H135
On peut g´en´eraliser `an villes avec n >5. Pla¸cons les n villes aux sommets d’un polygone r´egulier `a n cˆot´es et tra¸cons les cˆot´es et les diagonales. La longueur d’une diagonale d´esignera le nombre minimum de cˆot´es reliant ses deux extr´emit´es (un cˆot´e est une diagonale de longueur 1).
Sin = 2p+ 1 avec p>2, orientons les diagonales de longueurs 1 `a p−1 dans le sens direct (des aiguilles d’une montre) et les diagonales de longueur p dans le sens indirect. Tous les sommets jouent le mˆeme rˆole; du sommetA1 on peut aller aux sommetsA2 `aA2p−1 en suivant une ou deux diagonales dans le sens direct (car 1 + 2(p−1) = 2p−1); de A1 on peut aller au sommet Ap+2 en suivant une diagonale (sens indirect) et donc aux sommets A2p et A2p+1 en suivant deux diagonales. C’est valable `a condition d’avoir p+ 162p−1 c’est-`a-dire p>2.
Si n= 2p avec p>4, orientons les diagonales de longueurs 1 `a p−2 dans le sens direct et les diagonales de longueur p−1 dans le sens indirect. Tous les sommets jouent le mˆeme rˆole;
du sommet A1 on peut aller aux sommetsA2 `aA2p−3 en suivant une ou deux diagonales dans le sens direct (car 1 + 2(p−2) = 2p−3); de A1 on peut aller au sommet Ap+2 en suivant une diagonale (sens indirect) et donc aux sommets A2p−1 et A2p en suivant deux diagonales. C’est valable `a condition d’avoir p+ 1 6 2p−3 c’est-`a-dire p > 4. Remarque: on n’utilise pas les diagonales de longueur p.
Pour n = 6, on oriente les cˆot´es dans le sens direct; les diagonales de longueur 2 forment deux triangles ´equilat´eraux: on en oriente un dans le sens direct et l’autre dans le sens indirect.
On peut aller d’un sommet `a un autre en au plus deux diagonales. L`a aussi on n’utilise pas les diagonales de longueur 3.
Pourn = 3 la solution est imm´ediate en orientant les cˆot´es dans le sens direct. Pourn = 4 il n’y a pas de solution (il y a trois configurations `a examiner).
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