Stabilisation frontière du système élastodynamique en présence de singularités

(1)

HAL Id: tel-00008910

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présence de singularités

Romain Brossard

To cite this version:

Romain Brossard. Stabilisation frontière du système élastodynamique en présence de singularités.

Mathématiques [math]. Ecole Centrale de Lyon, 2004. Français. �tel-00008910�

(2)

Année2004 numérod'ordre2004-26

THÈSE

Présentéeetsoutenuepubliquement le30novembre2004 Pourl'obtention du

Do torat de l'É ole Centrale de Lyon

Dis ipline : Mathématiques et informatique fondamentale (MATHIF)

Par

Romain Brossard

Sujet:

Stabilisation frontière du système élastodynamique en présen e de singularités

Comp osition du jury :

Mme Fatiha ALABAU-BOUSSOUIRA M. VilmosKOMORNIK

M. Jean-Pierre LOHEAC M. Mohand MOUSSAOUI M. Serge NICAISE

(3)

(4)

frontièrelaissée libre(non-en astrée), de tellesorte que le système,quelquesoit son état d'origine,s'amortissele plus rapidementp ossible.

En d'autres termes,nous onsidérons un systèmeélasto dynamique,amorti au moyen d'unerétroa tiondénieparune onditiondetyp eNeumannsurunepartiedelafrontière, l'autre partie de la frontière étant munie des onditions de Diri hlet homogène. Nous obtenonsdesrésultatsdestabilisationfrontièrelinéaireetnon-linéaire,ainsiqu'unrésultat de ontrlabilité.Nous démontrons p our ela des relations ad-ho , dites de Relli h,puis nous utilisonsla métho de des multipli ateurs.

L'originalitéde etravailrésidedanslaprésen ed'uneinterfa eentrelapartieDiri hlet etla partieNeumann, qui génèredes singularités.

Mots lés :Systèmelinéairedel'élasti ité,Singularité,Régularité,Conditionauxlimites Diri hlet-Neumann, Stabilisation frontière du système élasto dynamique, Contrlabilité frontièredu systèmeélasto dynamique,Relation deRelli h,Métho de des multipli ateurs. Abstra t : We onsider the ase of a weakly elasti b o dy, with a sinked part along its b oundary. Our problem is to build a ontrol along the free part of the b oundary, su h that the energy fun tion vanishes as qui k as p ossible.

Inotherwords,we onsideranelasto dynami system,damp edbyaNeumannfeedba k on the free part of the b oundary. We assume that homogen Diri hlet ondition holds on the other part. We obtain linear and nonlinear b oundary stabilization results, and a ontrollabilityresult. We needso- alledRelli hrelations,and weuse multipliersmetho d. The originality of this work lies in the existen e of a non-empty interfa e b etween Diri hletpart and Neumann part, whi hgenerates singularities.

Keywords :Linearelasti itysystem,Singularity,Regularity,Diri hlet-Neumannb oun-dary ondition,Boundarystabilizationofelasto dynami system,Boundary ontrollability of elasto dynami system,Relli hrelation, Multipliersmetho d.

(5)

(6)

1 Stabilisation frontière du système élastodynamique

Partie I: Relationsde typeRelli hpourun problèmedel'élasti itéaux

onditions frontière mélées 47

2 Stabilisation frontière du système élastodynamique

Partie II : Stabilisationfrontière d'un systèmeélastodynamiqueen

pré-sen e de singularités 79

3 Contrlabilité et stabilisation frontière non-linéaire du système élasto-dynamique en présen e de singularités 97 A Stabilisation frontière du système élastodynamique dans un polygone

plan 107

(7)

(8)

(9)

Nous onsidéronsle as d'un orps faiblementélastiquedontunepartie delafrontière esten astrée.Notreproblèmeestdedéterminerunerétroa tion(unfeedba k)surlapartie delafrontièrelaisséelibre(non-en astrée),detellesorteque lesystème,quelquesoit son état d'origine,s'amortisseleplus rapidementp ossible.

0.1 Le problème onsidéré Soit

Ω

un ouvert b orné de

R

n

susamment régulier.On supp ose que sa frontière

∂Ω

vérie:

∂Ω = ∂Ω

D

∪ ∂Ω

N

,

ave







∂Ω

D

∩ ∂Ω

N

=

∅,

mes

(∂Ω

D

)

6= 0,

mes

(∂Ω

N

)

6= 0.

(1)

On note

Γ = ∂Ω

N

∩ ∂Ω

D

, l'interfa e entre la partie en astrée

∂Ω

D

et la partie libre

∂Ω

N

( f gure 1).

∂

Ω

D

∂

Ω

N

Ω

Γ

Fig. 1 Unexemple de domaine

Ω

.

Soit

v

un hampdeve teurssusammentrégulier.Ondénitp our e hampletenseur des déformations

ǫ(v)

∈ M

n

(R)

par :

ǫ(v) =

Ja

(v) +

t

Ja

(v).

Nous allons onsidérer dans la suite un orps élastique homogène et isotrop e. Soient

λ > 0

et

µ > 0

, les o e ientsdeLamé,tels que, envertu de la loide Ho oke, letenseur

des ontraintes

σ(v)

∈ M

n

(R)

s'é rit :

(10)

Le systèmeélasto dynamique linéaire isotrop e, ontrlé sur la partie

∂Ω

N

par le feed-ba k

F

, s'é rit :











u

′′

₋

div

(σ(u)) = 0

dans

Ω

× R

+

;

u

= 0

sur

∂Ω

D

× R

+

;

σ(u)ν = F(x, u

′

₎

sur

∂Ω

N

× R

+

;

u(0) = u

0

,

u

′

_{(0) = u}

1

dans

Ω ;

(2) où

u

: Ω

× R

+

→ R

n

est le hampdes dépla ements,

u

′

et

u

′′

lesdérivéesentemps,

ν

estle ve teurnormal sortant sur la frontière,

F

estla fon tionfeedba k.

(u

0 , u

1 )

sont les onditions initiales. Pour esystème,on dénitl'énergie :

E(u, t) =

1

2 Z

Ω

(

|u

′

_|

2 _{+ σ(u) : ǫ(u))}

d

x

;

où

σ(u) : ǫ(u) =

P

n

i,j=1

σ

ij

(u)ǫ

ij

(u).

Le problème est de donner des onditions sur

Ω

,

Γ

et

F

an que ette énergie soit exp onentiellementdé roissanteen temps,au sens suivant :

Pour tout

C > 1

, il existe une onstante

̟ > 0

telle que pour toute ondition initiale

(u

0 , u

1 )

susamment régulière, la solution

u

du problème (2) vérie

∀t ∈ R

+

, E(u, t)

≤ Ce

−̟t

E(u, 0).

Quelques notations pour la suite On intro duit lesespa es suivants:

L

2 _{(Ω) = (L}

2 _(Ω))

n

_,

_H

s

_{(Ω) = (H}

s

_(Ω))

n

_,

p our

s > 0

;

H

1 D

(Ω) =

{v ∈ H

1 (Ω) / v = 0

sur

∂Ω

D

}

;

H = H

1 D

(Ω)

× L

2 (Ω),

ave lanorme suivante:

∀(v

0 , v

1 )

∈ H,

k(v

0 , v

1 )

k

H

=

Z

Ω

|v

1 |

2 + σ(v

0 ) : ǫ(v

0 )

d

x.

