session 2005 - groupement B

(1)

BTS-GROUPEMENT A- 2005

Mathématiques - brevet de technicien supérieur session 2005 - groupement A

Saisi par Michel Gosse http ://www.ac-poitiers.fr/

Exercice 1 - Spécialités CIRA, Électronique, Électrotech- nique, Génie optique et TPIL (sur 9 points)

1. Soit la fonction numériquegdéfinie sur[0;π]parg(t) = (1 + cos²t) sin²t.

a. Montrer queg ⁰(t) = 4 sintcos³t.

b. En déduire les variations deg sur[0;π].

2. Soit la fonction numériquef définie surR, paire, périodique de période1 telle que :







f(t) =1

2−τ si 06t6τ f(t) =−τ si τ 6t61

2

oùτ est un nombre réel tel que0< τ < 1 2

a. Uniquement dans cette question, on prendraτ = 1 6.

Représenter la fonctionf sur l’intervalle [−1; 1] dans un repère or- thonormal.

b. On admet que la fonctionf satisfait aux conditions de Dirichlet.

SoitS le développement en série de Fourier associé à la fonctionf. Montrer que :

S(t) =

+∞

X

n=1

1

nπ sin(2nπτ) cos(2nπt)

3. On décide de ne conserver que les harmoniques de rang inférieur ou égal à2.

Soit la fonction numériquehdéfinie sur Rpar : h(t) = 1

π sin(2πτ) cos(2πt) + 1

2πsin(4πτ) cos(4πt)

On désigne parE²_hle carré de la valeur efficace dehsur une période.

a. À l’aide de la formule de Parseval, déterminerE_h². b. Montrer queE²_h= 1

2π² g(2πτ).

(2)

4. Déterminer la valeur deτ rendantE_h²maximal.

Exercice 1 - Spécialité IRIST (sur 9 points)

Le but de cet exercice est d’étudier une approximation du cercle de centre 0 et de rayon 1par une courbe B-spline uniforme de degré 2, notée Γ, dont les points de contrôleP0,P1,P2,P3et P4 ont pour affixes respectives :

p0=16

9e⁻ⁱ^2π³ , p1=16

9 , p2=16

9eⁱ^2π³ , p3=p0 et p4=p1

oùiest le nombre complexe de module1et d’argument π 2.

Les polynômes de RiesenfeldRk de degré2, pourkprenant les valeurs0,1ou 2, sont définis par :

Rk(t) = 3

2−k

X

j=0

(−1)^j (t+ 2−k−j)² j! (3−j)!

La courbe B-spline Γ est la réunion de trois arcs de courbe Cj,j prenant les valeurs 1,2ou3.

L’arc Cj est l’ensemble des points Mj(t) définis, pour tout t dans l’intervalle [0,1]par l’égalité vectorielle :

−−−−−→

OMj(t) =R0(t)−−−−→OPj−1+R1(t)−−→OPj+R2(t)−−−−→OPj+1

Les arcsC2et C3 sont représentés sur la figure du document réponse.

1. Questions préliminaires

a. Vérifier que les coordonnées du pointP0 sont −8 9,−8√

3 9

! . b. Placer les points de contrôle P0, P1, P2, P3 et P4 sur la figure du

document réponse.

c. Développer et simplifier l’expression du polynômeR0.

Dans toute la suite de cet exercice, on admettra que, pour tout t dans l’intervalle[0,1]:

R1(t) =−t²+t+1

2 et R2(t) = 1 2t² 2. Étude de l’arc C1

On admet que les coordonnées(x1(t), y1(t))du point M1(t) de l’arc C1

sont, pour toutt dans l’intervalle[0,1]:







x1(t) = 4

9(−6t²+ 6t+ 1) y1(t) =8√

3 9

t−1

2

(3)

CORRIGE BTS-GROUPEMENT D- 2005

b. Dans [0 ; 1 440]

q⁰(t)≥0

−0,002 + ³₄e⁻⁴^t ≥0 e⁻⁴^t ≥ ₃₇₅¹

−₄^t ≥ln(₃₇₅¹ )

−₄^t ≥ −ln(375) t≤4 ln(375)

c. On déduit du signe deq⁰queqest croissante sur l’intervalle [0 ; 4 ln(375)]et décroissante sur l’intervalle[4 ln(375) ; 1 440].

