Etude de méthodes pour la recherche avec le détecteur VIRGO d'ondes gravitationnelles émises par des étoiles à neutrons

Texte intégral

(1)Etude de méthodes pour la recherche avec le détecteur VIRGO d’ondes gravitationnelles émises par des étoiles à neutrons Xavier Grave. To cite this version: Xavier Grave. Etude de méthodes pour la recherche avec le détecteur VIRGO d’ondes gravitationnelles émises par des étoiles à neutrons. Cosmologie et astrophysique extra-galactique [astro-ph.CO]. Université Paris Sud - Paris XI, 1997. Français. �tel-00003045�. HAL Id: tel-00003045 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00003045 Submitted on 24 Jun 2003. HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés..

(2) ORSAY No d'ordre : 4797. LAPP-T 97/03 avril 97. UNIVERSITE DE PARIS-SUD U.F.R. SCIENTIFIQUE D'ORSAY. THESE. prsente pour obtenir. Le GRADE de DOCTEUR EN SCIENCES DE L'UNIVERSIT PARIS XI ORSAY Spcialit : Physique Thorique par Xavier GRAVE. SUJET :. Etude de m thodes pour la recherche, avec le d tecteur VIRGO, d'ondes gravitationnelles mises par des toiles neutrons. Soutenue le 28 avril 1997 devant la Commission d'examen. MM. Carlo BRADASCHIA Michel DAVIER Eric GOURGOULHON Fran ois LEDIBERDER Beno t MOURS Robert ZITOUN. pr sident rapporteur directeur de thse rapporteur.

(3)

(4) iii. Remerciements : Tout d'abord je voudrais remercier Carlo Bradaschia, Michel Davier, Eric Gourgoulhon, Franois Lediberder et Robert Zitoun d'avoir accept d'tre membres de mon jury de thse et particulirement les deux rapporteurs auprs de l'universit de Paris XI, Franois Lediberder et Robert Zitoun. Merci aussi Denis Linglin et Michel Yvert de m'avoir accueilli au Lapp au sein du groupe Virgo. Je tiens remercier Beno t Mours pour la qualit de son encadrement tout au long de ma thse ainsi que pour l'intressant travail physique que nous avons pu mener de concert. Merci Vincent Lafage pour les discussions de physique qu'il a supportes et qui m'ont aid clari er mes ides sur les divers sujets que j'ai traits dans ma thse. Merci encore Vincent et Nathalie pour leurs lectures des premires versions de ma thse. Merci aussi aux membres du groupes Virgo du Lapp, en particulier Frdrique Marion, pour les discussions et conseils techniques qu'ils m'ont apports. Merci Ren Morand pour les superbes ballades en montagne qu'il organise rgulirement. Merci aux services techniques du Lapp pour leur soutien logistique plein d'humour et d'e

(5) cacit. En n merci tous ceux qui m'ont rgulirement apport leur soutien au cours de ma thse (Arnaud, Christine, Elsa, Fabrice, Franck, Frdric, Guillaume, Laurence, Manu, Nathalie, Nicolas, Serge ...)..

(6) Lorsque l'on prendra conscience que renier l'animalit des pulsions au lieu de l'aner n'aboutit pas l'Humanit mais une bestialit visage humain....

(7) v. Table des matires 1 Partie Thorique. 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ondes gravitationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Relativit restreinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Relativit gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Solutions des quations d'Einstein dans le vide et mission d'ondes gravitationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 E ets des ondes gravitationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Une source d'ondes gravitationnelles : L'toile

(8) neutrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 L'toile

(9) neutrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Mod le d'mission simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Mod le incluant une dformation de l'toile

(10) neutrons par son champ magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Donnes sur les pulsars connus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Distribution de la frquence des sources potentielles . . . . . . 1.4.2 Variation de la frquence des pulsars . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Distribution spatiale des pulsars connus . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Incertitude sur la position des pulsars . . . . . . . . . . . . . .. 2 Dtecteurs d'ondes gravitationnelles. 2.1 Principe de dtection de VIRGO . . . . . 2.2 Bruits limitant la sensibilit de VIRGO . . 2.2.1 Le bruit de photons . . . . . . . . . 2.2.2 Le bruit sismique . . . . . . . . . . 2.2.3 Le bruit thermique . . . . . . . . . 2.2.4 Autres bruits . . . . . . . . . . . . 2.2.5 Courbe de bruit . . . . . . . . . . . 2.3 Autres dtecteurs d'ondes gravitationnelles 2.3.1 LIGO . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 GEO . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 TAMA . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. 5 5 5 5 8. 11 14 14 15 16 19 20 21 21 23 23. 27 27 28 29 30 31 34 35 35 35 36 36.

(11) vi. TABLE DES MATIRES 2.3.4 LISA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5 Barres et dtecteurs omnidirectionnels . . . . . . . . . . . . .. 3 talonnage de VIRGO 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5. Principe utilis . . . . . . . . . . . . . . . . Gnration du signal . . . . . . . . . . . . . La source lumineuse . . . . . . . . . . . . . Contrle du signal . . . . . . . . . . . . . . Calcul de la fonction de transfert du miroir .. 4 Simulation du dtecteur Virgo 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6. Moteur de SIESTA . . . . . . . . . . . . . . Simulation du bruit de l'interfrom tre . . . Simulation du signal d'une toile

(12) neutrons Position du dtecteur dans l'espace . . . . . Validit de l'e et Doppler dans SIESTA . . Changement de rep re . . . . . . . . . . . .. 5 E et de mouvement du dtecteur. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. 5.1 Pertes dues aux variations de l'e et Doppler . . . . . . . . 5.2 Inuence de la position du dtecteur . . . . . . . . . . . . 5.3 Inuence de la position de la source . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Pertes de signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Sensibilit angulaire du dtecteur

(13) frquence libre 5.4 E ets de la modulation d'amplitude . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Diagrammes d'antenne du dtecteur . . . . . . . . . 5.4.2 Mise en forme de l'e et de modulation d'amplitude 5.4.3 E et sur le Pulsar du Crabe . . . . . . . . . . . . . 5.4.4 Distribution du signal due

(14) la modulation . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. 6.1 Rduction de la quantit de donnes . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Dtection synchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Mthode de correction de l'e et DOPPLER . . . . . . . . . . 6.3.1 Mthode du changement du temps d'arrive . . . . . . 6.3.2 Mthode du dphasage . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Dtail de la mise en uvre de la mthode de correction 6.4 Correction de l'e et de P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Utilit du fentrage pour les transformes de FOURIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 E et d'une fentre de Hanning sur le signal . . . . . . 6.5.2 E et d'une fentre de Hanning sur le bruit . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 6 Recherche de pulsars connus. _. . . . . . . . . . .. . . . . .. .... .... ..... 36 36. 39. 40 41 41 42 44. 47. 47 48 48 49 50 51. 55. 55 58 59 59 61 62 63 64 68 69. 79. 79 80 82 82 82 83 85 85 86 86.