Pour un hampde ve teurs

v

régulier,on dénit

∇v = (∂

j

v

i

)

1≤i,j≤n

=





∂

1 v

1 . . .

∂

n

v

1

. . . . . . . . .

∂

1 v

n

. . . ∂

n

v

n





.

(11)

0.2 Les résultats obtenus pré édemment pour le système élasto-dynamique

L'étudedelastabilisationfrontièredusystèmeélasto dynamiqueadébutéparLagnese ([22℄), en1983. Il ap our ela intro duit le feedba k ditnaturel. Le systèmeélasto dyna-miquelinéaireisotrop e, ave efeedba knaturel, s'é rit :











u

′′

₋

div

(σ(u)) = 0

dans

Ω

× R

+

;

u

= 0

sur

∂Ω

D

× R

+

;

σ(u)ν = F(x, u, u

′

₎

sur

∂Ω

N

× R

+

;

u(0) = u

0

,

u

′

_{(0) = u}

1

dans

Ω ;

(3) où

F(x, u, u

′

_{) =}

_{−a(x)u − b(x)u}

′

,ave

a, b

∈ C

1 _(∂Ω

N

)

.

Par unemétho de lassique desemi-group e,on montrequeleproblème(3) admet une unique solution,sous la ondition suivante:

(u

0 , u

1 )

∈ H

(4)

Pour leproblème(3), l'énergies'é rit:

E(u, t) =

1

2 Z

Ω

(

_|u

′

_|

2 + σ(u) : ǫ(u))

d

x

+

Z

∂Ω

N

a

_|u|

2

d

Γ

;

Lesrésultatsobtenusdans [22℄ nes'appliquentpas auxsystèmesisotrop es.Dans [23℄, Lagnese montreun résultat de stabilisation p our les systèmes isotrop es en dimension

2

, en intro duisant un feedba k arti iel. Dans [20℄, Komornik passe à la dimension

3

p our

∂Ω

N

sphérique, toujours p our e feedba karti iel.

C'esten1997,dans [1℄,qu'AlabauetKomornikobtiennentun résultatdestabilisation ave lefeedba knaturelp ourdessystèmesisotrop esetanisotrop es,àl'aided'unenouvelle identité.Cesrésultatsont étépar lasuiteétendus dans[15, 17 ,2,3℄,p our des géométries moins restri tives. Cep endant, dans tous es travaux, les diérents auteurs supp osent que

∂Ω

N

∩ ∂Ω

D

=

∅

, e qui p ermet d'avoirdes solutions fortes dans

C(R

+

_{, H}

2 _(Ω))

. En revan he,lorsque

∂Ω

N

∩ ∂Ω

D

6= ∅

, le hangementde onditions au b ord génère p our les solutions fortes des solutions singulières qui n'ont plus la régularité

H

2

, ommedans le as des ondes que nous dé rirons plus loin.

Le résultat le plus général p our le système de Lamé, toujours sans singularité, a été obtenu par M. A. Horn[18℄, à l'aide de te hniques mi ro-lo ales,mais es te hniques ne onduisentpas à un taux dedé roissan e expli ite,dans e as.

Notre obje tif était don d'obtenir un résultat de stabilisation frontière du système élasto dynamiquedans le as où ilexisteune interfa e

Γ

non videentrelapartieDiri hlet

∂Ω

D

etlapartieNeumann

∂Ω

N

,etsip ossibleave des te hniquesp ermettantd'avoirdes tauxexpli itesdedé roissan e.

0.3 Le as de l'équation des ondes

(12)

réfé-tionsgéométriquesinduisantdessingularitésontd'ab ordétéétudiéesdans[13 ℄.Cetravail a ensuiteété étendudans [21℄, où a étéintro duitle feedba k dé rit i-dessous, puis dans [4℄,où le asdelaprésen ed'uneinterfa eDiri hlet-Neumannaétéétudié.Nousdonnons i iun rapp el des résultats obtenusdans ette dernière référen e.

Soit

n

≥ 3

.Soit

Ω

unouvertb orné onnexe de

R

n

telque,au sens deNe£as([31 ℄),

∂Ω

estde lasse

C

2

.Entoutp oint

x

de

∂Ω

,ondénit

ν

(x)

leve teurnormalunitairesortant ( f gure 2).

τ

ν

∂

Ω

D

x

₀

∂

Ω

N

Ω

Γ

Fig. 2 Un exemple dedomaine

Ω

. On xe

x

0 ∈ R

n

_{\ Ω}

eton dénitlapartitiondelafrontièrede

Ω

delafaçonsuivante:

m(x) = x

− x

0 ,

∀x ∈ R

n

;

∂Ω

N

=

{x ∈ ∂Ω / m(x)·ν(x) > 0} ;

∂Ω

D

=

{x ∈ ∂Ω / m(x)·ν(x) ≤ 0}.

(5)

On note

Γ = ∂Ω

N

∩ ∂Ω

D

.On supp oseque

Γ

estune sous-variété de o dimension

2

etde lasse

C

3

telle qu'il existeun voisinage

Ω

′

de

Γ

telque

∂Ω

∩ Ω

′

est une sous-variété (6) de o dimension

1

etde lasse

C

3

.( f gure 2)

Nousp ouvons onsidérer

∂Ω

N

ommeunouvertrégulierde

∂Ω

,etainsidénirentout p oint

s

de

Γ

,

τ

(s)

le ve teur unitairenormal à

∂Ω

N

, p ointant versl'extérieur de

∂Ω

N

et tangent à

∂Ω

. On supp ose alors que, p our tout

s

∈ Γ

, on a

m(s)

_{·τ (s) ≤ 0,}

(7)

(13)

On regarde alors leproblèmesuivant :











u

′′

_{− ∆u = 0}

dans

Ω

× R

+

;

u = 0

sur

∂Ω

D

× R

+

;

∂u

∂

=

_−(m·ν)u

′

sur

∂Ω

N

× R

+

;

u(0) = u

0

,

u

′

_{(0) = u}

1

dans

Ω.

(8)

On supp ose que

(u

0 , u

1 )

∈ H

1 D

(Ω)

× L

2 (Ω)

. Dans e as, le problème (8) admet une unique solution :

u

_{∈ C}

0 (R

+

, H

_D

1 (Ω))

_{∩ C}

1 (R

+

, L

2 (Ω)).

On dénit alors son énergie :

E(u, t) =

1

2 Z

Ω

(

_|u

′

_|

2 +

_|∇u|

2 )

d

x.

Nous onsidérons

u

unesolution forte.Unesingularitéapparaît au voisinagede

Γ

.Par réexion,on montrequ'enfait, ette singularité estdu mêmetyp e que la singularité qui apparaît dans le as d'unessure ave ondition deDiri hlet.

On regardela solution

u

à

t > 0

xé. Auvoisinage de tout p oint de

Ω

\ Γ

, lasolution est

H

2

.

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0

0.1

0.2

0

0.1

0.2

0.3

0.4 x

y

U

S

Fig. 3 Comp ortementlo al delafon tionde Shamir.