La fonction q⁰ s’annule en changeant de signe négative puis positive en t0 = 4 ln(375). La fonction q admet un maximum en t =t0 ≈23,7

2. Au bout de 24 heures soit en minutes t= 1440, la quantité de principe actif restant dans le sang est q(1440)≈0,12

3. La valeur moyenne de q sur l’intervalle [0 ; 1 440]est : Vm = ₁₄₄₀¹ R1440

0 q(t)dt Vm = ₁₄₄₀¹ R1440

0 3−0,002t−3e⁻⁴^tdt V_m = ₁₄₄₀¹ h

3t−0,001t²+ 12e⁻⁴^ti1440 0

V_m = ₁₄₄₀¹ (2246,4 + 12e⁻³⁶⁰−12) V_m = ₁₄₄₀¹ (2234,4 + 12e⁻³⁶⁰)

a. Étudier les variations des fonctions x1 et y1 définies ci-dessus et dresser un tableau des variations conjointes de ces deux fonctions.

On donnera les coordonnées exactes des points M1(0), M1

1 2

et M1(1)de l’arcC1.

b. Déterminer des vecteurs directeurs des tangentes à l’arc C1 aux pointsM1(0)etM1(1).

c. Vérifier que ces vecteurs sont orthogonaux respectivement aux vecteurs−−−−−→

OM1(0)et −−−−−→

OM1(1).

d. Porter sur la figure du document réponse les tangentes à l’arc C1

aux points M1(0) et M1(1). Tracer l’arcC1 et les cercles de centre Opassant par les pointsM1(0)etM1

1 2

. 3. Étude de l’arc C2

a. On note(x2(t), y2(t))les coordonnées du pointM2(t)de l’arcC2. Vérifier quex2(t) =4

3t²−8 3t+4

9.

On admettra dans toute la suite de l’exercice que : y2(t) =−4√

3

3 t²+8√ 3 9 t+4√

3 9 b. On considère la rotationrde centre Oet d’angle 2π

3 .

SoitMun point quelconque du plan etM⁰son image par la rotation r.

Exprimer l’affixez ⁰ du pointM⁰ en fonction de l’affixe z du point M.

c. On note(x, y)les coordonnées du pointM et(x⁰, y⁰)celles du point M ⁰=r(M).

Vérifier que :







x⁰ =−1 2x−

√3 2 y y⁰=

√3 2 x−1

2y

d. En déduire que, pour touttdans l’intervalle [0,1], l’image du point M1(t)de l’arcC1par la rotationrest le pointM2(t)de l’arc C2. On admet que l’arc C2 est l’image de l’arc C1 par la rotation r et que l’arcC3, est l’image de l’arcC2par la rotationr.

4. Calcul de l’aireAde la surface intérieure à la courbe B-spline Γ

(4)

BTS-GROUPEMENT A- 2005 a. On admet que l’aire de la surface délimitée par l’arcC1 et la droite

d’équationx=4

9 est donnée par l’intégrale : I =

Z 1

0 −y1(t)x⁰₁(t) dt Calculer l’intégraleI.

b. En déduire la valeur arrondie, au centième, de l’aire de la surface intérieure à la courbeΓ.

c. Comparer le résultat avec l’aire d’un disque de rayon1.

Exercice 2 - Toutes spécialités (sur 11 points)

L’exercice est composé de deux parties qui peuvent se traiter de façon indépen- dante.

Partie A

Un embrayage vient appliquer, à l’instant t= 0, un couple résistant constant sur un moteur dont la vitesse à vide est de 150rad/s.

On noteω(t), la vitesse de rotation du moteur à l’instantt.

