Turbulence dans l'espace de Fourier: mesures de vorticité par diffusion acoustique

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Cédric Poulain

To cite this version:

Cédric Poulain. Turbulence dans l’espace de Fourier: mesures de vorticité par diffusion acoustique. Acoustique [physics.class-ph]. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 2003. Français. �tel-00007506�

Manuscrit de TH `ESE

pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSIT´E GRENOBLE I

Discipline : M ´ECANIQUE DES FLUIDES

pr´esent´ee et soutenue publiquement

par

C´edric Poulain le 5 Septembre 2003

Titre :

Turbulence dans l’espace de Fourier :

Mesures de vorticit´

e par diffusion acoustique

Directeurs de th`ese : Christophe Baudet et Yves Gagne

JURY

M. T. Dombre , Pr´esident

M. O. Michel , Rapporteur

M. J.F. Pinton , Rapporteur

M. A. Arneodo , Examinateur

M. C. Baudet , Directeur de th`ese

Remercier est un acte difficile, au-del`a du simple “merci” de courtoisie. Il est bien souvent plus facile de critiquer une personne que de reconnaˆıtre, surtout en face `a face, ses qualit´es intrins`eques ou encore le plaisir que sa pr´esence vous procure. Si le parcours du combattant qu’est une th`ese est parsem´e d’embˆuches, il est (heureusement) jalonn´e de rencontres aussi nombreuses qu’enrichissantes. La premi`ere de celle-ci, et certainement la plus cruciale, est celle du (ou des) directeur(s) de th`ese. Dans mon cas particulier, j’ai eu la chance de b´en´eficier du soutien de DEUX directeurs de th`ese.

Pour ne pas faire de jaloux, je commencerai par ordre d’apparition avec Yves que j’ai ren-contr´e d`es mon arriv´ee en Maˆıtrise `a Grenoble. Je lui dois, `a l’instar de beaucoup d’´etudiants, mon int´erˆet pour la M´ecanique des fluides. Sa passion communicative et sa p´edagogie par l’exemple sont des qualit´es tr`es rares chez un enseignant du sup´erieur de nos jours... Mais je garderai surtout le souvenir d’un encadrement et d’un soutien moral constants et infaillibles. Il m’est difficile de trouver les mots pour d´ecrire un tel ´echange mais saches, Yves que sans toi, je n’aurais probablement pas men´e cette th`ese `a son terme...

Quant `a Christophe, je lui dois ´egalement ´enorm´ement : sa disponibilit´e sans limite en d´epit d’un emploi du temps d´ej`a bien rempli et des aller-retours incessants entre Lyon et Grenoble, sa sensibilit´e exacerb´ee, sa passion d´evorante de la physique et de la turbulence en particulier, des discussions `a n’en plus finir o`u l’on se met `a douter de tout en d´efendant chacun son point de vue becs et ongles, sont autant de qualit´es ou de moments forts qui me manqueront en le quittant. Bref, j’ai eu la chance extrˆemement rare de b´en´eficier d’un duo de choc, duo `a la fois antagoniste et compl´ementaire, que je recommande sans r´eserve `a tout ´etudiant de DEA ! Je voudrais d’autre part remercier ici sinc`erement mon jury de th`ese, qui me laissera un grand souvenir de la soutenance : tout d’abord Thierry Dombre, pour sa gentillesse et `a qui je souhaite un bon “retour” en Turbulence, Olivier Michel pour sa relecture d´etaill´ee et approfondie du manuscrit, Jean-Fran¸cois Pinton pour ses encouragements r´ep´et´es et soutenus et enfin Alain Arneodo pour son int´erˆet port´e `a mon travail.

Je remercie ´egalement ici Bernard Castaing d’avoir fait le d´eplacement pour assister `a ma soutenance ; sa pr´esence inattendue m’a fait un tr`es grand plaisir.

et Yves, en les f´elicitant pour la manip du CERN ; je n’ai jamais vu autant de fils enchevˆetr´es sur une manip...

Concernant le personnel du LEGI, je tiens `a remercier (dans le d´esordre et sans tous les citer) : B´eatrice Janiaud avec qui j’ai eu en particulier le plaisir de faire mon DEA, les techniciens et ing´enieurs pour leurs belles manips ou leurs jolis boitiers ´electroniques, et enfin les indispensables th´esards toujours partant pour une pause caf´e permettant d’oublier l’espace d’un instant le cauchemar de la manip rat´ee. Je pense en particulier `a Aude et Benjamin (en souvenir des soir´ees pierrades), ainsi qu’`a Nicolas et Philippe G. `a qui je souhaite bonne chance pour la suite. Concernant les ex-LEGI qui ont compt´e et comptent encore beaucoup pour moi (le toit de la Salette n’est pas fini ! !), je pense `a J´erˆome et Benoit, c´elibataires endurcis ; `a Philippe, futur p`ere de famille ´epanoui ; `a Claire, toujours radieuse et enfin `a Paulo (merci des conseils COTOREP !).

Enfin mes remerciements vont `a tous ceux qui se sont d´eplac´es `a la Salette le lendemain du jour J. J’ai ´et´e profond´ement touch´e par votre pr´esence `a tous. Chapeau ´egalement aux instigateurs du complot...

Pour finir, je tiens `a remercier C´ecile qui chaque jour depuis plus de 10 ans me supporte, me porte, me pousse, me motive, m’´etonne, me soigne et m’en donne “plein la vue”, en un mot : me fait vivre. Je lui dois enti`erement d’ˆetre ici aujourd’hui, entre autres choses. Et depuis maintenant 3 mois, je lui dois une formidable “Odyss´ee vers la turbulette”, avec notre “mod`ele en couches” pr´ef´er´e : Ulysse.

Pr´esentation g´en´erale 11

1 La Diffusion Acoustique 25

1.1 Principe de la m´ethode . . . 25

1.1.1 Th´eorie de Lund . . . 25

1.1.2 D´emodulation h´et´erodyne . . . 30

1.1.3 Le signal complexe de diffusion : l’effet Doppler . . . 32

1.2 Caract´erisation des transducteurs r´ealis´es au laboratoire . . . 38

1.2.1 Fonctionnement des capteurs utilis´es . . . 38

1.2.2 Rappels sur la diffraction du piston plan circulaire . . . 39

1.2.3 Caract´erisation des capteurs `a l’aide d’un microphone ponctuel . . . 42

1.2.4 Simulation num´erique acoustique des capteurs . . . 50

1.3 Diffusion sur une bille m´etallique . . . 56

1.3.1 Expression du champ acoustique diffus´e . . . 57

1.3.2 Signal temporel et spectres . . . 59

1.3.3 Effet de la vitesse de la bille . . . 63

1.3.4 Evolution du signal en fonction de la fr´equence . . . 65

1.3.5 Taille du volume de mesure et r´esolution spectrale . . . 68

1.3.6 Validation par les simulations num´eriques en configuration de diffusion . . 71

1.4 Diffusion par la vorticit´e, en pratique . . . 75

1.4.1 Le pic central... . . 75

1.4.2 S’affranchir du pic central... . . 80

1.4.3 S´election d’un nombre d’onde de la vorticit´e . . . . 83

1.4.4 Une troisi`eme source d’´elargissement spectral : la diffraction . . . 86

2 Etude´ d’un mode de Fourier de la vorticit´e. 91 2.1 Ecoulements et configurations exp´´ erimentales utilis´ees . . . 91

2.1.1 Notations et conventions utilis´ees . . . 91

2.1.3 Au LEGI... . . 93

2.1.4 Au CERN... . . 95

2.2 Etude du module du signal de diffusion . . . .´ 98

2.2.1 Etude de la d´´ ecorr´elation d’un mode de Fourier de la vorticit´e . . . 101

2.2.2 Discussion . . . 113

2.3 Etude du signal complexe z(t) . . . 117´

2.3.1 Les “ailes” du CERN . . . 117

2.3.2 Analyse temps-fr´equence du signal . . . 124

2.3.3 Corr´elations vorticit´e spectrale - signal de fil chaud . . . 133

3 Spectroscopie Acoustique `a deux modes de Fourier 139 3.1 Principe de l’interf´erom´etrie . . . 139

3.1.1 Mise en oeuvre exp´erimentale . . . 139

3.1.2 Probl´ematique du traitement des signaux . . . 141

3.2 Interf´erom´etrie au voisinage d’un mode de Fourier : interactions locales . . . 142

3.2.1 L’exp´erience type . . . 142

3.2.2 Influence de la diffraction . . . 145

3.2.3 Quid de l’intercorr´elation des modules ? . . . 152

3.3 Application de l’interf´erom´etrie aux grandes s´eparations spectrales : interactions non-locales . . . 159

3.3.1 D´ecorr´elation temporelle de deux nombres d’onde distants . . . 159

3.4 Interpr´etation temps-fr´equence . . . 165

4 Intermittence des modes de Fourier 169 4.1 Intermittence d’amplitude . . . 169

4.1.1 D´emarche adopt´ee . . . 170

4.1.2 Intermittence en fonction du nombre d’onde q_s sond´e . . . 172

4.1.3 Effet du nombre de Reynolds . . . 173

4.1.4 Intermittence en fonction de l’´echelle int´egrale Λ0 du jet . . . 175

4.1.5 Interpr´etation . . . 176

4.2 Intermittence temporelle . . . 178

A DNS pseudo-spectrales : application au champ de vorticit´e 195 A.1 Pr´esentation . . . 195

A.2 R´esultats . . . 197

A.2.1 Temps de d´ecorr´elation . . . 197

A.2.2 Intermittence . . . 199

A.4 Interf´erom´etrie . . . 203 A.5 Conclusion . . . 205

B Mod´elisation par Poisson doublement stochastique 207

Cette th`ese s’inscrit dans le vaste cadre de la turbulence des fluides. Depuis 1941 et les travaux fondateurs de Kolmogorov, la turbulence est, et reste, source de nombreuses interrogations aussi bien th´eoriques qu’exp´erimentales.