Au voisinage d'un p oint

s

de

Γ

, on onsidère le rep ère orthonormé formé de

ν(s)

et

τ

(s)

, et omplété par

n

− 2

ve teurs

(z

1 , . . . , z

n−2

)

. Les dérivées partielles de

u

par rapp ort aux

z

i

sont

H

1

. Et surtout,

u

se dé omp ose en la somme d'une fon tion

H

2

et d'une fon tionsingulière,pro duit tensoriel d'une fon tion

H

1

2

sur

Γ

et dela transformée isomorphe delafon tion

u

S

,dénie sur un demi-disque en o ordonnées p olaires par :

u

S

(r, θ) =

√

r sin

θ

2 ς(r),

(9)

où

ς(r)

estune fon tionsdetron ature,

C

∞

, valant

1

au voisinage de

0

et

0

àpartir d'un ertain

r

0

. Cettefon tion a étéintro duitepar Shamir [36℄. ( f gure 3)

(14)

Ce résultatp ermetd'obtenir une relation, ditedeRelli h( f. [34℄) : Soit

u

∈ H

1 _(Ω)

tel que :

∆u

∈ L

2 _(Ω)

;

u

|∂Ω

D

∈ H

3/2

_(∂Ω

D

)

;

∂

ν

u

|∂Ω

N

∈ H

1/2

_(∂Ω

N

)

. Alors,

2(m

·∇u)∂

u

− (m·ν)|∇u|

2

est intégrable sur

∂Ω

, et il existe

ζ

∈ H

1/2

_(Γ)

tel que

2 Z

Ω

(m

·∇u)∆u

d

x

= (n

− 2)

Z

Ω

|∇u|

2

d

x

+

Z

∂Ω

2(m

·∇u)∂

ν

u

− (m·ν)|∇u|

2

d

γ

+

Z

Γ

(m

_{·τ )|ζ|}

2

d

s.

(10)

Ce résultatesten faitutilisé sous la formesuivante, grâ eà (7) :

2 Z

Ω

(m

_·∇u)∆u

d

x

≤ (n − 2)

Z

Ω

|∇u|

2

d

x

+

Z

∂Ω

2(m

_·∇u)∂

ν

u

− (m·ν)|∇u|

2

d

γ.

On utilise alors la métho de des multipli ateurs( f [19℄), p our obtenir le résultat de sta-bilisationfrontièresuivant :

Il existe

C > 1

et

̟ > 0

, indépendants de

(u

0 , u

1 )

tels que

∀t ∈ R

+

, E(u, t)

≤ Ce

−̟t

E(u, 0).

0.4 Les résultats obtenus

0.4.1 La piste que nous avons suivie

Nousnoussommesinspirésdu as del'équationdesondesp ourobtenirlastabilisation frontière du système élasto dynamique (2). Nous nous sommes d'ab ord demandés quel feedba k

F

adopter. La question qui se p osait était de savoir si nous p ouvions garder le feedba k naturel général, ou bien si un feedba k plus pro he de elui utilisé p our les ondes p ouvait mieux onvenir.An dese donnerune premièreidéede la rép onseà ette question, nous avons her hé quel feedba k adopter p our stabiliser l'équation suivante, qui estune équation des ondes plus générale:











u

′′

₋

div

(A

∇u) = 0

dans

Ω

× R

+

;

u = 0

sur

∂Ω

D

× R

+

;

∂u

∂

A

= F (x, u

′

₎

sur

∂Ω

N

× R

+

;

u(0) = u

0

,

u

′

_{(0) = u}

1

dans

Ω ;

(11)

(15)

où

A

est unematri e

n

× n

,dénie p ositive,etoù

∂

A

est ladérivée onormaleasso iée à lamatri e

A

.

Nousavonsraisonné dansle assimpleoù

Γ =

∅

,etonmontrequ'alors, lemême feed-ba k,

F =

−(m·ν)u

′

,stabiliseen ore.Onp eutdon voiri iquela matri e

A

n'intervient pas dans le hoixdu feedba k.

Nous avons don voulu vérier si nous p ouvions étendre e résultat au système élas-to dynamique.En d'autrestermes,nous avons voulu savoirsi lefeedba k

F

=

−(m·ν)u

′

, qui estenfait un feedba k naturelparti ulier,p ermettaitde stabiliserle système élasto-dynamique,enprésen e desingularités.

En étudiant la preuvede la stabilisation del'équation des ondes, on s'ap erçoit qu'un p ointessentieldusu èsdufeedba kdetyp e

F =

−(m·ν)u

′

estqu'iltendvers

0

lorsqu'on s'appro he de

Γ

. Plus pré isément,

(m(x)

·ν(x)) ∼ d(x, Γ)

, où

d

est la distan e. Ainsi, la forme du feedba k doit dép endre de la géométriedu domaine, et non de la forme de l'équationétudiée, e qui renfor e l'idée que

F

=

−(m·ν)u

′

est un feedba k sus eptible destabiliserle systèmeélasto dynamique.

Nousavons don d'ab ordvériédire tementque efeedba k stabilisaitlorsque

Γ =

∅

. I i,nousavonspro édé ommedansle asdesondes( f[21℄).La di ultéessentielleaété d'obtenir une relation detyp e Korn frontière, e que nous avons fait en nous inspirant de[3℄.

Puis,nous nous sommesattaqués au as où

Γ

6= ∅

, et don au as où des singularités apparaissent. Nous avons pro édé par étap es, traitant tout d'ab ord le as où

Ω

est un p olygoneplan, resp e tant làla hronologiedes travauxsur l'équationdes ondes( f [13℄).

Γ

est alors réduit à deux p oints, et, au voisinage de es p oints,

Ω

est une p ortion de disque. Puis, nous avons étendu e résultat à un ouvert plan plus général. Enn, nous noussommesintéressésau as deladimensionsup érieure,laseuledi ultérésidantdans lepassage à ladimension

3

,lepassage à ladimension

n

≥ 4

se faisantde lamêmefaçon. Commedans le as desondes,ladi ultéessentielleestd'obtenirunerelationdetyp e Relli h, et p our ela, d'étudier la régularité des solutions fortes à temps xé. Ensuite, ette relationétantobtenue,lapreuvedela stabilisation estidentiqueà tous les as.

C'est p ourquoi nous avons organisé nos arti les présentant es résultats de la façon suivante:

Nousavons group é les relationsdetyp eRelli hp our lesdiérents as dans [7℄, equi onstitue lepremier hapitrede ette thèse.

Nous avons ensuite détaillé la preuve de la stabilisation frontière dans [8℄, e qui onstitue ledeuxième hapitre.

Ces résultats sont omplétés par un résultat de ontrlabilitéet un résultat de stabi-lisationp our un feedba knon linéairedans [9℄, e qui onstitue le troisième hapitre.

Nous avions rédigé une note aux Comptes Rendus de l'A adémiedes S ien es sur la stabilisationdel'équationélasto dynamiquedansun p olygone. Cettenote estpla éedans lapremièreannexe.