La fonction ωest solution de l’équation différentielle : 1

200y⁰(t) +y(t) = 146 (1)

oùy désigne une fonction dérivable de la variable réelle positivet.

1. a. Déterminer la solution générale de l’équation différentielle(1).

On cherchera une solution particulière constante.

b. Sachant queω(0) = 150, montrer queω(t) = 146 + 4e⁻^200tpour tout t∈[0,+∞[.

2. a. On noteω_∞= lim

t→+∞ω(t). Déterminer la perte de vitesseω(0)−ω_∞. due au couple résistant.

b. On considère que la vitesse du moteur est stabilisée lorsque l’écart relatif ω(t)−ω_∞

ω_∞ est inférieur à1%.

Calculer le temps mis par le moteur pour stabiliser sa vitesse.

On donnera la valeur exacte et la valeur arrondie au millième.

Partie B

La vitesse du moteur étant stabilisée, on s’intéresse dans cette deuxième partie à l’effet d’une perturbation γ du couple résistant sur la vitesse de rotation du

Exercice 2A.Résolution d’une équation différentielle

1. Sur l’intervalle [0 ; 1 440], on définit f : t 7→ ¹₄ et F : t 7→ ^t₄ une primitive de f .

Les solutions de l’équation (E0) sont les fonctions définies sur [0 ; 1 440]par y₀(t) = ke⁻⁴^t avec k un réel.

2. La fonction g est une solution particulière de (E) si, et seule- ment si, 4g⁰+g =−0,002t+ 2,992.

De plus pour tout t de [0 ; 1 440]g(t) =at+b etg⁰(t) =a d’où 4a+at+b=−0,002t+ 2,992

a=−0,002

4a+b = 2,992 ⇔

a =−0,002 b = 2

La fonction g définie sur [0 ; 1 440] par g(t) = 3−0,002t est une solution particulière de (E).

3. On sait que l’ensemble des solutions de(E)est constitué d’une solution particulière plus les solutions de l’équation homogène (E₀) donc q est définie sur [0 ; 1 440]par :

q(t) = 3−0,002t+ke⁻^t⁴ aveck ∈R

4. On sait que







q(0) = 0 3 +k = 0 k=−3

La solution q de (E) qui vérifie la condition initiale q(0) = 0 est définie sur [0 ; 1 440] par q(t) = 3−0,002t−3e⁻^t⁴.

B.Etude d’une fonction et calcul intégral

1. a. Pour tout t de [0 ; 1 440],q⁰(t) =−0,002 + ³₄e⁻⁴^t

(5)

• deux issues contraires, pas acceptables ou acceptables p = 3% etq= 97%;

• on répéte N fois la même expérience aléatoire ;

• les expériences sont indépendantes car le tirage est assimilé à un tirage avec remise.

2. a. P(X = 1) =C₁₀¹ ×(0,03)¹×(0,97)⁹≈0,23

b. P(X ≥1) = 1−P(X = 0) = 1−C₁₀⁰ ×(0,03)⁰×(0,97)¹0≈ 0,26

3. a. On a λ=E(Y) =N ×p= 50×0,03 = 1,5.

b. P(Z1 ≤ 2) = P(Z = 0) +P(Z = 1) +P(Z = 2) à l’aide des tables de la loi de Poisson on a :

P(Z1 ≤2) = 0,223 + 0,335 + 0,251 = 0,809 ≈0,81 4. La loi Y suit la loi binomiale B(N,3%) on a donc E(Y) =

1000×0,03 = 30 et σ(Y) = √

1000×0,03×0,97 ≈ 5,39, on choisit donc Z2 une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne 30 et d’écart type 5,39.

5. Z₂ suit la loi normale N(30; 5,39) donc T₂ = ^Z_5,39²⁻³⁰ suit la loi normale centrée réduite.

P(Z2 ≤25,5) =P(T2 ≤ −0,83) = 1−π(0,83) = 1−0,7967≈ 0,2

La probabilité que dans un tel prélèvement au plus 25 compri- més ne soient pas acceptables est de 0,2.

