t<a

f(t).

a. Calculer s¡ 1⁺¢

, s(1⁻), s¡ 2⁺¢

, s(2⁻). Que peut-on en conclure pour la fonctionslorsquet=1 ett=2 ?

b. Calculers^′(t) sur chacun des intervalles ]0 ; 1[, ]1 ; 2[ et ]2 ;+∞[.

On admet ques^′est strictement positive sur ]0 ; 1[∪]2 ;+∞[.

Déterminer le signe des^′(t) sur l’intervalle ]1 ; 2[.

c. Calculer la valeur exacte des[ln(1+2e)]. Déterminer lim

t→+∞s(t) et dresser le tableau des variations de la fonctionssur ]0 ;+∞[.

(8)

d. Calculers^′¡ 1⁺¢

,s^′(1⁻), s^′¡ 2⁺¢

,s^′(2⁻). On admet que ces nombres sont respectivement les coefficients directeurs des demi-tangentes à droite et à gauche aux points d’abscisse 1 et d’abscisse 2 de la courbeΓreprésen- tative de la fonctions.

6. On se place dans le plan rapporté à un repère orthogonal³ O,→−

ı ,−→

 ´

d’unités graphiques 5 cm sur l’axe des abscisses et 50 cm sur l’axe des ordonnées.

a. Recopier et compléter le tableau suivant dans lequel les valeurs numé- riques seront données à 10⁻²près.

t 1 1,2 1,4 1,6 2 2,5 3 3,5

s(t)

b. Tracer alors les tangentes ou demi-tangentes à la courbeΓreprésentative de la fonctionsaux points d’abscisses 0, 1, et 2. Tracer alors la courbeΓ.

On se propose de résoudre le système différentiel (S) suivant, puis d’en déterminer une solution particulière.

(S)

½ x^′(t)+2y(t) = −2sint (E1) 2x(t)−y^′(t) = −2cost (E2)

Les fonctionsxetysont des fonctions de la variable réellet, deux fois dérivables sur R.

Partie A

1. Montrer en utilisant les équations (E1) et (E2) que la fonctionxvérifie, pour touttdansR, l’équation différentielle :

x^′′(t)+4x(t)= −6cost (E)

2. Résoudre surRl’équation différentielle (E). En déduire les solutions du sys- tème (S).

3. Déterminer la solution particulière du système (S) vérifiant les conditions ini- tialesx(0)= −1 ety(0)=0.

Partie B

On considère la courbe (Γ) définie par la représentation paramétrique

½ x = f(t) = cos(2t)−2cost y = g(t) = sin(2t)−2sint oùtest un réel appartenant à l’intervalle [−π;+π].

1. Montrer que la courbe (Γ) admet un axe de symétrie en calculant f(−t) et g(−t).

2. a. Calculerf^′(t).

Montrer que :f^′(t)= −4sin µt

2

¶ cos

µ3t 2

¶ . b. Établir le signe def^′(t) sur l’intervalle [0 ;π].

3. On admet queg^′(t)= −4sin µt

2

¶ sin

µ3t 2

¶

et que le signe deg^′est donné par le tableau suivant :

(9)

t 0 ^2π₃ π

Signe deg^′(t) 0 − 0 +

Dresser sur l’intervalle [0 ;π] le tableau des variations conjointes des fonctions f etg.

4. Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbe (Γ) aux pointsB, CetDde paramètre respectifstB=π

3,tC=2π

3 ettD=π.

5. Le planP est rapporté à un repère³ O,−→

ı ,−→

´

d’unité graphique 2 cm.

On admet que la tangente à la courbe (Γ) au point Ade paramètretA=0 a pour vecteur directeur−→

i . Tracer les tangentes aux pointsA,B,CetDpuis la courbe (Γ).

(10)

BTS Groupement A 2003

Le but de cet exercice est de déterminer les premiers coefficients de Fourier et les prin- cipales harmoniques d’un signal.

Partie A

Pour tout entier natureln, on considère les intégrales : In=

Z_π

π 2

cos(nx) dxetJn= Z^π₂

0 xcos(nx) dx 1. Montrer queIn= −1

nsinnπ 2.

2. À l’aide d’une intégration par partie, montrer que Jn= π

2nsin³ nπ

2

´ + 1

n²cos³ nπ

2

´

− 1 n² 3. DéterminerI1,I2etI3, puisJ1,J2etJ3. Partie B

Soit f la fonction numérique définie surR, paire, périodique de période 2π, telle que :







si 06_t6^π₂_, _f_(t)₌^2E π t siπ

2 <t6π, f(t)=E oùEest un nombre réel donné, strictement positif.

1. Tracer, dans un repère orthogonal, la représentation graphique de la fonction f sur l’intervalle [−π;+π] (on prendraE=2 uniquement pour construire la courbe représentantf).

2. Soita0et pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1,an etbnles coefficients de Fourier associés àf.

a. Calculera0.

b. Pour toutn>1, donner la valeur debn.

c. En utilisant la partie A, vérifier que pour toutn>1,an=2E

π²(2Jn+πIn).

Calculera_4kpour tout entierk>1.

