Notes de Cours de physique des particules au niveau Maîtrise (Master 1)

(1)

U-Caen 2000-2001 C. LONGUEMARE Notes de Cours

de physique des particules au niveau Maîtrise (Master 1) Introduction

• Introduction

• Particules stables

• Les antiparticules stables

• Particules instables

• Propriétés des particules

Cinématique: conservation de l’énergie - impulsion

• Ordres de grandeur

• Référentiel du centre de masse

• Contraintes dans l’état initial

• Contraintes dans l’état final et espace de phase Symétries en physique classique

• Introduction

• Théorie Lagrangienne (introduction)

• Application aux lois de conservation

• Exemple l’électromagnétisme

Les Symétries en physique des particules

• Définitions

• Postulats de la mécanique quantique

• Application des symétries aux états stationnaires

• Application aux transitions

• Les symétries unitaires

Les Interactions fortes , le modèle des quarks QDC

• Les interactions fortes nucléaires

• Spectroscopie des mésons

• Spectroscopie de Baryons

• Propriétés de QCD à haute énergie

L'interaction faible et électromagnétique EWI

• Introduction

• théorie des interactions fondamentales

• Les interactions électrofaibles des constituants

• L'unification

Applications astrophysiques : La cosmologie du «Big Bang»

• Introduction

• L'univers en expansion

• La découverte du CBR : cosmic background radiation

• Déroulement de l'expansion

• Questions

[email protected] VII-1

(2)

U-Caen 2000-2001 C. LONGUEMARE Chapitre 1

Introduction 1. Ordres de grandeur

2. Particules stables

3. Les antiparticules stables 4. Particules instables 5. Propriétés des particules

1) Stru cture de la matière et ordres de grandeur : L'apport de la chimie du XIX siècle :

● La classification périodique établit un lien entre la chimie ( les propriétés chimiques) et la physique(la masse des éléments)

Les propriétés chimiques sont caractérisées par Z et l'inertie par la masse soit M~ 2 Z Exemple les gaz rares : He Ne ....

● Loi de conservation des éléments chimiques:

Loi de Lavoisier : rien ne se perd rien ne se crée tout se transforme (au niveau moléculaire) Exemple :

O H O

H₂ ₂ ₂

2

1 →

+

● Les énergies de la chimie sont de de l’ordre de 100 kjoule soit 1 eV par réaction microscopique.

● Les électrons de valence expliquent la structure moléculaire !

● La chimie est dénombrable : seulement 92 éléments chimiques identifiés : H … Ur La matière est dénombrable : une mole = N constituants (thermodynamique – statistique)

La physique atomique

Les propriétés chimiques dépendent des électrons périphériques mais l’atome comporte aussi des électrons profonds qui sont les plus liés au sens classique.

Le domaine des énergies de liaison des électrons atomiques va de quelques eV jusqu'à 100 keV pour Z=100

eV 6

, 13 ) 1

( S Z²

E_l = ×

Les électrons négatifs sont à distance d'un noyau ponctuel chargé positivement : figure ci-dessous.Les rayons atomiques sont pratiquement indépendants de Z.

Angström R=1

Noyau + électrons

(3)

U-Caen 2000-2001 C. LONGUEMARE Echelles d’énergie

Lois de conservation :

domaine conservation

Chimie, physique moléculaire Eléments

Physique atomique e- et Noyau

Physique nucléaire Les nucléons

Physique des particules Charges élémentaires

Energie == longueur d’onde :

m fm

fm MeV c

c e hc

10 15

. 198

2

= −

=



 π λ λ

eV e

nm 2,5

500 ⇔ =

λ = 2) Les particules stables :

L'électron

L'électron a été identifié par des recherches sur la conduction électrique dans le vide et l’effet thermoélectronique :

• 1881 : l’électron est identifié par JJ Thomson (UK) en 1881( Cavendish lab. ) propriétés de l’électron :

particule chargée légère

responsable de la conduction électrique

constituants élémentaires des rayons cathodiques

pas de rayons anodique : dissymétrie (matière # antimatière) Les rayons X

Expérience de Röetgen 1895 : découverte des rayons X Emission par un tube cathodique avec

HV = qq kvolts Anode = cible épaisse [email protected] VII-2

Chimie molécules et

Cdt normale 1 eV

Physique atomique 1eV ..

100keV

Physique Nucléaire 100keV..

100 MeV

Physique H.E 100 MeV

…..

Limite de Plank 10**20 GeV

(4)

U-Caen 2000-2001 C. LONGUEMARE Observation de l’émission des X à 90° du faisceau.

Détection par l’ionisation et impression de la plaque photo. (par effet photo électrique) Lampe à rayons X :

La radioactivité des noyaux

H. Becquerel découvre fortuitement la radioactivité des sels d’Uranium en 1899 Les sels sont radioactifs et impressionnent la plaque photo.

Explication :

famille Demi vie Noyau stable final nom

238U

92 τ₁_/₂ =4,5 10⁹a ²⁰⁶₈₂ Pb Uranium

235U

92 7,1 10⁸a ²⁰⁷₈₂ Pb Actinium

232Th

90 1,4 10¹⁰a ²⁰⁸₈₂ Pb Thorium

237Ne

91 2,1 10⁶a ²⁰⁶₈₂ Pb Neptunium

Emission alpha Emission bêta

Emission gamma

Autres éléments radioactifs dans la nature :

● K(40) désintégration bêta, gamma, capture K. τ₁_/₂ =1,3 10⁹a Abondance isotopique : 0,01%

● Cosmogénèse par les neutrons :

C p N

n+¹⁴ → +¹⁴

Après la découverte de Becquerel on isole des sources alpha pour sonder la structure des atomes et produire les premières collisions nucléaire .:

211Po

86 τ₁_/₂ =0,52s E_α =7,448 MeV Actinium

210Po

86 *** ¹³⁸^d E_α =5,305 MeV Uranium

212Po

86 3,0 10^-7s E_α =8,785 MeV Thorium

Plaque photo

Sels d’Uranium e -

X

HV

(5)

U-Caen 2000-2001 C. LONGUEMARE

Structure atomique Modèle de JJ Thomson

E . Rutherford : expérience de 1910 Modèle planétaire de E Rutherford

L'expérience de diffusion Rutherford est électromagnétique : Au

Au → +

+ α

Cette diffusion permet de sonder l’intensité du champ électrique coulombien à α l’intérieur des atomes.

