TP-PROBABILITES-1°PH

Tp Probabilité Mathématiques 1^ère STGG 2008 / 2009

Exercice 1-

Voici la répartition des salaires dans une entreprise.

On dénombre cinq classes de salaires différentes.

Par exemple, les salariés appartenant à la classe A touchent un salaire mensuel compris entre 1 000 euros inclus et 1 400 euros exclu.

Dans cet exercice on donnera les probabilités sous forme de fraction puis sous forme décimale arrondie à deux chiffres après la virgule le cas échéant.

1a. Recopier et compléter à l’aide du diagramme le tableau suivant :

Salaires Mensuels en euros

[1000;1400[ [1400;1800[ [1800;2200[ [2200;2600[ [2600;3000[

Effectifs

b. Justifier que le nombre de salariés dans l’entreprise est 200.

2. On rencontre un salarié de l’entreprise au hasard. On considère les évènements suivants : A : « le salarié appartient à la classe A ». A : « le salarié n’appartient pas à la classe A ».

B : « le salarié appartient à la classe B ».

a. Déterminer : P A( )_et P B( )_.

b. Définir chacun des évènementsAB et A par une phrase portant sur le salaire mensuel.

c. Déterminer P A B(  ) et P A( )^.

3. On sait que le salarié rencontré a un salaire, en euros, appartenant à [1 800 ; 2 600[.

Déterminer la probabilité p1 pour que ce salarié appartienne à la classe C.

Exercice 2

Dans un magasin spécialisé, on trouve trois logiciels de géométrie que, pour simplifier, nous nommerons A, B et C.

Deux catégories d’acheteurs sont intéressées par l’acquisition de ces logiciels : les enseignants et les étudiants.

Au cours du premier trimestre de l’année, 360 logiciels ont été vendus. 80% des logiciels ont été achetés par des étudiants. Les enseignants ont une préférence pour le logiciel A ; ils en ont acheté 36. En revanche, ils n’ont acquis que 12 logiciels B. De plus les étudiants ont acheté 144 logiciels A et 96 logiciels C.

1. Reproduire et compléter le tableau suivant : 2. On interroge un acheteur au hasard.

Les probabilités demandées seront données sous forme de fraction irréductible.

a. Quelle est la probabilité que l’acheteur soit un étudiant ? b. Quelle est la probabilité que l’acheteur soit

un enseignant ayant requis un logiciel de type A ? c. Quelle est la probabilité que l’acheteur soit un étudiant ou qu’il ait acquis un logiciel de type A ?

3. On interroge un étudiant au hasard. Quelle est la probabilité que l’étudiant ait acheté un logiciel de type C?

4. Quelle est la probabilité qu’un enseignant ait acheté un logiciel, sachant que c’est un logiciel de type B?

80

40 60

20 10

1400 1800 2200 2600 3000

1000 ^x

y

A B

C D

E

Salaires mensueuls en € Effectifs

Logiciel de type Acheteur

A B C Total

Enseignant 36 12

Étudiant 144 96

Total 360

Exercice 3-

Un enfant dispose de 3 crayons de couleurs différentes : un rouge noté R, un bleu noté B, un jaune noté J.

Il veut colorier le toit, la fenêtre et la porte de la maison ci-contre.

(Il peut colorier plusieurs éléments de la même couleur.) 1. a. Recopier et compléter l’arbre ci-dessous :

b. Quel est le nombre de dessins coloriés possibles ?

2. En supposant l’équiprobabilité dans le choix des couleurs déterminer la probabilité des évènements suivants

A : « le toit est rouge » ;

B : « la porte et la fenêtre sont de la même couleur » ; C : « l’enfant a utilisé trois couleurs différentes » ;

D : « l’enfant a utilisé au moins deux couleurs différentes ».

3. Sachant que l’enfant a colorié le toit en rouge, déterminer la probabilité de l’évènement E : E : « la porte et la fenêtre sont de la même couleur ».

Exercice 4 -

Pour mieux satisfaire ses clients, une agence de voyage leur a envoyé un questionnaire.

Parmi les 200 réponses reçues : • 55% des personnes déclarent partir en vacances en famille,

• Parmi les clients qui ne partent pas en famille, 60% préfèrent les voyages organisés

et 20% préfèrent les croisières.

1. Recopier et compléter le tableau suivant :

2. On choisit un client au hasard parmi les deux cents qui ont répondu au questionnaire.

Calculer la probabilité des évènements suivants : A : « le client choisi part en famille » ; B : « le client choisi préfère les croisières » ;

C : « le client choisi ne part pas en club de vacances ».

3. Définir par une phrase chacun des évènements A B et A B puis calculer les probabilités de ces évènements.

4. On choisit au hasard une personne qui a déclaré partir en vacances en famille.

Quelle est la probabilité pour qu’elle préfère les clubs de vacances ? Exercice 5-

Un jeu consiste à gratter trois cases placées côte à côte.

Sur chacune de ces cases peut apparaître un et un seul des symboles suivants : ♥, ♦ et ♠.