(15) TABLE DES MATIRES. vii. 6.6 Mise en forme des donnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1 Mthode propose pour minimiser l'e et de variation . . 6.6.2 E et d'un coecient sur un signal priodique . . . . . 6.6.3 E et d'un coecient sur du bruit . . . . . . . . . . . . 6.6.4 Rapport signal sur bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.5 Comparaison numrique dans un cas raliste . . . . . . . 6.6.6 Que faire en cas de zone de temps sans donnes? . . . . 6.7 Recherche d'une source priodique dans le spectre en frquence 6.7.1 Mesure du bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.2 Mesure dite simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.3 Mesure de hauteur de pic par ajustement . . . . . . . . . 6.7.4 Dtail de l'algorithme de recherche . . . . . . . . . . . . 6.8 Ecacit des di rentes mthodes . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7 Recherche d'toiles neutrons inconnues. 7.1 E et du ralentissement des toiles

(16) neutrons . . . . 7.2 Nombre de directions de recherche . . . . . . . . . . 7.2.1 Nombre de directions d

(17) la correction sur source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Nombre de directions de recherche dues

(18) P 7.2.3 Nombre total de direction de recherche . . . 7.3 Recherche d'un signal dans le spectre en frquence . 7.3.1 Dcoupe des donnes . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Vrication de la forme du bruit . . . . . . . 7.4 Di rents algorithmes de recherche . . . . . . . . . 7.4.1 Variation du dcalage frquentiel . . . . . . 7.4.2 Prambule aux algorithmes . . . . . . . . . 7.4.3 Algorithme des moyennes . . . . . . . . . . 7.4.4 Algorithme de poursuite . . . . . . . . . . . 7.4.5 Comparaison avec les algorithmes usuels . . 7.4.6 Choix d'un algorithme . . . . . . . . . . . . 7.4.7 Dtail d'un algorithme de recherche . . . . . _. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. .......... .......... la position de la .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........... A Calcul de h2TT B Calcul de la fonction de transfert du systme de suspension C Dveloppement des coecients de l'e et de modulation Bibliographie Liste des gures _. . . . . . . . . . . . . .. 87 87 87 88 88 90 91 91 92 94 94 95 96. 103. 103 106 106 109 109 110 110 111 113 114 115 116 119 121 123 124. 131 133 139 141 145.

(19) viii.

(20) ix. Rsum : Le but de l'exprience Virgo est la dtection des ondes gravitationnelles. L'objet de cette th se est l'tude de mthodes pour la recherche de signaux mis par des toiles

(21) neutrons ainsi que l'talonnage du dtecteur. Dans une premi re partie, l'toile

(22) neutrons et son mission d'ondes gravitationnelles, sont prsentes. Ensuite le dtecteur, les principales sources de bruits, ainsi que la solution adopte pour l'talonnage sont dcrits. Puis dans une seconde partie la modlisation des e ets dus aux mouvements de la terre (eet Doppler, modulation d'amplitude) est dcrite. Leurs consquences sur le rapport signal sur bruit sont dtermines. Les deux derniers chapitres sont consacrs aux algorithmes de recherche de signaux priodiques. Tout d'abord le cas o la position de la source est connue est prsent. Le ralentissement de la rotation de la source et la correction de cet e et sont dcrits. La correction de l'e et Doppler est aussi dtaille. De mme, le probl me de la gestion du gigantesque ot de donnes

(23) traiter est abord, et une solution y est apporte. Finalement la dicult de recherche multidirectionnelle est prsente. Des prototypes d'algorithmes hirarchiques sont aussi valus.. Mots-cl :. Etoiles

(24) neutrons Ondes gravitationnelles Virgo. Recherche aveugle Traitement du signal Transforme de Fourier Algorithmes hirarchiques.

(25) x.

(26) xi. Abstract : The goal of the Virgo experiment is the detection of gravitationals waves. This thesis focuses on the study of methods for the search of signal emitted by neutron stars and on the calibration of the detector. In a rst part, the neutron star, it gravitational wave emission are presented. Then the detector as well as the main noises sources and the calibration are described. Then in a second part, the modelisation of the detector movements' e ects (Doppler eect, amplitude modulation) is described. The consequences on the signal to noise ration are also computed. The two last chapter focus on the algorithms for the search of periodic sources. First, the case where the position of the source is known is presented. The spinning down of the source and the correction of this e ect are described. The correction of the Doppler e ect is also detailed. As well, the problem of the big amount of data to handle is also evaluated, a solution to it is also given. Finally, the diculties of the blind search of periodic sources is explained. Some prototypes of hierarchical algorithms are also evaluated.. Key-words :. Neutron star Gravitational waves Virgo. Blind search Signal processing. Fourier Transform. Hierarchycal algorithms.

(27) xii.

(28) 1. Introduction. L. a relativit gnrale d'Einstein est, avec le mod le standard, un des deux piliers de la physique moderne. Ces deux thories se partagent la description des forces fondamentales. La plupart des phnom nes gravitationnels observs sont macroscopiques et de tr s faible amplitude

(29) l'chelle atomique, contrairement aux forces du mod le standard (le rapport force2 lectromagntique sur force gravitationnelle au sein e 39). Un certain nombre de prdicde l'atome d'hydrogne est 40Gm e mp tions de la relativit gnrale ont t vries assez rapidement (avance du prihlie de Mercure, dviation des rayons lumineux par le Soleil). On attend maintenant la conrmation par la dtection d'une autre prdiction : l'onde gravitationnelle. Elle se traduit par une dformation inme de l'espace-temps, c'est-

(30) -dire une modication des distances relatives au cours du temps. Il est pour l'instant impossible de crer, sur terre, des ondes gravitationnelles d'une amplitude susante pour tre dtectes en laboratoire. L'existence de telles ondes a t dmontre indirectement par Hulse et Taylor, prix Nobel 1994, lors de l'tude d'un syst me de deux toiles

(31) neutrons 1]. Le cosmos est le seul endroit o, actuellement il y a susamment d'nergie pour produire des ondes gravitationnelles que l'on puisse dtecter. L'exprience Virgo a pour but de dtecter de mani re directe de telles ondes. Elle recherche dans son domaine de frquences toutes les ondes gravitationnelles venant de l'espace et donc plus particuli rement les ondes mises par : = 2 27. 10. la coalescence d'un syst me binaire d'objets massifs et compacts (toiles neutrons, trous noirs). l'explosion d'une Super Nova (mort d'une toile) l'mission priodique par une toile

(32) neutrons Cette th se est consacre

(33) l'tude des mthodes de recherche de ce troisi me type de sources. Pour ce faire, les ondes gravitationnelles sont d'abord introduites dans le premier chapitre. Ceci permet de mieux comprendre le principe du dtecteur Virgo. Puis les.

