D 12 QUELQUES NOMBRES REMARQUABLES

D 12 QUELQUES NOMBRES REMARQUABLES

1. Nombre abondant

Nombre qui est strictement inférieur à la somme de ses diviseurs, excepté lui- même.

Exemples : 12 < 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16, donc 12 est un nombre abondant.

18 < 1 + 2 + 3 + 6 + 9 = 21, donc 18 est un nombre abondant.

20 < 1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 22, donc 22 est un nombre abondant.

2. Nombres amicaux

Un couple de nombres amicaux est un couple d’entiers naturels dont la somme des diviseurs, excepté lui-même, de l’un est égale à l’autre.

Exemple : la somme des diviseurs de 220 est :

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 la somme des diviseurs de 284 est :

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

Donc 220 et 284 sont des nombres amicaux

Les premières paires de nombres amicaux sont : 220 et 284

1 184 et 1 210 2 620 et 2 924 5 020 et 5 564 6 232 et 6 368

3. Nombre automorphe

Nombre n dont le carré n² se termine par n.

Exemple : 5 ( 5² = 25 ), 25 ( 25² = 625 ) sont des nombres automorphes ; 36 ( 36² = 1 296 ) n’est pas un nombre automorphe ( 96 ≠ 36 )

4. Nombre carré gigogne

Carré tel qu’il existe un nombre qui inséré en son milieu puis inséré à l’infini au milieu du nombre obtenu donne toujours un carré.

Exemples : 16 = 4² 1 156 = 34² 111 556 = 334² 11 115 556 = 3 334²

49 = 7² 4 489 = 67²

2

44 448 889 = 6 667²

5. Nombre déficient

Nombre qui est strictement supérieur à la somme de ses diviseurs, excepté lui- même.

Exemples : 4 > 1 + 2 = 3, donc 4 est un nombre déficient.

8 > 1 + 2 + 4 = 7, donc 8 est un nombre déficient.

9 > 1 + 3 = 4, donc 9 est un nombre déficient.

6. Nombre « un peu excessif »

Les Grecs tentèrent de trouver des nombres dont la somme des diviseurs était supérieure d’une unité à ces nombres.

Ils n’en trouvèrent pas.

7. Nombre fraternel

Nombre dont l’écriture est la juxtaposition de deux nombres consécutifs ayant le même nombre de chiffres.

Exemples : 1 213, 256 257 et 12 341 235 sont des nombres fraternels ; 98 099 ne l’est pas à cause du zéro inséré entre 98 et 99.

8. Nombre irrationnel

Nombre qui ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction de deux nombres entiers.

Dès l’Antiquité on s’est aperçu qu’il existait des nombres qui ne pouvaient pas être écrits sous forme fractionnaire.

Exemples :

π

9. Nombre jumeau

Nombre dont l’écriture est la juxtaposition de deux nombres identiques.

Exemples : 247 247, 12 251 225 et 49 567 814 956 781 sont des nombres jumeaux ; 9 760 976 ne l’est pas à cause du zéro.

10.Nombre narcissique

Nombre dont la somme des puissances nièmes de ses chiffres lui est égale.

Exemples : 1³ + 5³ + 3³ = 1 + 125 + 27 = 153, donc 153 est un nombre narcissique.

4³ + 0³ + 7³ = 64 + 0 + 343 = 407, donc 407 est un nombre narcissique.

1⁴ + 6⁴ + 3⁴ + 4⁴ = 1 + 1 296 + 81 + 256 = 1 634, donc 1634 est un nombre narcissique.

5⁵ + 4⁵ + 7⁵ + 4⁵ + 8⁵ = 3 125 + 1 024 + 16 807 + 1 024 + 32 768

= 54 748, donc 54 748 est un nombre narcissique.

11.Nombre d’Or

Nombre réel φ (on le note φ en hommage au sculpteur grec Phidias qui participa à la décoration du Parthénon sur l’Acropole d’Athènes) dont l’écriture décimale est 1,618 033 988 749 894 848 204 586 834 365 638 117 720 309 179 …

C’est l’une des deux racines de l’équation x² – x – 1 = 0. Sa valeur exacte est 1 + 5

2

12.Nombre palindrome

Nombre entier qui se lit indifféremment dans les deux sens.

Exemples : 22, 101, 21 012 sont des nombres palindromes ;

13.Nombre parfait

Entier naturel égal à la somme de ses diviseurs, excepté lui-même.

Exemples : 1 + 2 + 3 = 6, donc 6 est un nombre parfait.

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28, donc 28 est un nombre parfait.

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496, donc 496 est un nombre parfait.