C. Intervalle de confiance

1. M suit la loi normale N(µ; 0,9)donc T3 = ¹⁰₉ (M −µ) suit la loi normale centrée réduite.

P(−t≤T₃ ≤t) = 2π(t)−1 = 95% d’où t= 1,96.

P(−1,96≤T₃ ≤1,96) = 95%

P(µ−1,96×0,9≤M ≤µ+ 1,96×0,9) = 95%

P(µ−1,764≤M ≤µ+ 1,764) = 95%

Un intervalle de confiance centré sur x = 602 avec le coefficient de confiance 95% est [602 − 1,764; 602 + 1,764] soit [600,24; 603,77]

moteur.

On notef(t)la différence, à l’instantt, entre la vitesse perturbée du moteur et sa vitesse stabilisée.

La fonctionf est solution de l’équation différentielle : 1

200f⁰(t) +f(t) =γ(t) avec f(0⁺) = 0 (2) On admet que la fonctionf possède une transformée de Laplace notéeF. La fonctionγest définie par :

γ(t) =K[U(t)−U(t−τ)]

oùτ etK sont des réels strictement positifs caractérisant la perturbation etU est la fonction échelon unité ( U(t) = 0sit <0et U(t) = 1sit>0).

1. a. Représenter la fonctionγpour τ = 0,005et K= 0,2.

b. Déterminer, en fonction deτ et K, la transformée de LaplaceΓ de la fonctionγ.

2. En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l’équa- tion différentielle(2), déterminerF(p).

3. a. Déterminer les réelsaetb tels que : 200

p(p+ 200) =a p+ b

p+ 200 pour tout réelpstrictement positif.

b. En déduire l’original f de la fonction F. On vérifiera notamment que :

f(t) =K(1−e⁻^200t) si t∈[0, τ[

f(t) =K(e^200τ−1)e⁻^200t si t∈[τ,+∞[

c. Donner le sens de variation de la fonctionfsur chacun des intervalles [0, τ[et [τ,+∞[.

Déterminer les limites de la fonctionf aux bornes de ces deux intervalles.

d. Représenter la fonctionf pourτ = 0,005etK= 0,2.

On pourra tracer les courbes représentatives des fonctions γ et f dans le même repère.

(6)

BTS-GROUPEMENT A- 2005 Document réponse à rendre avec la copie

1 C2 1

C3

O

Mathématiques - brevet de technicien supérieur session 2005 - groupement D

Auteur : Abdellatif KBIDA lycée A.Varoquaux TOMBLAINE

Exercice 1 A. Loi normale

1. La variable aléatoire X suit la loi normale N(600 ; 9), la variable aléatoire T = ^X⁻₉⁶⁰⁰ suit la loi normale centrée réduite.

580 ≤X ≤620

580−600

9 ≤ ^X⁻₉⁶⁰⁰ ≤ ⁶²⁰⁻₉⁶⁰⁰

−²⁰₉ ≤T ≤ ²⁰₉

D’où P(580≤ X≤620) =P(−²⁰₉ ≤T ≤ ²⁰₉) = 2π(²⁰₉ )−1 A l’aide de la table de la loi normale centrée réduite on a P(580≤X ≤620) = 2×0,9861−1 = 0,9722≈0,97 2. 600−a≤X ≤600 +a⇔ −^a₉ ≤T ≤ ^a₉ On a donc :

P(600−a≤X ≤600 +a) = 0,90 P(−^a₉ ≤T ≤ ^a₉) = 0,90

2π(^a₉)−1 = 0,90 π(^a₉) = 0,95

A l’aide de la table de la loi normale centrée réduite on a ^a₉ ≈ 1,65soit a≈14,85.