(34) 2 toiles

(35) neutrons sont prsentes du point de vue de leur mission d'ondes gravitationnelles ainsi que du point de vue d'une partie de leur population : les pulsars (toiles neutrons mettant des ondes lectromagntiques). L'amplitude faible de leur mission justie un temps d'intgration long, ce qui sera

(36) la base de nombreux probl mes, dont la sensibilit aux faibles variations de frquences et la quantit importante de donnes

(37) traiter. Le dtecteur Virgo est ensuite prsent dans le chapitre 2. C'est un interfrom tre qui permet de mesurer les variations de distance entre quatre masses libres. Pour maximiser les chances d'observer un signal, l'exprience Virgo tente d'attnuer toutes les sources potentielles de bruit. La bande de frquences accessibles pour la recherche d'ondes gravitationnelles s'tend de quelques hertz

(38) quelques kilohertz. La limite infrieure de cette bande de frquences est dtermine par le syst me d'attnuation du bruit sismique, syst me particuli rement ambitieux qui permet

(39) Virgo d'envisager des recherches de signaux

(40) basses frquences. La limite suprieure de la bande de frquences est donne par le ltrage de cavits Fabry-Prot. Un point crucial de la mesure des ondes gravitationnelles, l'talonnage du dtecteur, est expos dans le chapitre suivant. Il s'agit d'tablir la relation quantitative entre le signal d'ondes gravitationnelles et le signal mesur. Ceci peut se faire en analysant de mani re dtaille le fonctionnement de l'interfrom tre et en combinant notre connaissance des di rents composants (ecacit des photodiodes, gain des convertisseurs analogique-numrique, fonction de transfert de l'interfromtre,...). Cependant, pour minimiser le risque d'erreurs, on va chercher une ou des mthodes indpendantes et les plus directes possibles an de pouvoir tablir directement cette relation et ainsi vrier ces calculs. Le signal que l'on veut observer correspond

(41) une variation de longueur des bras de l'interfrom tre. Pour talonner le dtecteur, il faut donc dplacer les miroirs. Reste

(42) savoir comment. Parmi les nombreuses solutions possibles, deux solutions ont t retenues pour Virgo : l'addition d'un signal supplmentaire sur les bobines de contrle du syst me d'asservissement des miroirs une force exerce par la pression de radiation d'un laser additionnel Seule la mise en uvre de la deuxi me mthode est dtaille dans cette th se. De plus, pour rsoudre bon nombre de probl mes, il est ncessaire de simuler le dtecteur. Cela se rv le primordial, tant au niveau du choix des stratgies possibles pour le verrouillage de l'interfrom tre qu'au niveau des tudes des mthodes d'analyse de donnes. Une simulation compl te de Virgo, appele Siesta, rpond

(43) ce besoin. Le chapitre 4 expose les lments de simulation que cette th se a introduit dans Siesta. Cette simulation, qui fonctionne dans le domaine temporel, est organise en plusieurs modules modlisant les di rentes parties de Virgo ainsi que certains signaux d'ondes gravitationnelles. L'ensemble des bruits peut donc tre simul. . pour Simulation of Interferometric Experiment Sensitive To grAvitational waves.

(44) 3 Le mouvement du dtecteur par rapport

(45) une source provoque des modications variables de sa frquence (eet Doppler) et de son amplitude. Dans le cas d'une source monochromatique, le signal dtect n'est plus priodique si ce mouvement n'est pas rectiligne et uniforme. Il est alors dilu dans une bande de frquences ce qui provoque une diminution du rapport signal sur bruit. On tudie, dans le chapitre 5, les pertes entra!nes par les variations de l'e et Doppler ainsi que celles qu'entra!nent les variations de l'orientation du dtecteur. On peut rechercher plusieurs types de sources priodiques. Les seules dont on connaisse la position sont les pulsars que l'on a dtects par l'intermdiaire de leurs ondes lectromagntiques. Le chapitre 6 est consacr

(46) l'tude de plusieurs mthodes pour dtecter les pulsars connus. L'intrt de rduire la quantit de donnes

(47) utiliser dans les recherches de signaux priodiques est discut ainsi que la correction de l'e et Doppler. La connaissance de la source fait penser

(48) la dtection synchrone, qui est a priori la mthode la plus simple. Il manque tout de mme des informations sur ces sources connues et cela complique cette mthode au point de la rendre moins attrayante. Deux autres mthodes di rentes de recherche de la dtection synchrone (mthode avec ajustement et mthode dite simple ) sont nalement compares. La proportion de pulsars qui mettent dans notre direction est estime

(49) de la population totale des pulsars. Les ondes gravitationnelles mises par une toile

(50) neutrons tant beaucoup moins directionnelles, on peut esprer que la quasi totalit des toiles

(51) neutrons mettent des ondes gravitationnelles, probablement tr s faibles, dans notre direction. C'est pourquoi une recherche en aveugle, c'est-

(52) -dire en supposant connue la direction d'une hypothtique source, nous permettra peut tre de trouver des sources non vues lectromagntiquement et pourtant plus proche de nous que les sources connues. Cette recherche prsente plusieurs probl mes dont le principale est que la correction de l'e et Doppler n'est valable que pour une zone limit dans le ciel. Le principe de base de la recherche d'toiles

(53) neutrons inconnues est donc de dcouper le ciel en petites cellules dont la taille est dicte par l'e et Doppler. Ce nombre de recherches est encore

(54) multiplier par le nombre de corrections du ralentissement potentiel de la source. Pour chacune de ces cellules nous recherchons un candidat dans la bande de frquences qui nous intresse. Nous valuons donc le nombre total de cellules de recherches ncessaires. Ce nombre est plus que contraignant pour des temps d'intgration de l'ordre de l'anne. On ne peut effectuer de recherche aveugle simple pour ces temps d'intgration. On propose donc deux algorithmes de recherche et on estime leur ecacit. Ils sont tous deux bass sur la dcoupe de l'ensemble des donnes pour un an en plus petits lots de donnes qui sont moins sensibles aux e ets de ralentissement et

(55) l'e et Doppler et donc pour lesquels le nombre de cellules dans l'espace des param tres est infrieur. Tout d'abord dans le cas de l'algorithme des moyennes, on recombine les transformes de Fourier sur les lots en les moyennant ce qui permet de regagner une partie du rapport signal sur bruit perdu par le temps d'intgration plus faible. Enn l'algorithme des poursuites, inspir du fonctionnement des chambres

(56) ls, recombine les transformes de 10%.

