A.P.M.E.P.
[ Brevet de technicien supérieur \ Groupement D session 2005
Exercice 1 12 points
Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.
Un laboratoire pharmaceutique fabrique, en très grande quantité, un certain type de comprimés dont la masse est exprimée en milligrammes.
Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à 10−2. A. Loi normale
Un comprimé de ce type est considéré comme acceptable pour la masse lorsque celle-ci appartient à l’intervalle [580 ; 620].
On noteX la variable aléatoire qui, à chaque comprimé prélevé au hasard dans la production, associe sa masse.
On suppose queXsuit la loi normale de moyenne 600 et d’écart type 9.
1. Calculer la probabilité qu’un comprimé prélevé au hasard dans la. production soit acceptable pour la masse.
2. Déterminer le nombre réel positifαtel que :P(600−α6X6600+α)=0,90.
B. Loi binomiale et approximation d’une loi binomiale
On admet que 3 % des comprimés d’un lot important ne sont pas acceptables pour la masse. On prélève au hasardNcomprimés de ce lot pour vérification de la masse.
Le lot est suffisamment important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise deNcomprimés.
On considère la variable aléatoireY qui, à tout prélèvement deNcomprimés, asso- cie le nombre de comprimés non acceptables pour la masse.
1. Justifier que la variable aléatoireY suit une loi binomiale dont on détermi- nera les paramètres.
2. Dans cette question, on prendN=10.
a. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement de 10 comprimés, un comprimé exactement, ne soit pas acceptable pour la masse.
b. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement de 10 comprimés, un comprimé au moins, ne soit pas acceptable pour la masse.
3. Dans cette question, on prendN=50.
a. On considère que la loi suivie parY peut être approchée par une loi de Poisson. Déterminer le paramètreλde cette loi de Poisson.
b. On désigne parZ1une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de pa- ramètreλ, oùλa la valeur obtenue aua.. En utilisant cette loi de Poisson, calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement de 50 comprimés, au plus 2 comprimés ne soient pas acceptables pour la masse.
4. Dans cette question, on prendN =1000. On décide d’approcher la loi de la variable aléatoireY par la loi normale de moyenne 30 et d’écart type 5,39. On noteZ2une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne 30 et d’écart type 5,39.
a. Justifier les paramètres de cette loi normale.
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b. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement de 1 000 comprimés, au plus 25 comprimés ne soient pas acceptables pour la masse, c’est à dire calculerP(Z2625,5).
C Intervalle de confiance
Dans cette partie, on s’intéresse à la masse d’un stock important de compri- més. On prélève au hasard et avec remise un échantillon de 100 comprimés dans le stock. SoitMla variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100 com- primés prélevés au hasard et avec remise dans le stock, associe la moyenne des masses des comprimés de cet échantillon.
On suppose queMsuit la loi normale de moyenne inconnueµet d’écart type pσ
100avecσ=9.
Pour l’échantillon prélevé, la moyenne obtenue est 502. Déterminer un in- tervalle de confiance centré sur de la moyenne inconnueµdes masses des comprimés du stock considéré, avec le coefficient de confiance 95 %.
Exercice 2 8 points
On décide de mesurer en fonction du temps la quantité de principe actif d’un médi- cament présent dans le sang d’un groupe de patients en traitement dans un hôpital.
À l’instantt, exprimé en minutes, on noteq(t) la quantité exprimée en milligrammes de ce principe actif, contenue dans le sang d’un patient.
Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
A. Résolution d’une équation différentielle
On admet que la fonctionqest solution de l’équation différentielle (E) : 4y′+y= −0,002t+2,992
oùyest une fonction de la variable réelletdéfinie et dérivable sur [0 ; 1 440] ety′sa fonction dérivée.
1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle (E0) 4y′+y=0.
2. Déterminer deux nombres réelsaetbtels que la fonctiongdéfinie sur [0 ; 1 440]
parg(t)=at+bsoit une solution particulière de l’équation différentielle (E).
3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).
4. Déterminer la solutionqde l’équation différentielle (E) qui vérifie la condi- tion initialeq(0)=0.
B. Étude d’une fonction et calcul intégral
On admet dans cette partie que, pour touttde [0 ; 1 440], q(t)=3−0,002t−3e−t4. On rappelle que le tempstest exprimé en minutes.
1. a. Calculerq′(t) pour touttde [0 ; 1 440].
b. Résoudre dans [0 ; 1 440] l’inéquationq′(t)>0.
c. En déduire le sens de variation deqsur [0 ; 1 440].
La fonctionqadmet un maximum pour t=t0. Donner la valeur appro- chée arrondie à 10−2det0etq(t0).
2. Calculer la quantité de principe actif restant dans le sang d’un patient 24 heures après l’injection du médicament. On arrondira le résultat à 10−2près.
Groupement D 2 juin 2005
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3. Démontrer que la valeur moyenneVmde la fonctionqsur [0 ; 1 440] est :
Vm= 1 1440
¡2234,4+12e−360¢ .
Groupement D 3 juin 2005