Partie C

1. Déterminer les coefficientsa1,a2,a3.

2. CalculerF², carré de la valeur efficace de la fonctionf sur une période.

On rappelle que dans le cas oùf est paire, périodique de périodeT, on a :

F²= 2 T

Z^T₂

0 f²(t) dt

3. On sait par ailleurs que la formule de Bessel-Parseval donne : F²=a₀²+^+∞X

n=1

a_n²+b²_n 2 SoitPle nombre défini parP=a₀²+1

2

¡a²₁+a₂²+a²₃¢ .

(11)

CalculerP, puis donner la valeur décimale arrondie au millième du rapport P

F².

Ce dernier résultat très proche de1, justifie que dans la pratique, on peut négli- ger les harmoniques d’ordre supérieur à3.

On note j le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ 2.

On considère la fonctionHdéfinie, pour tout nombre complexepdistinct de 0 et de

−1, par :

H(p)= 1 p(p+1).

Dans toute la suite de l’exercice on prendp=jω, oùωdésigne un réel strictement positif.

1. On noter(ω) le module du nombre complexeH(jω) et on considère la fonc- tionGdéfinie, pour tout réelωpar :

G(ω)= 20

ln 10lnr(ω).

a. Montrer queG(ω)= − 20 ln 10ln³

ωp 1+ω²´

.

b. Déterminer les limites de la fonctionGen 0 et en+∞.

Montrer que la fonctionGest strictement décroissante sur ]0 ;+∞[.

2. a. Montrer qu’un argumentϕ(ω) deH(jω) est : ϕ(ω)= −π

2−arctanω

b. Étudier les variations de la fonctionϕsur ]0 ; +∞[ (on précisera les limites en 0 et en+∞).

3. On considère la courbeC définie par la représentation paramétrique :







x(ω)= −π

2−arctanω y(ω)= − 20

ln 10ln³ ωp

1+ω²

´ pourωstrictement positif.

a. Dresser le tableau des variations conjointes des fonctionsxety.

b. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (on donnera des valeurs décimales arrondies au centième) :

ω 0,5 0,7 0,786 0,9 1,5

x(ω) −2,24

y(ω) 0

c. Tracer la courbeC dans un repère orthogonal, on prendra pour unités graphiques 5 cm sur l’axe des ordonnées.

La courbeC correspond au diagramme de Black associé à la fonction de transfert H .

(12)

Brevet de technicien supérieur Groupement A session 2004

Exercice 1 8 points

Les questions1,2et3peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.

Une entreprise fabrique des pièces. Ces pièces sont considérées comme conformes si leur longueur est comprise entre 79,8 mm et 80,2 mm.

1. On noteLla variable aléatoire qui, à chaque pièce fabriquée, associe sa longueur en mm.

On admet que la variableLsuit une loi normale de moyenne 80 et d’écart type 0,0948.

On prélève une pièce au hasard dans la production.

Déterminer, en utilisant la table de la loi normale centrée réduite, la probabi- lité que cette pièce soit conforme.

2. On admet que si on prélève, au hasard, une pièce dans la production, la pro- babilité que cette pièce ne soit pas conforme, estp=0,035.

a. On noteX, la variable aléatoire représentant le nombre de pièces défec- tueuses dans un lot de 100 pièces. Les pièces sont prélevées au hasard et le tirage est assimilé à un tirage avec remise.

Justifier queXsuit une loi binomiale de paramètren=100 etp=0,035.

b. Le tableau ci-dessous, donne la probabilité des évènements "X =k" pour kvariant de 0 à 9, à l’exception de l’évènement "X=2".

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

P(X=k) 0,0284 0,1029 0,2188 0,1924 0,1340 0,0770 0,0375 0,0158 0,0059

On considère les évènements :

A: « le nombre de pièces défectueuses du lot est égal à 2 » ; B: « le nombre de pièces défectueuses du lot est au moins égal à 2 ».

CalculerP(A) au dix millième près, puisP(B) au millième près.

c. Un lot de 100 pièces est envoyé à un client, le lot est accepté s’il contient au plus 4 pièces défectueuses.

En utilisant le tableau ci-dessus, déterminer au millième près, la pro- babilité que le client refuse ce lot.

d. En utilisant le tableau ci-dessus, déterminer la plus petite valeur entière ntelle que :

P(X>n)<0,03

3. L’entreprise souhaite améliorer la qualité de la production. Pour cela on pro- jette de changer le processus de fabrication des pièces.

On définit alors une nouvelle variableL1qui à chaque pièce à construire selon le nouveau processus associera sa longueur en mm.

La variable aléatoireL1suit une loi normale de moyennem=80 et d’écart typeσ^′.

Déterminerσ^′pour que, en prenant une pièce au hasard dans la future production, la probabilité d’obtenir une pièce conforme soit égale à 0,99.

(13)

Pour les spécialités Contrôle industriel et régulation automatique, électronique, Techniques physiques pour l’industrie et le laboratoire

Dans tout cet exercice, le nombrenest un entier relatif.

La suiten7→e(n) représente l’échelon discrétisé causal défini par :

½ e(n)=0 pourn<0 e(n)=1 pourn>₀

On considère un filtre numérique dans lequel le signal d’entrée estn7→e(n) et le signal de sortie est un signal discret causal notén7→x(n).

Ce filtre est régi par l’équation récurrente :

x(n)−2x(n−1)=e(n) (E)

Partie 1

Dans cette partie, on résout l’équation récurrente (E) sans utilisation de la transfor- mation enZ.

1. a. Justifier quex(0)=1.

b. Calculerx(1),x(2) etx(3).