Pendant de nombreuses ann´ees, les mesures exp´erimentales ont concern´e quasi-exclusivement le champ de vitesse eul´erien (grˆace `a la technique de l’an´emom´etrie `a fils chauds), et dans une moindre mesure, celle du scalaire passif (pression ou temp´erature). Depuis la fin des ann´ees 1970 et la formidable expansion de l’informatique, de nombreuses techniques jusqu’alors inapplicables ont pu voir le jour. C’est notamment le cas des mesures de vorticit´e par diffusion acoustique dont cette th`ese fait l’objet. Aujourd’hui, beaucoup de techniques rivales “s’affrontent” pour tenter d’apporter leur pierre `a l’´edifice. Pourtant, la plupart de ces techniques ne sont pas concurrentes mais compl´ementaires ; elles extraient et pr´esentent l’information diff´eremment, apportant `a chaque fois un ´eclairage nouveau sur tel ou tel ph´enom`ene, telle ou telle interpr´etation. Pour ne citer que quelques unes, disons que des techniques comme la PIV, la diffusion Raman (RELIEF), les m´ethodes de visualisations ou encore des mesures lagrangiennes pour ne citer que celles-ci apportent des informations radicalement diff´erentes, bien souvent tr`es d´elicates `a relier entres elles. Parall`element, les exp´eriences num´eriques ont b´en´efici´e de l’essor des supercalculateurs per-mettant des avanc´ees significatives ; en particulier grˆace aux DNS qui offrent, en d´epit des faibles nombres de Reynolds auxquelles elles permettent d’acc´eder, des possibilit´es de traitement et de repr´esentation des donn´ees bien sup´erieures aux exp´eriences de laboratoire. A l’heure actuelle, l’un des grands enjeux de la turbulence est probablement de bˆatir une th´eorie permettant l’uni-fication des diff´erentes et nombreuses observations exp´erimentales, r´econciliant par l`a mˆeme le point de vue statistique de la turbulence souvent oppos´e (probablement `a tort) `a une description en termes de structures coh´erentes.

La spectroscopie acoustique dont nous traiterons dans ce manuscrit est une technique compl´ e-mentaire aux pr´ec´edentes et qui se distingue par une approche spectrale de la turbulence. Nous allons voir qu’elle constitue un outil efficace et original permettant des mesures de vorticit´e uniques.

Vorticit´e et turbulence

L’une des propri´et´es les plus frappantes de la nature est la grande diversit´e des ordres de grandeurs des ´echelles de longueur qui interviennent. Ainsi, le mouvement tourbillonnaire de feuilles virevoltant au coin d’une rue porte sur des ´echelles de l’ordre du m`etre, plus petites que la centaine de m`etres de la mini-tornade ce jour d’orage, et plusieurs ordres de grandeurs au-dessous des centaines de kilom`etres que repr´esente le domaine d’influence de l’anticylone install´e sur notre belle France depuis maintenant pr`es d’un mois. En turbulence, le nombre de degr´es de libert´e, c’est-`a-dire la hi´erarchie d’´echelles en pr´esence peut s’ecrire1 (selon la ph´enom´enologie de Kolmogorov) :

L η ∝ Re

3/4 t

L et η sont respectivement la plus grande ´echelle (dite ´echelle int´egrale) et la plus petite ´echelle existant dans l’´ecoulement, l`a o`u intervient la viscosit´e (η est dite ´echelle de dissipation ou ´echelle de Kolmogorov). Re_test le nombre de Reynolds de la turbulence. Il s’agit d’un param`etre sans dimension qui d´efinit en quelque sorte le “degr´e” de la turbulence (`a la mani`ere de la temp´erature dans les transitions de phase), c’est-`a-dire le taux d’´energie qui est inject´ee au niveau de la grande ´echelle. Pour un ´ecoulement de sillage derri`ere une voiture de 2 m`etres de large roulant `a 120 km/h, le nombre de Reynolds atteint pr`es de 2.105, conduisant `a une hi´erarchie d’´echelles de l’ordre de 104, soit 4 d´ecades de tailles en pr´esence. En g´en´eral, deux ph´enom`enes dont les grandeurs caract´eristiques sont tr`es diff´erentes ont peu d’influence l’une sur l’autre : on peut les ´etudier s´epar´ement. Par exemple, l’interaction de deux mol´ecules d’eau voisines est la mˆeme qu’elles soient dans un oc´ean ou dans un verre d’eau. L’important d´ecouplage entre les petites et les grandes ´echelles d’un gaz est `a l’origine du grand succ`es de la physique statistique qui permet “d’ignorer” les quelques 1023 degr´es de libert´e d’un gaz en les param´etrant par des quantit´es moyennes mesurables telle la temp´erature ou la pression.

En turbulence homog`ene et isotrope, la th´eorie propos´ee en 1941 par Kolmogorov (`a Reynolds infini) s’appuie sur un tel d´ecouplage entre les ´echelles. Dans le cas o`u le nombre de Reynolds est fini, elle suppose qu’il existe une gamme d’´echelles interm´ediaires (dites inertielles) suffisamment 1<sub>Cette hi´erarchie correspond au nombre de degr´e de libert´e sous hypoth`ese d’ind´ependance entre les ´echelles.</sub>

petites pour ˆetre ind´ependantes de la grande ´echelle, et suffisamment grandes pour ne pas ressentir l’effet dissipatif de la viscosit´e. Dans l’espace des nombres d’onde, le transfert d’´energie des petits vers les grands nombres d’onde est un processus essentiellement local dans cet espace. Si cette description a connu (et connait encore) `a juste titre un succ`es remarquable, c’est probablement en raison de sa “simplicit´e” apparente et surtout des tr`es bonnes estimations des quantit´es moyennes qu’elle permet. En particulier le spectre d’une composante de vitesse, d´eduit d’une analyse dimensionnelle simple, doit varier selon

E(k)∼ k−5/3 (1)

´

evolution robuste et largement confirm´ee aussi bien num´eriquement qu’exp´erimentalement. La loi alg´ebrique de ce spectre traduit la fa¸con dont est r´epartie l’´energie `a travers les ´echelles (sans ´

echelle caract´eristique). D’un point de vue ph´enom´enologique, elle s’appuie sur un principe de cascade dans les ´echelles initi´ee par Richardson en 1926, les gros tourbillons se d´estabilisant en produisant de plus petits et ainsi de suite jusqu’`a l’´echelle de dissipation visqueuse. En supposant un taux de transfert d’´energie entre les ´echelles ε constant `a chaque ´etape de la cascade, on aboutit “naturellement” `a une vitesse typique de l’´echelle l d´ependant alg´ebriquement de l’´echelle

l selon :

u(l)∼ l1/3 (2)

Cette derni`ere relation est simplement la traduction dans l’espace physique de la relation 1 dans l’espace spectral. Depuis maintenant pr`es de 30 ans, si l’existence d’un spectre de pente tr`es proche de -5/3 est accept´ee, quantit´es de travaux ont montr´e que la turbulence pr´esente des ´ecarts certes minimes mais bien souvent contradictoires avec les hypoth`eses mˆeme de cette th´eorie [94, 76]. Ceci dit, et bien qu’il existe de nombreux mod`eles pr´esentant des rafinements de plus en plus subtils, aucune th´eorie actuelle n’est `a mˆeme de d´ecrire la turbulence d’une mani`ere pleinement satisfaisante. Le ph´enom`ene d’intermittence qui d’une mani`ere g´en´erale se manifeste par un ´ecart aux pr´edictions th´eoriques de Kolmogorov (1941) est la principale cause d’´echec de la plupart des mod´elisations. Dans l’espace physique, l’intermittence du champ de vitesse se traduit par la d´eformation continue, `a travers les ´echelles, des densit´es de probabilit´e des incr´ements de vitesse selon l’´echelle r. Celles-ci ´evoluent progressivement d’une forme gaussienne `a grande ´

echelle `a une forme plus piqu´ee, marqu´ee notamment par des queues exponentielles pour des incr´ements de l’ordre de l’´echelle de Kolmogorov η [98].