On appellera « figure » le triplet obtenu après grattage.

1. Montrer que le nombre de « figures » possibles est de 27. (On pourra s’aider d’un arbre.) 2. a. Quel est le nombre de « figures » où les trois symboles sont identiques ?

b. Quel est le nombre de « figures » où les trois symboles sont tous différents ?

3.On admet que les « figures » apparaissent avec la même probabilité. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants (les résultats seront donnés sous forme de fraction irréductible) :

A « les trois cases portent le symbole ♥ » ; B « les trois cases portent le même symbole » ;

C « les trois cases portent des symboles tous différents » ;

D :« exactement deux des cases portent des symboles identiques » ;

B

R

J

B B

R

R

J

J

Couleur couleur couleur de du toit de la porte la fenêtre

Voyage organisé

Club de vacances

Croisière Total

En famille 26

Seul ou entre amis

Total 73 200

E : « deux au moins des cases portent des symboles identiques ».

Exercice 6

Benoît sait que le congélateur de la cuisine renferme cinq bâtons de crème glacée, de cinq parfums différents (vanille, chocolat, pistache, café, praliné). Gourmand et insomniaque, il décide de se lever en pleine nuit, sans allumer la lumière, et de prendre, à tâtons et successivement, deux bâtons dans le congélateur.

Tous les choix sont équiprobables.

1. À l'aide d'un arbre, déterminer le nombre de couples différents de bâtons qu'il peut ainsi obtenir.

2. Ses parfums préférés sont vanille et café. Calculer les probabilités qu'il obtienne : a. le bâton à la vanille, puis le bâton au café ;

b. les bâtons de ses parfums préférés dans un ordre quelconque ; c. un seul de ses parfums préférés ;

d. aucun de ses parfums préférés.

3. Au dernier moment, et en pleine nuit, Benoît décide de manger trois bâtons, afin d'augmenter ses chances d'obtenir l'un de ses parfums préférés.

a. Combien de choix de trois bâtons peut-on prévoir ?

b. Calculer la probabilité qu'il obtienne au moins un de ses parfums préférés.

c. A-t-il bien fait de prendre trois bâtons pour augmenter ses chances de manger au moins un de ses parfums préférés.

Exercice 7-

Une étude statistique portant sur le niveau de formation et le sexe des 2 642 emplois jeunes en Haute-Garonne (hors Police et ´Education Nationale) a permis de relever les renseignements suivants.

• Il y avait 1 383 femmes dont 1,38% en fin de scolarité.

• 382 étaient des hommes ayant le niveau BEP/CAP, ce qui représentait 64,85% des personnes ayant le niveau BEP/CAP.

• 26 % de ceux ayant un niveau de formation 30 cycle universitaire étaient des hommes.

• 2,5 % des emplois jeunes étaient des personnes en fin de scolarité.

1. à l’aide des informations ci-dessus, compléter le tableau suivant. On arrondira les résultats trouvés à l’entier le plus proche. Dans toute la suite de l’exercice, les résultats seront donnés d’abord sous forme de fraction, puis sous forme décimale arrondie `a 10^près .

Troisième cycle universitaire

Bac +4 Bac+2 Bac ou

équivalent

BEP/CAP Fin de

scolarité

total

Hommes 135 259

Femmes 289 419

Total 108 2642

2. On interroge un emploi jeune. On suppose que chaque personne a la même probabilité d’être choisie.

a. Calculer la probabilité de l’événement A: « la personne choisie est une femme ».

b. Calculer la probabilité de l’événement B: « la personne choisie a un niveau de formation Bac ou équivalent ».

c. Calculer la probabilité de l’événement C: « la personne choisie a un niveau de formation supérieur ou égal au Bac ».

d. Définir par une phrase l’événement A B . Calculer la probabilité de l’événement A B . e. Calculer la probabilité de l’événement A B

3. On interroge un emploi jeune ayant le niveau BEP/CAP.

Quelle est la probabilité que ce soit un homme?

Exercice 8

Un client reçoit, en cadeau, un ticket d'un jeu de grattage.

Sur chaque ticket figurent trois cases à gratter.

Pour chacune des deux premières cases, il est possible d'obtenir les lettres A, B, ou C.

Pour la dernière case, seules les lettres A ou B peuvent être obtenues.

Un résultat possible est une liste de trois éléments; par exemple: CAB.

1. Justifier qu'il y a 18 résultats possibles. (On pourra s'aider d'un arbre.) ~ 2. On considère les événements suivants :

E : « obtenir 3 lettres identiques » ; F : « obtenir au plus un A » ; G : « obtenir 3 lettres distinctes » ; H : « obtenir au moins un C ».

Calculer les probabilités des événements: E, F; G, H.

3. Montrer que la probabilité de l'événement F



H est égale à 9

4 .Déduire la probabilité de l'événement F



^H.

Les résultats des calculs de probabilité seront présentés sous forme irréductibles.

