N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
E. L AINÉ
Sur les transformations de contact
Nouvelles annales de mathématiques 5e série, tome 2 (1923), p. 177-185
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[P'Ôe]
SDK LES TRANSFORMATIONS DE CONTACT
(Suite) (l) ; PAR E. L\I:NK.
9. Sophus Lie a indiqué (2) une représentation géo- métrique très propre à faire saisir le caractère excep- tionnel de l'intégrale singulière. Considérons /; comme une troisième coordonnée ponctuelle; pour fixer les idées, nous prendrons Taxe des p perpendiculaire au plan (x, y) supposé horizontal.
(x) Cf. TV. A., j a n v i e r i(y>{, p . i 3 i . (2) Cf. Op. cit.. Kap. 6.
Ann. de Mat hé ma t.. 3e série, t. I I . ( F é v r i e r 1924.) 1 4
( ' 7 8 )
A tout élément (#, y , p) correspond ainsi un point de l'espace; à toute m\(x0, yQ, p ) , la verticale du point (#<n V»)» A toute m\ correspond une courbe et une seule, mais inversement à toute courbe de l'espace (#, y, p) ne correspond pas une m{. Les seules courbes auxquelles corresponde une mi sont celles qui vérifient l'équation de PfafF
dy — p dx = o :
nous les appellerons « courbes de PfafF». Toute verticale est donc une courbe de PfafF.
A deux mK tangentes, i, e. ayant un élément commun, correspondent deux courbes de PfafF ayant un point commun Mais ces courbes ne sont pas en général tan- gentes en ce point; elles ne le seraient que si les m{
considérées avaient deux éléments communs infiniment voLsins, /. e. étaient osculatrices.
Eu un point d'une courbe de PfafF la tangente est dans le plan de coefficients directeurs (j>. — 1 , 0 ) , c'est -à-dire dans un plan vertical dont la trace sur le plan ( .r, y) est précisément la droite de coefficient angulaire p.
Donnons-nous un cylindre quelconque à génératrices verticales; il détermine dans le plan xy une znj, et comme4 à cette m\ correspond une courbe de PfafF et une seule, il en résulte queT sur tout cylindre à géné- ratrices verticales, il existe, en dehors des génératrices, une courbe de PfafF et une seule; nous l'appellerons la
« carartéristique du cylindre ».
A l\ quation difFérentielle
correspond une surface S. D'ailleurs à chaque courbe de Pi<ill tracée sur S correspond évidemment, par pro-
jection sur Ie plan (#, y), une m, integrale de l'équa- tion (5) et inversement. Par exemple, si l'équation (5) ne dépend pas de p, la surface S est un cylindre à génératrices verticales, qui coupe le plan des (.r, y) suivant la courbe (G) représentée alors par l'équa- tion (5). Les génératrices sont des courbes de Pfaff auxquelles correspondent les ni\ intégrales ayant pour supports ponctuels les différents points de (C) (inté- grale générale); d'autre part, à la caractéristique du cylindre correspond la m\ ayant pour support ponctuel la courbe (C) elle-même (intégrale singulière).
Si nous prenons arbitrairement, dans le plan des xy, une famille de courbes à un paramètre, ces courbes auront en général une enveloppe. L'équation différen- tielle dont elles donnent l'intégrale générale représente alors une surface S qui possède une propriété particu- lière. En effet, considérons un élément quelconque de l'enveloppe; cet élément appartient aussi à une autre courbe de la famille. Les deux courbes de Pfaff corres- pondantes auront un point commun M, mais ne seront pas en général, nous l'avons vu, tangentes en ce point.
Les tangentes en M à ces deux courbes devant être dans un même plan vertical, le plan tangent en M à S est vertical. Ainsi le cylindre à génératrices verticales déterminé par l'enveloppe touche la surface S tout le long d'une courbe de Pfaff; autrement dit, la courbe de contact de S et du cylindre circonscrit à généra- trices verticales est la caractéristique du cylindre.
Il est clair qu'une surface S prise au hasard ne pos- sède pas cette propriété, puisque sur tout cylindre à génératrices verticales il existe une seule caractéris- tique. Il en résulte qu'une équation différentielle n'admet pas, en général, d'intégrale singulière.
On verrait sans difficulté que la courbe de contact
de S et du cylindre circonscrit à génératrices verticales, soit (F), se projette sur le plan des (x, y) suivant la courbe lieu des points de rehroussement des courbes intégrales. Cette courbe (F) est définie par les équa-
tions
H ^ , J . p) = o, — = o:
on en déduit, suivant un procédé connu, la condition qui exprime que l'équation (5) admet une intégrale singulière.
Si la courbe I" est une verticale, il lui correspond une intégrale singulière m{\. Pour qu'il y ait une inté- grale singulière du tjpe (*lo)> ^ suftil que toutes les courbes do PfaO'tracées sur la surface S aient un point commun.
\Y. Le procédé employé au n° 7 pour intégrer l'équa- tion différentielle
(5) ƒ(•'%/,/>) = o
peut être généralisé. Au lieu de ramener celte équation à une forme immédiatement intégrable
Y = o,
supposons qu'on lui ait appliqué une T. C. qui la ramène à la forme
(i4) F ( \ , Y, P) = o;
si Ton sait intégrer l'équation ( i 4 \ o n saura, d'après ce qui a été dit au n° 6, intégrer également l'équa- tion (5).
Tel est, sous sa forme la plus générale, le mode d'ap- plication de la théorie des T. C. au problème de l'inté- gration des équations différentielles du premier ordre.
Remarques. — I. Nous ne nous occupons dans cette Note que des transformations finies. La théorie des transformations infinitésimales nécessiterait des développements beaucoup plus longs ( ' ) .