Conclusion : le champ est fort donc les charges positives (répulsives) sont ponctuelles Les diffusions à grand angle en apportent une preuve expérimentale.

A plus haute énergie (E>5 MeV) on observe la diffusion anomale : les particules alpha ont des interactions fortes avec la cible : (réf Evans page 89-90)

Structure nucléaire :

• Découverte du proton : E. Rutherford 1919

C'est la première transmutation articielle : production de protons par diffusion alpha source d’alpha de Po(210)

O p

N ¹⁷

14 → +

α+

le proton est lourd chargé positivement (neutralité de la matière avec les électrons) il est a l’origine de l’inertie des atomes

≈2000 m M

• Découverte du neutron : Chadwick 1932 ( Cavendish lab Cambridge - U.K. ) Source d’alpha du polonium

C n Be

N n B

12 9

13 10

+

→ +

+

→ +

α

α ces réactions sont notées également

C n Be

N n B

12 9

13 10

) , (

) , ( '

α α

dispositif expérimental

identification du neutron : neutre, pénétrant

observation par la diffusion sur les protons de la paraffine : n

p p

n+ → +

la mesure de l’énergie de recul des protons a permis une première mesure de la masse des neutrons à 10%.

Source

alpha cible neutrons protons détecteur

Convertisseur parafine

(6)

U-Caen 2000-2001 C. LONGUEMARE Conclusion : il existe des isotopes pour chaque élément chimique. Les éléments sont

déterminés par Z et les isotopes par (Z,N). Ces isotopes ont été analysés par la spectrométrie de masse.qui mesure de Z/M

Le neutrino et la radioactivité des particules Parallèlement les physiciens étudiaient la radioactivité

• La radioactivité alpha est nucléaire : (électromagnétique + forte)

• Le radioactivité bêta est corpusculaire : processus élémentaire ! ν

ν + +

→

+ +

→

−

e X X

e p n

' le spectre est continu jusqu’au Qβ

m M M

Q_β = _X − _X_' −

il faut donc une autre particule, le neutrino, hypothèse du neutrino . W Pauli 1932 Il est neutre, de masse nulle et intervient dans les désintégrations faibles (β)

• La radioactivité gamma : électromagnétique γ +

→X X'

Le processus est électromagnétique : fluorescence nucléaire.

Les désintégrations γ suivent des transitions bêta ou alpha qui donnent des états excités

3) Les anti particules stables : le positron

Découvert par Carl David Andersen en 1930 dans le rayonnement cosmique avec une chambre à brouillard (de Wilson)

− + +

→e e γ

Le gamma se matérialisait dans une plaque de plomb et les charges étaient mesurées par une champ magnétique.

Z Z+1 Z+2

E=Mc2

(7)

U-Caen 2000-2001 C. LONGUEMARE L’anti-proton

Découvert et produit dans l’expérience d’Emilio Segré en 1956 avec le faisceau de proton du Bevatron au LBL

p p p p p

p+ → + + + en pratique : p+Cu→ p+x

En 1956 les particules anti-particules stables :

4) Les particules instables :

Toutes les autres particules sont instables, elles ont été découvertes dans des réaction à plus haute énergie du type

...

+

→ + p x p

soit dans le rayonnement cosmique soit auprès des accélérateurs de particules ; les accélérateurs sont de gros investissements et sont concentrés dans quelques laboratoires :

laboratoire Energie en GeV

SLAC (usa) 20

CORNELL (usa) 10

FERMILAB (usa) 1000

CERN (europe) 200

KEK (japon) 50

Pour les rayons cosmiques :

Rayons cosmiques

primaires (à 50 km) De 0,1 à 10¹¹ GeV

M=E/c2 en MeV

p n

938 ,2 1,3

e- e+

ν γ ν

0,511

0,

(8)

U-Caen 2000-2001 C. LONGUEMARE Le muon

Il es découvert en 1936 par Carl David Andersen (prix nobel 1936) Propriétés : particule chargée + ou –

Pénétrante (pas d’interaction forte seulement électromagnétique) Relativement légère : Mc²=105 MeV

Le pion

découvert en 1947 par Cecil Frank Powel (UK) exposition d’émulsions en altitude.

Propriétés du pion : particule chargée + ou –

Peu pénétrante (interaction forte + électromagnétique se désintégrant rapidement :π →µ+ν ) Relativement légère : Mc²=138 MeV

L’existence du pions avait été postulée par Yukawa en 1935 pour expliquer l’attraction nucléaire : modèle de Yukawa.

de nouvelles particules

Depuis cette époque on a ajouté des dizaines de nouvelles particules avec des nombres quantiques variés.

5) Propriétés des particules :

1) propriétés statiques : la particule est au repos dans le laboratoire : L’énergie de masse :

Mc2

E = Ainsi la conservation de l’énergie impose

xn

x x b

a+ → ₁ + ₂....

une condition nécessaire mais non suffisante :

∑

>

+

+m_a m_b m_i T

pour une désintégration : xn

x x

X → ₁+ ₂....