Exercice 9

Un traiteur prépare des gâteaux pour une réception de 300 personnes. II propose des tartelettes, des charlottes et des macarons, chacun pouvant être au chocolat ou à la framboise.

Sur les 300 gâteaux :

w 100 sont des charlottes, dont le quart au chocolat,

w 40% sont des tartelettes, dont les deux cinquièmes sont au chocolat, w trois huitièmes des macarons sont à la framboise.

1. Recopier et compléter le tableau ci-contre suivant : 2. Un invité choisit un gâteau au hasard.

L’évènement « le gâteau est à la framboise » est noté A. L’évènement « le gâteau est un macaron » est noté B.

On donnera les résultats demandés sous forme décimale, arrondie au centième a. Calculer p(A) et p(B).

b. Exprimer par une phrase les évènements AB et AB, puis calculer leurs probabilités.

Les évènements A et B sont-ils incompatibles ? c. L’invité en question n’aime pas le chocolat.

Sachant qu’il va choisir un gâteau à la framboise, quelle est la probabilité que ce soit une tartelette ? Exercice 10

Un automobiliste rencontre sur son trajet quotidien et successivement, 3 feux de croisement, chacun pouvant être rouge ( R), vert ( V) ou orange ( O ) . On appelle parcours la suite des 3 feux dans l’état où l’automobiliste les rencontre. On suppose que tous les parcours ont la même probabilité.

1. Décrire l’univers W ( on pourra utiliser un arbre ) 2. Calculer la probabilité des événements suivants A : « tous les feux sont de la même couleur » B : « aucun feu n’est rouge »

C : « au moins un des feux est rouge » décrire les événements : A  B et A  B 3. Décrire les événements : A  B et A  B , puis calculer leurs probabilités respectives Exercice 11

Une classe comprend 36 élèves âgés de 16, 17 ou 18 ans. Il y a 22 garçons dont 3 garçons âgés de 18 ans.

50 % des élèves sont des garçons âgés de 17 ans et 25 % des élèves sont âgés de 18 ans.

50 % des filles sont âgées de 17 ans.

1. a. Reproduire et compléter le tableau d'effectifs suivants : b. en utilisant le tableau ci-dessus , traduire les données à l’aide des arbres .

Dans les questions suivantes, les résultats seront mis sous forme de fractions irréductibles.

2. Lors d'un cours de mathématiques, le professeur interroge

au hasard un élève. Calculer la probabilité des événements suivants : a. A: « l'élève interrogé a 16 ans » ;

b. B : « l'élève interrogé est un garçon ».

3. a. Définir sous forme d'une phrase les événements : C A B et D A B . b. Calculer la probabilité de l'événement C.

c. À l'aide des probabilités de A, B et C, calculer la probabilité de l'événement D.

4. Le professeur décide d’interroger au hasard un garçon .

Quelle est la probabilité de l’événement E : « l’élève interrogé a 17 ans » ? Exercice 12

En ce dimanche midi de début d’année, quatre amis A, B, C, D souhaitent tirer les rois.

Pour cela, ils disposent de 2 galettes (une frangipane et une brioche) qui contiennent chacune une fève.

Ils décident de couper les deux gâteaux en 4 parties égales et de manger tous une part de chaque galette. A, C sont des filles ; B, D sont des garçons.

On s’intéresse à la répartition des fèves.

1. a) Recopier et compléter l’arbre ci-dessous : b) Combien y a-t-il de résultats possibles pour la répartition des 2 fèves ?

Chocolat Framboise Total Tartelettes

Charlottes Macarons

Total 300

Sexes âges

Garçons Filles Total 16 ans

17 ans 18 ans

Total 36

Fève de la brioche (obtenue par)

Fève de la Frangipane (obtenue par)

A

B

C

D

AB C D

c) En supposant que les tirages soient équiprobables, déterminer la probabilité des événements ci-dessous :

E : « A a au moins une fève » ; F : « A n’a pas de fève » ;

G : « aucun garçon n’a obtenu de fève » ; H : « les 2 fèves ont été obtenues par la même personne » . 2. Sachant que la fève de la brioche a été obtenue par une fille, déterminer la probabilité de

l’événement: I : « la fève de la frangipane est obtenue par B ».

EXERCICE 13

Deux joueurs possèdent chacun un sac contenant trois pions de couleurs différentes. un noir, un blanc, et un rouge.

Le premier joueur pose devant lui un pion tiré au hasard dans son sac, puis le second joueur effectue le même geste.

Un joueur gagne s'il est seul à avoir posé un pion noir.

1.On note N1 , B1, R 1 les pions respectivement noir, blanc et rouge du premier joueur, et de même N2 , B2 , R2 ceux du second joueur.

Décrire par un arbre tous les résultats possibles de ce jeu, en indiquant pour chacun d'eux le gagnant éventuel.

2. En utilisant cet arbre, déterminer les probabilités de chacun des événements.

 A = " Aucun joueur ne gagne" ;  B = " Le second joueur gagne" ;  C = "le premier joueur pose son pion noir et il ne gagne pas ".