Une grande question reste le lien ´eventuel entre l’intermittence observ´ee sous divers aspects et les structures coh´erentes dont l’existence est maintenant av´er´ee [24]. Ces “objets” (voir Fig. 1), dont on peut penser qu’ils sont `a l’origine des ´ecarts aux pr´edictions th´eoriques de Kolmogorov jouent un rˆole dans la statistique `a un point qui n’est toujours pas clair. Pr´ecis´ement, si l’on sait aujourd’hui qu’il s’agit de structures vorticitaires intenses, essentiellement basse pression [12], leur signature en termes de mesures de vitesse eul´erienne reste `a pr´eciser. L’hypoth`ese de

Lévêque & She 1993

Simulation DNS 2563

Fig.1 – _{Champ de vorticit´e seuill´e des DNS de She & L´evˆeque pour une boite de 256}3_.

turbulence gel´ee qui permet de convertir un signal de vitesse temporel en un signal spatial par la transformation

x(t) = u(t).t (Hypoth`ese de F)

permet th´eoriquement de disposer d’un signal de vitesse spatial. Ceci dit et mˆeme si l’on consid`ere cette hypoth`ese justifi´ee, on ne dispose alors que d’un signal spatial d’une composante de vitesse. On voit alors toute la difficult´e de mettre en ´evidence des structures tridimensionnelles `a l’aide d’une coupe de vitesse 1D `a un instant donn´e. On sait en outre, grˆace aux simulations num´eriques que le champ de vitesse seuill´e (contrairement au champ de pression ou de vorticit´e) ne pr´esente pas de structures coh´erentes identifiables. La question de leur d´etection pose donc probl`eme.

Des mesures de pression ont ´egalement ´et´e tent´ees, mais bien qu’elles fournissent des visuali-sations remarquables, elles conduisent `a des r´esultats essentiellement qualitatifs. Elles consistent bien souvent en des bulles (qui migrent dans les zones de basses pression) et “marquent” ces structures organis´ees [24, 100]. En outre, la pression est une quantit´e int´egr´ee et non-locale qui d´epend instantan´ement du champ de vitesse en tous points ; on peut montrer en effet que la pression ob´eit `a une ´equation de Poisson du type2 :

∆p

ρ = (ω

2_{/2− σ}2₎

o`u ω est la vecteur vorticit´e et σ est l’´etirement3,

2_{Comme le remarque Nelkin [76] cela sugg`ere une analogie electrostatique dans laquelle le carr´e de la vorticit´e}

repr´esente les charges positives et le carr´e de l’´etirement les charges n´egatives. S’il existe des r´egions de forte vorticit´e et de faible ´etirement, elles doivent correspondre `a des zones de basse pression. Cela est en accord avec les mesures de Douady [24].

3_{σ = σ}

ijσijo`u σij= 1/2(∂ui/∂xj+ ∂uj/∂xi) est le tenseur des gradients de vitesse. σ est reli´e `a la dissipation

Si une approche exp´erimentale de ces structures via la vorticit´e apparaˆıt naturelle, elle de-meure extrˆemement peu explor´ee. La vorticit´e ´etant par d´efinition homog`ene `a un gradient :

ω = rotu

elle est extrˆemement difficile, voire impossible `a mesurer de mani`ere exp´erimentale par des techniques classiques (et eul´eriennes) d’an´emom´etrie `a fil chaud. En particulier, une composante de vorticit´e recquiert au minimum l’utilisation d’une sonde en X coupl´ee `a deux sondes droites tr`es rapproch´ees [66]. A cela il faut ajouter qu’une mesure de gradient dans l’espace physique impliquant la diff´erence de deux vitesses, est inexorablement envahie par le bruit pr´epond´erant aux faibles distances.

On voit donc toute la difficult´e de mesurer la vorticit´e, que l’on peut pourtant consid´erer comme “l’ingr´edient essentiel” constitutif de tout ´ecoulement turbulent. Comme le souligne Pul-lin [86], l’´ecoulement ´etant enti`erement d´etermin´e par sa distribution de vorticit´e, c’est une tau-tologie de dire que l’´evolution du champ de vitesse est un probl`eme de dynamique de la vorticit´e. Ce th`eme g´en´eral de la dynamique vorticitaire revient `a consid´erer qu’un ´ecoulement turbulent peut ˆetre d´ecrit comme r´esultant de la superposition d’un ensemble de vortex “´el´ementaires”. Ceux-ci poss`edent une ´evolution propre, de mˆeme qu’ils interagissent entre eux de mani`ere dynamique. Une question d’importance est la forme des structures vorticitaires dans leur envi-ronnement, car elle renseigne sur la topologie de la turbulence. Aujourd’hui, on sait que les deux principaux candidats sont les feuilles (ou nappes) et les tubes de vorticit´e. Exp´erimentalement, il semble que dans le cas d’une turbulence d´evelopp´ee et homog`ene, les zones de forte vorticit´e (typ. ω sup´erieur `a 5 ´ecarts-types) se concentrent dans des tubes de vorticit´e de longueur proche de l’´echelle int´egrale [24, 100] et de diam`etre de petite taille comprise entre l’´echelle de Kolmo-gorov η et l’´echelle de Taylor4 λ [21]. On sait ´egalement que le champ de dissipation se pr´esente plutˆot sous forme de feuillets, entourant ces zones de vorticit´e intense. Il est possible que ces zones de dissipation jouent un rˆole important, voire dominant dans l’´etablissement de l’intermit-tence. De nombreux mod`eles existent, mˆelant l’un ou l’autre des deux aspects (tubes/feuilles) pour tenter de d´ecrire une telle turbulence [72]. On notera en particulier le mod`ele de Lundgren [63] consistant en un vortex spiral et qui poss`ede deux ingr´edients essentiels : le premier est un coeur de vorticit´e qui enroule des fluctuations de vorticit´e non-axisym´etriques et engendre une structure spirale. Le processus d’enroulement est acc´el´er´e par le second ingr´edient qui impose que chaque vortex est ´etir´e par le champ de d´eformation induit par les autres vortex en pr´esence. Une propri´et´e remarquable de ce mod`ele de Lundgren est qu’un tel vortex spiral pr´esente un spectre (temporel) en k−5/3 tr`es robuste vis `a vis des changements des diff´erents param`etres du 4_{L’´echelle de Taylor est une ´echelle caract´eristique des fluctuations inertielles de vitesse. λ est d´efinie par :λ =}

(15ν/)0.5u
. Le nombre de Reynolds Rλ= u
λ/ν permet de comparer entre elles des exp´eriences poss´edant des

sous une forme discr`ete, `a l’image d’un processus ponctuel. Comme nous l’avons dit, une telle approche semble vaine via des mesures de vitesse, la signature cin´ematique de telles structures n’´etant pas ´evidente. En revanche, nous verrons que la spectroscopie acoustique doit permettre de les d´etecter, dans l’espace r´eciproque.

Un second point qui peut s’interpr´eter comme un effet indirect de l’intermittence est l’in-fluence de la grande ´echelle. L’hypoth`ese d’isotropie et d’homog´en´eit´e locale `a la base de la plupart des mod`eles de turbulence n’est-elle pas mise en d´efaut par l’existence de structures coh´erentes (forc´ement anisotropes) et surtout par un for¸cage grande ´echelle ´egalement aniso-trope ? On peut se demander en particulier si cette anisotropie ne perdure pas tout au long de la cascade, en affectant ´egalement la zone inertielle. Cette question clef est `a l’origine de la th`ese r´ecente de C. Simand [93] qui ´etudie une turbulence inhomog`ene et fortement anisotrope. Elle montre notamment que les outils statistiques habituels d’analyse de la turbulence sur des signaux en un point r´ev`elent les caract´eristiques habituelles : les cascades sont multiplicatives, infiniment divisibles etc... Elle note cependant une ´evolution de la pente des spectres ainsi que de la profondeur de la cascade avec la grande ´echelle. D`es lors, on peut s’interroger sur la port´ee de mod`eles de cascade fond´es sur des hypoth`eses d’isotropie et d’homog´en´eit´e locale qui donnent des r´esultats analogues lorsque celles-ci sont fortement viol´ees.