∑

> _i

X m

M

Le spin parité

JP

La conservation du moment cinétique impose que la parité du nombre de fermions soit identique dans l’état initial et dans l’état final

Les durées de vie :

−1

=λ τ

λ est la probabilité de désintégration par unité de temps (sec), on en tire : la probabilité de survie au delà de t

) exp(

)

(t t

w = −λ soit :

)

0exp( t

N

N = −λ

la demi vie s’écrit :

(9)

U-Caen 2000-2001 C. LONGUEMARE )

2

2 (

/

1 τLn

τ = Rapport d’embranchement :

C’est la probabilité de réaction dans un canal particulier i

b

a+ → ou _X _→_i on affecte au canal i la probabilité ri alors

=1

∑

^rⁱ

« Largeur » naturelle d’une particule (relation d’incertitude) λ τ

 =

= Γ largeur partielle dans le canal i :

i i =Γ×r

Γ donc

Γ

=Γⁱ ri

• Classification des particules en fonction du spin et des interactions : Les interactions rencontrées sont :

Gravitation = 0 à l’échelle microscopique sauf à l’énergie de Planck Electromagnétisme

Interaction bêta (faible)

Interaction forte : liaison nucléaire

Depuis 1975 les interactions électromagnétisme et faible sont unifiées ( EWI)

Depuis 1980 le modèle standard inclut également les interactions fortes sous la forme de QCD.

Spin fermions Bosons Bosons de jauge

EWI Leptons γ Z et W

+SI Baryons Mésons ? ? ? gluons

a) Nombre baryonique +1 pour les baryons –1 pour les anti baryons b) Nombre Leptonique +1 pour les leptons –1 pour les anti leptons c) Charge électrique + ou –1 en unités e

Ces charges sont conservées dans tous les processus connus.

Exemples :

impossible p

impossible e

p

possible e

p n

: :

:

0 + +

−

+

→ +

→

+ +

→ π γ

π ν

(10)

U-Caen 2000-2001 C. LONGUEMARE 2) propriétés cinétiques : la particule est en mouvement dans le laboratoire :

L’énergie : en unité c=1 et hbar=1

2

2 p

M

E = +

Durée de vie

γτ τ =_lab Le spin : il faut une théorie relativiste du spin.

Section efficace d’interaction sur une cible fixe : σ (si densité volumique des cibles est ρ) :

La probabilité de survie à la profondeur x dans la cible est : ) exp(

)

(x x

w = −ρσ ) 1

( ⁻

=

=λ ρσ parcours

Nombre d’interactions enregistrées entre x et x+ dx

×dx

=N ρσ dN

Section efficace partielle, différentielle dans un canal ou vers un état final fixé :

∑

= σ_i σ

∑

^σⁱ ⁼

∫

^espace^de^phase_d^d_Ω^σ

Le rapport d’embranchement est

σ σ_i ri =

Densité de courant de particules

A cause de la contraction relativiste des distances : v

j 

 γ ρ₀

=

(11)

U-Caen 2000-2001 LONGUEMARE Chapitre 2

Cinématique: conservation de l’énergie - impulsion

1. Introduction

2. Référentiel du centre de masse 3. Contraintes dans l’état initial

4. Contraintes dans l’état final et espace de phase 1) Introduction

Application des contraintes dues à la conservation de l’énergie impulsion aux transitions

• Soit les réactions: interactions à deux corps dans l’état initial

• Soit les désintégrations

Une transition est une transformation d’un état initial i vers un état final f sous l’effet d’une interaction:

f i→

La probabilité de la transition peut se calculer par la mécanique quantique en principe

>

=<

→_f = A_f_i A_f_i f S i

i _, ² avec _,

ω

où S est l’opérateur qui amène l’état initial vers l’état final à t =∞dont on observe la composante f.

La probabilité de transition totale est donc:

∑

^→

= Ω

f ωi f

dans le cas d’une désintégration:

t Ω/

= Γ dans le cas d’une section efficace:

) / ( t flux = Ω σ×

Les lois de conservation de la «cinématique» imposent la conservation de l’énergie-impulsion:

TL les dans conservé

P P et ) , ( P

2 2

f i

P E

P E



−

=

[email protected] II-1

(12)

U-Caen 2000-2001 LONGUEMARE

2) Référentiel du centre de masse:

C’est l’observateur galiléen qui est tel que

0 P P

_i _f 

=

Dans ces conditions l’énergie dans le CM s’écrit par invariance:

s P E

E_CM² =P² = ² − ² =

L’énergie dans le CM est évidemment supérieure à la somme des masses:

∑ ∑

≥

= _i _f

CM s m m

E ou

Dans le cas d’une désintégration le référentiel CM est celui de la particule.

∑

≥

⇒

= _f

CM m c m m

E ₀ ² ₀

Pour passer du référentiel du Laboratoire au CM on fera une T.L. propre dont la vitesse sera

i i

E

= P β 3) Contraintes dans l’état initial

Cas des désintégrations:

0 − ≥0

=^m

∑

^m^f

Q exemple: π⁰ →2γ

Cas des réactions:

∑

− +

=m_a m_b m_f Q

si Q>0

La réaction est exo thermique elle peut se produire spontanément mais elle peut être retardée par la dynamique:

Exemple:

p + n → D + γ ou p + p → D + e

⁺

+ ν ou T + D → H

_e

+ n

(13)

U-Caen 2000-2001 LONGUEMARE si Q<0

La réaction est endothermique elle ne peut se produire spontanément mais elle peut être produite artificiellement à l’aide d’accélérateur (conversion de l’énergie cinétique en masse):

Exemple: p+n→ p+ p+π⁻ Calcul du seuil d’une réaction:

....

