y 1) 0 (2) Les solutions positives de l’équation (2) sont : y 1 et y 1 5 2

(1)

A 4919 Une algébrique, deux diophantiennes

Solution proposée par Pierre Renfer Question 1

En simplifiant par18^x, l’équation s’écrit :

x x

3 4 2 0

2 9

   

  

   

    (1)

En posant

3 x

y 2

   

  , on obtient : y ¹₂ 2 0

 y  

C’est-à-dire : y³2y² 1 (y 1) (y²  y 1) 0 (2)

Les solutions positives de l’équation (2) sont : y 1 et y 1 5 2

    

Les solutions de l’équation (1) sont donc : x 0 et x ln( ) ln 3

2

  

  

 

Question 2

Le nombre x ne peut pas être divisible par 5 car le second membre 2^y n’est pas divisible par 5.

Donc : x² 1 ou 4, modulo 5

D’autre part :

y y

2 1 ou 4, modulo 5, si y est pair 2 2 ou 3, modulo 5, si y est impair

 



 

Le nombre y est donc nécessairement pair : y 2 z 

L’équation s’écrit : 26455 5 11 13 37 (2     ^z x )(2 ^z x )

(2)

Or il n’y a que huit façons de décomposer 26455 en produit de deux facteursa b, avec a b  .

Pour une décomposition

z z

2 x a 2 x b

  



   , on obtient : 2^{z 1}^  a b

Parmi les huit décompositions, une seule est telle que a+b soit une puissance de 2.

Il s’agit de : a 5 11 37 2035 b 13

    

 



Alors:

z a b

2 1024 et z 10 et y 20 a b2

x 1011

2

 

   

 

  



Question 3

Soit r ^a

 b la raison de la suite géométrique, a et b étant des entiers naturels premiers entre eux.

x 4000 (x 10)r    6

6 6

(x 4000)b (x 10)a    

Comme a et b sont premiers entre eux, a divise x 4000⁶  :

6 6

x 4000 k a x 10 k b

   



  



Par différence : k (a ⁶ b ) k (a b)⁶    (a b) (a² ab b ) ² (a ² ab b ) 3990 2 3 5 7 19 ²       Les nombres a et b sont de parité distinctes sinon le produit ci-dessus serait multiple de 16.

On en déduit que k est pair : k 2 k ' 

Donc : k '(a b)  (a b) (a²ab b ) ² (a ²ab b ) 3 5 7 19 ²    

Les quatre derniers facteurs du premier membre ci-dessus sont écrits dans l’ordre croissant et sont deux à deux premiers entre eux.

Donc a b , le plus petit, ne peut être égal qu’à 1 ou à 3.

Si a b 3, alors a  ²ab b ²  3(b²3b 3) serait multiple de 3, ce qui est impossible.

(3)

Donc : a b 1 

Alors le facteur a b 2b 1   ne peut prendre que les valeurs 3 ou 5 ou 7.

Et b ne peut prendre que les valeurs 1 ou 2 ou 3.

Si b 1, alors a b 3 et a   ²ab b ² 3. C’est impossible.

Si b 3, alors a b 7 et a   ²ab b ² 13. C’est impossible.

Seul b 2 convient car alors a b 5 et a   ² ab b ² 7 et a² ab b ² 19 et k' 3 .

On obtient : r ³ et x 374

 2 

Les sept premiers termes de la suite sont : 384, 576, 864, 1296, 1944, 2916, 4374.