(57) 4 Fourier en recherchant la prsence du signal d'une transforme

(58) l'autre (comme. une trace au travers des divers plans d'une chambre

(59) ls)..

(60) 5. Chapitre 1 Partie Thorique. D. 1.1 Introduction. ans ce chapitre nous allons tout d'abord introduire la relativit gnrale et les ondes gravitationnelles 2] qui en dcoulent. Ceci nous permettra plus loin de mieux comprendre le principe du dtecteur Virgo. Puis nous prsenterons le type de sources qui nous intressent ici plus particuli rement, et que nous recherchons : les toiles

(61) neutrons. Enn nous en dcrirons la population actuellement connue et nous estimerons leur population actuelle dans la Galaxie.. 1.2 Ondes gravitationnelles Les ondes gravitationnelles sont une consquence de la relativit gnrale d'Einstein. Suivons le dveloppement de cette thorie pour voir comment elle dbouche sur ce phnom ne.. 1.2.1 Relativit restreinte. Le principe de relativit suppose que les lois rgissant un phnom ne aient la mme forme dans deux rep res inertiels S et S 0. La vitesse de propagation de la lumi re dans un milieu ne dpend que de celui-ci. Or selon une transformation de Galile, on doit additionner les vitesses. La vitesse de propagation doit donc changer selon cette transformation. On doit donc abandonner soit le principe de relativit, soit la transformation de Galile. Des mesures de c, la vitesse de la lumi re dans le vide, faites par Michelson et Morley en 1887 3], ont montr son invariance par changement de rep re" c'est donc la transformation de Galile qu'il faut abandonner, ce que personne n'osa faire avant 1905 : Einstein paria alors sur le principe de relativit. Il postula que dans tous les rep res inertiels, les quations de Max-.

(62) 6. Chapitre 1. Partie Thorique. well gardent la mme forme et qu'il fallait donc changer la loi de transformation. Les transformations de Galile prservent l'lment de longueur de l'espace eucli-. dien " les rejeter implique l'abandon de la reprsentation de l'espace physique par un espace euclidien de dimension 3. Einstein proposa donc une nouvelle gomtrie o #l'espace en lui-mme, le temps en lui-mme, sont condamns

(63) s'vanouir tels de simples ombres, et o] seule une sorte d'union des deux prserve une ralit indpendante$ (Minkowski). On a donc un nouveau cadre gomtrique de dimension 4 o l'on suppose un pseudo thor me de Pythagore. Cette nouvelle reprsentation ne remet pas en cause l'existence d'un rep re inertiel absolu, qui est encore plus un #fantme$ en relativit restreinte qu'en thorie newtonienne, car en vertu du principe de relativit, aucun phnom ne mcanique ou lectromagntique n'est cens permettre sa dtection

(64) mieux d'une translation uniforme pr s.. L'espace-temps de Minkowski Dans cet espace temps, on remplace l'lment de longueur innitsimal dl2 dx2 dy2 dz2 de l'espace euclidien de dimension 3 par ds2 ;c2 dt2 dx2 dy2 dz2 . Les transformations de coordonnes qui conservent cet lment forment le groupe de Poincar qui est compos des translations, des rotations et des transformations spciales de Lorentz ainsi que de leur composition. Si v est la vitesse selon l'axe des x qui anime un rep re S 0 par rapport

(65) S , la transformation spciale de Lorentz, qui permet de passer des coordonnes de S

(66) celles de S 0, donnera : =. +. +. =. 2 x00 66 x01 64 x02 x03. 3 77 75. =. 2 ;. 66 ;. 64. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 3 2 x0 77 66 x1 75 64 x2 x3. +. 3 77 75. +. +. (1.1). Avec vc et p1;1v2 =c2 . Pour simplier la formulation des calculs, on utilise gnralement la convention de sommation suivante : =. =. ds2. =. 3 X. ij =0.

(67) ij dxidxj. =.

(68) ij dxi dxj dxj dxj =. (1.2). Un mme indice se trouvant en haut et en bas donne une somme sur ce mme indice, et la somme avec le tenseur mtrique de Minkowski(quivalent de gij en relativit . Les indices romains tels vont de 0 3 et se rfrent l'espace-temps. Les indices grecs vont de 1 3 et se rfrent l'espace seulement. :::. i j:::.

(69) 1.2. Ondes gravitationnelles. 7. gnrale), permet de descendre ou de monter un indice : xi =

(70) ij xj . O :. 2; 66 64. 1.

(71) ij. =. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 3 77 75. (1.3). La position de l'indice permet de di rencier les vecteurs contravariants, indice en haut, des vecteurs covariants, indice en bas. Si l'on note ki la matrice de transformation de Lorentz prcdemment dnie, les vecteurs contravariants se transforment suivant la loi suivante : k dxi dx0k (1.4) i Et les vecteurs covariants : 0j dx0k (1.5) k dxj Oy 0jk kj

(72) jl

(73) ki i l est la matrice de Lorentz inverse " i j 0jk ji ( ji est le symbole de Kronecker). Les valeurs conserves par ces transformations sont les normes de quadrivecteurs. On associe gnralement : l'nergie d'une particule

(74) sa quantit de mouvement P i Ec ~p , Pi ; Ec p~ le temps

(75) la position xi ct~r , xi ;ct~r. =. =. = (. = (. ). = (. ). =. = (. ). ). Le temps propre. Soient deux points, ou vnements, spars dans l'espace-temps par ds. Si ds2 > , la distance qui les spare est du genre espace, et il ne peut y avoir de relation de cause

(76) e et d'un point

(77) l'autre. Cela signie que la distance qui spare les deux vnements (dx2 dy2 dz2) est suprieure

(78) la distance que peut franchir la lumi re pendant dt : ds2 > ;c2 dt2 dx2 dy2 dz2 > dx2 dy2 dz2 > c2dt (1.6) 0. +. +. 0. +. +. +. +. +. 0. Si en revanche ds2 < , alors ces deux points peuvent tre lis causalement. De 0. plus il existe un rfrentiel o ces deux vnements ont lieu au mme endroit. Dans un tel rfrentiel, on dnit le temps propre comme ds2 ;c2 d 2 . Si ds2 , alors on est sur un cne de lumi re. Les deux points ne sont joints que par des objets se dpla%ant

(79) la vitesse de la lumi re. y signale une d nition =. = 0.