B. Loi binomiale et approximation d’une loi binomiale

1. La variable aléatoire Y suit la loi binomiale de paramètres B(N,3%) :

(7)

BTS-GROUPEMENT D- 2005

B.Etude d’une fonction et calcul intégral

On admet dans cette partie que, pour touttde [0 ; 1 440],q(t) = 3−0,002t−3e⁻^t⁴.

On rappelle que le tempst est exprimé en minutes.

1. a. Calculer q⁰(t) pour toutt de [0 ; 1 440].

b. Résoudre dans [0 ; 1 440]l’inéquation q⁰(t)≥0.

c. En déduire le sens de variation de q sur [0 ; 1 440].

La fonctionqadmet un maximum pourt=t₀. Donner la valeur approchée arrondie à 10⁻² de t₀ et q(t₀).

2. Calculer la quantité de principe actif restant dans le sang d’un patient 24 heures après l’injection du médicament. On arron- dira le résultat à 10⁻² près.

3. Démontrer que la valeur moyenne Vm de la fonction q sur [0 ; 1 440] est :

Vm = 1

1440(2234,4 + 12e⁻³⁶⁰).

CORRIGE BTS-GROUPEMENT A- 2005

Mathématiques - brevet de technicien supérieur session 2005 - groupement A

Auteurs : Jean-Louis Coquin, LPI, Jaunay-Clan, et Xavier Tisserand, lycée Vieljeux, La Rochelle

Exercice 1 - Spécialités CIRA, Électronique, Électrotech- nique, Génie optique et TPIL (sur 9 points)

1. Soit la fonction numériquegdéfinie sur[0;π]parg(t) = (1 + cos²t) sin²t.

a. Calculonsg⁰(t):

g⁰(t) = −2 costsint×sin²t+ (1 + cos²t)×2 sintcost

= 2 sintcost(−sin²t+ 1 + cos²t)

= 2 sintcost(cos²t+ cos²t)

= 4 sintcos³t

b. Sur[0;π], la fonction sinus est positive, par conséquentg⁰(t)est du signe decost.

Sit∈h 0,π

2

i : g⁰(t)>0 donc

gest strictement croissante sur 0,^π₂ Sit∈hπ

2, πi

: g⁰(t)60 doncg est strictement décroissante sur_π

2, π 2. a. Dans cette question, on a :f(t) = 1

3 sur

0;1 6

et f(t) = −1 6 sur 1

6;1 2

.

Avec la parité de la fonctionf, on peut tracer la courbe sur l’intervalle

−1 2;1

2

en utilisant la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.

De plus, la fonctionf est périodique de période1, donc on obtient la représentation ci-dessous :

(8)

-1 -5 6 -2

3 -1 2 -1

3 -1 6

1 6

1 3

1 2

2 3

5 6

1

-1 -1

2

1 2 1

b. Calculons les coefficients de Fourier de la fonctionf :

a0 = 1 T

Z ^T₂

−^T2

f(t)dt

= 2

T Z ^T₂

0

f(t)dt

= 2

"

Z τ 0

1 2−τ

dt+

Z ¹₂

τ

(−τ)dt

#

= 2 1

2−τ

.τ+ (−τ). 1

2−τ

= 0

SoitM la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100 comprimés prélevés au hasard et avec remise dans le stock, associe la moyenne des masses de comprimés de cet échantillon.

On suppose que M suit la loi normale de moyenne inconnue µ et d’écart type ^√^σ₁₀₀ avec σ = 9.

Pour l’échantillon prélevé, la moyenne obtenue estx= 602.

Déterminer un intervalle de confiance centré surx de la moyenne inconnue µdes masses des comprimés du stock considéré, avec le coefficient de confiance 95 %.

Exercice 2[8 points]

On décide de mesurer en fonction du temps la quantité deprincipe actif d’un médicament présent dans le sang d’un groupe de patients en traitement dans un hôpital. A l’instant t, exprimé en minutes, on note q(t) la quantité exprimée en milligrammes de ce principe actif, contenu dans le sang d’un patient.

Les deux parties de cet exercice peuvent être traîtées de façon indépendante.