“D´emocratisation‘” des techniques acoustiques

Les grands progr`es technologiques dont a b´en´efici´e l’acoustique ces vingt derni`eres ann´ees ont permis l’´emergence de nouvelles techniques acoustiques principalement bas´ees sur l’utilisation d’ultrasons[53]. Les applications vont de l’imagerie m´edicale (´echographes) `a la cartographie sous-marine en passant par la microscopie acoustique en champ proche [2] .

La m´ecanique des fluides a bien ´evidemment b´en´efici´e de ces avanc´ees. Parmi les plus r´ecentes et les plus marquantes, citons la technique de retournement temporel initi´ee par M. Fink `a l’ESPCI, appliqu´ee ensuite aux mesures de vorticit´e dans des ´ecoulements contrˆol´es [87, 67]. En hydrodynamique toujours, les techniques d’an´emom´etrie Doppler ultrasonore (UDV) ont permis la commercialisation de v´elocim`etres utilis´es pour les mesures de vitesse de traceurs dans un ´ecoulement. Exploitant ´egalement l’effet Doppler, les premi`eres mesures de vitesse (et d’acc´el´eration) lagrangienne ont ´et´e r´ecemment obtenues par N. Mordant [74] dans un ´ecoulement turbulent type “machine `a laver”.

Ces techniques ultrasonores Doppler ont la propri´et´e d’ˆetre non intrusives dans le sens o`u elles ne n´ecessitent pas l’introduction d’une sonde au sein de l’´ecoulement. En revanche, elles requi`erent bien souvent l’ensemencement de particules, jouant le rˆole de reflecteurs sonores plus ou moins passifs. En cela, la diffusion acoustique s’inscrit dans cette vaste gamme de techniques

acoustiques utilisant des ondes ultrasonores pour sonder un ´ecoulement hydrodynamique. Mais bien qu’exploitant ´egalement l’effet Doppler, elle n’en demeure pas moins non intrusive puis-qu’elle n’utilise pas de traceurs pour diffuser et donc marquer l’´ecoulement. Ici, les “diffuseurs” sont naturellement constitu´es par la vorticit´e pr´esente dans l’´ecoulement et que la spectroscopie permet de caract´eriser.

L’interaction son-vorticit´e Diffusion sur un vortex

Avant toute chose, nous allons pr´eciser ce que l’on entend par l’expression “diffusion par la vorticit´e”. Le probl`eme de l’interaction d’une onde acoustique avec un unique vortex, mˆeme de profil donn´e, n’est pas un probl`eme simple [30]. Plus g´en´eralement, lorsqu’une onde rencontre un obstacle sur son parcours, les conditions limites impos´ees par cet objet vont modifier le parcours de l’onde. Suivant le rapport de la taille de l’objet `a la longueur d’onde, on parlera alors d’effet de r´efraction ou bien de diffraction. Mettons de cˆot´e l’acoustique g´eom´etrique pour laquelle la longueur d’onde incidente est bien plus petite que la cible5; dans ce cas, l’effet de l’obstacle implique essentiellement la refraction de l’onde incidente, sans processus de diffusion - une description en termes de rayons (type WKB) est alors adapt´ee.

Lorsque l’obstacle est de taille inf´erieure ou ´egale `a la longueur d’onde incidente (connu sous le nom de cas limite de Born), une onde diffract´ee est engendr´ee dans le cas id´eal o`u l’objet n’interagit pas avec l’onde incidente (obstacle d’imp´edance acoustique infinie). Si de surcroit l’objet est d´eformable (`a l’image d’un vortex ou encore d’une sph`ere ´elastique), l’´energie acoustique c´ed´ee `a l’obstacle sera restitu´ee par celui-ci : l’obstacle devient `a son tour source sonore et r´e´emet une onde ; on parle d’onde diffus´ee.

Dans le cas particulier d’un vortex, on peut montrer [58] qu’un vortex ne sera source so-nore que si sa vorticit´e est instationnaire (ex : bruit ´eolien dans le sillage d’un barreau). L’interaction d’une onde sonore avec un vortex initialement stationnaire (donc “silencieux”) a pour cons´equence d’exciter le vortex qui r´epond `a cette sollicitation p´eriodique grande ´echelle d’´etirement-compression [56, 30] ; cela revient `a forcer le caract`ere instationnaire du vortex `a la fr´equence de l’onde incidente. En cons´equence, du son est rayonn´e, cette onde ´emise pouvant ˆ

etre vue comme diffus´ee par le vortex.

Dans le cas particulier d’un vortex unique, on con¸coit bien que l’onde diffus´ee doit contenir des informations (circulation, taille...) caract´eristiques du vortex diffuseur [54]. Mais dans le cas plus complexe d’un ´ecoulement turbulent, la distribution de vorticit´e rend l’interpr´etation de l’onde diffus´ee beaucoup plus complexe[60]. Qui plus est, la vitesse d’entrainement inh´erente `a l’´ecoulement vient ajouter l’effet temporel d’advection de l’onde ce qui conduit `a une dislocation

la diffusion d’une onde acoustique par un ´ecoulement constitu´e d’une “assembl´ee” de vortex dont on sait peu de choses (tel un ´ecoulement turbulent) semble ardu. Pourtant une approche plus globale du probl`eme, qui consid`ere une distribution compacte de vorticit´e, permet d’extraire de l’onde diffus´ee une information moyenn´ee spatialement.

Interaction son-turbulence

Cette question de l’interaction d’une onde sonore avec un ´ecoulement turbulent a ´et´e ´etudi´e de mani`ere formelle d`es les ann´ees 1950 [78, 59]. Chu et Kovaznay [15] ont propos´e un formalisme g´en´eral des interactions non lin´eaires pr´esentes dans un gaz en d´ecomposant les fluctuations hydrodynamiques selon 3 modes : le mode acoustique (S), le mode de vorticit´e (V), et le mode entropique (E).

Dans le cadre lin´eaire (d´eveloppement au premier ordre des fluctuations de pression, vitesse, temp´erature etc..), ces trois modes sont d´ecoupl´es et conduisent respectivement `a l’´equation de propagation du son, et aux ´equation de production-convection-diffusion de la vorticit´e et de la chaleur. A l’ordre sup´erieur des perturbations, les non-lin´earit´es des ´equations donnent lieu `a 6 interactions entre ces trois modes (V-V, V-S, V-E, E-E, E-S, S-S) pouvant engendrer chacune l’un des 3 modes.

Mettons de cˆot´e le mode (S) associ´e aux fluctuations de temp´erature, n´egligeables dans le cadre d’´ecoulements isentropiques. D´ecrivons les 6 interactions restantes selon cette classifica-tion :

1. La production du son par un ´ecoulement fait intervenir l’interaction V-V→S. Elle est `a l’origine du “son a´erodynamique [58]”, dont les fr´equences sont principalement situ´ees dans le domaine audible (typiquement inf´erieures `a 20kHz).

2. Inversement, la production d’un ´ecoulement par une onde sonore est possible et fait inter-venir le couplage S-S→ V. Ce ph´enom`ene d’“acoustic streaming” en anglais s’observe en pr´esence d’intensit´es acoustiques tr`es ´elev´ees.

3. Les instabilit´es hydrodynamiques et la turbulence sont quant `a elles principalement r´egies par V-V→V.

4. L’acoustique transsonique est d´ecrite par l’interaction S-S→S dont les ´equations traduisent la formation des ondes de choc.

5. L’interaction V-S→V est mise en jeu dans les ´ecoulement supersoniques lorsqu’une onde de choc interagit avec un ´ecoulement turbulent.

C’est ce dernier couplage qui est `a la base de la technique de spectroscopie acoustique. Bien que reconnu depuis les ann´ees 1950, ce couplage a tard´e `a permettre de r´eelles mesures quantitatives. Il faut dire que la faible amplitude acoustique de l’onde diffus´ee a longtemps ´et´e un hanicap r´edhibitoire `a ces exp´eriences, ´etant donn´e les rapports signal sur bruit mis en jeu [4]. C’est sans doute pour cette raison que les premi`eres exp´eriences [40, 28] consistaient `a mesurer, dans l’axe de l’onde incidente, les fluctuations de phase et d’amplitude du champ acoustique ayant travers´e un ´ecoulement turbulent. A l’´epoque pourtant, de nombreux auteurs [51, 78, 5, 20] ont montr´e que la diffusion d’une onde ultrasonore par un ´ecoulement turbulent pouvait permettre des mesures quantitatives tirant parti de cette interaction.

Principe de la diffusion acoustique

Le principe de la diffusion acoustique est similaire en beaucoup de points `a la diffusion de lumi`ere :

Lorsqu’une onde lumineuse coh´erente (laser) illumine un milieu d´esordonn´e tel une suspension collo¨ıdale ou une solution de polym`ere, le rayonnement diffus´e sous un angle θ par rapport `a l’onde incidente forme une figure de diffraction ou “speckle” d´ependant de la structure fine de la solution. Lorsque l’´echantillon ´evolue au cours du temps (i.e les diffuseurs se d´eplacent ou se d´eforment al´eatoirement), le speckle subit lui aussi une ´evolution al´eatoire. En analysant les fluctuations temporelles de la lumi`ere diffus´ee, on peut remonter `a l’information sur la structure, l’intensit´e et le mouvement moyen des diffuseurs.