Pythagore observa que les nombres parfaits sont toujours la somme d’une série arithmétique :

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + … + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30 + 31 = 496

Euclide découvrit qu’ils sont toujours les multiples de 2 nombres dont l’un est une puissance de 2 et l’autre la puissance suivante de 2 moins 1 :

2¹ ( 2² – 1 ) = 2 ( 4 – 1 ) = 2 × 3 = 6 2² ( 2³ – 1 ) = 4 ( 8 – 1 ) = 4 × 7 = 28 2⁴ ( 2⁵ – 1 ) = 16 ( 32 – 1 ) = 16 × 31 = 496

Nous connaissons 40 nombres parfaits : 6, 28, 496 et 8 128 furent découverts par les Grecs, le cinquième, 33 550 336 fut découvert 1 500 ans plus tard, le sixième est 8 589 869 056, le septième est 137 438 691 328, le huitième, découvert par Leonhard Euler, est 2 305 843 008 139 952 128.

Actuellement le plus grand nombre parfait connu possède 12 640 858 chiffres, il est égal à 2^{20 996 010} ( 2^{20 996 011} – 1 )

14.Nombre

π

Le nombre π est une constante mathématique utilisée dans de nombreux domaines comme la physique et les mathématiques. C’est la première lettre du mot grec qui signifie « périmètre » et est le rapport entre la circonférence d’un cercle et

son diamètre, soit π = C

d. Son écriture décimale commence par 3,141 592 653 5……

et il a un nombre infini de décimales, c’est un nombre irrationnel. La plupart du temps on utilisera une valeur approchée (3,14).

15.Nombre premier

Entier naturel supérieur ou égal à 2 qui n’est divisible que par 1 et par lui- même.

Exemples : 2, 3, 5, 7, 11 sont des nombres premiers.

Les nombres premiers inférieurs à 100 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.

Quelques grands nombres premiers :

- un nombre de Fermat, en 1640 : 616 318 177

- un nombre d’Euler, en 1 732 : 2³¹ – 1 = 2 147 483 647

- un record de 1 999 : 2^{6 972 593}, ce nombre s’écrit avec 2 098 960 chiffres.

Dès que les nombres deviennent plus grands les nombres premiers se font plus rares : entre 1 et 10 il y a 40 % de nombres premiers, entre 1 et 100 il y en a 25 %, entre 1 et 1 000 il y en a 14,4 % et entre 1 et 1 000 000 000 il n’y en a que 4,8 %.

La façon la plus simple de trouver des nombres premiers est un algorithme appelé crible d’Eratosthène.

Pour obtenir les nombres premiers inférieurs à un nombre n

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

- on commence par écrire tous les entiers de 2 à n,

- puis on barre les multiples de 2 (sauf 2),

- on prend le plus petit nombre non barré, 3, et on barre les multiples de 3 (sauf 3),

- on répète le même processus,

- on s’arrête quand on arrive la racine carrée de n.

111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

16.Nombres premiers entre eux

Deux nombres sont premiers entre eux s’ils n’ont pas d’autre diviseur commun que 1.

Exemple : 7 et 13 n’ont que 1 comme diviseur commun, donc 7 et 13 sont premiers entre eux.

2 et 6 ont 1 et 2 comme diviseurs communs, donc 2 et 6 ne sont pas premiers entre eux.

61 et 78 n’ont que 1 comme diviseur commun, donc 61 et 78 sont premiers entre eux.

17.Nombres premiers jumeaux

Couple de nombres premiers dont la différence est 2.

Exemple : 11 et 13 sont deux nombres premiers et 13 – 11 = 2, donc 11 et 13 sont deux nombres premiers jumeaux.

17 et 19 sont deux nombres premiers et 19 – 17 = 2, donc 17 et 19 sont deux nombres premiers jumeaux.

59 et 61 sont deux nombres premiers et 61 – 59 = 2, donc 59 et 61 sont deux nombres premiers jumeaux.

18.Nombres rationnels

Nombre qui peut s’écrire sous la forme d’un rapport de deux nombres entiers.

Exemples : 5, 7

3 , 15,26 , 189 25 , – 1

6 sont des nombres rationnels.

19.Nombres réels

L’ensemble des nombres réels est constitué des nombres rationnels donc des entiers naturels, des entiers relatifs, des décimaux, des fractions, et des nombres irrationnels.

Ce sont les nombres que nous rencontrons quotidiennement.

20.Somme de n premiers entiers S = n ( n + 1 )

2

Exemple : avec n = 6, S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 6 × 7 2 = 21

21.Somme de n premiers carrés S = n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )

6

Exemple : avec n = 5, S = 1² + 2² + 3² + 4² + 5² = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = ( 5 × 6 × 11 )

6 = 55

22.Somme de n premiers cubes

S = 



 n ( n + 1 )

2

2

Exemple : avec n = 4, S = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 

 5 × 6 ²

= 225

23.Somme de nombres impairs consécutifs égale à un carré 1 + 3 = 4 = 2²

1 + 3 + 5 = 9 = 3² 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4² 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5² 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 6² 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49 = 7² 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 8² 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81 = 9²

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 100 = 10² 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 = 121 = 11² 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 = 144 = 12² 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 = 169 = 13² 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 = 196 = 14²