2. Pour tout entier naturelnl’équation (E) s’écrit : x(n)−2x(n−1)=1 (E)

a. On considère la suiteydéfinie pour tout entier naturelnpar : y(n)=x(n)+1

Montrer que la suiteyest une suite géométrique de raison 2.

Donner l’expression dey(n) en fonction de de l’entier natureln.

b. En déduire, pour tout entier natureln, l’expression dex(n). Vérifier que l’on retrouve les mêmes valeurs dex(0),x(1),x(2) etx(3) qu’à l’équation 1.

Partie 2

Dans cette partie on résout l’équation récurrente (E) en utilisant la transformation enZ.

1. On rappelle quex(0)=1.

On se place dans le cas oùn≥1 et on admet que le signaln7→x(n), solution de l’équation récurrente (E), a une transformation enZnotée (Z x)(z).

a. Montrer que pour toutzdifférent de 0, de 1 et de 2 on a : (Z x)(z)= z²

(z−1)(z−2)

b. Montrer que pour toutzdifférent de 0, de 1 et de 2 on a : (Z x)(z)

z = −1

z−1+ 2 z−2

c. En déduire par lecture inverse du dictionnaire d’images, le signal de sor- tien7→x(n) pourn≥1.

2. Représenter dans un repère orthogonal, pour les nombres entiersntels que

−26n63, le signal de sortien7→x(n). Prendre comme unités graphiques 2 cm sur l’axe des abscisses et 0,5 cm sur l’axe des ordonnées.

(14)

Exercice 2 12 points Pour toutes les spécialités

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.

e(t) s(t)

Dans le système représenté ci-dessus,eetssont respectivement les signaux d’entrée et de sortie, causaux (nuls pourtnégatif).

On suppose que le système est régi par l’équation différentielle : LCd²s

dt²(t)+RCds

dt(t)+s(t)=e(t) (1)

L,RetCsont des constantes réelles strictement positives. De plus à l’instant initial : s(0⁺)=0 etds

dt(0⁺)=0

Partie A

On suppose que les fonctionseetsadmettent des transformées de Laplace notées respectivementEetS.

1. La fonction de transfertHdu système est définie parS(p)=H(p)×E(p).

En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l’équation (1), exprimerH(p) en fonction deL,RetC.

2. On suppose quee(t)=U(t−1)−U(t−2) oùU est la fonction échelon unité :

½ U(t)=0 sit<0 U(t)=1 sit≥0

a. Tracer la courbe représentative de la fonctionedans un repère du plan.

b. DéterminerE(p).

3. Dans la suite de l’exercice, on considère queL=2,R=1000 etC=2.10⁻⁶. a. Vérifier queH(p)= 500²

(p+250)²+¡ 250p

3¢2. b. On admet que :

1

pH(p)= 1

p− p+250

(p+250)²+¡ 250p

3¢2− 250

(p+250)²+¡ 250p

3¢2

Déterminer l’originalh1de la fonctionp7→1 pH(p).

Exprimers(t) à l’aide deh1(t).

c. Donner l’expression des(t) sur chacun des intervalles ]− ∞,1[, [1,2[ et [2,+∞[.

Partie B

On rappelle queH(p)= 500² (p+250)²+¡

250p 3¢2.

1. On considère la fonctionrdéfinie pour tout réelω>0 par : r(ω)= H(jω)

où j est le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ 2. Montrer quer(ω)= 500²

pω⁴−500²ω²+500⁴.

(15)

2. On considère la fonctionf définie pour tout réelω>0 par : f(ω)=ω⁴−500²ω²+500⁴ Montrer quef^′(ω)=4ω¡

ω−250p 2¢ ¡

ω+250p 2¢

. 3. Montrer quer^′(ω) est du signe de−f^′(ω).

4. En déduire quer(ω) est maximal pour une valeur deω0deω. Donner la valeur deω0et calculerr(ω0).

La partie B permet de déterminer le maximum du gain pour le système étudié en ré- gime harmonique.

(16)

Brevet de technicien supérieur Groupement A session 2005

Spécialités CIRA, Électronique, Électrotechnique, Génie optique et TPIL 1. Soit la fonction numériquegdéfinie sur [0;π] par

g(t)=(1+cos²t)sin²t.

a. Montrer queg^′(t)=4sintcos³t.

b. En déduire les variations degsur [0 ;π].

2. Soit la fonction numériquef définie surR, paire, périodique de période 1 telle que :







f(t) = 1

2−τ si 06t6τ f(t) = −τ siτ6t6¹ 2

oùτest un nombre réel tel que 0<τ<1 2

a. Uniquement dans cette question, on prendraτ=1 6.

Représenter la fonctionf sur l’intervalle [−1 ; 1] dans un repère orthonormal.

b. On admet que la fonctionf satisfait aux conditions de Dirichlet.

SoitSle développement en série de Fourier associé à la fonctionf. Montrer que :

S(t)=

+∞X

n=1

1

nπsin(2nπτ)cos(2nπt)

3. On décide de ne conserver que les harmoniques de rang inférieur ou égal à 2.

Soit la fonction numériquehdéfinie surRpar : h(t)=1

πsin(2πτ)cos(2πt)+ 1

2πsin(4πτ)cos(4πt) On désigne parE_h²le carré de la valeur efficace dehsur une période.

a. À l’aide de la formule de Parseval, déterminerE²_h. b. Montrer queE_h²= 1

2π² g(2πτ).