3 2 1+ + +

→ +b a

) ) (

2 )(

2 (

1 Q m m Q

T m T m

E _a _b

b seuil

a f

CM >

∑

⇒ ≥ = + +

Exemple: particule légère sur une cible lourde

+

−+ → +

+

→ +

π π γ

n p e

p

p ⁰

si ma <<mb et Q<<mb alors T_seuil₌ = Q

MeV

≈140

seuil

T En cinématique inverse

+

− → +

+e n π p

si ma >>mb et Q<<mb alors

b a seuil

m Q m T ₌ = ×

GeV

≈300

seuil

T

• Cinématique dans le CM:

Energies cinétiques des particules a et b

) )(

2 ( 1

b a b

a

a s m m s m m

T = s − − + −

Impulsion des particules a et b

) )(

( ) )(

2 ( 1

b a b

a b

a

CM s m m s m m s m m s m m

p = s − − + − − + + +

• Vitesse du centre de masse dans le laboratoire:

b a

a a

CM E m

v E

= + β

4) Contraintes dans l’état final et espace de phase Probabilités de transition:

f f f i f f

i f

f i

k P d

P flux A

t ω δ ω

σ ( ) 2

/ ² ⁴

 Π

×

−

∝

 =



×

= Γ

Ω

∑

^→

∫

^→

(14)

U-Caen 2000-2001 LONGUEMARE Espace de phase: Mesure de l’espace de phase ouvert à la transition

(désintégration ou réaction)

f f f i f n

k P d

P s

R δ ω

) 2 (

)

( ⁴

 Π

×

−

=

∫

• invariance relativiste de l’espace de phase:

l’élément d’intégration est invariant!:

p E d p E d J p p d d

p p d

d

p p E

E P

p p p

z z

t z

3 3

3 3 ' '

'

: que montre on variable de

changement ce

1 dans ) 1

, (

: propre Lorentz

de ation transform une

fait on ) , (

=

 =



 



=





→

=

β γ β



• Propriétés:

1. Réaction à deux corps:

Soit a ou a+b→1+2

Dans le CM les impulsions et énergie sont fixées

) )(

( ) )(

2 ( 1

2 1 2

1 2

1 m s m m s m m s m m

m s s

p_CM = − − + − − + + +

et

) )(

2 ( 1

2 1 2

1

1 s m m s m m

T = s − − − +

2. Application:

Cas des désintégrations où: m_a = s ≈m₁ >>m₂ Alors:

Q m T

T Q

a

≈

≈ ² ₂

1 et 2

exemple: A^* →A+γ ou π →µ +ν 3. Application aux désintégrations béta

ν + +

→ X e⁻ X'

e X

X M m

M

Q_β = _'− −

exemples: π^* →π⁰ +e+ν ou Λ→p+e^- +ν

(15)

U-Caen 2000-2001 LONGUEMARE

• Production multiple dans le CM:

Domaine de variation de l’énergie d’une particule dans le CM ...

3 2 1+ + +

→ +b a On montre facilement que:

) ) ( 2 (

1 ₂

2 2 1 1

1

∑

≥

− +

<

j

mj

m s s E

m

soit

) ) ( ) 2 ((

0 1 ²

2 2 1

1

∑

≥

−

<

j

mj

m s s

T

A l’énergie maximum pour 1 dans le CM, la cinématique est celle d’un quasi deux corps

...

masse de ..) 3 2 ( système le

...) 3 2 ( 1

3

2 + +

= +

+ + + +

→ +

m m b

a

Exemple :

ν + +

→p e⁻ n

Etudier le spectre β

1 2+3+…+

(16)

Symétries en physique classique 1. Introduction

2. Théorie Lagrangienne (introduction) 3. Application aux lois de conservation 4. Exemple l’électromagnétisme

1) Introduction:

Soit à comparer l’évolution de deux systèmes classiques liés par une transformation T ; si le système transformé à l’instant t est le transformé du système à t, on dit que l’on dispose d’une loi de symétrie pour le système.

) ( ) ( ' , ) 0 ( ) 0 (

' t TS t t S t TS t

S = = = ⇒ ∀ =

Exemples:

1. La chute libre dans le champ de pesanteur: T est une translation horizontale quelconque; la translation verticale n’est pas une symétrie si g dépend de la hauteur:

) (z g

2. Invariance de la chute libre dans la transformation qui change m en m’:

m m m→ '=λ

3. Permutation 1-2 dans l’attraction gravitationnelle: échange Terre - Soleil

4. Permutation 1-2 des composants du positronium. Idem la conjugaison de charge.

On distingue

1. Les groupes de symétrie discrets ou continus

2. L’ensemble des opérations de symétrie d’un système constitue un groupe de symétrie.

3. Pour les groupes continus, on peut définir des générateurs infinitésimaux G au voisinage de l’identité:

εG)a/ε

( a

T

G T

+

=

→

→ + +

= 1 lim ) (

0 si 1 ....