3. Le premier joueur a posé son pion noir devant lui; quelle est la probabilité qu'il gagne ? Exercice 14

Une urne contient 4 boules : deux rouges, une verte et une jaune, indiscernables au toucher.

On tire au hasard une boule de cette urne. Après avoir noté la couleur de la boule obtenue on la replace dans l'urne et on procède à un second tirage. On note alors à nouveau la couleur obtenue.

1. Dessiner l'arbre correspondant à cette expérience.

2. Soit E l'événement "les deux boules tirées sont rouges" et F l'événement "une seule des deux boules tirées est rouge". A l'aide de l'arbre, calculer les probabilités p(E) et p(F).

3. Définir par une phrase : l'évènement G = E  F. Calculer p(G).

4. A l'aide de p(G), calculer p(H) où H est l'évènement "aucune des deux boules tirées n'est rouge".

5. Les boules de l'urne portent chacune un numéro : les rouges le numéro 1, la verte le numéro 2, la jaune le numéro 4. On s'intéresse maintenant aux numéros obtenus lors des tirages.

On appelle S la somme des numéros obtenus après le tirage des deux boules.

Quelle est la probabilité que S soit supérieure ou égale à 4 ? (on pourra faire apparaître les différentes sommes à l'extrémité des branches de l'arbre de la question 1.).

Exercice 1 Salaires

Mensuels en euros

[1000;1400[ [1400;1800[ [1800;2200[ [2200;2600[ [2600;3000[

Effectifs 80 40 40 30 10

b. le nombre de salariés est l’effectif total :

N80 40 40 30 10 200    

2. a.

( ) ^{80 2} 0,8

200 5

P A   

et

( ) ^{40 1} 0, 2 200 5 P B   

b.

AB

: « le salarié touche un salaire mensuel compris entre 1000 et 1800€ exclus ».

A

est l’événement « le salarié touche un salaire mensuel d’au moins 1400€ ».

c.

^A

et

^B

sont incompatibles , donc  

^{( ) ( ) 2 1 3}

5 5 5 p A B  p A  p B   

^{p A}

 

^{ 1 p A}

^{ }

^{  1 2}₅ ³₅

3. On considère les salariés ayant un salaire compris entre 1800€ inclus et 2600 € exclu.

On en compte 40+30=70. Parmi ceux-ci , 40 sont dans la classe C , donc

^{40 4 0,57} 70 7

p  

Exercice 2

I. Tableau de données

.Des étudiants ont acheté 80 % des 360 logiciels. Ils

en ont donc acheté :

^{80 360 288}

100 

.Il y a donc 360 -288 = 72 logiciels qui ont été acheté par des enseignants . On en déduit que les enseignants ont acheté 72- (36 + 12) = 24

logiciels C. Le nombre d'étudiants ayant acheté le logiciel B est égal à : 288- (144 + 96) = 48 .

Logiciel de type

Acheteur

A B C Total

Enseignant 36 12 24 72

Étudiant 144 48 96 288

Total 180 60 120 360

En faisant les totaux par colonne, on obtient alors le tableau suivant voir ci-dessus:

2. a. Probabilité que l'acheteur soit un étudiant

Soit A l' événement « l'acheteur est un étudiant » .Puisque les acheteurs sont interrogés au hasard parmi les 360 acheteurs, on fait l'hypothèse d'équiprobabilité des événements élémentaires . On sait alors que

la probabilité de l'événement A est donnée par la formule :

( ) '

360

nombre d éléments de A

P A 

Or, il y a 288 étudiants parmi les acheteurs, d'où :

^{( ) 288 4} 360 5 P A  

b. Probabilité que l'acheteur soit un enseignant ayant acquis un logiciel de type A

Soit B l'événement: « l'acheteur est un enseignant ayant acquis un logiciel de type A ».

Il y a 36 enseignants ayant acquis un logiciel de type A, donc, en appliquant la formule vue à la question précédente :

^{( ) 36 1}

360 10 P B  

c. Probabilité que l'acheteur soit un étudiant ou qu'il ait acquis un logiciel de type A Soit C l'événement : « l'acheteur est un étudiant ou il a acquis un logiciel de type A » .o Il y a 288 étudiants et 36 non- étudiants (enseignants) qui ont acquis un logiciel de type A.

Le nombre d'éléments de C est ainsi : 288 + 36 = 324 . D'où:

^{( ) 324 9} 360 10 P C  

* Remarque:

^{C A B}

, avec A et B incompatibles, d'où

^{( ) ( ) 4 1 9} 5 10 10 P C P AB   

En effet, l'événement « l'acheteur a acquis un logiciel de type A » est la réunion de l'événement A 1 « l'acheteur est un étudiant ayant acquis un logiciel de type A » et de « l'acheteur est un enseignant ayant acquis un logiciel de type A »,soit l'événement B .

Alors:

C A (A1B) ( AA1)  B A B

, car A

1

est contenu dans A.