4. Déterminer la valeur deτrendantE_h²maximal.

Toutes spécialités

L’exercice est composé de deux parties qui peuvent se traiter de façon indépendante.

Partie A

Un embrayage vient appliquer, à l’instantt=0, un couple résistant constant sur un moteur dont la vitesse à vide est de 150 rad/s.

On noteω(t), la vitesse de rotation du moteur à l’instantt.

La fonctionωest solution de l’équation différentielle : 1

200y^′(t)+y(t)=146 (1)

oùydésigne une fonction dérivable de la variable réelle positivet.

(17)

1. a. Déterminer la solution générale de l’équation différentielle (1).

On cherchera une solution particulière constante.

b. Sachant queω(0)=150, montrer queω(t)=146+4e⁻^200tpour toutt∈ [0 ;+∞[.

2. a. On noteω_∞= lim

t→+∞ω(t). Déterminer la perte de vitesseω(0)−ω_∞. due au couple résistant.

b. On considère que la vitesse du moteur est stabilisée lorsque l’écart relatif ω(t)−ω_∞

ω_∞ est inférieur à 1 %.

Calculer le temps mis par le moteur pour stabiliser sa vitesse.

On donnera la valeur exacte et la valeur arrondie au millième.

Partie B

La vitesse du moteur étant stabilisée, on s’intéresse dans cette deuxième partie à l’effet d’une perturbationγdu couple résistant sur la vitesse de rotation du moteur.

On note f(t) la différence, à l’instantt, entre la vitesse perturbée du moteur et sa vitesse stabilisée.

La fonctionf est solution de l’équation différentielle : 1

200f^′(t)+f(t)=γ(t) avecf(0⁺)=0 (2)

On admet que la fonctionf possède une transformée de Laplace notéeF. La fonctionγest définie par :

γ(t)=K[U(t)−U(t−τ)]

oùτetK sont des réels strictement positifs caractérisant la perturbation etUest la fonction échelon unité (U(t)=0 sit<0 etU(t)=1 sit>0 ).

1. a. Représenter la fonctionγpourτ=0,005 etK=0,2.

b. Déterminer, en fonction deτetK, la transformée de LaplaceΓde la fonc- tionγ.

2. En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l’équation différentielle (2), déterminerF(p).

3. a. Déterminer les réelsaetbtels que : 200 p(p+200)=a

p+ b

p+200 pour tout réelpstrictement positif.

b. En déduire l’originalf de la fonctionF. On vérifiera notamment que :

½ f(t) = K(1−e⁻^200t) sit∈[0 ;τ[

f(t) = K(e^200τ−1)e⁻^200t sit∈[τ;+∞[

c. Donner le sens de variation de la fonction f sur chacun des intervalles [0 ;τ[ et [τ;+∞[.

Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de ces deux intervalles.

d. Représenter la fonctionf pourτ=0,005 etK=0,2.

On pourra tracer les courbes représentatives des fonctionsγetf dans le même repère.

(18)

Brevet de technicien supérieur Groupement A 2006

Le but de cet exercice est d’étudier quelques propriétés d’un filtre numériqueNet de comparer des effets de ce filtre avec ceux d’un filtre analogiqueA.

Partie I

On rappelle que tout signal discret causal est nul pour tout entier strictement néga- tif.

Soientx(n) ety(n) les termes généraux respectifs de deux signaux discrets causaux représentant, respectivement, l’entrée et la sortie d’un filtre numériqueN. Ce filtre est conçu de telle sorte que, pour tout nombre entiernpositif ou nul, on a :

y(n)−y(n−2)=0,04x(n−1).

1. On noteZxetZy les transformées respectives des signaux causauxxety. Montrer que, pour tout nombre complexezdifférent de−1 et 1, on a :

¡Zy¢

(z)= 0,04z

(z−1)(z+1)(Zx) (z) 2. On suppose que le signal d’entrée est l’échelon unité discret :

x(n)=e(n) avece(n)=

½ 0 sin<0 1 sin≥0

a. Montrer que, pour tout nombre complexezdifférent de−1 et 1, on a :

¡Zy¢

(z)= 0,04z² (z−1)²(z+1) b. Calculer les constantes réellesA,BetCtelles que :

0,04z

(z−1)²(z+1)= A

(z−1)²+ B z−1+ C

z+1 c. En remarquant que :

¡Zy¢ (z)

z = 0,04z

(z−1)²(z+1) montrer que, pour tout entiernpositif ou nul, on a :

y(n)=0,02n+0,01¡

1−(−1)ⁿ¢

d. Déterminery(2k) puisy(2k+1) pour tout nombre entier naturelk. e. En déduire que pour tout nombre entier naturelk, on a :y(2k+1)=

y(2k+2).

f. Représenter graphiquement les termes du signal causalylorsque le nombre entiernest compris entre−2 et 5.