. 1 )

(ε ε ε

2) Introduction à la théorie lagrangienne

[email protected] III-1

(17)

• Si on applique le principe fondamental à un système défini par des positions dans l’espace: L’équation dynamique doit être stable dans la symétrie:

' '

' F

dt m dv dt F

mdv = ⇒ =

• En théorie lagrangienne, le principe de moindre action est stable si le lagrangien est invariant dans la transformation de symétrie:

stable

dt L A q q L q q

L( ,^)⁼ ( ,'^')^⇒ ⁼

∫

min

• En théorie hamiltonienne, même conclusion:

) ,' ,' ( ) , ,

(q q t H q q t

H  = 

Exemples :

Translation d’espace (Ox)

0 2

2 U

m

H = p + oui

2 2 2

2

2 m x

m

H = p + ω non

Parité sur Ox

2 2 2

2

2 m x

m

H = p + ω oui

3) Applications aux lois de conservation Application des équations de Hamilton:

) , , (p q t H

Dans l’espace de phase (p,q) la vitesse du point représentatif est donnée pas les équations de Hamilton:









∂ +∂

=

∂

−∂

=

p q H

q p H V



1. Translation dans le temps: conservation de l’énergie ) ( )

( t a

q t p q

p +



→





donc H(p,q,t+a)=H(p,q,t)⇒ =0

∂

= ∂ t H dt dH

(18)

U-Caen 2000-2001 C. LONGUEMARE si H est invariant dans les translations du temps (origine du temps), H est une constante du mouvement.

2. Translation d’espace: conservation de la quantité de mouvement Invariance dans les translations spatiales dans l’espace de phase:





→ +





a q

p q

p

alors conservation de la quantité de mouvement dans la direction «a»

∑

_∂^∂ ⁼ ^⇒

i i

i i p

q

H 0 ()

)

( est constant

Exemples:

a. Deux points matériels à une dimension Ox ) 2 (

) 2 2 , 1

( ₁ ₂

2 2 2 1 2

1 U x x

m p m

H = p + + −

b. Un point dans le champ de pesanteur Oxy

1 1

2 1

) 2 1

( mgz

m H = p +

3. Rotations de centre O dans le C.M.:

conservation du moment cinétique





=

→ =





) ( '

q R q

p R p q

p si la rotation est infinitésimale





+ +

=

+ +

=

...

^ '

....

^ '

q q

q

p p

p

ω ω

l’invariance de H s’écrit:

) ,' ,' ( ) , ,

(p q t H p q t

H =

soit

0 )) (

^ )( )) (

(

^ )(

( =

∂ + ∂

∂

∑

∂_q^H_i ^q ⁱ _p^H_i ^p ⁱ

i

ω ω

Il en résulte la conservation de moment cinétique total dans la direction des rotations invariantes

∑

⁼

i

i p i q( )^ ()

ω. constante

Si on a l’invariance pour toutes les rotations, le vecteur moment cinétique est conservé.

(19)

U-Caen 2000-2001 C. LONGUEMARE Exemple:

a. Deux points matériels à trois dimensions dans Oxyz )

2 ( ) 2

2 , 1

( ₁ ₂

2 2 2 1 2

1 U r r

m p m

H p  

− +

+

=

b. Dans le centre de masse

) 2 (

) 2 , 1 (

2

r p U

H = +

µ 4) L’électromagnétisme:

a. La dynamique est fixée par la force de Lorentz : B qv qE F

ma= = + ^

La force n’est invariante dans les rotations que si E et B sont transformés, il en résulte que la conservation du moment cinétique doit inclure le moment cinétique du champ E.M (idem pour la translation).

Autres symétries:

F Symétrie E B A V q j=qv

- P - + - + + -

+ T + - - + + -

+ C - - - -

Remarque CPT est une symétrie pour l’interaction E.M. classique b. Approche lagrangienne:

Une particule chargée (q,m) dans un champ E.M. défini pas les potentiels (V,A):

) . 2 (

) ,

( mv² q Av V

v x

L   = + −

Le principe de moindre action (équations de Lagrange) impose la force de Lorentz:

x L v L dt

d  

∂

=∂

∂

∂ )

( ⇒ qE qv B dt

v

md    + ^

=

(20)

U-Caen 2000-2001 C. LONGUEMARE Les équations de Hamilton s’écrivent dans ce contexte

qA mv p= +

et

)2

21 (p qA qV m

H  

−

=

− Les invariances de L et H:

Rotations et translations: oui si A et V sont transformés C,P,T oui dans les mêmes conditions.

Extension relativiste du lagrangien ci-dessus:

) . ( 1

) ,

(x v mc² ² q Av V

L   =− − + − β

(21)

Les Symétries en physique des particules 1. Définitions

2. Postulats de la mécanique quantique

3. Application des symétries aux états stationnaires 4. Application aux transitions

5. Les symétries unitaires 1) Définitions

soit T une transformation s’appliquant à un système physique de particules:

Si la transformation T est une symétrie du système physique, l’évolution «commute» avec la transformation.

Soit U est l’opérateur d’évolution du système, en mécanique quantique l’équation de Schrödinger impose:

)) ( exp(

) ,

( t t

0

i H t t

0

U = −  −

Si T est une symétrie on a évidemment:

T t t U t t U T t

t ⇒ × = ×

∀,⁰ ( ,⁰) ( ,⁰)

A la limite asymptotique, T commute avec l’opérateur S de la transition : 0

] , [T S =

Il en résulte également que T commute avec l’hamiltonien:

0 ] , [T H =

[email protected] IV-1

Système Système

transformé T

temps

Système Système

transformé T ? ?

(22)

U-Caen 2000-2001 C. LONGUEMARE Les opérations de symétrie se combinent et forment des groupes de symétrie continus (de Lie) ou discrets (dénombrables ou finis) comme en physique classique.

2) Rappel succint des postulats de la mécanique quantique

• L’état d’un système quantique est représenté par un vecteur d’un espace de Hilbert:

Η

∈

• Il existe un produit scalaire sur CΨ

L’amplitude de Φ dans Ψ = Φ Ψ ∈ C

La probabilité est le module carré de l’amplitude.