A.Résolution d’une équation différentielle

On admet que la fonction q est une solution de l’équation différen- tielle (E) :

4y⁰+y=−0,002t+ 2,992

oùy est une fonction de la variable réelle t définie et dérivable sur [0 ; 1 440]ety⁰ sa fonction dérivée.

1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle(E0):4y⁰+ y= 0.

2. Déterminer deux nombres réelsaetbtels que la fonctiongdéfi- nie sur[0 ; 1 440]parg(t) = at+b soit une solution particulière de l’équation différentielle (E).

3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).

4. Déterminer la solution q de l’équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale q(0) = 0.

(9)

1. Justifier que la variable Y suit la loi binomiale dont on déter- minera les paramètres.

2. Dans cette question, on prend N = 10.

a. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement de 10 comprimés, un comprimé exactement, ne soit pas acceptable pour la masse.

b. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement de 10 comprimés, un comprimé au moins, ne soit pas acceptable pour la masse.

3. Dans cette question, on prend N = 50.

a. On considère que la loi suivie par Y peut être approchée par une loi de Poisson.

Déterminer le paramètre λ de cette loi de Poisson.

b. On désigne par Z₁ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre λ, où λ a la valeur obtenue au a.

En utilisant cette loi de Poisson, calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement de 50 comprimés, au plus 2 comprimés ne soient pas acceptables pour la masse.

4. Dans cette question, on prend N = 1 000.

On décide d’approcher la loi de la variabeY par la loi normale de moyenne 30 et d’écart type 5,39.

On note Z2 une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne 30et d’écart type 5,39.

a. Justifier les paramètres de cette loi normale.

b. Calculer la probabilité que, dans un tel, prélèvement de 1 000 comprimés, au plus 25 comprimés ne soit pas acceptables pour la masse, c’est-à-dire calculer P(Z2 ≤25,5).

C. Intervalle de confiance

Dans cette partie on s’intéresse à la masse d’un stock important de comprimés.

On prélève au hasard et avec remise un échantillon de 100 compri- més dans le stock.

Pourn>1, on a : an = 2

T Z ^T₂

−^T2

f(t) cos (2πnt)dt car ω= 2π T = 2π

= 4

T Z ^T₂

0

f(t) cos (2πnt)dt

= 4

"

Z τ 0

1 2−τ

cos (2πnt)dt+ Z ¹₂

τ

(−τ) cos (2πnt)dt

#

= 4

"

1

2−τ sin (2πnt) 2πn

τ 0

+ (−τ).

sin (2πnt) 2πn

¹₂

τ

#

= 2

nπ 1

2−τ

sin (2πnτ)−τ[sin (nπ)−sin (2πnτ)]

= 2

nπ 1

2−τ

sin (2πnτ) +τsin (2πnτ)

= 1

nπsin (2πnτ)

Pourn>1, on a bn= 0 car la fonctionf est paire.

On obtient donc :

S(t) =a0+

+∞

X

n=1

(ancos (2πnt))

S(t) =

+∞

X

n=1

1

nπsin (2πnτ) cos (2πnt). 3. a. Écrivons la formule de Parseval :

E²_h=a²₀+1 2

+∞

X

n=1

a²_n+b²_n On sait quea0= 0; calculonsa1 eta2 :

a1= 1

π sin (2πτ) et a2= 1

2πsin (4πτ) On a donc :

E_h²= 1 2

1

π²sin²(2πτ) + 1

4π²sin²(4πτ)

E_h²= 1 2π²

sin²(2πτ) +1

4sin²(4πτ)

(10)

De plus, on sait que :

sin (2X) = 2 sinXcosX donc on peut écrire :

sin²(4πτ) = [2 sin(2πτ) cos(2πτ)]²= 4 sin²(2πτ) cos²(2πτ) Remplaçons dans E_h²:

E_h² = 1 2π²

sin²(2πτ) +1

4sin²(4πτ)