Enn, un pro eeding [10℄ du Fifth European Conferen e on Ellipti and Paraboli Problems : A spe ial tribute to the work of Haim Brezis (30/05-03/06/2004), résumant

(16)

0.4.2 La relation de type Relli h pour l'équation de l'élasti ité dans les dif-férents as

Nous voulonsdon tout d'ab ord obtenirune relation detyp eRelli hp our l'élasti ité, analogueà (10).Nousreprenons lesnotationsdu paragraphe 0.1. On onsidèrel'équation del'élasti itéisotrop e ave les onditions méléessuivant :







−

div

(σ(u)) = f

dans

Ω ;

u

= g

sur

∂Ω

D

;

σ(u)ν = h

sur

∂Ω

N

;

(12) où

f

∈ L

2 _(Ω)

,

g

∈ H

3/2

_(∂Ω

D

)

et

h

∈ H

1/2

_(∂Ω

N

)

.

Ilest bien onnu que eproblèmeadmet une unique solution dans

H

1 _(Ω)

.

Pour

v

1

et

v

2

deux hampsdeve teurssusammentréguliers,onintro duitlanotation suivante:

Θ(v

1 , v

2 ) = 2(σ(v

1 )ν)

·(m·∇)v

2 − (m·ν)σ(v

1 ) : ǫ(v

2 ).

La relation de typ e Relli h que nous voulons obtenir onsiste à estimer l'expression suivante,lorsque

Θ(u, u)

estintégrablesur

∂Ω

:

2 Z

Ω

div

(σ(u))

·(m·∇)u

d

x

− (n − 2)

Z

Ω

σ(u) : ǫ(u)

d

x

+

Z

∂Ω

Θ(u, u)

d

γ.

Nous onsidérons don su essivementles as suivants :

Ω

⊂ R

n

et

Γ =

∅

.

Ω

⊂ R

2

estun p olygone et

Γ

estréduit à deuxp oints.

Ω

⊂ R

2

estun domaine régulierde lasse

C

2

et

Γ

est réduità deuxp oints.

Ω

⊂ R

n

estun domainerégulierde lasse

C

2

,

Γ

une sous-variété de o dimension

2

. Le as d'un domaine de dimension

n

sans interfa e

Soit

n

≥ 3

.Soit

Ω

unouvertb orné onnexe de

R

n

telque,au sens deNe£as([31 ℄),

∂Ω

estde lasse

C

2

.Entoutp oint

x

de

∂Ω

,ondénit

ν

(x)

leve teurnormalunitairesortant ( f gure 4).

On xe

x

0 ∈ R

n

_{\ Ω}

et on dénit la partition de la frontière de

Ω

ommeen (5). On supp ose :

Γ = ∂Ω

N

∩ ∂Ω

D

=

∅.

(13)

On obtient larelationde typ e Relli hsuivante : Théorème0.4.1. Soit

n

≥ 2

. Soit

Ω

⊂ R

n

un domaine borné de lasse

C

2

dont la frontière vérie (1) et (13). Soit

u

∈ H

1 _(Ω)

solution du problème (12) ave

f

_{∈ L}

2 (Ω)

,

g

∈ H

3/2

_(∂Ω

D

)

,

h

∈ H

1/2

_(∂Ω

(17)

Ω

∂Ω

N

∂Ω

D

x

₀

Fig. 4 Un exemple dedomaine

Ω

sansinterfa e.

Θ(u, u)

appartient à

L

1 _(∂Ω)

et

2 Z

Ω

div

(σ(u))

·(m·∇)u

d

x

= d

Z

Ω

σ(u) : ǫ(u)

d

x

+

Z

∂Ω

Θ(u, u)

d

γ.

Preuve. Pour prouver ette relation, on ommen e par prouver que

u

∈ H

2 _(Ω)

. Pour la régularité intérieure, on se ramène par tron ature à une équation de l'élasti ité dans

R

n

, dont les solutions sont

H

2

. Pour la régularité à la frontière, on utilise une métho de lassiquede quotientsdiérentiels.

On applique alors deuxfois la formuledeGreen, p our obtenirle résultat. Le as d'un p olygone plan

Soit

Ω

⊂ R

2

un p olygone plan onvexe, dont la frontière vérie (1) et (5), ( f gure 5).On a alors

Γ =

_{s

1 , s

2 },

(14)

où

s

1

et

s

2

sont onsidérés omme des sommets de

∂Ω

. C'est don en

s

1

et

s

2

que des singularités apparaissent,et on vanoter

c(s)

le o e ientdesingularité asso ié au p oint

s

.

En haque p oint

s

i

, on dénit

ω(s

i

)

l'angle de

Ω

, et si

ω(s

i

) = π

, on note

τ

(s

i

)

le ve teurtangent unitaireà

∂Ω

dirigéde

∂Ω

N

vers

∂Ω

D

. La ondition (5) implique:

ω(s

i

) = π

⇒ m(s

i

)

·ν(s

i

) = 0.

(15) On va p oser

Υ = 8

(2µ + λ)(3µ + λ)

πµ

π

2 + ln

2 3µ + λ

µ + λ

,

(16)

(18)

Ω

∂Ω

D

s

₂

ω

2 x

₀

∂Ω

N

s

₁

ω

1 ν

₂

τ

₂

Fig.5 Unexemple de domainep olygonal. eton obtient larelation detyp eRelli hsuivante:

Théorème0.4.2. Soit

Ω

⊂ R

2

un polygone plan onvexe, dont la frontière vérie (1), (14) et (15). Soit

u

∈ H

1 _(Ω)

la solution du problème (12) ave

f

_{∈ L}

2 (Ω)

,

g

∈ H

3/2

_(∂Ω

D

)

,

h

∈ H

1/2

_(∂Ω

N

).

Θ(u, u)

appartient à

L

1 _(∂Ω)

et

2 Z

Ω

div

(σ(u))

·(m·∇)u

d

x

=

Z

∂Ω

Θ(u, u)

d

γ

+ Υ

X

s

∈{s

₁

,s

₂

}

ω(s)=π

c(s)

2 (m(s)

_{·τ (s)).}

(17)

Pour prouver e théorème,on utilise les résultats deP. Grisvard [12℄, étendus par B. Merouani[27 ℄et on pro ède ommedans [13℄.

Preuve.La solution

u

est

H

2

au voisinage detout p oint de

Ω

\ Γ

. Pour un p ointde

Ω

qui n'est pas un sommet,on pro ède ommedans le as pré édent, et p our un sommet qui n'est pas

s

1

ou

s

2

, on utilise [12, 27 , 14 ℄.

On onsidère don

s

∈ Γ

, et on se ramènepar tron ature au problèmesuivant :







−

div

(σ(˜

u)) = ˜f

dans

H ;

˜

u

= 0

sur

∂

H

D

;

σ(˜

u)ν = 0

sur

∂

H

N

;

(18) où

H = {(r, θ) ∈ R

∗+

_{× (0, ω)}}

,

∂

H

D

=

{(r, 0) / r > 0}

,

∂

H

N

=

{(r, ω) / r > 0}

en

o ordonnées p olaires, etoù

˜f ∈ L

2 ₍

_H)

(19)

0 ω

∂

_H

N ǫ

∂

_H

Dǫ

H

ǫ

ρ

˜

Γ

ǫ

Fig. 6 Exemplede

H

ǫ

p our

ω < π

.

