( ) − ( ) −

(1)

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Calculer la dérivée d’une fonction de type 𝒂𝒙

^𝒏

Soit 𝑓 une fonction définie, continue et dérivable sur un intervalle 𝐼 de ℝ, telle que 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥^𝑛, avec 𝑎 ∈ ℝ et 𝑛 ∈ ℕ^∗. On note 𝑓′ sa fonction dérivée.

𝑓

^′

(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥

^𝑛−1

Exemples d’utilisation :

(𝑥³)^′= 3𝑥² ; (5𝑥²)^′ = 5 × 2𝑥 = 10𝑥 ; (3 4𝑥⁴)

′

=3

4× 4𝑥³ = 3𝑥³

Avec une fonction polynomiale : la dérivée d’une somme est la somme des dérivées. Ainsi : (4

3𝑥³− 2𝑥² + 5𝑥 − 4)

′

=4

3× 3𝑥² − 2 × 2𝑥 + 5 = 4𝑥²− 4𝑥 + 5

Observations :

La formule fonctionne également si on étend 𝑛 ∈ ℤ^∗ : 1

𝑥= 𝑥⁻¹ 𝑎

𝑥= 𝑎𝑥⁻¹ 𝑎

𝑥² = 𝑎𝑥⁻² …

(1 𝑥)

′

= (𝑥⁻¹)^′= −1𝑥⁻² = − 1

𝑥² ; (3 𝑥²)

′

= (3𝑥⁻²)^′= 3 × (−2)𝑥⁻³ = − 6 𝑥³

(5 𝑥²−3

𝑥)

′

= (5𝑥⁻²− 3𝑥⁻¹)^′= 5 × (−2)𝑥⁻³− 3 × (−1)𝑥⁻²= −10𝑥⁻³+ 3𝑥⁻²= −10 𝑥³ + 3

𝑥²

On pourra retenir les formes générales suivantes :

(

^𝑎

𝑥

)

^′ =

−

^𝑎

𝑥² et que

(

^𝑎

𝑥²

)

^′ =

−

^2𝑎

𝑥³

La formule fonctionne également pour les racines carrées, en utilisant 𝑛 = ¹

2 pour √𝑥 = 𝑥¹² : (√𝑥)^′ = (𝑥¹²)

′

=1

2𝑥¹²⁻¹= 1

2𝑥⁻¹² =1 2× 1

𝑥¹²

= 1 2√𝑥

(5√𝑥)^′= (5𝑥¹²)

′

= 5

2√𝑥 ; −8√𝑥 = − 4

√𝑥 On pourra retenir que : (𝑎√𝑥)^′= ^𝑎

2√𝑥