• Dans des conditions expérimentales idéales, la mesure d’une observable O (opérateur hermitien) est une valeur propre réelle de O

La mesure de O est

{

O1O2^...Oi^...

}

valeurs propres de O La moyenne statistique des mesures de O est:

Ψ Ψ

= O

O

• L’évolution du système est réglée par l’hamiltonien H : ) 0 ( . ) exp(

)

( = − × Ψ

Ψ i H t

t 

• Après une mesure, l’état émergent est la projection sur un état propre des observables mesurées:

Après la mesure Ψ→ O O Ψ

• Un ensemble complet d’observables qui commutent est tel que le sous espace des vecteurs propres de l’ensemble est de dimension 1.

,...

O1 de dimension 1

• Les vecteurs propres d’un ensemble complet constituent une base de l’espace de Hilbert.

3) Application aux états stationnaires 1. Propriété fondamentale:

Si T est une symétrie et si ψ est propre de H (état stationnaire) alors T . Ψ est propre de H et est stationnaire:

) ( ) (

⇒ Ψ = Ψ

Ψ

=

Ψ E H T E T

H

Si ψ et T ψ sont linéairement indépendants, ils engendrent un sous-espace appelé multiplet d’énergie E.

La dimension du sous espace permet de quantifier le nombre de paramètres indépendants définissant les états physiques d’énergie E (degrés de liberté quantiques).

Si ψ et T ψ sont linéairement dépendants Ψ est propre de T.

(23)

U-Caen 2000-2001 C. LONGUEMARE Les membres d’un multiplet ont en principe mêmes masses et mêmes nombres quantiques , en particulier le spin parité.

• Exemple1 : le puits de potentiel pair..

Puits de potentiel pair:

) ( ) ( x V x V − =

L’hamiltonien est invariant dans le parité et l’état fondamental est propre de P avec parité (+).

• Exemple2 : la translation.

L’opérateur de translation des fonctions d’onde est:

) . exp(

)

( i a p

a

T  



 ≈ − avec = ∂ p i

Soit une particule libre de masse m, L’hamiltonien est invariant par translation:

de propre est ) (

alors de

propre

H ⇒∀a T a Ψ H

Ψ  

remarque: voir les fonctions de Bloch de la physique des solides.

A deux corps:

) 2 (

) 2 2 , 1 (

2 2 2 1 2

1 V r

m p m

H p 

+ +

= est invariant par translation

• Exemple3 : les rotations dans le CM.

) 2 (

) 2 , 1 (

2

r p V

H = +

µ est invariant par rotation action d’une rotation infinitésimale sur le rayon vecteur d’un point M

































−

= +

=

→

z y x x

x f x

x y

x z

y z

1 1

1 )

^ 1 ( ) (

ω ω

ω ω ω 

 



L’opérateur de rotation des fonctions d’onde est:

) . exp(

)

( i L

R  



 ω

ω ≈ − avec =  ∂

^ i x L

Remarque: démontrer que les composantes du moment cinétique ne dépendent que des angles Quand H commute avec les composantes du moment cinétique les sous espaces propres de H sont des multiplets du moment cinétique avec les valeurs propres:

1 2 : dimension

) 1

2 (

2

+ +

=

j j j J 

avec les valeurs propres de J_z =m et m ≤ j

(24)

U-Caen 2000-2001 C. LONGUEMARE Exemples:

Les états des atomes: notation spectroscopique

P J

S L )

(² ⁺¹ Les états des particules: le pion

≡0−

J état un soit )

(¹S₀ ^- ^P

2. Les symétries internes:

1. La rotation d’une particule dans son référentiel propre (référentiel du CM) introduit le spin de la particule. Si la particule est sans spin son état est invariant, si la particule est un fermion de spin ½ l’état interne de la particule appartient à un espace à deux dimensions.

Action des rotations sur l’état de spin de l’électron (expérience de Stern-Gerlach)

Le groupe des rotations est SU(2) voir paragraphe 5 2. L’isospin des interactions fortes (nucléaires)

Le neutron et le proton sont deux états de la même particule (nucléon) pour les interactions fortes par contre la charge électrique distingue le proton du neutron , l’interaction E.M. lève la dégénérescence.

• Les membres d’un multiplet d’isospin ont en principe même masses et mêmes nombres quantiques , en particulier le spin parité.

• Application aux particules :

Dans un multiplet: I =

2

1 états d'

Nombre −

e- e- E = mc2

2 états

n (down) p (up) E ~ Mc2

2 états

(25)

Le lien avec les saveurs de l’interaction forte est défini par la relation de Gellman-Nishijima

3 2 I Y

Q= + avec Y l’hypercharge Y =B+Saveur Application: déterminer le multiplet et l’isospin I des particules suivantes:

Λ Σ

∆, , , ,

, π η

N

• Application aux noyaux : L’isospin est additif donc on a:

I N I

I_z = Z − et _z ≤ 2

Les propriétés des noyaux (légers entre autres) permettent de faire l’ hypothèse que pour les états fondamentaux I est minimum donc:

L’isospin d’un noyau (stable pour les interactions fortes) I = 2 Z −N

Application: déterminer l’isospin de l’hélium 3 et du Bérylium 8.