Pour

ε > 0

, on dénit ( f gure 6) :











H

ε

=

{(r, θ) ∈ (ε, +∞) × (0, ω)},

∂

_H

Dε

=

{(r, 0) / r > ε},

∂

_H

N ε

=

{(r, ω) / r > ε},

˜

Γ

ε

=

{(ε, θ) / θ ∈ (0, ω)},

telsque

∂

H

ε

= ∂

H

Dε

∪ ∂H

N ε

∪ ˜Γ

ε

. Comme

u

˜

∈ H

2 ₍

_H

ε

)

, lethéorème0.4.1 donne

2 Z

H

ε

div

(σ(˜

u))

·(m·∇˜u)

d

x

=

Z

∂H

ε

Θ(˜

u, ˜

u)

d

γ.

(19)

Grâ e au théorèmedeLeb esgue, on a

Z

H

ε

div

(σ(˜

u))

·(m·∇)˜u

d

x

−−→

ε→0

Z

H

div

(σ(˜

u))

·(m·∇)˜u

d

x.

Pour la onvergen e de l'intégrale frontière dans (19), on utilise la stru ture de la solution de(18) qui est fourni par [12, 27 ,14 ℄. On onsidèrealors deux as.

Premier as :

ω < π

. On note

ν =

1

2 λ

λ + µ

le o e ient de Poisson du système. On

onsidèrealors l'équationen

α

suivante:

sin

2 _{(αω) =}

4(1

− ν)

2 − α

2 sin

2 ω

(20)

Soit

(α

i

)

i=1,K

les ra ines omplexesde(20) tellesque

ℜα ∈]0, 1]

. Grâ e à [12, 27, 14 ℄, on obtient

∃u

R

∈ H

2 (

H), ∀i ∈ [1, K], ∃v

i

1 , v

2 i

∈ (C

∞

([0, ω], C))

2

:

˜

u

= u

R

+

P

K

_i=1

ℜ[r

α

i

(v

1 i

(θ) + ln(r)v

2 i

(θ))].

(21)

Or, nous obtenons lapropriété suivante sur les ra ines( f [37 ,33 ℄): Lemme0.4.1.

∀i ∈ [1, K], ℜα

i

>

1

2

.

Dans e as, la régularité est susante p our qu'au un terme orre tif n'apparaisse dans la relationdetyp e Relli h.On obtient:

Z

∂H

ε

Θ(˜

u, ˜

u)

d

γ

−−→

ε→0

Z

∂H

Θ(˜

u, ˜

u)

d

γ.

(22)

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0

0.1

0.2 −8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0 x

y

U

_S1

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0

0.1

0.2 −2

−1

x

y

U

_S2

Fig.7Comp ortementlo alde

u

S1

et

u

S2

,où

u

S

= (u

S1

, u

S2

)

( o e ientsdeLamé:

λ

= µ = 1

).

Se ond as :

ω

= π

. Ánouveau, nousutilisons [12, 27 ,14 ℄.Dans e as, l'équation(20) devient

sin

2 (απ) =

4(1

− ν)

2 _{− α}

2

3 − 4ν

.

(23)

Les ra inesde (23) tellesque

ℜα ∈]0, 1]

sont

α =

1

2 + ik

et

α =

1

2 − ik

,où

k =

ln(3

_{− 4ν)}

2π

.

La solution singulièrede (18) estdon

(21)

où

v

estune fon tion

C

∞

onnue. ( fgure 7) On obtientalors le résultatsuivant :

∃!u

R

∈ H

2 (

H), ∃!c

S

∈ R

telsque

u

˜

= u

R

+ c

S

u

S

.

(25)

Dans e as pré is,

Θ(˜

u

, ˜

u

) = 0

sur

∂

H

N

et sur

∂

H

D

. Il reste don l'intégralesur

Γ

˜

ε

, eton obtient:

lim

ε→0

Z

˜

Γ

ε

Θ(˜

u

, ˜

u

)

d

γ

= c

2 S

lim

_ε→0

Z

˜

Γ

ε

Θ(u

S

, u

S

)

d

γ

= Υc

2 S

(m(0)

·τ (0)),

equi donnele résultat.

Le as d'un domaine de dimension

2

.

Ω

∂Ω

D

s

₂

x

₀

∂Ω

N

s

₁

ν

₂

τ

₂

τ

₁

ν

₁

Fig. 8 Unexemple de domaine

Ω

en dimension

2

. Nous onsidérons i i un domaine onnexe

Ω

⊂ R

2

, dont la frontière

∂Ω

est de lasse

C

2

et vérie (1) et (14) (Dans (14),

s

1

et

s

2

sont deux p oints de

∂Ω

( f gure 8)). On supp osedeplus qu'ilexiste

x

0 ∈ R

2

telque (5) estvérié.Entoutp oint

s

i

,on note

τ

(s

i

)

leve teur tangentà

∂Ω

, dirigé de

∂Ω

N

vers

∂Ω

D

.

On observe que:

(22)

Dans e as, larelation detyp e Relli hs'é rit: Théorème0.4.3. Soit

Ω

⊂ R

2

un domaine borné onnexe de lasse

C

2

qui vérie (1), (14) et (26). Soit

u

∈ H

1 _(Ω)

une solution du problème (12) ave

f

_{∈ L}

2 (Ω)

,

g

∈ H

3/2

_(∂Ω

D

)

,

h

∈ H

1/2

_(∂Ω

N

).

(27)

Θ(u, u)

appartient à

L

1 _(∂Ω)

et

2 Z

Ω

div

(σ(u))

·(m·∇)u

d

x

=

Z

∂Ω

Θ(u, u)

d

γ

+ Υ

X

s

∈{s

₁

,s

₂

}

c(s)

2 (m(s)

_{·τ (s))}

où

c(s)

estle oe ient desingularitéde

u

en

s

, etoù

Υ

estune onstante positivedénie en (16).

Á nouveau, nous avons b esoin de onnaître la stru ture de la solution. Nous allons d'ab ord regarder le as d'un demi-disque,puis passer au as général.

Le as du demi-disque Pour

ρ > 0

, on dénit en o ordonnées p olaires :

D

+

_{(ρ) =}

(0, ρ)

_{× (0, π) ; ∂D}

_N

+

(ρ) = (0, ρ)

_{× {π}}

et

∂D

+

D

(ρ) = (0, ρ)

× {0} ∪ {ρ} × (0, π)

( f gure

9).On onsidèrealors leproblèmesuivant :







−

div

(σ(u)) = f

dans

D

+

_{(ρ) ;}

u

= 0

sur

∂D

+

D

(ρ) ;

σ(u)ν = 0

sur

∂D

+

N

(ρ) ;

(28) où

f

∈ L

2 _(Ω)

.

ρ

D

+

(ρ)

∂D

+

_D

(ρ)

∂D

+

_D

(ρ)

∂D

_N

+

(ρ)

Fig. 9 Le demi-disque

D

+

_(ρ)

.

On note

u

˜

S

lafon tion dénie en(24) dans tout le demi-plan.On dénitalors

u

S

(r, θ) = ˜

u

S

(r, θ)ς(r),

(29)

où

ς(r)

est unefon tions detron ature,

C

∞

,valant

1

au voisinage de

0

et

0

à partird'un ertain

r

0

.