(19)

Partie II

On rappelle que la fonction échelon unité, notéeU, est définie par :

½ U(t)=0 sit<0 U(t)=1 sit>0 Soit la fonctionf définie pour tout nombre réeltpar :

f(t)=sin(20t)U(t)

On noteF la transformée de Laplace de la fonction f. Le signal de sortie du filtre analogiqueAest représenté par la fonctionsdont la transformée de LaplaceSest telle que :

S(p)=F(p) p

1. Justifier que, pour tout nombre réeltpositif ou nul, on a : s(t)=

Zt 0 f(u)du

2. En déduire que, pour tout nombre réeltpositif ou nul, on a : s(t)=1−cos(20t)

20

3. Donner sans justification la valeur maximale et la valeur minimale de la fonctions.

4. Tracer, sur le graphique du document réponse, l’allure de la courbe représen- tative de la fonctions.

Il n’est pas demandé d’étudier la fonctions.

La figure du document réponse montre une simulation du résultat obtenu en sortie du filtre numérique soumis à une version échantillonnée de la fonction f, lorsque la période d’échantillonnnage est 0,02.

(20)

Document à rendre avec la copie

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

(21)

Exercice 1 - Spécialités électrotechnique, Génie optique, TPIL - (sur 11 points)

Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Une entreprise produit, en grande quantité, des appareils. Chaque appareil fabriqué peut présenter deux défauts que l’on appellera défautaet défautb.

On prélève un appareil au hasard dans la production d’une journée.

On noteAl’évènement : « l’appareil présente le défauta» etBl’évènement : « l’appareil présente le défautb».

Les probabilités des évènementsAetBsontP(A)=0,03 etP(B)=0,02 ; on suppose que ces deux évènements sont indépendants.

1. Calculer la probabilité de l’évènementE1: « l’appareil présente le défautaet le défautb».

2. Calculer la probabilité de l’évènementE₂: « l’appareil est défectueux, c’est-à- dire qu’il présente au moins un des deux défauts ».

3. Calculer la probabilité de l’évènementE3: « l’appareil ne présente aucun dé- faut ».

4. Sachant que l’appareil est défectueux, quelle est la probabilité qu’il présente les deux défauts ?

Le résultat sera arrondi au millième.

Dans les parties B et C, les résultats seront à arrondir au centième.

Partie B

Les appareils sont conditionnés par lots de 100 pour l’expédition aux distributeurs de pièces détachées. On prélève au hasard un échantillon de 100 appareils dans la production d’une journée. La production est suffisamment importante pour que l’on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 appareils.

Pour cette partie, on considère que, à chaque prélèvement, la probabilité que l’appareil soit défectueux est 0,05.

On considère la variable aléatoireX1qui, à tout prélèvement de 100 appareils, associe le nombre d’appareils défectueux.

1. a. Justifier que la variable aléatoireX1suit une loi binomiale dont on pré- cisera les paramètres.

b. Donner l’espérance mathématique de la variable aléatoireX1.

2. On suppose que l’on peut approcher la loi de X1par une loi de Poisson de paramètreλ.

a. On choisitλ=5 ; justifier ce choix.

b. En utilisant cette loi de Poisson, calculer la probabilité qu’il y ait au plus deux appareils défectueux dans un lot.

Partie C

Les appareils sont aussi conditionnés par lots de 800 pour l’expédition aux usines de montage. On prélève au hasard un lot de 800 appareils. On considère la variable aléatoireX2qui, à tout prélèvement de 800 appareils, associe le nombre d’appareils défectueux. On décide d’approcher la loi de la variable aléatoireX₂par la loi normale de moyenne 40 et d’écart-type 6,2.

1. Déterminer la probabilité qu’il y ait au plus 50 appareils défectueux dans le lot.

2. Déterminer le réelxtel queP(X2>x)=0,01.

En déduire, sans justification, le plus petit entierktel que la probabilité que le lot comporte plus dekappareils défectueux soit inférieure à 0,01.

(22)

Exercice 2 - Toutes spécialités (sur 9 points)

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Soientαetβdeux nombres réels.

Soitf une fonction périodique de période 1, définie sur l’intervalle [0 ; 1[ parf(t)= αt+β.

On appellea0,anetbnles coefficients de Fourier associés à la fonctionf. 1. Montrer quea0=α

2+β.

2. Montrer quebn= − α

nπpour tout nombre entier naturelnnon nul.

On admet quean=0 pour tout entier naturelnnon nul.

3. On se propose de déterminer les nombres réelsαetβpour que le développe- mentSen série de Fourier de la fonctionf soit défini pour tout nombre réelt parS(t)=

+∞X

n=1

1

nsin(2nπt).

a. Déterminer les nombres réelsαetβtels quea0=0 etbn=1 n. En déduire l’expression de la fonctionf.

b. Représenter la fonctionf sur l’intervalle [−2 ; 2] dans un repère orthogonal.

Partie B

On veut résoudre l’équation différentielle : s"(t)+s(t)=f(t)

On admet que l’on obtient une bonne approximation de la fonctionsen remplaçant f(t) par les premiers termes du développement en série de Fourier de la fonctionf obtenus dans la partie A, c’est-à-dire par :

sin(2πt)+1

2sin(4πt) Soit (E) l’équation différentielle :

s"(t)+s(t)=sin(2πt)+1

2sin(4πt)

1. Vérifier que la fonctions1définie pour tout nombre réeltpar : s1(t)= 1

1−4π²sin(2πt)+ 1

2(1−16π²)sin(4πt) est solution de l’équation différentielle (E).

2. Résoudre l’équation différentielle (E).

(23)

A.P.M.E.P.

Brevet de technicien supérieur session 2007 Groupement A

On s’intéresse à un système entrée-sortie susceptible d’être contrôlé.