3. Probabilité que le client ait acheté un logiciel de type C, sachant que c'est un étudiant Dans cette question, l'univers des possibles est à présent l'ensemble des 288 étudiants.

Parmi ces 288 étudiants, 96 ont acheté un logiciel de type C. Il y a toujours équiprobabilité des choix, donc la probabilité demandée est égale à :

^{( ) 96 1}

288 3 PET C  

4. la probabilité qu’un enseignant ait acheté un logiciel, sachant que c’est un logiciel de type B?

Dans cette question, l'univers des possibles est à présent l'ensemble des 60 logiciels B.

12 enseignant ont acheté un logiciel de type B. Il y a toujours équiprobabilité des choix, donc la probabilité demandée est égale à :

^{( ) 12 1}

60 5 P ENB   Exercice 3

1. a)

B R J

B

B B B B B B B B B

B B

R R R

R R R R R R R R R

couleur de la porte

J J J

J J J J

J J

J J J

couleur du toit

couleur de la fenêtre

b) Le nombre de dessins coloriés possibles est 3 × 3 × 3 = 27.

2. Les 27 issues sont équiprobables. Il y a 9 issues commençant par R, donc ^{( ) 9 1} 27 3 p A  

B = {BBB; BRR; BJJ; RBB; RRR; RJJ ; JBB ; JRR ;JJJ}, donc

^{( ) 9 1}

27 3 p B   C = {BRJ ; BJR ; RBJ ; JBR ; JRB}, donc ^{( ) 6 2}

27 9 p C  

.

D

: « l’enfant n’a utilisé qu’une seule couleur ».

D = {BBB ; RRR ; JJJ}, donc

^{( ) 1 ( ) 1 3 24 8}

27 27 9

p D  p D    

3. Dans l’univers restreint aux 9 issues commençant par R , E = {RBB ; RRR ; RJJ}, donc ^{( ) 3 1}

9 3

p E   Exercice 4

2. a)

^{( ) 110 0,55}

p A 200

;

^{( ) 44 0, 22} p B 200

;

^{( ) 73 0,365}

p C 200

et

( ) 1 ( ) 1 0,365 0,635 p C  p C   

b)

^{( ) 14 0,01}

p A B 1470

3.

AB : « le client choisi part en famille et préfère les croisières » donc 26

( ) 0,13

p AB 200 AB: « le client choisi part en famille ou préfère les croisières » ;

p A⁽ B⁾ p A^{( )} p B^{( )}p A⁽ B) 0,55 0,22 0,13 0,64   

4. Parmi les 110 personnes qui partent en vacances en famille, 55 préfèrent les clubs de vacances.

La probabilité qu’une personne préfère les clubs de vacances sachant qu’elle part en vacances en famille est donc :

₁ ^{55 0,5}

p 110 . Exercice 5

1. Il y a donc 3 × 3 × 3 = 27 « figures possibles».

2. a) Il y a trois « figures » où les trois symboles sont identiques : ♥ ♥ ♥, ♦ ♦ ♦ et

♠ ♠ ♠

b) Il y a six figures où les trois symboles sont tous différents : { ♥♦♠ ; ♥ ♠ ♦ ; ♦♥♠ ; ♦♠♥ ; ♠♥♦ ; ♠♦♥}

3. Les 27 « figures » sont équiprobables. A ={ ♥ ♥ ♥}. C’est un événement élémentaire, donc ( ) ¹ p A 27

D’après la question 2a),

^{) 3 1}

27 9

pB  

.

D

: « exactement deux cases portent des symboles identiques » est l’événement contraire de 

^BC

 .

B et C étant incompatibles, on a

^{p D( ) p B C}



^



^{ 1 p B C}

^

^

^

^{ 1 p B( )p C( ) 1   1 2}_{9 9} ²₃

Exercice 6

1. L’arbre montre qu’il y a 5 × 4 = 20 couples de bâtons différents.

2. Il y a équiprobabilité sur l’univers des 20 tirages possibles.

Voyage organisé

Club de vacances

Croisière Total

En famille 26 110

Seul ou entre amis

54 18 18 90

Total 83 73 44 200

CO CA PI case n°1

case n°2

case n°3 CO

CO CO CO CO CO CO CO CO CO

CO CO

CA CA CA

CA CA CA CA CA CA CA CA CA

PI

PI PI PI PI

PI PI PI

PI PI

PI PI

a) L’événement A : « il obtient le bâton à la vanille, puis le bâton au café» est élémentaire, donc

^{( ) 1} p A 20

b) L’événement B : « il obtient ses parfums préférés dans un ordre

quelconque » s’écrit : B = {Vanille- Café ; Café- Vanille }, donc

^{( ) 2 1} 20 10 p B  

v ch pis ca pr

ch pis ca pr v pis ca pr v ch ca pr v chpispr v ch ca pis 1er baton

2ème baton

. c) L’événement C : « il obtient un seul de ses parfums préférés » est constitué de 12 issues, donc

