E437 - Jeu de bataille autour d’un palindrome
Hippolyte écrit sur le tableau noir un palindrome à 2008 chiffres qu’il désigne par et qui est composé de 2004 chiffres « 0 » encadrés aux extrêmes par deux chiffres 5 et séparés au milieu par deux chiffres 7 :
50. . 1002 . .0770. . 1002 . .05
Diophante lui propose le jeu de bataille suivant : il écrit un nombre entier positif et Hippolyte a le choix d’écrire l’un des deux termes ou | | où | | désigne la valeur absolue. Le résultat choisi par Hippolyte est alors le nombre . Puis Diophante annonce l’entier positif et Hippolyte a de nouveau le choix entre ou
| | et ainsi de suite…
Diophante affirme qu’il peut gagner la bataille en obligeant Hippolyte à écrire une puissance quelconque de 10 de la forme 10 (avec entier positif) en tours au maximum.
Démontrer que Diophante peut toujours gagner la bataille. Déterminer .
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Le tableau ci-dessous indique à Diophante quels nombres jouer en fonction des choix d’Hippolyte. On représente par le symbole le choix de la somme, et par le symbole le choix de la valeur absolue de la différence.
5 0. .0
77 0. .0
5 4 9. .9
23 0. .0
5
10 0. .0010
10 0. .0240
154 0. .0
0 126 0. .0
0
"
"
20 0. .0250 24 9. .9750
230 220
280 0. .0
0 270 0. .0
0
28 0. .0
0 27 0. .0
0
45 0. .0000 55 0. .0000
4 9. .9500 5 0. .0500
550 450
10
550 0. .0
0 450 0. .0
0
10
55 0. .0
0 45 0. .0
0
10"
$ 10%
10&
10&
1000
1000
100
10' 10$
10$
10 En suivant cette méthode, Diophante peut toujours gagner en 4 tours au maximum.