(23)

Grâ e auxrésultats du as p olygonal, on a:

u

le solution du problème (28), où

f

∈ L

2 _(D

+

_(ρ))

. On a :

∃!u

R

∈ H

2 (D

+

(ρ)),

∃!c

S

∈ R

tels que

u

= u

R

+ c

S

u

S

,

où

u

S

est dénie en (29).

En d'autrestermes,si on dénitl'op érateur

A

ρ

par

D(A

ρ

) =

{v ∈ H

1 D

(D

+

(ρ))/

A

ρ

v

∈ L

2 (D

+

(ρ))

,

σ(v)ν = 0

sur

∂D

+

N

(ρ)

}

A

ρ

v

=

−

div

(σ(v)),

on a :

D(

A

ρ

)

⊂ H

2 (D

+

(ρ))

⊕ Ru

S

.

Nous aurons de plus b esoin dans la suite de deux théorèmes, p ermettant d'estimer resp e tivementle o e ientdesingularité

c

S

etla partierégulière

u

R

.

Théorème0.4.5. Pour

f

∈ L

2 _(D

+

_(ρ))

, soit

u

la solution du problème (28) et soit

c

S

le oe ient de singularité de

u

. Il existe

κ

∈ R

∗

, indépendant de

f

, tel que

c

S

=

1 κ

Z

D

+

_(ρ)

S

∗

_·f

d

x.

Preuve.Ons'inspirede equiaétéfaitp ourl'équationdesondesdans[11℄,enutilisant une solution

L

2

du problème(28), ave

f

= 0

. Théorème0.4.6. Pour

f

∈ L

2 _(D

+

_(ρ))

, soit

u

∈ D(A

ρ

)

la solution du problème (28).

Soit

u

R

∈ H

2 _(D

+

_(ρ))

la partierégulière de

u

. il existe

C > 0

indépendant de

f

tel que

ku

R

k

H

2 _(D

+

_(ρ))

≤ Ckfk

L

2 _(D

+

_(ρ))

.

Preuve.On applique essentiellementle théorèmedel'appli ation ouverte.

Le as général. On onsidèremaintenantle as d'un domaine

Ω

vériantles onditions géométriquesdonnées endébut deparagraphe. Commedans le as p olygonal,lasolution du problème(12) est

H

2 Ω

\ Γ

.

Soit maintenant

s

un des deuxp ointsdel'interfa e,etsoit

W

⊂ R

2

un voisinage de

s

. On note ( f gure 10):

w = W

_{∩ Ω, ∂w}

N

= W

∩ ∂Ω

N

,

∂w

D

= (W

∩ ∂Ω

D

)

∪ (∂w ∩ Ω).

(30)

Grâ e àun pro édé delo alisation, on se ramène au problèmesuivant:







−

div

(σ(u)) = g

dans

w ;

u

= 0

sur

∂w

D

;

σ(u)ν = 0

sur

∂w

N

;

(31) où

g

∈ L

2 _(w)

.

(24)

w

∂w

N

∂w

D

∂w

D

s

Fig. 10 Exemple de

w

. Pour eproblème,on dénitl'op érateur

B

par

D(B) = {v ∈ H

1 D

(w)/

Bv ∈ L

2 (w)

,

σ(v)ν = 0

sur

∂w

N

}

Bv = −

div

(σ(v)).

On p eut supp oser que

w

est tel qu'il existe un

C

2

-diéomorphisme

φ

de

w

sur le demi-disque

D

+

_(ρ)

,p our un

ρ > 0

, telque

φ(s) = 0,

φ(∂w

D

) = ∂D

_D

+

(ρ),

φ(∂w

N

) = ∂D

+

_N

(ρ).

(32)

Grâ e à ediéomorphisme, on seramène au systèmep erturb é suivant :







−

div

(˜

σ(˜

u)) = ˜

g

dans

D

+

_{(ρ) ;}

˜

u

= 0

sur

∂D

+

D

(ρ) ;

˜

σ(˜

u)ν = 0

sur

∂D

+

N

(ρ) ;

(33) où

g

˜

∈ L

2 _(D

+

_(ρ))

,et où

σ(˜

˜

u) = µ

∇φ(∇˜u∇φ +

t

_∇φ

t

∇˜u) + λ(∇φ: ∇˜u)∇φ.

Comme dans [4℄, on regarde leproblème(33) ommeune p etitep erturbation du pro-blème(28), eton obtientle résultatde régularité suivant:

w

un ouvert de

R

2

déni en (30). Il existe

ρ > 0

et un

C

2

-diéomorphisme

φ

de

w

sur

D

+

_(ρ)

tel que (32) est vérié et

D(

_{B) ⊂ H}

2 _(w)

_{⊕ R(u}

S

◦ φ),

où

u

S

est déni en (29).

Preuve. On prend

ρ

et

φ

ommedans le théorème.Soit

A

˜

ρ

l'op érateurdéni par

D( ˜

_A

ρ

) =

{˜v ∈ H

1 D

(D

+

(ρ))/ ˜

A

ρ

v

˜

∈ L

2 (D

+

(ρ))

,

˜

σ(˜

v)ν = 0

sur

∂D

+

N

(ρ)

}

˜

A

ρ

v

˜

=

−

div

(˜

σ(˜

v)).

(25)

erturba-Lemme 0.4.2. Pour

ρ > 0

et

v

∈ D(A

ρ

)

,

β(v)

˜

appartient à

H

1 _(D

+

_(ρ))

4

et il existe

C > 0

, indépendant de

ρ

, tel que

∀v ∈ D(A

ρ

),

k ˜

β(v)

k

H

1 _(D

+

_(ρ))

4 ≤ C

√

ρ

kvk

_D(A

_ρ

₎

.

Preuvede la relation de typ e Relli h. On p eutmaintenantprouverlethéorème0.4.3. Soit

u

∈ H

1 _(Ω)

unesolution duproblème(12),satifaisantles onditions(27).On pro ède ommedans le as p olygonal.

On se ramènepar un résultatde tra eau problèmesuivant :







−

div

(σ(U)) = F

dans

Ω ;

U

= 0

sur

∂Ω

D

;

σ(U)ν = 0

sur

∂Ω

N

;

(34) où

F

∈ L

2 _(Ω)

.

On prend un

ε > 0

susammentp etit,et on note











Ω

ε

= Ω

\ (D(s

1 , ε)

∪ D(s

2 , ε)) ;

∂Ω

Dε

= ∂Ω

D

\ (D(s

1 , ε)

∪ D(s

2 , ε)) ;

∂Ω

N ε

= ∂Ω

N

\ (D(s

1 , ε)

∪ D(s

2 , ε)) ;

˜

Γ

ε

= (∂D(s

1 , ε)

∪ ∂D(s

2 , ε))

∩ Ω ;

detellesorte que

∂Ω

ε

= ∂Ω

Dε

∪ ∂Ω

N ε

∪ ˜Γ

ε

.