De mani`ere analogue en diffusion acoustique (et comme dans toute exp´erience de diffusion), l’information recueillie est spectrale : le speckle repr´esente la structure instantan´ee du champ de vorticit´e, dans l’espace r´eciproque. Ici, et suivant Batchelor [5], supposons qu’une onde ultraso-nore `a la fr´equence ν0 rencontre les “diffuseurs” constitutifs du champ de vorticit´e sond´e. Ces

´

el´ements de vorticit´e vont interagir avec l’onde incidente en oscillant et devenir `a leur tour source sonore puisqu’ils induisent dans leur voisinage un champ de vitesse oscillant `a ν0 (th´eor`eme de

Kelvin en fluide parfait). L’onde diffus´ee par cette distribution de vorticit´e r´esulte donc de la sommation coh´erente6 de ces sources ´el´ementaires. Elle provient des interf´erences entre les champs ´emis par toutes ces sources (positions relatives et amplitudes respectives). Le caract`ere spectral de la mesure d´ecoule de cette sommation complexe.

Sans rentrer d`es maintenant dans les d´etails, disons simplement que l’onde|p<sub>s</sub>(t)| de pression acoustique diffus´ee au temps t est proportionnelle `a la qeme composante de Fourier spatiale de

6_{Par coh´erente, il faut comprendre que l’onde diffus´ee est la somme des contributions complexes (amplitude}

Plus pr´ecis´ement, le champ diffus´e est proportionnel `a une composante de la vorticit´e spectrale, la composante perpendiculaire au plan de diffusion. Contrairement `a une mesure eul´erienne type fil chaud qui impose n´ecessairement un choix entre le point de vue temporel (du signal de d´epart), ou le point de vue spatial (moyennant l’hypoth`ese de Taylor), on dispose ici d’une m´ethode combinant les deux points de vue - temporel `a travers la variable t, et spectral (donc spatial) par la variable q_s.

Cette technique, v´eritable spectroscopie acoustique, permet de sonder continument au cours du temps l’´evolution d’un mode de Fourier d’une composante de la vorticit´e. En s´electionnant un nombre d’onde q_s sp´ecifique (avec une largeur instrumentale δq_s), la spectroscopie revient `a r´ealiser directement un filtrage passe-bande ´etroite de la vorticit´e ; et ceci sans recours (comme dans le cas de signaux de vitesse eul´erienne) `a l’hypoth`ese de Taylor suivie d’un filtrage num´ eri-que.

Une approche directe du champ de vorticit´e spectral est une opportunit´e majeure pour explo-rer le comportement des modes de Fourier en turbulence. Dans l’espace physique, la dynamique vorticitaire est r´egie par l’´equation

∂ω

∂t + u∇ω

 

d´eriv´ee particulaire (advection)

= ω∇u
_{ } ´ etirement + basculement + ν∆ω
_{ } diffusion (3)

On peut montrer [37] que chacun de ces termes d´ecrit un comportement particulier du vecteur

ω :

1. Le membre de gauche repr´esente l’effet d’advection du champ de vorticit´e par le champ de vitesse u. Il d´ecrit l’´evolution de la vorticit´e en suivant les particules fluides dans leur mouvement (d´eriv´ee particulaire).

2. Le premier terme du membre de droite combine deux effets induits par le tenseur des gradients de vitesse σ_ij, que l’on peut d´ecomposer en :

(a) un effet de basculement du vecteur tourbillon induit par les gradients de vitesse perpendiculaires `a la direction du vecteur ω.

(b) un effet d’´etirement (nul dans le cas bidimensionnel o`u ω⊥u). Il d´ecrit l’augmenta-tion de la vorticit´e sous l’effet d’un ´etirement axial. Le th´eor`eme de Kelvin qui impose 7_{Signalons au passage la grande similitude de principe entre la diffusion acoustique et la diffusion de la lumi`ere}

par les gaz turbulents transsoniques [38], m´ethode qui consiste `a ´etudier l’onde diffus´ee par les fluctuations de densit´e pr´esentes dans un ´ecoulement transsonique. Dans le mˆeme esprit que la spectroscopie acoustique, en envoyant un faisceau laser sur un ´ecoulement `a grand nombre de Mach, et en d´etectant l’onde lumineuse sous un angle de diffusion θ, on peut montrer [41, 47] que l’intensit´e diffus´ee est proportionnelle `a la transform´ee de Fourier spatiale de la densit´e dans le volume de mesure.

une conservation du flux de vorticit´e le long d’un tube de courant (en fluide parfait) implique une diminution de la section du tube coupl´ee `a une augmentation de l’en-strophie sous l’effet d’un ´etirement. C’est ce m´ecanisme d’´etirement par la vorticit´e qui est g´en´eralement consid´er´e pour expliquer la production d’´echelles de plus en plus petites et intenses en turbulence8.

3. Enfin le membre de droite est un terme de diffusion visqueuse du champ de vorticit´e. On peut montrer que les tubes de vorticit´e sont mat´eriels en l’absence de ce terme. Autrement

dit, la vorticit´e “marque” les particules fluides, `a l’image des anneaux de fum´ees, anneaux concentrant la vorticit´e. Ce terme de diffusion s’accompagne ´egalement d’un changement d’´echelle de la vorticit´e, de fa¸con isotrope.

ω ω ω ω ω P Diffusion Etirement Basculement ω ω ω

Fig. 2 – _{Sch´ema de principe des d´eformations que peut subir un tube de vorticit´e. Chacune de ces}

d´eformations entraˆıne un changement d’´echelle (i.e. taille de l’ellipse dans le plan P ) ainsi qu’un chan-gement de la composante de vorticit´e perpendiculaire au plan P .

Puisque chacun de ces trois comportements (basulement, ´etirement, diffusion) s’accompagne de changements d’´echelles autrement dit de nombres d’onde, la spectroscopie acoustique doit permettre de les d´epartager en mesurant leur temps caract´eristique a priori diff´erents. Pour le terme de diffusion visqueuse par exemple (de cin´etique lente), on s’attend `a ce que le temps caract´eristique associ´e pr´esente une loi d’´echelle en ν−1q−2 dominante pour les grands nombres d’onde. L’´equation de la vorticit´e dans l’espace de Fourier est assez peu d´ecrite dans la litt´erature. Si l’on note ˜ω(q, t) le mode de Fourier de la vorticit´e, on peut montrer que le pendant dans l’espace de Fourier de l’´equation 3 s’´ecrit (pour la iemecomposante avec la convention d’Einstein

8_{On notera que ce type de description n´eglige la r´etroaction de la vorticit´e sur le champ d’´etirement, couplage}

qui implique des effets non-locaux. Ces effets non-locaux rendent compte de l’absence du terme de pression dans cette formulation.

∂_t+ νq ω˜_i = −iq_j

p+
k=
q

˜

u_i(p, t)˜ω_j(k, t)− ˜u_j(k, t)˜ω_i(p, t) dk (4) Cette ´equation utilise le fait que les champs u et ω sont `a divergence nulle, ce qui impose que leur transform´ee de Fourier spatiales restent dans le plan perpendiculaire `a q. On voit que dans

l’espace de Fourier, les termes non-lin´eaires se traduisent par un produit de convolution entre modes de Fourier, impliquant des interactions triadiques locales et non-locales. Cette formulation reste en revanche plus difficile `a interpr´eter sur le plan purement physique. On notera toutefois qu’elle souligne le couplage entre le mode de Fourier de la vitesse et celui de la vorticit´e, par le produit crois´e ˜u_iω˜_j (qui n’est pas sans ´evoquer l’h´elicit´e H_e= u ω) .

Historiquement, les premi`eres mesures exp´erimentales (en laboratoire) de diffusion acous-tique sur un ´ecoulement turbulent datent des ann´ees 1980 [35, 49, 50]. D’abord valid´e sur des ´ecoulements instationnaires “simples” (all´ee de Von Karman derri`ere un barreau cylindrique [6]), le caract`ere spectroscopique fut naturellement ´etendu au cas des ´ecoulements turbulents [7].