3. La conjugaison de charge:

Particules et antiparticules ont mêmes masses si C (ou CP) est une symétrie:

mc2

Ha a a H

a = =

4) Application aux transitions:

Les transitions sont :

• Soit les réactions à deux corps: projectile + cible = transition

• Soit les désintégrations: un système instable = transition

L’opérateur de transition S permet, en principe, de calculer la probabilité par unité de temps des transitions observées dans les conditions expérimentales

Rappelons:Une transition est une transformation d’un état initial i vers un état final f sous l’effet d’une interaction:

f i→

La probabilité de la transition peut en principe se calculer par la mécanique quantique

>

=<

→_f = A_f_i A_f_i f S i

i _, ² avec _,

ω

∑

^→

 =



×

= Γ Ω

f f

flux i

t ω

/ σ

(26)

1. les règles de sélection:

Si A est une observable, «constante du mouvement» associée à une symétrie de l’interaction dans le C.M. du système (Parité, moment cinétique total, isospin …) alors par hypothèse nous avons:

[ ]

0 0 H A,

hermitien opérateur

∂ =

∂

=

= ⁺

t A

A A

En conséquence:

=0 dt

A d La moyenne de l’observable A est conservée

• Règle de sélection:

si in = Ψ(t =−∞) est propre de A avec la valeur propre a alors out = Ψ(t =+∞) est propre avec la même valeur a.

)

Ψ(t évolue dans le sous espace propre de A avec la valeur propre a.

Application: l’invariance par rotation et la conservation du moment cinétique interdisent la transition

+ −

→ p e n

elles autorisent la transition avec un fermion supplémentaire (le neutrino):

ν + +

→ p e⁻ n

ou bien:

γ π⁰ + / + →2

→ e⁺ e⁻ p p

• On appelle règle de supersélection une règle de sélection qui s’applique quand tous les états physiques sont propres de la grandeur conservée (exemple la charge électrique)

2. Conservation des amplitudes dans la symétrie:

Soit T une transformation de symétrie agissant sur les états d’un système qui transite entre un état initial et un état final:

L’invariance implique l'égalité des amplitudes (si T est unitaire):

Si T est symétrie: ST =TS ⇒S =T⁺ST ⇒ f Si = Tf STi Applications:

• Egalité des sections efficaces(symétrie C , la conjugaison de charge) [email protected] IV-6

(27)

) (

) ( ) (

+ +

−

−+ = +

+

= +

e e e

e

n p n

p

σ σ

• Egalité des durées de vie(symétrie CP)

) (

)

(n→ p+e⁻ +ν_R =τ n → p+e⁺ +v_L τ

5) Les symétries unitaires:

a. Les Charges et les saveurs :

Soit une catégorie de particules «chargées» {a} (charges q_a) et «neutres» {b} (charges 0) Un groupe continu de transformations peut être défini par:

) exp(

)

(x iQx

U

T = = −

C’est évidemment un groupe unitaire.

Action sur {a}

a x iq a

x

U( ) =exp(− _a ) Action sur {b}

b b x U( ) =

Si T est une symétrie pour le système en évolution, T commute avec S, l’opérateur de transition et donc Q commute avec H.

[

^Q^,^H

]

⁼⁰

Q est alors une constante du mouvement

Les Charges conservées par les interactions (toutes les interactions) sont définies dans la table ci-dessous

Q Charge électrique

B Charge baryonique

L Charge leptonique

) exp(

)

(x iQx

U

T = = −

Le groupe unitaire ci-dessus défini est donc une symétrie fondamentale de la nature quand Q étant l’opérateur de charge Electrique Baryonique et Leptonique. Dans le cadre du modèle standard des particules, cette propriété résulte théoriquement de la prescription d’invariance de jauge généralisée pour ces interactions que l’on connaît classiquement en l’électromagné-tisme.

(28)

Charges conservées par les interactions fortes uniquement sont :

Isospin -1/2 Down

Isospin + 1/2 up

s étrangeté

c charme

b Beauté

t Thrust ou top

Ces dernières charges ne sont pas conservées par toutes les interactions puisqu’elles n’existent pas à l’«état naturel». Elles ne sont pas conservées par les interactions électrofaibles qui assurent leur disparition au cours du temps au profit des états dans saveur.

Exemples:

1

0 →Λ+ ∆ =−

Σ

+

=

∆ +

→ Λ

+

=

∆ +

+

→

−

I s p

I e

p

n _z

γ π

ν

Les symétries internes commutent avec les opérateurs d’espace et donc les multiplets définis par les symétries internes ont même spin parité et masse. C’est le cas en particulier pour les multiplets de l’isospin.

b. La symétrie SU(2): spin S et isospin I:

L’espace de Hilbert à 2D où s’exerce SU(2) peut être celui des «spineurs» de Pauli:



 



=

Ψ y

x avec Φ Ψ =x^*₂x₁+ y^*₂y₁+z^*₂z₁

• La transformation linéaire la plus générale s’écrit:



 



= b c

d T a

Elle dépend de 4*2=8 paramètres réels, pour qu’elle soit:

• Unitaire: T⁺T =1 soit 3 équations

• Spéciale: T =1 soit 2 équations (déterminant = 1)

(29)

U-Caen 2000-2001 C. LONGUEMARE Ces matrices constituent un groupe continu à 3 paramètres réels.

Les paramètres peuvent s’écrire comme un vecteur de rotation:

n

= ω ω ω =θ × ω ( ₁, ₂, ₃)

Le groupe est isomorphe aux rotations de l’espace physiqueà 3 dimensions (R3); T peut s’écrire:

) . exp(

) 2 / sin(

) . ( ) 2 / cos(

)

( i S

n i

T  





 θ σ θ ω

ω = − = −

σ

sont les matrices de Pauli et S est le spin (ou ~isospin) 1/2 de la particule.

σ

 

= 2

S ou  σ 2

= 1 I

• Propriétés algébriques des matrices de Pauli:







 

 





 −



 



 −



 



= 

1 0

0 , 1 0 , 0 0 1

1 0

i σ i

+ identité 

 



 1 0

0 1

Elles sont hermitiennes et de trace nulle. Avec l’identité elles forment une base des matrices hermitiennes (2,2).