Pour

s

∈ Γ

, on applique le théorème 0.4.7 à

U

sur

D(s, ε)

∩ Ω

. On a alors

u

R

∈

H

2 _{(D(s, ε)}

_{∩ Ω)}

et

c

S

∈ R

telsque

u

= u

R

+ c

S

(u

S

◦ φ)

.

On inje te ette dé omp osition dans

Θ(u, u)

p our prouver que

Θ(u, u)

appartient à

L

1 _(∂Ω)

.

Puis, omme

u

∈ H

2 _(Ω

ε

)

,on applique deuxformulesde Greenp our obtenir

Z

Ω

ε

div

(σ(u))

·(m·∇)u

d

x

=

Z

∂Ω

ε

Θ(u, u)

d

γ.

Grâ e au théorèmedeLeb esgue, on obtient

Z

Ω

ε

div

(σ(u))

·(m·∇)u

d

x

−−→

ε→0

Z

Ω

div

(σ(u))

·(m·∇)u

d

x,

Z

∂Ω

Dε

∪∂Ω

N ε

Θ(u, u)

d

γ

−−→

ε→0

Z

∂Ω

Θ(u, u)

d

γ.

Puis, ommedans le as p olygonal, on a:

Z

˜

Γ

ε

Θ(u, u)

d

γ

−−→

ε→0

Υc

2 S

(m(0)

·τ (0)).

(26)

Le as d'un domaine de dimension

n

Nous onsidéronsmaintenantle asd'undomaine

Ω

⊂ R

n

,ave

n

≥ 3

,dontlafrontière

∂Ω

est de lasse

C

2

et vérie (1). On supp ose que

Γ = ∂Ω

D

∩ ∂Ω

N

vérie (6). ( f gure 11). On supp ose de plus qu'ilexiste

x

0 ∈ R

n

tel que (5) estvérié, eton observeque :

m

_{·ν = 0,}

sur

Γ.

(35)

τ

ν

∂Ω

D

x

₀

∂Ω

N

Ω

Γ

Fig. 11Un exemple dedomaine

Ω

.

En tout p oint

s

de

Γ

, on onsidère

Γ

ommeune sous-variété de

∂Ω

de o-dimension

1

, eton note

τ

(s)

le ve teur normalunitaireà

Γ

dirigéde

∂Ω

N

vers

∂Ω

D

. On p ose

d = n

− 2

. La relation detyp e Relli hs'é rit :

Ω

⊂ R

n

un domaine borné onnexe de lasse

C

2

qui vérie (1), (6) et (35). Soit

u

∈ H

1 _(Ω)

une solution du problème (12) ave

f

_{∈ L}

2 (Ω)

,

g

∈ H

3/2

_(∂Ω

D

)

,

h

∈ H

1/2

_(∂Ω

N

).

(36)

Θ(u, u)

appartient à

L

1 _(∂Ω)

, et on peut al uler

c

e

S

, c

S1

, . . . , c

Sd

les oe ients de singularités de

u

appartenant à

L

2 _(Γ)

tels que

2 Z

Ω

div

(σ(u))

·(m·∇)u

d

x

= (n

− 2)

Z

Ω

σ(u) : ǫ(u)

d

x

+

Z

∂Ω

Θ(u, u)

d

γ

+

Z

Γ

Υc

e

S

(s)

2 +

µπ

4 d

X

i=1

c

Si

(s)

2 !

m

(s)

·τ (s)

d

s

,

où

Υ

est la onstante positive dénie en (16).

(27)

Le as du demi- ylindre On onsidère le as

Ω = C

+

_{(ρ) = D}

+

_(ρ)

_{× R}

d

, ( f gure 12). Les o ordonnées de

x

∈ C

+

_(ρ)

seront notées

(x

1 , x

2 , z)

,où

z

= (z

1 , . . . , z

d

)

∈ R

d

.

0 ∂C

_N

+

(ρ)

x

₂

x

1 z

∂C

_D

+

(ρ)

C

+

(ρ)

Γ(ρ)

Fig. 12Le demi- ylindre

C

+

_(ρ)

. On dénit

∂C

+

N

(ρ) = ∂D

+

N

(ρ)

× R

d

, ∂C

D

+

(ρ) = ∂D

+

D

(ρ)

× R

d

, Γ(ρ) =

{(0, 0)} × R

d

.

On onsidèrealors le problèmesuivant :







−

div

(σ(u)) = f

dans

C

+

_{(ρ) ;}

u

= 0

sur

∂C

+

D

(ρ) ;

σ(u)ν = 0

sur

∂C

+

N

(ρ).

(37)

On veut généraliser les résultats obtenus p our la dimension

2

. Pour ela, on note

u

e

_S

_{∈ (H}

1 (D

+

_(ρ)))

2

la solution singulièredénie en(29) p our l'équationdel'élasti itéen dimension

2

.Onnote

u

l

S

∈ H

1 (D

+

(ρ))

lafon tiondeShamirdénieen(9)p ourl'équation deLapla e. On dénitalors

u

S

∈ H

1 _(D

+

_(ρ))

par :

u

S

=







u

e

_S

u

l

S

. . .

u

l

S







.

(38)

(28)

u

la solution du problème (37),ave

f

∈ L

2 _(C

+

_(ρ))

. On a : 1)

∀i ∈ {1, . . . , d}

,

∂u

∂z

i

∈ H

1 _(C

+

_(ρ))

, et il existe

C > 0

, indépendant de

ρ

tel que

∂u

∂z

i

H

1 (C

+

(ρ))

≤ Ckfk

L

2 (C

+

(ρ))

;

2)

∃!u

R

∈ L

2 _(R

d

_{, H}

2 _(D

+

_(ρ)))

et

∃!c

S

∈ L

2 _(R

d

₎

tels que

u

= u

R

+ u

S

⊗ c

S

,

où

u

S

est déni en (38), et tels qu'il existe

C > 0

, indépendant de

ρ

tel que

ku

R

k

L

2 ₍

R

d

,

H

2 (D

+

(ρ)))

≤ Ckfk

L

2 _(C

+

_(ρ))

et

kc

S

k

L

2 (

R

d

)

≤ Ckfk

L

2 _(C

+

_(ρ))

.

Preuve. Le premier p oint du théorème s'obtient grâ e à la métho de des quotients diérentiels.

Pourledeuxièmep oint,on note

u

=

t

_(u

1 , . . . , u

n

)

lasolution du problème(37). Nous

allons montrer que la solution singulière du système de l'élasti ité en dimension

n

est omp osée, p our

(u

1 , u

2 )

, de la solution singulière du systèmede l'élasti itéen dimension

2

, etdans lesautres dire tions,de lasolution singulièrede l'équation deLapla e. On note

u

e

=

u

1 u

2 ∈ (H

1 (C

+

(ρ)))

2 .