Dans la partie A, on étudie le système en l’absence de contrôle.

Dans la partie B, on étudie le système soumis à un contrôle.

Les parties A, B et C sont indépendantes dans leurs résolutions respectives.

Partie A

On considère l’équation différentielle (E₁) suivante : 1

2y^′(t)+y(t)=10−β (E1)

oùydésigne une fonction dérivable de la variable réelletetβune constante réelle.

1. Montrer que la fonctionhdéfinie pour tout nombre réeltparh(t)=10−βest solution de l’équation différentielle (E1).

2. Résoudre l’équation différentielle (E1).

3. Montrer que la fonctionf, solution de l’équation différentielle (E1) et qui vé- rifief(0)=10 est définie surRparf(t)=βe⁻^2t+10−β.

4. Calculer lim

t→+∞f(t) que l’on notef_∞. Partie B

On rappelle que la fonction échelon unitéUest définie par : (U(t)=0 sit<0

U(t)=1 sit≥0

et qu’une fonction définie surRest dite causale si elle est nulle pour tout nombre réel strictement négatif.

On considère la fonction causalegqui vérifie la relation (E2) suivante : 1

2g^′(t)+g(t)=13 Z_t

0 [10U(u)−g(u)]du+(10−β)U(t) (E2) et la conditiong(0)=10.

On admet que la fonctiongadmet une transformée de Laplace notéeG.

1. Montrer que la transformée de LaplaceIde la fonctionidéfinie par : i(t)=13

Z_t

0[10U(u)−g(u)]du est telle que

I(p)=130

p² −13G(p) p .

2. En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de la relation (E2), déterminer une expression deG(p).

3. Vérifier queG(p)=10

p − 2β

(p+1)²+5².

(24)

4. Dans cette question, on va déterminer lim

t→+∞g(t), que l’on noteg_∞et qui est la valeur finale du signal représenté par la fonctiong.

On rappelle que, d’après le théorème de la valeur finale,g_∞= lim

p→0⁺pG(p).

Déterminerg_∞.

5. a. Déterminer la transformée de Laplace de la fonction qui à tout nombre réeltassocie e⁻^tsin(5t)U(t).

b. En déduire l’expression deg(t).

Partie C

Dans cette partie, on prendβ=5.

Enannexe 1, à rendre avec la copie, on a représenté, sur l’intervalle [0 ; +∞[, les courbesCf etCgreprésentatives des fonctionsf etgdéfinies dans les parties A et B avecβ=5.

On admet ici que pour tout nombre réeltpositif ou nul : f(t)=5e⁻^2t+5 etg(t)=10−2e⁻^tsin(5t).

On rappelle quef_∞etg_∞sont les limites respectives des fonctionsf etgen+∞. On a donc :f_∞=5 etg_∞=10.

1. a. Vérifier que pour tout nombre réeltpositif ou nul on a : f(t)−f_∞ f_∞ =e⁻^2t. b. Soitt1le nombre réel tel que :

f(t)−f_∞

f_∞ 60,02 pour toutt≥t1.

Calculer la valeur exacte det1, puis une valeur approchée det1arrondie au dixième.

2. Soitt₂le nombre réel tel que :

−0,026^g(t⁾⁻^g^∞

g_∞ 60,02 pour toutt>_t₂_.

Graphiquement, déterminer une valeur approchée det2, arrondie au dixième.

Dans ce problème, on a étudié un système entrée-sortie, dans la partie A libre de tout asservissement, puis dans la partie B contrôlé par une commande intégrale.

On a montré que grâce à cette commande on peut stabiliser la sortie à la valeur 10 indépendamment de la perturbationβ, au prix d’une détérioration du temps de réponse du système et de l’apparition d’oscillations amorties.

On désigne par j le nombre complexe de module 1 dont un argument estπ 2.

On considère un filtre dont la fonction de transfertTest définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par

T(ω)= −jωk 1−jω

2 .

Le nombrekest un nombre réel strictement positif compris entre 0 et 1.

En associant trois filtres identiques au précédent, on obtient un système dont la fonction de transfertHest définie sur ]0 ;+∞[ par :

H(ω)=(T(ω))³.

Groupement A 24 juin 2007

(25)

1. On noter(ω) le module deH(ω).

On a donc :r(ω)= |H(ω)|.

a. Montrer que le module deT(ω) est kω s

1+ω² 4

.

b. En déduirer(ω).

2. a. Justifier qu’un argument de (−jω)³estπ 2. Justifier qu’un argument de 1−jω

2 est−arctan³ω 2

´.

En déduire qu’un argument deH(ω), notéeϕ(ω), est défini sur ]0 ;+∞[ par :

ϕ(ω)=π

2+3arctan³ω 2

´. b. On noteϕ^′la dérivée de la fonctionϕ. Calculerϕ^′(ω).

Déterminer le signe deϕ^′sur l’intervalle ]0 ;+∞[.

c. Déterminer les limites de la fonctionϕen 0 et+∞.

3. Dans le tableau ci-après on donne les variations de la fonctionr sur l’intervalle ]0 ;+∞[.

Recopier et compléter ce tableau en utilisant les résultats obtenus dans la question 2.

ω r^′(ω)

r(ω)

ϕ(ω)

ϕ^′(ω)

0 +∞

8k³

0

+

4. Dans cette dernière question, on se place dans le cas oùk=0,9.

Lorsqueωdécrit l’intervalle ]0 ;+∞[, le point d’affixeH(ω) décrit une courbe C.

