Q1 Par homothétie de centre A, on a : MP/MP' = XC/XB. L'égalité proposée revient donc (en permuatant les rôles des côtés) à l'identité de Ceva (non algébrique) relative à M.
Q2 Considérons d'abord le cas où la droite "quelconque" est la droite AM. Par homothétie de centre A on a : YP = ZP' * AC/AB. Par homothétie de centre B : ZR = CR' * AB/BC. Par homothétie de centre C : YQ' = BQ * AC/BC.
Donc XQ * YP * ZR = XQ * ( ZP' * AC/AB) * ( CR' * AB/BC) XQ * YP * ZR = XQ * CR' * ZP' * AC/BC
XQ * YP * ZR = XQ * CR' * ZP' * YQ'/BQ .
Mais par l'homothétie de centre X, on : XQ = XR' * BQ/CR' … Cette égalité est vérifiée pour une droite "quelconque" passant par M. En effet, si on appelle t l'abscisse de X sur la droite BC, alors les abscisses de Y et Z sur les droites AC et AB sont des fonctions homographiques de t. L'égalité cherchée s'exprime donc sous la forme d'une équation de degré au plus 5 en la variable t. Or celle-ci est vérifiée par les six droites considérées sur la figure.
Q3 Pour voir que les aires des deux triangles sont égales, il suffit de remarquer que le problème est de nature essentiellement affine et que l'on peut donc supposer pour l'occasion que ABC est équilatéral… Or P'Q'R' est alors l'image de PQR dans une rotation de centre M et d'angle 60°.