IT. Toute équation
(e,) ƒ(./', y, />) = o
peut se ramener par une T. C. à l'équation (E) Y = o;
désignons par U cette T. C. La T. C. inverse L~' con- duit de (E) à (<?,). Soit
une autre équation quelconque; il existe une T. C., M>it V, telle que V"1 conduise de (E) à (e2). Le résul- tat de deux T. C. successives étant encore une T. C , on a ainsi une T. C , UV"1, qui permet de passer de (cf4) à {e2)r Donc étant données deux équations diffé- rentielles quelconques du premier ordre, on peut tou- jours passer de l'une à l'autre par une T. C. con- venablement choisie. Autrement dit, une équation différentielle du premier ordre n'a pas d'invariants par rapport au groupe des T. C.
10. Considérons une multiplicité m{ du plan xy, et à chaque élément (x,y,p) associons une nouvelle variable r telle que, quand on se déplace sur m,, on ait
dp — r dx = o.
(') Cf. VIVANTI, Leçons élémentaires de la théorie des groupes de transformations. Cet Ouvrage est un résumé des travaux de Sophus Lie sur la théorie des groupes. — Cf. aussi GOURSAT, Cours d'Analyse, t. II, Chap. XIX.
On pourra alors définir la multiplicité m, par trois relations entre les variables x, y, /;, /' entraînant les équations
C15 ) dy — p dx — o, dp — /• dx = o.
C'est le sens que nous donnerons désormais au mot
« multiplicité ».
Revenons maintenant aux équations ( 6 ) qui défi- nissent une T. C. Pour qu'à toute m, du plan (x,y) corresponde une M", du plan ( \ , \ ), il faut ajouter aux équations (()) une équation nouvelle qui sera
H =
± £
1± ±
\x-hpXy-±- r\p' les équations ( i 5 ) entraînent alors en effet
dV - K d\ = o.
Les équations
f « \ , + / ) \ , + 7'Xj, '
dont les trois premières ont pour conséquence
ti(/ —p dx = o,
définissent une T. C. prolongée.
Ceci posé, une équation telle que
(17) ¥{x, y,p, r) = o
peut évidemment être considérée comme une équation différentielle du second ordre; intégrer cette équation revient à chercher toutes les mi qui la vérifient.
Soit alors
( 1 8 ) U(x,y,a,b) = o
une famille de oc2 courbes, représentant l'intégrale générale de (17). Donnons à la constante arbitraire a%
dans l'équation (18), une valeur particulière a0 ; l'équa"
tion
\J{x,y, a0, b) = o
représente 00 • courbes intégrales, qui forment l'inté- grale générale d'une équation différentielle
X(x\y, p) = a0.
De même l'équation obtenue en donnant à b, dans l'équation (18), une valeur particulière 60
U(.r, 7, a, b0) = o,
représente 00 * courbes intégrales, qui forment l'inté- grale générale d'une équation différentielle
X(x,y, p) = b0.
En résumé, sur une m, intégrale quelconque de (1 7), on a à la fois
X ( ^ , / , / ? ) = fl, Y(.7, y, p) = b.
Ces deux équations devant définir une mh quelles que soient les constantes a et 6, il en résulte (n° 2) que les fonctions X et Y sont en involution.
On appelle intégrale intermédiaire de (17) toute fonction $ > ( £ , y , p ) te\\e que Uvale intégrale de vérifie l'équation
r, y, p) = const.
et réciproquement. X et 1 sont donc des intégrales intermédiaires, et l'intégrale intermédiaire la plus gêné-
( '84 ) raie s'écrit
<P(x,y, p ) ~ F ( X Y ) , F désignant une fonction arbitraire.
Géométriquement, on voit que l'équation différen- tielle (17) définit x2 courbes intégrales, que l'on peut, d'une infinité de manières, grouper de façon à obtenir c©1 familles à un paramètre. A chacun de ces groupe- ments correspond une intégrale intermediaire.
Soit 4>(.r, y, p) une intégrale intermédiaire quel- conque. 11 faut noter qu'en général les intégrales sin- gulières, s'il en existe, des équations différentielles
%>( x, y , [>) — c o n ^ t .
ne seront pas des intégrales de l'équation (17). En effet, soient
( 1 9 ) i = O i ( X ) , y — 02( À )
les équations paramétriques d'une courbe (C) arbi- traire. On peut toujours déterminer v(a) de telle sorte qu'en remplaçant b par ~>(a) dans l'équation (18), la famille à un paramètre
U [x, y , a, cp< a )] = o
ait précisément pour enveloppe la courbe (C) : il suffit pour cela que les équations
U[r, r, a, ç(a)] = o, —-4- — cp (a) = o soient identiquement \érifïées quand on j remplace x et y par leurs valeurs (19). On en déduit, par un rai- sonnement classique, que cp est déterminé par l'élimi- nation de ), entre les équations
V = O, -rr- = O,
où l'on a posé
V = U[6,(X), 6,(X), a, <p(a)].
Mais la famille considérée est évidemment l'intégrale générale de l'équation
l'intégrale singulière de cette équation, qui n'est autre que la courbe arbitraire (C), ne sera é\idemment pas, en général, une intégrale de (17).
Considérons maintenant l'équation (17) mise sous la forme
( 2 0 ) r — m(x, y, p).
Toute intégrale de l'équation homogène
ॠԥ , ÓF
est, comme on le voit sans difficulté, une intégrale in- termédiaire de l'équation (20). Par conséquent si l'on prend pour la fonction P une intégrale quelconque de (21), la T. C. prolongée définie par les équations (16) ramène l'équation (21) à la forme
(22) R = o.
L'équation (22) a pour intégrale générale la famille de droites
En éliminant p entre les équations
on aura l'intégrale générale de Téquation (17).
(A suivre.)