Enannexe 2, à rendre avec la copie,la courbeC est tracée dans le plan complexe.

On noteω0la valeur deωpour laquelle le module deH(ω) est égal à 1.

a. Placer précisément le pointM0d’affixeH(ω0) sur le document réponse donné enannexe 2.

b. Calculer une valeur arrondie à 10⁻²près du nombreω0, puis deϕ(ω0).

(26)

Annexe 1

Document réponse à rendre avec la copie

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

−1

1 2 3 4

−1 0

(27)

Annexe 2

1 2 3

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

C

(28)

Groupement A1

Techniques physiques pour l’industrie et le laboratoire

A.P.M.E.P.

On s’intéresse à un système entrée-sortie susceptible d’être contrôlé.

Dans la partie A, on étudie le système en l’absence de contrôle.

Dans la partie B, on étudie le système soumis à un contrôle.

Les parties A, B et C sont indépendantes dans leurs résolutions respectives.

Partie A

On considère l’équation différentielle (E1) suivante : 1

2y^′(t)+y(t)=10−β (E1)

oùydésigne une fonction dérivable de la variable réelletetβune constante réelle.

1. Montrer que la fonctionhdéfinie pour tout nombre réeltparh(t)=10−βest solution de l’équation différentielle (E1).

2. Résoudre l’équation différentielle (E1).

3. Montrer que la fonctionf, solution de l’équation différentielle (E1) et qui vé- rifief(0)=10 est définie surRparf(t)=βe⁻^2t+10−β.

4. Calculer lim

t→+∞f(t) que l’on notef_∞. Partie B

On rappelle que la fonction échelon unitéUest définie par : (U(t)=0 sit<0

U(t)=1 sit≥0

et qu’une fonction définie surRest dite causale si elle est nulle pour tout nombre réel strictement négatif.

On considère la fonction causalegqui vérifie la relation (E2) suivante : 1

2g^′(t)+g(t)=13 Zt

0 [10U(u)−g(u)]du+(10−β)U(t) (E₂) et la conditiong(0)=10.

On admet que la fonctiongadmet une transformée de Laplace notéeG.

1. Montrer que la transformée de LaplaceIde la fonctionidéfinie par : i(t)=13

Zt

0[10U(u)−g(u)]du est telle que

I(p)=130

p² −13G(p) p .

2. En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de la relation (E2), déterminer une expression deG(p).

3. Vérifier queG(p)=10

p − 2β

(p+1)²+5².

(29)

4. Dans cette question, on va déterminer lim

t→+∞g(t), que l’on noteg_∞et qui est la valeur finale du signal représenté par la fonctiong.

On rappelle que, d’après le théorème de la valeur finale,g_∞= lim

p→0⁺pG(p).

Déterminerg_∞.

5. a. Déterminer la transformée de Laplace de la fonction qui à tout nombre réeltassocie e⁻^tsin(5t)U(t).

b. En déduire l’expression deg(t).

Partie C

Dans cette partie, on prendβ=5.

Enannexe 1, à rendre avec la copie, on a représenté, sur l’intervalle [0 ; +∞[, les courbesCf etCgreprésentatives des fonctionsf etgdéfinies dans les parties A et B avecβ=5.

On admet ici que pour tout nombre réeltpositif ou nul : f(t)=5e⁻^2t+5 etg(t)=10−2e⁻^tsin(5t).

On rappelle quef_∞etg_∞sont les limites respectives des fonctionsf etgen+∞. On a donc :f_∞=5 etg_∞=10.

1. a. Vérifier que pour tout nombre réeltpositif ou nul on a : f(t)−f_∞ f_∞ =e⁻^2t. b. Soitt1le nombre réel tel que :

f(t)−f_∞

f_∞ 60,02 pour toutt≥t1.

Calculer la valeur exacte det1, puis une valeur approchée det1arrondie au dixième.

2. Soitt2le nombre réel tel que :

−0,026^g(t⁾⁻^g^∞

g_∞ 60,02 pour toutt>t2.

Graphiquement, déterminer une valeur approchée det2, arrondie au dixième.

Dans ce problème, on a étudié un système entrée-sortie, dans la partie A libre de tout asservissement, puis dans la partie B contrôlé par une commande intégrale.

On a montré que grâce à cette commande on peut stabiliser la sortie à la valeur 10 indépendamment de la perturbationβ, au prix d’une détérioration du temps de réponse du système et de l’apparition d’oscillations amorties.

Les parties A et B peuvent être traitées demanière indépendante.

Le fournisseur d’accès Internet Mathoile propose des abonnements comportant la fourniture d’un modem ADSL. On appellepla proportion de modems défectueux parmi ceux fournis aux clients.

Dans tout l’exercice, on considère quepest aussi la probabilité pour un client donné de recevoir un modem défectueux.

Une association de consommateurs lance une enquête auprès des abonnés à sa revue pour estimer leur degré de satisfaction concernant leur abonnement ADSL. On appellep^′la proportion de modems défectueux parmi ceux qui ont été fournis aux abonnés à la revue, clients de Mathoile.

Partie A : estimation de p^′

Parmi les réponses à l’enquête reçues par l’association, 428 concernent des abon- nés, clients du fournisseur d’accès Mathoile. Sur ces 428 abonnés, 86 déclarent avoir reçu un modem défectueux.