= 1

2π²

sin²(2πτ) + sin²(2πτ) cos²(2πτ)

= 1

2π²sin²(2πτ)

1 + cos²(2πτ)

b. Posonst= 2πτ; on a donc : g(t) =g(2πτ) =

1 + cos²(2πτ)

sin²(2πτ) On a donc bien :

E²_h= 1

2π² g(2πτ)

4. D’après la question1. (b), l’expressiong(t)est maximum pourt= π 2. Par conséquent,E_h² est maximum pour :

2πτ = π

2 d’où τ =1 4

Mathématiques - brevet de technicien supérieur session 2005 - groupement D

Saisi par Abdellatif KBIDA http ://akbida.free.fr/

Exercice 1 [12 points] Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

Un laboratoire pharmaceutique fabrique, en très grande quantité, un certain type de comprimés dont la masse est exprimé en milligrammes.

Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à 10⁻².

A. Loi normale

Un comprimé de ce type est considéré comme acceptable pour la masse lorsque celle-ci appartient à l’intervalle [580 ; 620].

On note X la variable aléatoire qui, à chaque comprimé prélevé au hasard dans la production associe sa masse.

On suppose que X suit la loi normale de moyenne 600 et d’écart type 9.

1. Calculer la probabilité qu’un comprimé prélevé au hasard dans la production soit acceptable pour la masse.

2. Déterminer le nombre réel positif a tel que : P(600−a≤X ≤600 +a) = 0,90.

B. Loi binomiale et approximation d’une loi binomiale

On admet que 3 % des comprimés d’un lot ne sont pas acceptables pour la masse. On prélève au hasard N comprimés de ce lot pour vérification de la masse. Le lot est suffisamment important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de N comprimés.

On considère la variable aléatoire Y qui, à tout prélèvement de N comprimés, associe le nombre de comprimés non acceptables pour la masse.

(11)

CORRIGE BTS-GROUPEMENT B- 2005

C. Approximation d’une loi binomiale par une loi normale.

1. Lorsqu’on approche la loi deY₂par la loi deZ,on doit conserver les caractéristiques de Y₂, à savoir : Espérance et écart-type.

E(Y₂) = 1000×0,02 = 20etσ(Y₂) =√

1000×0,02×0,98 = 4,43

Il faut donc que E(Z) = 20 et σ(Z) = 4,43. Donc Z ,→ N (20; 4,43)

2. Z ,→ N (20; 4,3) ⇔Z^∗ = ^Z_4,43⁻²⁰ ,→ N(0; 1) P (Z ≤15,5) =P

Z^∗ ≤ ⁻_4,43^4,5

= Π

− _4,43^4,5

= Π (−1,02) = 1−Π (1,02) = 1−0,8461 = 0,1539 = 0,15à 10⁻² près.

C. Test d’hypothèse

1. On prélève un échantillon de 100 rondelles et on calcule la moyenne x¯ des diamètres de ces 100 rondelles.

Si x¯∈[89,967; 90,033] on accepte l’hypothèse H0 :µ= 90 Sinon, on accepte H₁ :µ6= 90.

2. x¯ appartient à l’intervalle d’acceptation de H₀, donc, au seuil de risque de 5%, on peut conclure que la livraison est conforme pour le diamètre.

Exercice 1 - Spécialité IRIST (sur 9 points)

1. a. L’affixep0 du pointP0 est : p0=16

9e⁻ⁱ^2π³ = 16 9 −1

2−i

√3 2

!

=−8 9−i8√

3 9 Donc les coordonnées du pointP0sont :

P0 −8 9,−8√

3 9

!

b. Voir la figure.

Les coordonnées des points sont : P1

16 9,0

et P2 −8 9,+8√

3 9

!

c.

R0(t) = 3

2−k

X

j=0

(−1)^j (t+ 2−k−j)² j! (3−j)!

= 3

(−1)⁰(t+ 2)²

0! 3! + (−1)¹(t+ 1)²

1! 2! + (−1)²(t+ 0)² 2! 1!

