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Université Paris-Sud 11 M1 MFA

Année universitaire 2012/2013 MAO Calcul formel

EXAMEN DU LUNDI 21 JANVIER 2013, DURÉE : 3H

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Si vous utilisez l’ordinateur, vous devez recopier les lignes de code Sage que vous avez utilisées (en faisant attention à l’indentation) et il est également indispensable d’expliquer les calculs que vous faites faire à l’ordinateur.

Le sujet comporte deux pages.

Exercice I

Pour tout entiern≥1, on note µ_n l’ensemble des ζ ∈C^× tels que ζⁿ = 1. Muni de la loi ×, µn est le groupe des racines n-ièmes de l’unité. On note µ^prim_n ⊂µn l’ensemble des ζ ∈ µn tels que l’ordre de ζ dans le groupeµn soit exactement n(on dit alors que ζ est une racine n-ième primitive de l’unité).

Pour toutn≥1, on noteζn= exp(^2ıπ_n ).

(1) Soitn≥1. Montrer queζn∈µ^prim_n et que queµn ={ζ_nⁱ,0≤i≤n−1}.

(2) Soitn≥1. Soiti∈Z. Montrer queζ_nⁱ ∈µ^prim_n si et seulement sii∧n= 1.

On définit len-ième polynôme cyclotomique par la formule Φn =Q

ζ∈µ^prim_n (X−ζ)∈C[X], ce qui revient à dire, d’après la question précédente queΦn =Q

0≤i≤n−1,i∧n=1(X−ζ_nⁱ).

(3) Montrer quedeg Φn=ϕ(n)oùϕ(n)est la fonction indicatrice d’Euler (ϕ(n) = #Z/nZ^×).

(4) Soit pun nombre premier. Soit ζ ∈ µ^prim_p . Montrer que ^ζ_ζ−1^p⁻¹ = 0. En déduire queΦ_p = 1 +X+X²+· · ·+X^p−1.

Soit m ≥ 1 un nombre entier. Soit pun nombre premier ne divisant pas m. Soit d ≥ 1. On conserve ces notations jusqu’à la question 8 incluse.

(5) Soit z ∈C une racine du polynômeΦ_m(X^p^d). Montrer que z ∈µ_mpd et plus précisément que l’ordre dez est de la formempⁱ pour0≤i≤d.

(6) Montrer queΦm(X^p^d)n’a que des racines simples dansC. (Indication : compter le nombre de racines de ce polynôme.)

(7) En appliquant ce qui précède aux entiersdet d−1, montrer la relationΦ_m(X^p^d) = Φ_mpd· Φm(X^p^d−1), autrement ditΦ_mpd = ^Φ^m^(X^pd⁾

Φ_m(X^pd⁻¹).

(8) Si m= 1, que vautΦm? En déduire une formule pourΦ_pd pour pun nombre premier et d≥1.

(9) Soitn≥1. On suppose connue la factorisationn=p^d₁¹. . . p^d_k^k denen produit de nombres premiers distincts. À partir des questions précédentes, imaginer un algorithme pour calculerΦ_n.

(10) Implémenter cet algorithme dans Sage sous la forme d’une fonction prenant en argument les deux suites d’entiersP = [p1, . . . , pk]et D= [d1, . . . , dk]. (On admettra sans justification que Φn appartient àZ[X].)

(11) Implémenter une fonction Sage prenant en argument net renvoyantΦn. (On utilisera la liste obtenue par la syntaxelist(factor(n)).)

(12) CalculerΦ20.

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2 EXAMEN DU LUNDI 21 JANVIER 2013, DURÉE : 3H

Exercice II

Soit`un nombre premier. Le polynôme cyclotomiqueΦ_`∈Z[X]a été introduit dans l’exercice précédent. On aura ici uniquement besoin de savoir queΦ_`=^X_X−1^`⁻¹ = 1 +X+X²+· · ·+X^`−1.

Soitpun nombre premier différent de`. On note P∈F_p[X]la classe deΦ_` dansF_p[X].

SoitKune extension finie deF_pde degréd. (On conservera ces notations jusqu’à la question 15.) (13) Soitx∈K^×. Montrer quexest racine deP si et seulement si l’ordre dexdans le groupe K^× est exactement`.

(14) Montrer que siP admet une racine dansK alors`divisep^d−1.

(15) Montrer que si` divisep^d−1, alorsP est scindé dansK[X](et à racines simples).

(16) On notedle plus petit entier≥1tel que` divisep^d−1. Justifier l’existence de cet entier et montrer que tous les facteurs irréductibles deP dansF_p[X]sont de degréd.

(17) Quels sont les degrés des diviseurs irréductiblesP30

i=0XⁱdansF2[X]? (Dans cette question et la suivante, on s’interdira d’utiliser la fonctionfactor.)

(18) Montrer queP10

i=0Xⁱest irréductible dansF13[X]. En déduire queP10

i=0Xⁱest irréductible dansQ[X].

Exercice III

SoitP ∈F₂[X] un polynôme unitaire sans facteur carré. On fait l’hypothèse que les facteurs (unitaires) irréductiblesP₁, . . . , P_e deP sont tous d’un même degrédque l’on suppose connu.

On noteA:=F₂[X]/(P). Pour 1≤i≤e, on noteK_i:=F₂[X]/(P_i). On suppose quee≥2.

(19) Montrer qu’il existe un isomorphisme canoniqueσ:A−→^∼ K1×K2× · · · ×Ke.

(20) Supposons ici que l’on connaisseQ∈F2[X]<de dont la classeb:= [Q]∈Asoit non nulle et telle qu’une des coordonnées de σ(b)soit nulle. Expliquer comment il est possible d’utiliser Q pour déterminer un diviseur non trivial deP.

On cherche maintenant un moyen de déterminer un tel polynômeQ.

(21) Fixons 1≤i≤e. Soitα∈Ki. On noteβ =Pd−1

k=0α²^k. Montrer que β²=β. En déduire queβ∈F2⊂Ki.

(22) Montrer que l’application Ki → F2 qui à α associe Pd−1

k=0α²^k est une application F2- linéaire non nulle. En déduire que siα est tiré uniformément au hasard dans Ki, la probabilité pour quePd−1

k=0α²^k = 0est ¹₂.

On considère l’algorithme suivant. On tire au hasard un polynôme R ∈ F2[X]<de. On note a:= [R] ∈ A. On calculeb := Pd−1

k=0a²^k ∈ A (c’est-à-dire que l’on détermine Q∈ F₂[X]_<de tel que[Q] =b=Pd−1

k=0a²^k). Sib6= 0 et b6= 1, alors Qvérifie la condition de la question 20 ce qui permet de déterminer un diviseur non trivial deP.

(23) Le polynômeRétant tiré au hasard de façon uniforme, quelle est la probabilité pour que b6= 0etb6= 1(autrement si queσ(b)ne soit ni(0, . . . ,0)ni(1, . . . ,1).) ?

(24) En utilisant l’algorithme décrit ci-dessus, écrire une fonction dans Sage prenant en argument le polynômeP et l’entier det renvoyant un facteur non trivial deP. (On tirera au hasard un polynômeRjusqu’à en obtenir un qui permette de déterminer un facteur non trivial deP.)

(25) Écrire une fonction dans Sage prenant en argumentPetdet renvoyant la liste des facteurs irréductibles deP.

(26) En utilisant votre implémentation, factoriserP30

i=0Xⁱ dansF2[X].

Sage

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