(80) 8. Chapitre 1. Partie Thorique. Repres inertiels tangents Un observateur plac dans un rfrentiel inertiel peut calculer le temps coul dans un rep re non inertiel, gr&ce

(81) la notion de rep re inertiel tangent. En e et, si on consid re un rep re acclr, pendant un temps tr s bref sa vitesse va co'ncider avec celle d'un rfrentiel inertiel de mme vitesse. ( ce moment les lois de la physique doivent tre les mmes dans les deux rep res. Les transformations de Lorentz peuvent alors s'appliquer.. 1.2.2 Relativit gnrale. Pour tablir la relativit gnrale, Einstein est parti de ce qui semblait une co'ncidence en physique newtonienne : l'galit des masses graves et inertes " c'est le principe dit d'quivalence. Ce qui suit est une des nombreuses expriences de pense d'Einstein qui tend

(82) illustrer le phnom ne de dformation de l'espace temps (passage d'une mtrique de type Minkowski

(83) une mtrique gnralise). Cette exprience a t ralise plus tard et a conrm une fois de plus un raisonement d'Einstein.. Illustration du principe d'quivalence. Dans un rep re inertiel (S ), loin de toute masse, une tour de hauteur h est acclre le long de l'axe des x par une acclration constante ~g g~x. Ceci produit une force d'inertie localement gale

(84) la pesanteur terrestre. A l'instant t , un observateur A en x met un signal de longueur t. Calculons la vitesse de l'observateur B plac en x h (le haut de la tour) dans un rep re inertiel tangent, quand le signal y arrive

(85) l'instant t : v gt. Si vc est susamment petit, on obtient : =. = 0. = 0.

(86). =. =. ct. =. ,. 2 gt h +. 2. v gh v2 c c2 c2 v2 ; v gh (1.7) c2 c c2 s v gh ; c c2 v gh c c2 En supposant t susamment petit pour que la vitesse n'ait pas chang de mani re perceptible lors de l'mission et que l'on puisse confondre l'observateur acclr avec l'observateur B dans un rep re inertiel tangent au haut de la tour, alors la dure du =. 2. + 2. =. 0. =. 1. =.

(87). +. 2. 1. 2.

(88) 1.2. Ondes gravitationnelles. 9. gh . signal mesure par cet observateur dans le rfrentiel de dpart est t t c2 La mesure par l'observateur tangent sera la mme au premier ordre que celle de l'observateur q v2 acclr car la dilatation du temps est un e et de second ordre (. = ; c2 ). Donc, la frquence mesure en haut de la tour (haut) est dcale vers le rouge par rapport

(89) la frquence mise en bas de la tour (bas) : ! gh haut bas ; c2 (1.8) Le potentiel de gravitation terrestre (U ;GM= R h , g GM=R2 symbolise la Terre) est introduit dans l'quation (1.8). Ce qui donne : Uhaut Ubas. (1.9) haut bas ; c2 c2 Refaisons les calculs dans le rfrentiel li

(90) la tour. La tour tant acclre, la mtrique n'est plus celle de Minkowski. Notons gij la mtrique permettant de calculer ds2. On dnit un temps coordonn ct x0 et des variables d'espace x1 x2 x3 . Alors ds2 gij dxi dxj . Un signal de largeur en temps propre qbas mis en bas de la tour aura comme largeur, en temps coordonne, t bas = ;g00 bas et sera q per%u en haut de la tour comme haut t ;g00 haut . En e et, l'acclration est constante donc t ne varie pas entre le bas et le haut de la tour, car le champ ne change pas entre le passage du premier photon et celui du second photon. Ils mettent donc tous les deux le mme temps pour se propager du bas vers le haut. On obtient donc : v u Uhaut Ubas. u g 00 bas t haut bas g haut ' bas ; c2 c2 00. GM. (1.10) bas ; cGM 2R bas c2 Rhaut Le principe d'quivalence (masse grave = masse inerte) nous permettant d'identier localement une acclration au champ de pesanteur, on peut en dduire qu'

(91) l'ordre le plus bas : g00 ' ; ; cU2 (1.11) o U est le potentiel gravitationnel newtonien. Ce phnom ne fut mesur par Pound et Rebka 4] en 1960. Ils plac rent un chantillon de cobalt radioactif au bas d'une tour de l'universit de Harvard de hauteur m, et observ rent la frquence du au sommet (eet Mssbauer 5]). La prdiction est de l'ordre de bas ; haut =bas ;15. Ils mesur rent bas ; haut =bas ;15. Cet e et est aussi utilis pour mesurer le rapport masse sur rayon des naines blanches. Essayons maintenant de formaliser ces phnom nes en termes d'quations. =

(92) (1 +. ). =. 1. 1. =. 1. =. (. 1. +. =. +. ). =. =.

(93).

(94).

(95). (. =

(96). =

(97). (. ).

(98). =. (. ). (. 1. ). =. 1. +. +. 2. 1. 22 6. (. (. ). = (2 57. 0 26). ). 10. = 2 47. 10. ).

(99) 10. Chapitre 1. Partie Thorique. quations d'Einstein. Comme cela a t montr prcdemment, l'e et de la gravitation est contenu dans la description de la mtrique gij . C'est donc

(100) partir du principe de moindre action appliqu

(101) la mtrique que l'on va dduire les quations d'Einstein. La non linarit de la relativit gnrale appara!t ici car les drives, donc les variations, dpendent de la mtrique. Pour une mtrique donne gij on dnit : la drivation :@i @x@ i les symboles de Christoffel : lji 12 @j gli @igjl ; @l gji klj gik lji i @k i ; @l i i m; i m le tenseur de courbure ou de Riemann : Rjkl jl jk km jl lm jk k le tenseur de Ricci : Rij Rikj la courbure scalaire : R gij Rij De plus, les quantits suivantes apparaissent dans l'quation d'Einstein : le tenseur d'nergie-impulsion (distribution d'nergie et de masse) : Tij la constante cosmologique , dont la valeur n'est pas xe Voici quelques exemples de tenseurs nergie-impulsion : essaim dePparticules (de masses ma ) sans interaction : T ij c2 a mpa;(g~x;~xa) uiuj d dt ;. ;. (. +. ). ;. ;. ;. +;. ;. ;. ;. =. uide parfait : T ij. 0 p0 uiuj p0 gij o 0 est la densit totale d'nergie propre et p0 est la pression isotrope dans le rep re o il est au repos. Via le principe de moindre action appliqu au lagrangien suivant : c3 R ; L (1.12) G nous obtenons les quations d'Einstein : G T Rij ; gij R ; (1.13) c4 ij Tout l'arsenal ncessaire

(102) l'tude de phnom nes relativistes est maintenant

(103) notre disposition. On peut donc s'intresser

(104) de petites dformations de l'espacetemps : les ondes gravitationnelles. = (. +. ). +. =. 1 2. 16. (. (. 2 ). 2 ). =. 8.