^{( ) 12 3}

20 5 p A  

d) D : « il n’obtient aucun de ses parfums préférés » est l’événement contraire de BC. B et C étant incompatibles,

on a : ^{p D( )p B C}



^



^{ 1 p B}

^

^C

^

^{ 1 p B( ) p C( ) 1 }_{10 5 10}^{1  3 3}

Exercice 7

Troisième cycle

universitaire Bac +4 Bac+2 Bac ou

équivalent BEP/CAP Fin de

scolarité total

Hommes 28 135 259 408 382 47 1259

Femmes 80 289 739 49 207 19 1383

Total 108 424 998 457 589 66 2642

2. a)

^{( ) 1383 0,52}

p A 2642

; b)

^{( ) 457 0,17}

p B 2642

; c)

108 424 998 457 1987

( ) 0,75

2642 2642

p C   

  

d)

AB

: « la personne choisie est une femme qui a un niveau Bac ou équivalent » ;

^{( ) 49 0,02} p A B 2642

e)

p A⁽ B⁾ p A^{( )}p B^{( )}p A⁽ B) 0,52 0,17 0,02 0,67   

.

3. D’après la donnée : les hommes représentent64,85 % des personnes ayant le niveau BEP/CAP, la probabilité que la personne interrogée parmi les emplois jeunes de niveau BEP/CAP soit un homme

^{( ) 382 0,65}

p D 589

.

Exercice 8

1/ Construisons l’arbre des résultats possibles

On constate qu'il y a bien 18 résultats possibles, que l'on peut énumérer : AAA, AAB, ABA, ABB, ACA, ACB, BAA, BAB, BBA, BBB, BCA, BCB, CAA, CAB, CBA, CBB, CCA et CCB.

2. Probabilités des événements E, F, G, H

On suppose que chaque lettre a la même probabilité d'être obtenue à chaque grattage. On fait donc l'hypothèse d'équiprobabilité. L'univers des possibles étant formé de 18 éléments, la probabilité d'un élément X est donnée par la formule : p(X) =

18

'éléments deE d

nombre

Probabilité de E : Il y a deux résultats qui conduisent à obtenir trois lettres identiques: AAA, BBB. p(E) =

9 1 18

2 

Probabilité de F

Pour déterminer la probabilité de l'événement F, il peut être plus simple de chercher celle de l'événement contraire de F, défini ainsi: « obtenir deux ou trois A ».

A

A A

A A A

A A A A A A A

B C

B B B

B B B B B B B B B

C C C

1ère case

2ème case

3ème case

En effet: F = { AAA , AAB, ABA, ACA, BAA, CA A } , car il existe une seule façon d'obtenir un A et cinq façons d' obtenir deux A.

3 1 18 ) 6

(F  

p . Comme p(F) + ^p(F)= 1, on en déduit: p(F) = 1 ^p(F) soit : p(F)=1 ^{1 2} 3 3

 

Probabilité de G : À l' aide de l' arbre, on détermine tous les résultats donnant trois lettres distinctes. On obtient:

ACB, BCA, CAB, et CBA. D’où p(G) =

9 2 18

4 

Probabilité de H : L'événement contraire de H est l'événement « obtenir aucun C ». Alors : H = {AAA, AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, BBA, BBB } .

9 4 18 ) 8

(H  

p et p(H) = 1 ^p(H)soit : 4 5

( ) 1 9 5 P H   

3. F



H est l'événement: « obtenir au plus un A et au moins un C » On peut alors avoir :

aucun A et un C : pour les résultats BCB et CBB ; aucun A et deux C : pour les résultats CCB ;

un A et un C : pour les résultats ACB, CAB, CBA et BCA ; un A et deux C : pour le résultat CCA.

Il y a ainsi 8 résultats favorables à la réalisation de F



H . D'où: ( ) ^{8 4} 18 9 p FH  

On calcule alors la probabilité de l'événement F



H à l'aide de la formule : p(F



H) = p(F) + p(H)  p(F



^H);

9 7 9

4 5 6 9 4 9 5 3 ) 2

(F H       

p .

Exercice 9 : 1.1

4 des 1 00 charlottes sont au chocolat: 1

100 25

4  donc 75 à la framboise 40% sont des tartelettes: 40

300 120

100  dont les 2

5 sont au chocolat

2

120 48

5

  , donc 72 à la framboise Il y a 300 100 120 = 80 macarons

3

8

des macarons sont à la framboise: 3

80 30

8  , donc 50 au chocolat 2. Un invité choisit un gâteau au hasard.

a) Il y a 177 gâteaux à la framboise sur 300, donc 177

( ) 0,59

P A 300 Il y a 80 macarons sur 300, donc 80 4

( ) 0, 27

300 15

P B   

b) A B : « le gâteau est un macaron à la framboise ». il yen a 30 ; donc 30

( ) 0,1

P AB 300

A B : « le gâteau est soit un macaron, soit un gâteau à la framboise ». (P AB)P A( )P B( )P A( B)

177 80 30 227

( ) 0,76

300 300 300 300

P AB      . A et B incompatibles si (P AB)P A( )P B( )

(ou P A B(  ) 0 )ce qui est faux vu ce qu' on a écrit au dessus. Donc A et B ne sont pas incompatibles.

c) L'invité en question n'aime pas le chocolat. Il va choisir un gâteau parmi les 177 gâteaux à la framboise.