Groupement A Techniques physiques pour l’industrie et le laboratoire

29 juin 2007

(30)

1. On notefela proportion de modems défectueux chez les abonnés, également clients de Mathoile, ayant répondu à l’enquête.

Donner la valeur exacte defe, puis sa valeur arrondie au centième.

2. SoitF la variable aléatoire qui, à un lot denmodems, pris au hasard parmi ceux fournis par Mathoile dans la population des abonnés à la revue, associe la fréquence d’appareils défectueux.

On peut admettre,nétant assez grand, que la variable aléatoireFsuit une loi normale de moyennep^′et d’écart typeσ=

s p^′¡

1−p^′¢

n .

Dans cette situation, l’écart typeσde la variable aléatoireFpeut être appro- ché par

s fe

¡1−fe

¢

n .

Les responsables de la revue font le raisonnement suivant : « le grand nombre de réponses reçues à notre enquête par les abonnés à notre revue, clients de Mathoile, est un échantillon pris au hasard dans l’ensemble de nos abonnés qui ont reçu un modem Mathoile ». Dans cette hypothèse, déterminer un intervalle de confiance dep^′,avec un coefficient de confiance de 0,95.

Partie B : test de validité d’hypothèse

Le fournisseur d’accès Mathoile réfute que l’estimation de la proportionp^′de modems défectueux obtenue dans la partie A puisse s’appliquer à l’ensemble de sa production.

Il considère en effet que l’échantillon des personnes qui ont répondu à l’enquête n’est pas représentatif de sa clientèle.

Ce fournisseur contacte alors un organisme indépendant qui procède à son tour à une enquête en interrogeant 400 clients Mathoile choisis de manière aléatoire.

On appelleGla variable aléatoire qui, à un échantillon de 400 modems, associe la fréquence d’appareils défectueux dans cet échantillon. À partir de cette enquête, on souhaite tester, au seuil de 5 %, l’hypothèse nulleH₀: « la probabilitépest égale à 0,16 » contre l’hypothèse alternativeH1: « la probabilitépest inférieure à 0,16 ».

1. On peut supposer,sous l’hypothèse nulle, queGsuit une loi normale de moyenne 0,16 et d’écart types=

r0,16(1−0,16)

400 .

Soitale nombre réel tel que :p(G<0,16−a)=0,05.

Montrer qu’une valeur arrondie à 10⁻¹du nombreaest égale à 0,030.

2. Énoncer la règle de décision du test.

3. Sur 400 personnes interrogées, 48 déclarent avoir reçu un modem défectueux.

Quelle est la conclusion du test ?

L’estimation de la partie A repose sur un échantillon non aléatoire et, sans doute, pas représentatif des clients du fournisseur Mathoile.

En revanche, dans la partie B, la méthodologie de construction du test est acceptable.

30 juin 2007

(31)

Annexe 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

−1

1 2 3 4

−1 0

31 juin 2007

(32)

Annexe 2

1 2 3

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

C

32 juin 2007

(33)

Brevet de technicien supérieur session octobre 2006 Groupement A Nouvelle–Calédonie

On considère la fonctionϕdéfinie surR, 2π-périodique, et telle que :

½ ϕ(t) = t si 06t<π ϕ(t) = 0 si π6t<2π

On noteS(t) développement de Fourier associé à la fonctionϕ; les coefficients de Fourier associés à la fonctionϕsont notésa0, an,bn oùn est un nombre entier naturel non nul.

1. Représenter graphiquement la fonctionϕsur l’intervalle [−2π; 4π].

2. a. Calculera0, la valeur moyenne de la fonctionϕsur une période.

b. On rappelle que pour une fonctionf, périodique de périodeTle carré de la valeur efficace sur une période est donné par :µ²_eff=1

T ZT

0 [f(t)]²dt.

Montrer queµ²_effle carré de la valeur efficace de la fonction sur une pé- riode est égal àπ²

6 .

3. Montrer que. pour tout nombre entiern>_{1, on a :}_a_n₌ ¹

πn²[cos(nπ)−1].

On admet que, pour tout nombre entiern>1, on a :bn= −cos(nπ)

n .

4. On considère la fonctionS3définie surRpar :

S3(t)=a0+

3

X

n=1

[ancos(nt)+bnsin(nt)]

où les nombresa0,an,bnsont les coefficients de Fourier associes à la fonction ϕdéfinie précédemment.

a. Recopier et compléter le tableau avec les valeurs exactes des coefficients demandés.

a0 a1 b1 a2 b2 a3 b3

− 2 9π

1 3 b. Calculer la valeur exacte deS₃³π

4

´puis donner la valeur approchée de ϕ³π

4

´

−S3

³π 4

´arrondie à 10⁻².

5. On rappelle la formule de Parseval permettant de calculer le carré de la valeur efficaceµ²₃de la fonctionS3.

µ²₃=a²₀+1 2

£a²₁+b²₁+a²₂+b²₂+a₃²+b²₃¤

a. Calculer la valeur exacte deµ²₃. b. Calculer la valeur approchée de µ²₃

µ²_eff arrondie à 10⁻².

Dans ce problème, on s’intéresse à un filtre modélisé mathématiquement par l’équa- tion différentielle suivante :

33 juin 2007