(105) 1.2. Ondes gravitationnelles. 11. 1.2.3 Solutions des quations d'Einstein dans le vide et mission d'ondes gravitationnelles Dans un premier temps, nous allons chercher les solutions de l'quation d'Einstein dans le vide puis nous relierons ces solutions

(106) diverses sources. Il faut donc pour cela rsoudre les quations suivantes :. Rij. =. =. 1 2 1 2. gij R gij gklRkl. (1.14). Du fait de la non linarit des quations d'Einstein, le calcul du champ gravitationnel dans le vide n'est pas ralisable dans l'tat actuel des mthodes de calcul disponibles. Nous allons donc chercher

(107) linariser l'quation prcdente dans le cas de petites perturbations hij autour d'une solution triviale de cette quation : la mtrique de Minkowski

(108) ij . Le tenseur de la mtrique devient alors gij

(109) ij hij . Dans ce cadre les dnitions donnes prcdemment s'crivent : =. . k lj. ;. Rij. =. =. +.

(110) ik 21 @l hji @j hil ; @i hlj.

(111) 1 k k k k @ @ h @ @ h ; @ @ h ; @ @ h k i j j ik k ij j i k 2 (. +. ). +. Cela donne les quations liant les hij au premier ordre :. @k @ihkj @j @ k hik ; @k @ k hij ; @j @ihkk +. =. @k @ l hkl ; @k @ k hll. (1.15). La solution de ces seize quations

(112) seize inconnues n'est pas vidente. Remarquons tout d'abord que ce syst me de dimension seize peut tre rduit

(113) un syst me de dimension dix, le tenseur hij tant symtrique. Nous allons maintenant essayer de rduire les degrs de libert restants en utilisant les proprits de transformation sous les changements de jauge. Notons :. h00 ; A h0 B h C E =. 2. =. = 2(. +. On peut choisir E. ). = 0. B E. = =. en rednissant C , et dcomposer B et E comme suit :. @ B B 2 @ E ; E @ E @ E E + . 1. 3.

(114). +. . +. . + . (1.16) (1.17).

(115) 12. Chapitre 1. Partie Thorique. o B, E sont des fonctions, B , E des vecteurs sans divergence (@ B ) et o le tenseur E est transverse et sans trace (E et @ E ). On a donc dcompos les dix composantes hij en quatre scalaires et quatre composantes de vecteurs (les deux composantes indpendantes des deux vecteurs sans divergence B et E), et deux composantes de tenseurs (les deux composantes indpendantes du tenseur transverse et sans trace E ). Les quations d'Einstein tant invariantes par changement de coordonnes, quatre contraintes peuvent tre xes. Quatre changements innitsimaux de coordonnes (changement de jauge) permettent de voir comment se transforment ces dix composantes. A partir de cela, on dnit six grandeurs invariantes de jauge : A @0 B ; @02 E (1.18) A C; E (1.19) C B ; @0 E (1.20) B E restant inchang par ces transformations de coordonnes. En crivant les quations d'Einstein en fonction de ces grandeurs, on obtient quatre contraintes supplmentaires : (1.21) A (1.22) C (1.23) B Il ne reste de l'quation (1.15) que deux degrs de libert contenus dans le tenseur E , qui vrient l'quationz : 2E (1.24) Si on cherche une solution

(116) cette quation de propagation sous forme d'ondes planes et que l'on xe le choix de la jauge, en l'occurence la jauge Transverse sans Trace #TT$, o ~k k , on obtient (hTT E ) : TT eTT h (1.25) hTT eTT k z ; ct avec eTT ;eTT ij ij xx yy h+ et exy yx toutes les autres composantes de eTT ij tant nulles. Relions maintenant les termes h+ et h

(117) une source donne. On peut montrer que la seule partie intressante pour nous est celle rayonne

(118) l'inni et que dans le cas d'un groupe de particules de masses ponctuelles, elle se rsume

(119) l'quation suivante : G T (1.26) 2hTT c4 G X m uu. hTT ; (1.27) c4 r R z2 . . . . . . . = 0. = 0. . . . =. . =. . +. 1. 3.

(120). . =. . . . =. 0. . =. 0. =. 0. . . . = (0 0. =. cos. (. ). =. =. i. 0. = . ). =. @i @. =. 8. =. . 2. . . = 0.

(121) 1.2. Ondes gravitationnelles. 13. o T reprsente le tenseur nergie impulsion exprim dans la jauge transverse sans trace, et o l'indice R signale un potentiel retard de type Linard-Wiechert. Si on se place loin de la source,

(122) la distance r, et si la vitesse des masses est faible par rapport

(123) c, avec les notations suivantes : ~n vecteur norm tel que ~k k~n (1.28) Z Q dm z z ; ~z 2 moment quadrupolaire du syst me (1.29) . =. 1. (. P

(124) ; n n

(125) ; n n

(126) ; ; n n

(127) ; n n

(128) (. on a :. ). 3. )(. 1. ). 2. (. )(. (1.30). ). G P d2Q

(129) t ; r=c (1.31) c4r

(130) dt2 Gr&ce

(131) l'quation (1.31), on est maintenant capable d'valuer l'amplitude des ondes gravitationnelles au voisinage de notre dtecteur. Une relation reliant h

(132) l'nergie rayonne par la source peut aussi tre obtenue. D'apr s 6], l'nergie d2E rayonne pendant dt dans un angle solide lmentaire d est, dans la direction caractrise par ~n : ...2 ... ... G ... 2 Q n n Q ; Q Q n n (1.32) d2E d dt c5 On en dduit l'nergie totale rayonne par unit de temps dE=dt : Z 2 Z dE d2 E d d dt d dt Z02 Z0 ... ...2 ... ... G 2 d d c5 Q n n Q ; Q Q n n 0 0 2 G ... Q (1.33) 4 c On ne peut malheureusement pas avoir acc s

(133) l'nergie rayonne donne par l'quation (1.33), notre dtecteur ne recevant que l'nergie mise par la source dans notre direction. Un mod le d'mission permet de remonter

(134) la totalit de l'nergie mise en mesurant certains param tres lis

(135) la source. Les valeurs de h mesures peuvent tre relies

(136) la perte d'nergie dans un angle solide dans une direction donne (cf quation (1.32)). En e et, on obtient, en contractant le tenseurhTT avec lui mme (calcul eectu en annexe A) : 2 ... ...2 ... ... G 2TT 2 h Q ; Q Q n n (1.34) c8 r2 Q nn G d2E (1.35) c3r2 d dt d2 E c3r2 h2TT (1.36) d dt G hTT . 2. =. (. ). . =. 1. 4. 4. =. sin. =. sin. =. (. ). +. 1. . 2. . 1. 4. 4. (. ). +. 1 2. 5. _. _. =. =. . =. 8. 1 4. (. ). 288. . _. 288. +. 1 2.