= 3 1

6(t²+ 4t+ 4)−1

2(t²+ 2t+ 1) +1 2t²

Tous calculs faits, on obtient : R0(t) =1

2t²−t+1 2

2. a. Les coordonnées du pointM1(t)de l’arcC1sont, pourt∈[0,1]:







x1(t) =4

9(−6t²+ 6t+ 1) y1(t) = 8√

3 9

t−1

2

On obtient, par dérivation :







x⁰₁(t) = 4

9(−12t+ 6) = 8

3(−2t+ 1) y₁⁰(t) = 8√

3 9

(12)

CORRIGE BTS-GROUPEMENT A- 2005 Tableau des variations conjointes :

+

−

+ t

x10(t)

x1(t)

y10(t)

y1(t)

0

4 9

−4√ 3 9

1 2

0

10 9

0

1

4 9

−4√ 3 9

Les coordonnées du pointM₁(0)sont :

M1(0) 4 9,−4√

3 9

!

puisque







x1(0) = 4 9 y1(0) =−4√

3 9 De la même façon, on obtient :

M1

1 2

10 9,0

puisque









 x1

1 2

=10 9 y1

1 2

= 0 Enfin :

M1(1) 4 9,4√

3 9

!

puisque







x1(1) = 4 9 y1(1) = 4√

3 9 b. On sait que le vecteur −−→

V(t) de coordonnées −−→

V(t)

x⁰(t) y⁰(t)

est un vecteur directeur de la tangente à la courbe au point M(x(t), y(t)).

Donc un vecteur directeur de la tangente àC1 enM1(0)est :

−−→V(0)

x⁰₁(0) y₁⁰(0)

=−−→

V(0)





 8 8√3 3 9







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b. A 10⁻² près : I = 2,80

c. f ≥0 sur [0; 2] donc I représente l’aire, en unités d’aire, de la surface délimitée par la courbeC,l’axe des abscisses et les droites d’équation x= 0 etx= 2

Exercice 2A. Loi normale

1. X₁ ,→ N (90; 0,17) ⇔X₁^∗ = ^X_0,17¹⁻⁹⁰ ,→ N (0; 1) P (89,6≤X1 ≤90,4) =P

−0,4

0,17 ≤X₁^∗ ≤ _0,17^0,4

= 2Π

0,4 0,17

− 1 = 2 Π (2,35) −1 = 2×0,9906−1 = 0,9812 = 0,98 à 10⁻² près

2. D ,→ N(90;σ1)⇔D^∗ = ^D−90_σ₁ ,→ N(0; 1) P (89,6≤D≤90,4) = 0,99⇔P

− ^0,4_σ₁ ≤D^∗ ≤ ^0,4_σ₁

= 0,99⇔ 2Π

0,4 σ1

−1 = 0,99 D’où Π

0,4 σ1

= 0,995 puis ^0,4_σ

1 = 2,575 et enfin σ1 = _2,575^0,4 = 0,16à 10⁻² près.

B. Loi binomiale

1. Pour chaque rondelle prélevée dans le stock, il y a deux issues possibles : Son diamètre est défectueux ou pas.

Le prélèvement étant assimilé à un tirage avec remise, il y a indépendance : La probabilité d’obtenir une rondelle avec un diamètre défectueux est la même à chaque tirage. C’est p= 0,02.

On effectue n = 4tirages.

Donc Y1 ,→ B(n;p) =B(4; 0,02)

2. Si Y₁ ,→ B(n;p) :P (Y1 =k) =C_n^kp^k(1−p)ⁿ⁻^k.

D’où P(Y1 = 0) = C₄⁰0,02⁰(1−0,02)⁴⁻⁰ = 0,98⁴ = 0,922 à 10⁻³ près.

3. P (Y1 ≤1) = P (Y1 = 0) +P (Y1 = 1) = 0,98⁴+ 4×0,02× 0,98³ = 0,998 à 10⁻³ près.