3 et

1 ²

2 = σ =

σ 

i

Les vecteurs de base de la représentation de SU(2) sont propres de σ²

avec la valeur propre 3 et σ_zavec les valeurs propres +1 et –1 ce qui correspond à:

Pour le spin

et 2 4 3

2 2 

 = S_z =±

S ou pour l’isospin

2 et 1

4

2 = 3 I_z =±

I

• Propriétés de commutation.

On vérifiera:

[

i^, j

]

ijk k^ou

[ ]

i^, j ijk k k

ijk ij j i

I i I I S

i S S

i

ε ε

σ ε δ σ σ

=

= +

=



• On peut «combiner» les spins ½ pour former des états de spin plus élevé:

2 / 1 2 / 3 1 2 / 1

0 1 2 / 1 2 / 1

⊕

=

⊗

⊕

=

⊗

(30)

U-Caen 2000-2001 C. LONGUEMARE Les coefficients de la décomposition s’appellent les coefficients de Clebsch-Gordan

• Cas de U(n): les transformations unitaires dans un espace de dimension n Spéciale Unitaire:

1 det

1

=

+ = T T

T

• Equations sur les paramètres R

k j i ijk ijk

ik kj ij

a a a a a

3 2 1 ....

. *

∑

= ε

δ

soit 2

2 ) 1 (n+ +

n équations dans R

nombre de degrés de liberté (paramètres réels) =

2 ) 1 ) (

1 )(

1 ( 2 2 2

) 1

2 ² − ( + − = + − −n n+

n n n

n n

en effet

10 3

3 2

=

⇒

=

⇒

=

nb n

(31)

Les Interactions fortes , le modèle des quarks QDC

1. Les interactions fortes nucléaires 2. Spectroscopie des mésons

3. Spectroscopie de Baryons

4. Propriétés de QCD à haute énergie

Rappel: Nécessité de l’interaction forte pour expliquer la taille des noyaux et la liaison nucléaire: l’atome occupe un volume de 1 Angström cube et le noyau, chargé positivement, occupe un volume d’un fermi cube (expérience de Rutherford).

1. Introduction et propriétés des interactions fortes nucléaires :

• L’interaction forte nucléaire s’oppose à la répulsion coulombienne des protons qui composent le noyau. Les neutrons ne peuvent être liés aux noyaux que par une nouvelle interaction.

• L’interaction forte nucléaire est qualitativement indépendante de charge: idem pour un neutron et un proton.

• Elle s’exerce à courte portée (1fm).

Saturation des forces nucléaires: L’énergie de liaison d’un noyau est proportionnelle à A.

MeV .

×8

−

= A E_l Le rayon des noyaux varie comme A ^1/3.

• Les interactions nucléaires (réactions, désintégrations ..) conservent le nombre de nucléons (c’est le nombre Baryonique)

1. Modèle de Yukawa (1937):

Le physicien japonais Yukawa propose un modèle des interactions nucléaires basé sur

l’échange, entre une paire de nucléons, d’une particule nouvelle (scalaire ou vectorielle) douée d’interaction forte et de masse 150 MeV/c2. Une telle particule est un méson; elle s’apparente, pour l’interaction forte, au photon de l’interaction électromagnétique

• La particule est découverte en 1947dans les rayons cosmiques: il s’agit d’une particule appelée pion existant sous trois charges +1,0,-1 (en unité e) de masse 135 ou 140 MeV/c2.

• Difficultés du modèle de Yukawa: La spectroscopie des hadrons s’enrichit à haute énergie dans les années 1940-1960; il existe un grand nombre d’autres mésons et baryons. Il devient impossible d’accorder au pion un rôle privilégié dans les interaction fortes.

[email protected] V-1

(32)

U-Caen 2000-2001 C. LONGUEMARE 2. Le modèle des quarks:

• Les quarks sont les constituants fondamentaux des hadrons: mésons et baryons.

• Les quarks portent les charges ainsi que les symétries internes des hadrons:

Charge électrique Charge baryonique Isospin.

• Il existe des antiquarks pour justifier les antihadrons.

• Les quarks (antiquarks) satisfont à la règle de Nakano-Gellmann-Nishijima qui relie la charge électrique à l’isospin:

2 2i₃ b s q= + +

Dans cette hypothèses, tous les hadrons composés satisfont également à la même règle par l’addition des charges.

• Les états de quarks se construisent en appliquant les principes de la mécanique quantique: couplage des nombres quantiques et construction d’états stationnaires comme multiplets des symétries (ex isospin , rotation de l’espace etc …).

• Les quarks sont des fermions de spin ½ par nécessité.

Les quarks libres ne sont pas observés? la théorie doit fournir un explication.

• Le modèle le plus simple:

baryon qqq

antibaryon qqq

méson qq

• Conséquences:

Le nombre baryonique des quarks (antiquarks) vaut 1/3 (-1/3).

Les charges des hadrons s’obtiennent par l’addition des charges des constituants. Les quarks portent des charges électriques

∑

= q_i Q

• Les observations expérimentales (nombreuses) conduisent à 3 familles de deux quarks. Celles-ci apparaissent à haute énergie car la masse va croissant

1 2 3

q d u s c b t

Qélec -1/3 2/3 -1/3 2/3 -1/3 2/3

Masse (MeV/c2) 300 500 1500 5000 175000

2i₃ (isospin) -1 1 0 0 0 0

étrangeté 0 0 -1 0 0 0

charme 0 0 0 1 0 0

beauté 0 0 0 0 -1 0

Sommet (top) 0 0 0 0 0 1

[email protected] V-2