(137) 14. Chapitre 1. Partie Thorique. L'quation (1.36) sera utilise dans le paragraphe (1.3) pour valuer l'nergie mise dans notre direction par une toile

(138) neutrons en terme de h0 (quantit caractristique de l'onde gravitationnelle).. 1.2.4 E ets des ondes gravitationnelles Dans le cadre dni prcdemment, on peut crire :. ds2. =. ;c2 dt2. + (1 +. h+ dx2 ). + (1. ; h+ dy2 ). + 2. hdxdy dz2 +. (1.37). o ds2 dnit l'quation de la trajectoire de la lumi re, une godsique. Calculons le temps mis par un photon pour faire un aller-retour entre deux points en chute libre dans ce rfrentiel. Le premier de ces points se trouve en et le deuxi me en X . Le temps coordonnes se confond avec le temps propre d'un observateur en chute libre. De plus le passage d'une onde gravitationnelle ne provoque pas de mouvement, au premier ordre, pour des masses places sur une godsique. Donc le temps per%u par une horloge pour l'aller et retour du photon est l'intgrale du temps coordonnes : = 0. (0 0 0). (. 0 0). dt T. = =. q h dx q + h+ X '. (1.38) (1.39). 1 +. 2. 1+. (2 +. h+ X ). On dnit la distance D sparant les deux points comme D cT . Donc si h+ varie au cours du temps, la distance mesure variera elle aussi au cours du temps. La gure 1.1 montre l'e et du passage d'une onde gravitationnelle sur un cercle de particules test. On peut remarquer l'action au niveau du moment quadrupolaire : contraction dans une direction et longation dans une autre. Passons maintenant

(139) l'tude de la source d'ondes gravitationnelles qui nous intresse plus particuli rement : l'toile

(140) neutrons. =. 1.3 Une source d'ondes gravitationnelles : L'toile neutrons L'onde gravitationnelle mise par une toile

(141) neutrons ne peut exister que si celleci a un moment quadrupolaire asymtrique par rapport

(142) son axe de rotation 7]. Apr s la description de l'toile

(143) neutrons, on s'intressera a son type dmission : un signal priodique avec deux frquences..

(144) 1.3. Une source d'ondes gravitationnelles :. L'toile neutrons. (+). 15. (x). y. x. Figure 1.1: E et d'une onde gravitationnelle sur un ensemble de particules test, pour les deux polarisations h+ et h. 1.3.1 L'toile neutrons. Une toile

(145) neutrons est un corps cleste extrmement massif et compact d'environ km de diam tre, qui a une massex d'environ M, et qui est compos majoritairement d'un uide de neutrons et de protons (au nombre de 57). Leur existence a t prdite par L. D. Landau dans les annes 1930. Elle doit son nom au fait que les neutrons sont vingt fois plus nombreux que les protons. Sa densit est de l'ordre de celle du noyau atomique (voire plus en son centre 15 g cm;3). Elle poss de un champ magntique qui est d aux mouvements des protons et des lectrons en son sein. Elle est susceptible d'mettre un rayonnement lectromagntique selon une direction si son champ magntique est assez fort et/ou sa rotation assez rapide. Dans ce cas, la rotation de cette toile entra!ne l'apparition d'un signal priodique pour un observateur terrestre. C'est ce qu'on appelle un pulsar. Le premier pulsar a t dcouvert en 1967 par J. Bell et A. Hewish. Cependant, la taille du cne d'mission est telle que seuls un dixi me des pulsars sont e ectivement observs. De plus, en tenant compte de la faiblesse d'mission de certains d'entre eux, leur 10. 1 4. 10. 10. xM. . dsigne la masse du Soleil.

(146) 16. Chapitre 1. Partie Thorique. nombre est estim

(147) environ un million dans notre Galaxie. De plus, les nombreuses toiles

(148) neutrons qui n'mettent pas comme les pulsars sont tout de mme susceptibles d'mettre des ondes gravitationnelles. Le nombre total d'toiles

(149) neutrons dans la Galaxie est estim

(150) environ 9 ; 10 8]. Ce nombre reste tr s spculatif car il dpend de mod les d'toiles

(151) neutrons qui ne sont pas encore bien valids. Seuls 706 pulsars ont t observs selon 9]. Les toiles

(152) neutrons sont le rsultat de la super nova d'une toile faisant plusieurs masses solaires 10]. La plus cl bre d'entre elles est le pulsar du Crabe dont la super nova a pu tre observe en plein jour pendant trois semaines en 1054 11]. La structure 10] d'une toile

(153) neutrons est prsente sur la gure 1.2. 10. Rayon 10 km. 10. Solide cristalin. ρ=10 g cm -3 6. ρ=4,3x10 g cm -3 11. Solide avec neutrons libres. ρ=2x 10 g cm -3 14. Neutrons superfluides. Noyau potentiellement solide. Densite centrale ρ=10 g cm -3 15. Figure 1.2: Structure interne d'une toile

(154) neutrons Ce sont les dformations de cette structure qui permettent l'apparition d'ondes gravitationnelles. La dcouverte de telles ondes apporterait des renseignements prcieux sur la mati re nuclaire

(155) tr s haute densit.. 1.3.2 Mod

(156) le d'mission simple. Mettons l'quation (1.31) sous une forme utilisable pour l'tude des toiles

(157) neutrons dans le cas d'un dtecteur plac sur terre..

(158) 1.3. Une source d'ondes gravitationnelles :. L'toile neutrons. 17. On peut dcomposer le tenseur P

(159) en la di rence de deux produits d'un mme tenseur (projecteur perpendiculaire la ligne de vise) : . P

(160).