Travaux de th`ese

L’essentiel de ce travail de th`ese a consist´e `a appliquer cette technique de diffusion acoustique `

a des ´ecoulements de turbulence d´evelopp´ee de type jet rond. G´eographiquement, les exp´eriences ont ´et´e men´ees conjointement au Laboratoire des ´Ecoulements G´eophysiques (LEGI) de Grenoble sur une soufflerie `a air ainsi qu’au CERN `a Gen`eve (Centre Europ´een de Recherches Nucl´eaires) sur un jet d’H´elium gazeux `a 4K, ce qui constitue l’originalit´e de cette th`ese. L’objectif initial du travail ´etait d’´etudier en profondeur, sur des jets analogue aux exp´eriences de C. Baudet r´ealis´ees `

a Lyon, nombre de questions soulev´ees par ces exp´eriences [7]. Les possibilit´es de l’interf´erom´etrie en particulier restaient `a d´eterminer et `a exploiter. Parall`element, l’opportunit´e des mesures du CERN offrait la possibilit´e d’examiner l’effet du nombre de Reynolds sur la vorticit´e.

L’exp´erience “GReC” du CERN Aujourd’hui, un des objectifs majeur est de savoir si la turbulence `a grands nombres de Reynolds pr´esente une forme d’universalit´e (au sens statistique), `

a l’image de l’universalit´e (suppos´ee) des ´equations de Navier-Stokes. C’est principalement pour tenter de r´epondre `a cette question qu’a ´et´e cr´e´e le projet GReC (Grands Reynolds Exp´erience Cryog´enique) du CERN.

Cette exp´erience vise `a d´epasser en laboratoire les nombres de Reynolds habituellement atteints dans de grandes souffleries industrielles (type Modane) dans lesquelles les conditions (d´ebit, temp´erature etc) ne sont pas toujours parfaitement contrˆol´ees. L’emploi de l’H´elium gazeux `a tr`es basse temp´erature (proche de 4K) constitue une alternative de choix : la tr`es faible viscosit´e cin´ematique de l’H´elium gazeux `a 4K (ν ≈ 8.10−8m2s−1 `a P_atm contre 1.5.10−5m2s−1

pour l’air `a 300K) permet d’atteindre de tr`es grands Reynolds sur des ´ecoulements `a ´echelle humaine, et pour des vitesses d’´ecoulement subsoniques.

Ce projet tr`es ambitieux (puisqu’il a permis d’atteindre des nombres de Reynolds bas´es sur l’´echelle de Taylor (R<sub>λ</sub>) de l’ordre de 6000) n’aurait pu voir le jour sans la collaboration scientifique de plusieurs laboratoires et en tout premier lieu celle du CERN. L’exceptionnelle opportunit´e d’acc`es `a un r´efrig´erateur d’H´elium cryog´enique surpuissant install´e au CERN (dans le cadre des projets LEP et LHC) a rendu possible cette exp´erience `a grands Reynolds. Outre le LEGI et le CERN, la collaboration avec le CRTBT (Centre de Recherches sur les tr`es Basses Temp´eratures de Grenoble) a ´et´e n´ecessaire en particulier pour leur grande exp´erience des jets cryog´eniques [75]. L’´ecole normale sup´erieure de Lyon a ´egalement ´et´e partenaire de l’exp´erience GReC, grˆace `a l’appui de B. Castaing et O. Michel. Parall`ellement `a l’acoustique dont une partie de ma th`ese a consist´e `a adapter l’instrumentation `a ces conditions extrˆemes, des mesures par fil chauds supraconducteurs op´erationnels `a tr`es basse temp´erature ont ´et´e r´ealis´ees par l’´equipe du CRTBT.

Nous disposons donc de deux exp´eriences de jet ronds turbulents (au LEGI et au CERN) permettant des mesures sur une gamme ´etendue de Reynolds (200-6000). Un des objectifs de ma th`ese ´etait donc de caract´eriser par spectroscopie acoustique la vorticit´e dans ces ´ecoulements, et en particulier son ´evolution avec le Reynolds. Mˆeme si cette th`ese soul`eve probablement plus de questions qu’elle n’en r´esoud, ces exp´eriences nous ont conduit `a des analyses int´eressantes aussi bien concernant la technique spectroscopique elle-mˆeme que sur les r´esultats proprements dits.

Organisation du manuscrit

La premi`ere partie de ce manuscrit est consacr´ee `a la diffusion acoustique. Apr`es une descrip-tion d´etaill´ee des signaux acoustiques enregistr´es, nous appliquerons la diffusion `a des exp´eriences mod`eles. Cette partie vise `a quantifier, aux travers de simulations num´eriques ou d’exp´eriences de diffusion sur une bille, l’influence des effets de diffraction acoustique induits par des ´emetteurs de taille finie.

Nantis de cela, nous nous tournerons au chapitre 2 vers les r´esultats obtenus en spectroscopie acoustique (au CERN comme au LEGI) concernant le temps de d´ecorr´elation d’un mode de Fourier de la vorticit´e. Au chapitre suivant nous aborderons l’intermittence dans l’espace de Fourier, tout d’abord du point de vue de l’amplitude des modes de Fourier et ensuite au travers de la statistique des ´ev´enements vorticitaires intenses.

Enfin, le dernier chapitre est consacr´e aux mesures par interf´erom´etrie. Cette derni`ere consiste en l’´etude simultan´ee de deux modes de Fourier distincts.

Pour terminer, signalons d`es `a pr´esent que la plupart des r´esultats obtenus exp´ erimentale-ment sont compar´es `a des des simulations num´eriques directes (DNS) dans l’annexe A. Ces DNS

spectrale aux r´esultats num´eriques du code de calcul (qui s’appuie sur les ´equations de Navier-Stokes).

L’annexe B pr´esente une “interpr´etation” du signal de diffusion en terme de processus ponc-tuel bas´e sur un processus de Poisson inhomog`ene, c’est-`a-dire dans lequel le taux λ varie au cours du temps (λ(t)).

Enfin la derni`ere annexe pr´esente une ´etude num´erique du filtre spectral d’´echelles dans le cas de mesures de vorticit´e par diffusion acoustique.

La Diffusion Acoustique : Th´

eorie et

Pratique

1

...

”In short, physics has discovered, that there are no solids, no continuous surfaces,

no straight lines ; only waves, ....”

R. Buckminster Fuller, Intuition : Metaphysical Mosaic.

1.1

Principe de la m´

ethode

Comme nous venons de le voir, la diffusion acoustique a donn´e lieu `a de nombreux travaux th´eoriques d´ecrivant l’interaction d’une onde sonore avec une distribution de vorticit´e. Dans ce manuscrit, nous avons choisi de nous appuyer sur la formulation th´eorique de F. Lund, issue de son article de 1989 [62].

F. Lund se place dans le cadre d’une exp´erience de diffusion acoustique et d´eduit analyti-quement une relation reliant lin´eairement la transform´ee de Fourier temporelle de la pression acoustique diffus´ee `a la transform´ee de Fourier spatio-temporelle d’une composante du champ de vorticit´e.

La configuration de diffusion th´eorique, repr´esent´ee Fig. 1.1, est la suivante : une onde plane, de vitesse particulaire V_inc= V0cos(k0x−2πν0t), rencontre une distribution de vorticit´e confin´ee

`

a un volume V .

Formule de Lund

L’expression du champ acoustique diffus´e par la vorticit´e, qui s’appuie sur des hypoth`eses sur lesquelles nous allons revenir, est la suivante :

θ

r

V n

e

Fig.1.1 –_{Configuration-type d’une exp´erience de diffusion acoustique : une onde plane, de fr´equence ν0}

rencontre une distribution de vorticit´e contenue dans un volume V. Celle-ci interagit avec l’onde incidente en ´emettant une onde diffus´ee qui sera d´etect´ee sous un angle θ.

p_s(r, ν) P0 ∝ L(θ) 2iπ3 c2 νe2iπνrc r ωn(qs, ν− ν0) (1.1)

Cette relation lin´eaire a ´et´e obtenue dans le cadre de la premi`ere approximation de Born qui n´eglige les termes de diffusion multiple.

Dans l’expression 1.1, les variables sont :

– p_s la transform´ee de Fourier temporelle de la pression diffus´ee,

– r le vecteur unitaire dans la direction de r´eception de l’onde diffus´ee, r la distance entre la distribution de vorticit´e et le r´ecepteur. De la mˆeme fa¸con, e est le vecteur unitaire dans la direction d’´emission,

– ν0 la fr´equence de l’onde incidente et ν celle de l’onde diffus´ee,

– q_s le vecteur d’onde diffus´e, d´efini par q_s = k_d− k₀ = 2π_c (νr− ν0e) o`u kd et k0 sont

respectivement les vecteurs d’onde transmis et incident,

– ω_n la transform´ee de Fourier spatio-temporelle, dans le volume V , de la composante selon n du champ de vorticit´e :  ω_n(q_s, ν) =  V ω_n(r, t)ei(2πνt−qs.r)_d3_rdt

n ´etant la composante unitaire normale au plan de diffusion (d´efini par (e, r)),

– P0 l’amplitude de pression de l’onde incidente, soit P0 = ρ0cV0, avec c la c´el´erit´e du son

dans le milieu et ρ0 la masse volumique du fluide sond´e,

– enfinL(θ) le facteur angulaire de Lund, o`u θ est l’angle de diffusion :

L(θ) = sin θ cos θ

1− cos θ (1.2)

Ce terme d´efinit la d´ependance angulaire de l’amplitude de vorticit´e diffus´ee (quadrupo-laire).