Parmi ces gâteaux, il y a 72 tartelettes, donc ( ) ⁷² 0,59 P C 177

Exercice 10

Chocolat Framboise Total

Tartelettes 48 72 120

Charlottes 25 75 100

Macarons 50 30 80

Total 123 177 300

V O R

V V V

V V V V V V V V V

O O O

O O O O O O O O

R R R

R

R R R R R R O R R

feux n°1

feux n°2

feux n°3

W = {( V ;V ; V) ; (V ; V ; O ) …..} , card W = 27 A = { (R; R; R) ; (V; V; V) ,

( O ; O; O) } donc p(A) = 3/27 = 1/9 ,

B = {(V, V , V ) ; (V, V, O) ; (V,O ,V ) ; (V ,O ,O ) ; (O ,V, V) ;(O ,V, O);(O ,O ,V) ;(O ,O ,O)} donc p(B) = 8/27 , C est l’ évènement contraire de B donc p(C) = 1 – 8/27 = 19/27 ,

A  B : « tous les feux sont de la même couleur et aucun n’est rouge » A  B = {( V ; V ; V) ; ( O ; O ; O)} , donc p( A  B ) = 2/27 A  B : « les feux sont de la même couleur ou aucun n’est rouge »

( ) ( ) ( ) ( )

P A B P A P B P A B = 3/27 + 8/27 – 2/27 = 9/27 = 1/3 Exercice 11

1. Tableau d'effectifs

.50 % des élèves étant des garçons âgés de 17 ans, il y a donc

^{50 36 18}

100 

.18 garçons âgés de 17 ans.

.25 % des élèves étant âgés de 18 ans, cela fait

^{25 36 9}

100 

élèves âgés de 18 ans.

.Il y a en tout 22 garçons, donc 36  22 = 14 filles, et 50% de celles-ci ont 17 ans, d'où il y a 7 filles âgées de 17 ans.

On peut alors compléter le tableau d'effectifs : 2. a. Probabilité de A

Comme le professeur interroge un élève au hasard, on peut supposer l'équiprobabilité des 36

événements élémentaires. La probabilité de l'événement A est alors donnée par la formule :

( ) '

36

nombre d éléments de A

P A 

Il y a 2 élèves âgés de 16 ans dans cette classe, d'où

^{( ) 2 1} 36 18 P A  

. b. Probabilité de B

Le tableau d'effectifs montre qu'il y a 22 garçons dans la classe, donc une formule similaire à celle utilisée en 2. a. permet de calculer la probabilité de l'événement B :

^{( ) 22 11}

36 18

P B  

soit :

^{( ) 11} P B 18

3. a. Définition des événements C et D

C  A B

est l'événement: « l'élève interrogé est un garçon âgé de 16 ans ».

D A B

est l’événement : « l'élève interrogé est un garçon ou est âgé de 16 ans ».

b. Probabilité de C

Il y a dans la classe un seul garçon âgé de 16 ans, donc la probabilité de C est égale à :

^{( ) 1} P A 36

c. Probabilité de D. Une formule du cours permet de déterminer la probabilité de

D A B

:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P D P A B P A P B P A B

.Ainsi

^{( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 1 23}

18 18 36 36

P D P A P B P C    

4. Probabilité de E

Comme le professeur décide d'interroger au hasard un garçon, on est toujours dans une situation d'équiprobabilité, mais l'univers des possibles est à présent l' ensemble des 22 garçons.

Parmi ceux-ci, il yen a 18 qui ont 17 ans. On en déduit la probabilité de l'événement E:

18 9

( ) 22 11

P E  

,soit :

^{( ) 9} P E 11 Exercice12

1.Arbre des répartitions possibles b. Nombre de répartitions possibles L' arbre construit à la question 1. a.

montre qu' il y a 16 répartitions possibles pour les 2 fèves, puisque chacune des quatre

Sexes

âges Garçons Filles Total

16 ans 1 1 2

17 ans 18 7 25

18 ans 3 6 9

Total 22 14 36

Fève de la brioche

(obtenue par) Fève de la Frangipane (obtenue par)

A

B

C

D

A B C DA B C D A B C DA B C D

premières branches de l'arbre donne naissance à quatre nouvelles branches.

4 × 4 = 16 : il y a 16 résultats possibles pour la répartition des deux fèves.

c. Probabilité des événements E, F, G, H"

Puisqu'on suppose l'équiprobabilité des

tirages, et puisqu'il y a 16 tirages possibles en tout, on en déduit que la probabilité d'un événement X est donnée par la formule :

^{( ) '}

16

nombre d éléments de X

P X 

.