On note de plus div

2

l'op érateur de divergen e dans

R

2

,

ǫ

2 (u

e

₎

et

σ

2 (u

e

₎

le tenseur des déformations etle tenseurdes ontraintes endimension2.

u

e

vérie alors :







−

div

2 (σ

2 (u

e

_{)) = g}

e

dans

C

+

_{(ρ) ;}

u

e

= 0

sur

∂C

+

D

(ρ) ;

σ

2 (u

e

)ν = h

e

sur

∂C

+

N

(ρ) ;

(39) où

g

e

_{∈ (L}

2 _(C

+

_(ρ)))

2

et

h

e

_{∈ (H}

1/2

_(C

+

_(ρ)))

2

. Grâ e à un résultat de tra e, on se ramène à

h

e

_{= 0}

. Comme iln'y a au une dérivée par rapp ortà

z

dans ette équation,nous p ouvons travaillerà

z

xé.On se ramènealors àune équationdel'élasti itéendimension

2

.Grâ eauxthéorèmes0.4.4,0.4.5et0.4.6,on p eut é rire

u

e

_{(., z) = u}

e

R

(., z) + c

e

S

(z)u

e

S

, où

c

e

S

∈ L

2 (R

d

)

ave

kc

e

S

k

L

2 ₍

R

d

₎

≤ Ckfk

L

2 _(C

+

_(ρ))

et

u

e

R

∈ (L

2 (R

d

, H

2 (D

+

(ρ))))

2

ave

ku

e

R

k

(L

2 ₍

R

d

,H

2 (D

+

(ρ))))

2 ≤ Ckfk

L

2 _(C

+

_(ρ))

. On é rit

∆

2 = ∂

11 + ∂

22

, etp our

i

∈ {3, . . . , n}

, on a :







−∆

2 u

i

= g

i

dans

C

+

_{(ρ) ;}

u

i

= 0

sur

∂C

+

D

(ρ) ;

∂

2 u

i

= h

i

sur

∂C

+

N

(ρ).

(40) où

g

i

∈ L

2 _(C

+

_(ρ))

et

h

i

∈ H

1/2

_(C

+

_(ρ))

. Grâ e à [4℄,ilexiste

u

Ri

∈ L

2 _(R

d

_{, H}

2 _(D

+

_(ρ)))

et

c

Si

∈ L

2 _(R

d

₎

telque

u

i

= u

Ri

+ u

l

S

⊗ c

Si

,

ettel qu'ilexiste

C > 0

indép endant de

ρ

telque

ku

Ri

k

L

2 ₍

R

d

_,H

2 _(D

+

_(ρ)))

≤ Ckfk

L

2 (C

+

(ρ))

,

kc

Si

k

L

2 (

R

d

₎

≤ Ckfk

L

2 (C

+

(ρ))

.

(29)

On note don

u

R

=







u

e

_R

u

R3

. . .

u

Rn







et

c

S

=







c

e

S

c

e

S

c

S3

. . .

c

Sn







.

eton obtientle résultat.

Remarque.Nousallonsutiliserlethéorème0.4.9sousuneformediérente.Pour

ρ > 0

, soit

B

d

(ρ)

la b oule de

R

d

de entre

0

etde rayon

ρ

. On dénit alors











˜

C

+

_{(ρ) = D}

+

_(ρ)

_{× B}

d

(ρ),

∂ ˜

C

_N

+

(ρ) = ∂D

_N

+

(ρ)

_{× B}

d

(ρ),

∂ ˜

C

_D

+

(ρ) = ∂ ˜

C

+

_(ρ)

_{\ ∂ ˜}

_C

+

N

(ρ),

˜

Γ(ρ) =

_{{(0, 0)} × B}

d

(ρ),

(41)

eton onsidère leproblèmesuivant :







−

div

(σ(u)) = f

dans

C

˜

+

_{(ρ) ;}

u

= 0

sur

∂ ˜

C

+

D

(ρ) ;

σ(u)ν = 0

sur

∂ ˜

C

+

N

(ρ).

(42) où

f

∈ L

2 _{( ˜}

_C

+

_(ρ))

.

Sion dénit l'op érateur

A

ρ

par

D(A

ρ

) =

{v ∈ H

1 D

( ˜

C

+

(ρ))/

A

ρ

v

∈ L

2 ( ˜

C

+

(ρ))

,

σ(v)ν = 0

sur

∂ ˜

C

+

N

(ρ)

}

A

ρ

v

=

−

div

(σ(v)),

on obtient

D(

A

ρ

)

⊂ H

2 ( ˜

C

+

(ρ))

⊕ u

S

⊗ L

2 (B

d

(ρ)) .

Ilrestemaintenantàestimerlanorme

H

2

delapartierégulière,et ommedansle as dela dimension

2

, on obtient:

Théorème0.4.10. Pour

f

∈ L

2 _{( ˜}

_C

+

_(ρ))

, soit

u

∈ D(A

ρ

)

la solution du problème (42).

Soit

u

R

∈ H

2 _{( ˜}

_C

+

_(ρ))

la partierégulière de

u

. Il existe

C > 0

indépendant de

f

tel que

ku

R

k

H

2 _{( ˜}

_C

+

_(ρ))

≤ Ckfk

L

2 _{( ˜}

_C

+

_(ρ))

.

Le as général. On onsidère maintenant le as d'un domaine onnexe b orné

Ω

de lasse

C

2

et vériant (1), (6) et (35). Commedans le as de la dimension

2

, la solution du problème(12) est

H

2 Ω

\ Γ

. Soit maintenant

s

∈ Γ

, et soit

W

⊂ R

n

un voisinage de

s

. On dénit ( fgure 13) :

w = W

_{∩ Ω ; ∂w}

N

= W

∩ ∂Ω

N

;

∂w

D

= (W

∩ ∂Ω

D

)

∪ (∂w ∩ Ω) ; γ = W ∩ Γ.

(30)

w

∂w

N

∂w

D

s

γ

τ

Fig. 13 Exemple de

w

.

Par un pro édéde lo alisation, on se ramèneau problèmesuivant :







−

div

(σ(u)) = g

dans

w ;

u

= 0

sur

∂w

D

;

σ(u)ν = 0

sur

∂w

N

;

(44) où

g

∈ L

2 _(w)

.

Pour eproblème,on dénitl'op érateur

B

par

D(B) = {v ∈ H

1 D

(w)/

Bv ∈ L

2 (w)

,

σ(v)ν = 0

sur

∂w

N

}

Bv = −

div

(σ(v)).

On p eutsupp oser que

w

esttelqu'ilexisteun

C

2

-diéomorphisme

Φ

de

w

sur

C

˜

+

_(ρ)

, p our un

ρ > 0

, quisatisfait :

Φ(s) = 0,

Φ(∂w

D

) = ∂ ˜

C

_D

+

(ρ),

Φ(∂w

N

) = ∂ ˜

C

_N

+

(ρ),

Φ(γ) = ˜

Γ(ρ).

(45)

Delamêmefaçonquedansle asdeladimension

2

,onobtientlerésultatderégularité suivant :

w

un ouvert de

R

n

déni omme en (43). Il existe

ρ > 0

et un

C

2

-diéomorphisme

Φ

de

w

sur

C

˜

+

_(ρ)

tel que (45) est vérié et

D(

_{B) ⊂ H}

2 _(w)

_{⊕ u}

S

⊗ L

2 (B

d

(ρ))

◦ Φ .

(31)

Preuve de la relation de typ e Relli h. On p eut prouver à présent le théorème 0.4.8. Soit

u

∈ H

1 _(Ω)

une solutiondu problème(12),vériantles onditions(36).Onseramène grâ eà un résultat detra e au problèmesuivant :