Signalons d`es `a pr´esent qu’en pratique, nous nous sommes restreints exp´erimentalement `a des angles de diffusion θ compris entre 10◦ et 70◦. Pour les angles inf´erieurs, l’approximation de Born n’est plus valable et invalide probablement la relation 1.1. Enfin pour les grands angles de diffusion, sup´erieurs `a 90◦ (r´etrodiffusion), on peut montrer que la contribution des fluctuations de temp´erature devient dominante. L’interaction S-E→E (selon les modes d´ecrits en introduc-tion) conduit de la mˆeme fa¸con `a une diffusion du son par les fluctuations de la temp´erature dont l’expression analytique est tr`es proche de la relation 1.1 [18], la principale diff´erence r´esidant dans la d´ependance angulaire dipolaire de la temp´erature. Cette m´ethode est d’ailleurs `a l’ori-gine de mesures spectrales du champ de temp´erature par J. F. Pinton [81] dans un ´ecoulement de jet turbulent chauff´e. Pour toutes ces raisons, seule cette gamme interm´ediaire d’angles de diffusion a ´et´e ´etudi´ee.

Hypoth`eses th´eoriques et imp´eratifs exp´erimentaux

L’expression 1.1 a ´et´e obtenue moyennant quelques hypoth`eses clefs que nous allons ´enum´erer et commenter `a la lumi`ere des r´ealit´es exp´erimentales :

– H1 : l’onde ´emise est plane, d’extension infinie, ce qui permet de d´efinir un vecteur d’onde incident k₀unique. En pratique, la taille n´ecessairement finie des capteurs implique des effets de diffraction `a l’origine d’´ecrats significatifs de la forme des ondes ´emises par rapport `a l’onde plane id´eale (superposition d’un continuum de vecteurs d’onde spatiaux k₀ distribu´es dans une bande de largeur δk₀). N´eanmoins, la lin´earit´e de l’´equation 1.1 ainsi que celle de la d´ecomposition en onde plane rendent l´egitime l’application de cette relation au cas r´eel de capteurs de taille finie.

– H2 : le processus d’interaction de l’onde avec l’´ecoulement est isentropique. Ces deux conditions seront remplies au LEGI comme au CERN compte tenu des fr´equences utilis´ees (ν0 < 25 kHz).

– H3 : l’hypoth`ese u V<sub>0</sub> (o`u u est une vitesse caract´eristique de l’´ecoulement) garantit la non-intrusivit´e de l’acoustique. Or, les amplitudes acoustiques que nous utilisons sont de l’ordre du Pascal, pour des imp´edances acoustiques ρ0c respectivement de 400 et 1700

kg.m2_.s−1 _{au LEGI et au CERN. Compte tenu que V}

0 ≈ P0/ρ0c, on peut consid´erer la

m´ethode comme non-intrusive au sens o`u la vitesse particulaire de l’onde est 100 fois plus petite que la vitesse typique u (de l’ordre de 0.2 m.s−1au plus bas).

– H4 : ´ecoulement `a petit Mach : M a = u/c 1. Cette hypoth`ese est valid´ee au LEGI comme dans l’exp´erience GReC puisque les ´ecoulements sont largement subsoniques dans le volume de mesure (M a≤ 0.1).

– H5 : ν₀  Ω o`u Ω est la fr´equence typique la plus grande pr´esente dans l’´ecoulement (typiquement Ω est la fr´equence du bruit a´erodynamique situ´e principalement dans le domaine audible). Pour satisfaire cette condition de mani`ere certaine, nous nous placerons

dans le domaine ultrasonore (ν0 > 20 kHz) pour les jets avec lesquels nous avons

travaill´e.

– H6 : la distribution de vorticit´e est limit´ee spatialement, confin´ee `a un volume V , pour une onde d’extension infinie (cf Fig. 1.1). En pratique, on est bien souvent dans la situation oppos´ee, `a savoir un volume de mesure V_H (de taille typique H de l’ordre de la taille D des capteurs) bien plus petit que le champ turbulent :

D

H

k₀ kd

V

V

Nous verrons que cette configuration est d´efavorable puisque l’onde perd de sa coh´erence en traversant l’´ecoulement avant d’atteindre le volume de mesure V_H (de mˆeme pour l’onde diffus´ee).

– H7 : enfin, l’hypoth`ese d’observation en champ lointain de l’onde diffus´ee im-pose r > H2/4λ ∝ D2/4λ. Nous verrons pr´ecis´ement au paragraphe 1.4.3 (page 83) les cons´equences du non-respect de cette hypoth`ese.

Vecteur d’onde s´electionn´e q_s s k k q θ 0 d

Le vecteur d’onde q_ss´electionn´e dans une exp´erience de diffusion est :

q_s = k_d− k₀

En pratique, cette expression peut se simplifier moyennant l’hypoth`ese H5 ainsi que pour un angle de diffusion θ non nul (r= e). Si on pose ∆ν = ν − ν0, on peut toujours ´ecrire :

ν/ν0 = 1 + ∆ν/ν0

∆ν repr´esente l’´ecart entre la fr´equence de l’onde incidente et celle diffus´ee. Cet ´ecart est apport´e par l’´ecoulement, de fr´equence caract´eristique Ω. Par cons´equent, ∆ν sera au maximum ´egal `a cette fr´equence Ω. On a donc ∆ν/ν0 ∼ Ω/ν0  1 grˆace `a l’hypoth`ese H5. On peut maintenant

r´e´ecrire q_s : q_s = 2π c (νr− ν0e) = 2πν0 c (ν/ν0r− e) ≈ 2πν0

c (r− e) sauf dans le cas o`u r≈ e

= 4πν0 c sin(θ/2) r− e |r − e| = q_s r− e |r − e|

Une exp´erience de diffusion s´electionne donc le vecteur d’onde :

q_s= 4πν0

c sin(θ/2) =

2π

λ_s (1.3)

Sa direction est celle de la bissectrice entre e et r. L’´echelle d’analyse λ_s ne d´epend donc que du couple (θ, ν0) : plus on travaillera avec des fr´equences ultrasonores ´elev´ees et de grands

angles de diffusion, plus q_s sera grand et donc l’´echelle d’analyse petite.

Formulation temporelle de l’expression de Lund

L’expression 1.1 est une relation entre transform´ees de Fourier temporelles. Mais en pratique, c’est un signal temporel qui est enregistr´e. Cherchons `a exprimer cette relation dans le domaine temporel, 1.1 peut s’´ecrire :

p_s(r, ν)e−2iπνrc ∝ L(θ)2iπ

3

c2

P0

rc2ν [ωn(qs, ν)◦ δ(ν − ν0)]

o`u ◦ est l’op´erateur de convolution. Le membre de gauche est l’expression, dans l’espace de Fourier temporel, de p<sub>s</sub> convolu´e par un d´ecalage temporel de r/c, et `a droite on reconnaˆıt la d´eriv´ee du terme entre crochets. On peut donc passer dans l’espace direct :

p_s(r, t− r/c) ∝ L(θ) P0 rc2 ∂ ∂t   ω_n(q_s, t)· e−2iπν0t

d’o`u, en d´erivant ω_n par rapport au temps et en omettant le temps de vol constant r/c : p_s(r, t) ∝ L(θ) P0 rc2 e−2iπν0t  ∂ω_n(q_s, t) ∂t − 2iπν0ωn(qs, t) 

Compte tenu que _∂t∂ ∝ Ω et que ν0  Ω (H5), le terme de d´eriv´ee partielle est n´egligeable dans

l’expression ci-dessus. L’´equation devient :

p_s(r, t) ∝ L(θ)P0ν0

rc2 e−2iπν0tωn(qs, t) (1.4)

Le champ acoustique diffus´e p_s(t) est bien complexe : la relation 1.4 exprime la modulation de l’onde de r´ef´erence2 (la porteuse `a ν0) par la transform´ee de Fourier spatiale de la vorticit´e.

La fr´equence de la modulation est d’ordre Ω, alors que celle de la porteuse est `a ν0  Ω.