.Probabilité de E : L'événement « A a au moins une fève » est formé des branches suivantes de l'arbre:

 

E = AA, AB, AC, AD, BA, CA , DA

. D'où :

^{( ) 7} P E 16

.Probabilité de F: L'événement « A n'a pas de fève » est l'événement contraire de E. Ainsi :

FE

, donc

7 9

( ) ( ) 1 ( ) 1

16 16 p F  p E  p E   

.Probabilité de G : G est l' événement « aucun garçon n' a obtenu de fève » ; il correspond donc aux cas où les fèves ont été obtenues par les deux filles. Cet événement est donc formé des branches de l'arbre

suivantes:

G



AA, AB, BA , BB

 . D' où :

^{( ) 4 1} 16 4 P G  

.Probabilité de H: L'événement « les 2 fèves ont été obtenues par la même personne » est réalisé dans les quatre cas suivants: A tire les deux fèves (branche AA), B tire les deux fèves, C tire les deux fèves, D tire les

deux fèves. H 



AA, BB, CC , DD

 Ainsi :

^{( ) 4 1}

16 4 P H  

2. Probabilité de l'événement I

Dans cette question, on sait déjà que la fève de la brioche a été obtenue par une fille (A ou B).

L'univers des possibles change alors: il est formé de 8 éventualités:

{AA ; AB ; AC ; AD ; CA ; CB ; CC ; CD}, qui correspondent aux huit premières branches de l' arbre.

Où l' événement « la fève de la frangipane est obtenue par B » comprend deux éventualités: celle correspondant à la branche AB et celle correspondant à la branche BB. D'où :

^{( ) 2 1}

8 4

P I  

.

Exercice 13

1-arbre des résultats possibles voir ci-contre

2. Probabilités des événements A, B, C

Si l'on symbolise par N1N2 le résultat tel que le premier joueur a tiré le pion noir et le second joueur a tiré le pion noir, alors l'arbre réalisé à la question 1 permet de voir que l'univers des possibles associé à cette épreuve est :

W = {N1N2 ; N1B2 ; N1R2 ; B1N2 ; B1B2 ; B1R2 ; R1N2 ; R1B2 ; R1R2}.

Il y a 9 possibilités.

Chaque pion étant tiré au hasard, on peut faire l'hypothèse d’équiprobabilité des événements élémentaires; ainsi la probabilité D’un événement E sera donnée par la formule: p(E) =

9

'éléments de E d

nombre

. Probabilité de A

En construisant l'arbre de la question 1, on a vu qu'un joueur était gagnant dans 4 cas. Il y a ainsi 5 cas où aucun joueur ne gagne. D’où

9 ) 5 (A  p Probabilité de B

N1

N2 B2

R2

gagnant joueur n°1 gagnant joueur n°1

B1

R1

N2 gagnant joueur n°2

gagnant joueur n°2 N2

R2

R2 B2

B2

tirage du joueur 1 tirage du joueur 2

Le second joueur gagne dans 2 cas: le cas B1N 2 et le cas R1N2 .

9 ) 2 (B  p Probabilité de C

L'événement C : « le premier joueur pose son pion noir et il ne gagne pas »est associé à un seul résultat possible du jeu: le résultat N1N2 ainsi

9 ) 1 (C  p

3. Probabilité que le 1er joueur gagne, sachant qu'il noir devant lui .

On suppose à présent que le premier joueur a posé son pion noir devant lui .

L'univers des possibles change alors : il n'est plus formé que des trois éléments, et il est défini par :

W '={N1N2 ;N1B2 ;N1R2). Il y a toujours équiprobabilité des événements élémentaires. Le premier joueur gagne Alors dans deux cas: le cas N1B2 et le cas N1R2. on en déduit la probabilité p qu'il gagne : p =

3 2 Exercice 14

1.

2. ^{( ) 1}

p E 4 . ^{( ) 8} p F 16

3. On a G = E  F. Donc l'évènement G est : "les deux boules tirées sont rouges ou une seule des deux boules tirées est rouge" . Soit finalement "au moins une des deux boules tirées est rouge".

p G( ) p E( )p F( )p E( F) .

mais E et F sont incompatibles donc p(E  F) = 0

d'où 1 1 3

( ) ( ) ( )

4 2 4

p G  p E  p F    .

4. H est l'évènement contraire de G donc p(H) = 1  p(G)

d'où 3 1

( ) 1

4 4

p H   

5. Sur l'arbre, on constate que seules trois éventualités

constituent l'évènement contraire donc : ^{( 4) 1 1 1 1 1 1 1}

4 8 8 2 2

p S       

R

R

J V

R R J V R R J V R R J V

R R J V

(1+1=2) (1+1=2)

(1+1=2) (1+1=2)

(1+2=3) (1+2=3)

(1+1=2) (1+1=2) (1+2=3)

(1+2=3)

(2+2=4) (1+4=5)

(1+4=5)

(2+4=6)

(2+4=6) (4+4=8)