On est donc en pr´esence d’un signal `a bande ´etroite situ´e autour de ν0. Pour ´eviter d’avoir des

fr´equences d’acquisition trop ´elev´ees (de l’ordre de 2ν0) et pour conserver le caract`ere complexe

associ´e `a ω<sub>n</sub>(q<sub>s</sub>, t), on d´emodule le signal. Nous allons voir que la d´emodulation synchrone (ou h´et´erodyne), c’est-`a-dire l’acquisition en phase et en quadrature par rapport `a l’onde impos´ee `a

ν0, permet d’acqu´erir un signal complexe, directement proportionnel `a ωn(qs, t).

1.1.2 D´emodulation h´et´erodyne

En diffusion de lumi`ere, il est courant d’utiliser une d´etection h´et´erodyne pour conserver l’information sur la phase de l’onde d´etect´ee. Les d´etecteurs optiques ´etant quadratiques, une m´ethode consiste `a faire interf´erer le champ diffus´e avec une onde de r´ef´erence, copie d´ecal´ee `a la fr´equence ν0 de l’onde incidente. Dans le cas de l’acoustique, on a la chance de travailler avec

des transducteurs lin´eaires ce qui permet d’effectuer l’op´eration de d´emodulation de mani`ere num´erique, parall`element `a l’acquisition.

Pour cela, on r´ealise l’acquisition de mani`ere synchrone avec le signal d’excitation `a ν0.

Cela revient `a multiplier le champ acoustique re¸cu par e2iπν0t <sub>(c’est-`a-dire `a multiplexer `a la</sub>

fr´equence ν0)3. Tout se passe comme si le champ diffus´e interf´erait r´eellement avec l’onde de

r´ef´erence conjugu´ee, `a l’instar de la diffusion de lumi`ere.

La figure 1.2 repr´esente sch´ematiquement la chaˆıne d’acquisition permettant cette op´eration de d´emodulation synchrone et d’acquisition4.

En sortie de la chaˆıne de mesure, le signal num´erique z(t) complexe s’´ecrit :

2_{Attention : avec les conventions choisies, l’onde incidente s’´ecrit e}−2iπν0t+k0x _{dont le spectre est un Dirac en} ν = +ν0.

3_{Cette hypoth`ese suppose une relation de phase constante entre le signal d’excitation de l’horloge `a ν}

0et l’onde “insonifiant” le volume VH, hypoth`ese d’autant mieux satisfaite que VH est grand devant V (bruit de phase plus faible).

4_{Cette op´eration est r´ealis´ee par un ´echantillonneur V XI 10 MHz sur 23 bits (HPe1430A) de Agilent} Techno-logy.

− ν₀ ν0 ν₀ a ν₀ Passe−bas a Passe−bas ν₀ Ω Ω z (t) complexe basse−frequence i COS SIN SIN HORLOGE A 0 0 0

Fig. 1.2 –_{Sch´ema de la chaˆıne d’acquisition r´ealisant l’op´eration de d´emodulation synchrone-filtrage.}

z(t) = p_s(r, t) e2iπν0t _{∝ L(θ)}P0ν0

rc2 ωn(qs, t) (1.5)

z(t) est un signal complexe basse-fr´equence, de spectre Sp_z de largeur typique Ω qui sera ´echantillonn´e `a basse fr´equence (en respectant F_ech> 2Ω).

Le facteur angulaire de Lund La relation

z(t) ∝ L(θ)P0ν0

c2_r ωn(qs, t) (1.6)

confirme la d´ependance angulaire du signal temporel de diffusion, par l’interm´ediaire du facteur de LundL(θ). Celui-ci rend certains angles de diffusion plus avantageux que d’autres du point de vue de l’amplitude du signal. L’´evolution du facteur de Lund avec l’angle de diffusion est donn´e Fig. 1.3.

Ce facteur d´ecroissant entre 0 et 90◦ s’annule en 0◦ et 180◦. Ces extinctions traduisent le caract`ere quadrupolaire de la diffusion par la vorticit´e. On note ´egalement une divergence de l’amplitude de l’onde diffus´ee lorsque l’angle d’observation se rapproche de l’angle nul. Nous discuterons de cette divergence dans la partie consacr´ee au pic central (1.4.1).

50 100 150 −20 −10 0 10 20 30 40 θ (°) 10.logL( θ ) L(θ) (dB)

Fig. 1.3 – _{Facteur de Lund}L(θ) (formule 1.2) en fonction de l’angle θ de diffusion. Ce terme traduit

le caract`ere quadrupolaire de la diffusion par la vorticit´e. Coordonn´ees verticales en d´ecibels (dB).

1.1.3 Le signal complexe de diffusion : l’effet Doppler Consid´erons z(t) le signal num´erique acquis :

z(t) = ρ(t)eiφ(t) =ω_n(q_s, t)

en gardant `a l’esprit que cette derni`ere ´egalit´e n’est vraie qu’`a un pr´efacteur pr`es. On dispose donc d’un signal complexe dont les parties r´eelles et imaginaires d´ependent de la variable temps. Plutˆot que d’´etudier parties r´eelle et imaginaire, voyons le sens physique que l’on peut attacher au module ρ et `a la phase φ.

– Pour le module, on a ρ(t) = |ω_n(q_s, t)|, qui repr´esente l’´evolution temporelle de

l’am-plitude d’un mode de Fourier de la vorticit´e (en r´ealit´e d’une composante de la vorticit´e, selon n).

– Concernant la phase nous allons voir qu’elle contient, outre la phase associ´ee au caract`ere complexe de la transform´ee de Fourier ω<sub>n</sub>(q<sub>s</sub>, t), un terme de phase associ´e au fait que la vorticit´e n’est pas confin´ee `a un volume V immobile mais qu’elle est en mouvement et traverse ce volume V .

Point de vue temporel...

Pla¸cons-nous dans la configuration exp´erimentale repr´esent´ee figure 1.4. Le volume de me-sure, d´efini par l’intersection des faisceaux incident et diffus´e, pr´esente en premi`ere approxima-tion une forme d’ellipso¨ıde dont la taille est de l’ordre de celle des capteurs.

Dans une telle configuration, le vecteur d’onde q_sest align´e avec l’´ecoulement moyen. Si l’on note U_D la vitesse moyenne dans le volume de mesure, le produit scalaire q_s.U_Dest donc non nul dans cette configuration. Pour cette raison, l’effet du mouvement d’advection continu au travers

du volume de mesure se traduit par un effet Doppler. Dans le cas le plus simple o`u la vitesse

U_D est suppos´ee constante dans le temps et uniforme dans la zone de mesure, on peut montrer en effectuant un changement de rep`ere, que la phase du signal complexe est alors affect´ee d’un terme de phase Doppler. En effet, un changement de rep`ere r−→ r conduit `a :

ω_n(r, t) = ω_n(r, t)◦ δ(r − U_D.t)

ω_n(q_s, t) = ω_n(q_s, t).e2iπqsUD.t _(1.7)

Le relation 1.7 montre que si la vorticit´e traverse le volume de mesure `a la vitesse U_D, on a :

z(t) =ω_n(q_s, t).e2iπqsUDt _(1.8)

Le module du signal est inchang´e mais sa phase devient la phase initiale de la vorticit´e spectrale (c’est-`a-dire la phase de ω_n(q_s, t)) augment´ee du terme

φ = q_sU_Dt : c’est l’effet Doppler. (1.9)

θ 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 U_D q_s r e 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111

Fig. 1.4 – _{Sch´ema de la configuration-type permettant des mesures de vorticit´e dans un jet turbulent :}

le volume de mesure est fixe, travers´e par l’´ecoulement turbulent advect´e `a la vitesse moyenne UD.

Dans le cas o`u U<sub>D</sub>et q<sub>s</sub>sont colin´eaires comme dans cette configuration, la phase Doppler du signal va augmenter lin´eairement (´equation 1.9 ; ici elle d´ecroˆıt car le produit scalaire est n´egatif, q<sub>s</sub>´etant oppos´e `a U_D: q_s.U_D < 0). Cette analyse simplifi´ee du probl`eme est uniquement valable dans le cas id´eal o`u la vitesse U_D est uniforme et ind´ependante du temps. Or on le sait, un ´ecoulement turbulent pr´esente des fluctuations importantes du champ de vitesse. Dans ce cas, l’analyse pr´ec´edente sugg`ere que pour des fluctuations de la vitesse dans le volume de mesure, on peut localement (en temps) consid´erer la vitesse comme une constante et appliquer un effet Doppler par changement de rep`ere5. On s’attend donc `a ce que les fluctuations temporelles de 5<sub>Le changement de rep`ere n’est pertinent que si le temps caract´eristique d’advection (`a vitesse constante) est</sub>

suffisament petit par rapport au temps d’´evolution de la vorticit´e. Cela ´evoque donc une sorte d’hypoth`ese de turbulence gel´ee. En termes de phase, cela revient `a supposer que le changement de phase Doppler (associ´e au changement de rep`ere) domine le changement de la phase de la transform´ee de Fourier dans le rep`ere fixe (associ´e `