(161) ;

(162) 2 r r ; 2. =. (1.40). 1. . (1.41) r On peut aussi dcomposer le tenseur Q en une partie due

(163) la rotation de l'toile

(164) neutrons Qrot , dont la drive seconde par rapport au temps est nulle, et une partie due

(165) une distorsion de l'toile Qdist . Cette dcomposition est possible gr&ce

(166) la faible amplitude de ces moments, et donc

(167) leur corrlation encore plus faible. L'quation (1.31) devient donc :. r. G

(168).

(169) dist TT h Q

(170) t ; c (1.42) c4 r ; Dans la jauge transverse sans trace et dans le rfrentiel de propagation{ de l'onde gravitationnelle on obtient alors : hTT h+e+ he (1.43) " # 2 i h h i t;t ; t ; t (1.44) . . 2. =. =. 1. =. 1. . 2. . . . +. +. =. 0. sin. h. =. h0. sin. h0. =. ; cG4 Qdist z^z^ r 6. . sin 2. cos. 4. . cos. 2. sin. i. 2. 0). cos (. t ; t0 ;. sin (. ). sin. sin. . 1 + cos 2. cos. i. cos 2(. t ; t0. sin 2(. . ). 0). (1.45) (1.46). . o est l'angle entre l'axe de rotation de l'toile

(171) neutrons et l'axe principal du moment quadrupolaire d

(172) une distorsion, et i l'angle entre l'axe de rotation et la direction de la terre. est la frquence de rotation de l'toile

(173) neutrons. Qdist z^z^ correspond

(174) la projection du moment quadrupolaire sur son axe principal. Le terme en r=c a t inclu dans le terme t0 . L'mission d'ondes gravitationnelles fait perdre de l'nergie

(175) l'toile

(176) neutrons et donc la ralentit. L'quation (1.36) nous permet d'valuer cette perte pour notre direction. Avec les notations prcdentes, on a : c3r2 hh2 h2 h2 h2 i d2E (1.47) d dt G 11 12 21 22 c3r2 hh2 h2 i (1.48) G + . . =. =. _. + _. _. + _. 288. 144. + _. + _. On d nit l'axe des z de ce repre comme tant confondu avec le vecteur de propagation de l'onde. L'axe des x est d ni, au sens prs, comme l'intersection entre le plan perpendiculaire et le plan de rotation de l'toile neutrons. Le sens de l'axe des x n'est pas important car le sens oppos donne exactement la m

(177) me mtrique (spin deux de la mtrique) {. ~ k. ~ k.

(178) 18. Chapitre 1. Partie Thorique =. ". c3r2 h2 2 2 G 0 ; i sin. 144. cos. 2. + sin. ;. . sin 2. sin. cos. 2. . (1 + cos. 2. 2. sin. i. 2. 2. sin. 16. 2. t ; t0. i. ) sin (. 2 2 2 i t ; t0 i i ti; t0 2 2 i 2 t ; t0 (1 + cos. 2 cos. sin. +4 sin. ). sin. cos. sin. cos. cos. t ; t0. (. 2(. 2(. ) sin 2(. 2. ) + cos. cos (. ). 2 i t ; t0. t ; t0. sin. 2. cos. 4. ) cos 2(. ). (. t ; t0. ). (1.49). ). Cela correspond

(179) une nergie, ET , perdue en moyenne par priode : Z T d2E ET T 0 d dt dt " c3r2 h2 2 2 2 2 i 2 2 2 i G 0 # 2 i 2 2 2 i . (1.50). 1. =. . =. sin. 288. sin. + cos. . + 4 sin. 4. sin. cos. 2. + sin. 16. ). (1 + cos. ). (1.51). cos. En additionnant ET sur toutes les directions i possibles, on obtient l'nergie totale ETot mise par l'toile

(180) neutrons sous forme d'ondes gravitationnelles.. ETot. Z 2. Z d diET 0 0 c3 r2 h2 2 G 0 2 2 i. =. =. sin. 288. sin. +. cos. =. c3r2 h2 G 0 288. Z " di 0 # 2 2 i " 2 2 2 . 4. sin. 2. 2. + 4 sin. cos. . 2. sin. 16. +. i. 2. 16. cos. 5 cos. . 2. 2. 35 sin. . 2. + sin. . #. (1 + cos. 2. i2 ). (1.52). 4. 35c3 r2 2 2 max h pour 2 rad et un minimum nul On obtient,

(181) h0, x ETot 1152G 0 pour rad. La valeur de peut dicilement tre prdite. Par exemple un angle max . donne ETot ETot Cette nergie, dans le cas d'une dcouverte d'ondes gravitationnelles pour un pulsar connu, pourra, une fois corrle avec le ralentissement, permettre de discriminer certains mod les de description de pulsars. Les mesures du ralentissement des divers pulsars connus permettent de donner l'ordre de grandeur maximal de h0, en supposant que la perte d'nergie cintique de rotation observe soit uniquement due

(182) l'mission d'ondes gravitationnelles. Soit dist 2 3 Qz^z^ 38 I , le moment d'inertie du pulsar (typiquement kg m ), ; 2 I son degr d'asymtrie et P dP=dt la variation de sa priode. Alors, en supposant que le =. . =. = 0. = 15. = 18%. 10. _. =. =.

(183) 1.3. Une source d'ondes gravitationnelles :. L'toile neutrons. 19. ralentissement est d

(184) l'nergie rayonne sous forme d'ondes gravitationnelles, on obtient :. P ) max " hCrabe ;24 0max _. = 7 6. =. 1 44. = 1 8. =. I 38 kg m2. 10. P ) max " ela hV0max ;24 _. ;4. 10. 1 91. 10. ;3. 10. I 38 kg m2. 10. P ) max " h1957+20 ;30 0max. #. 10. #. (1.53) (1.54). ;9. # I (1.55) 38 kg m2 Remarquons que le param tre , le degr d'asymtrie de l'toile

(185) neutrons, est important et malheureusement mal connu. _. = 1 6. =. 1 73. 10. 10. 10. 1.3.3 Mod

(186) le incluant une dformation de l'toile neutrons par son champ magntique. Essayons de modliser de mani re plus prcise le phnom ne dcrit prcdemment. On suppose ici que la distorsion de l'toile

(187) neutrons est due

(188) son champ magntique, ce qui va nous permettre de donner une valeur

(189) ou de dplacer le probl me vers diverses hypoth ses pour valuer le degr de distorsion. Ici, on suppose que l'axe principal de Qdist z^z^ est confondu avec l'axe du champ magntique. Toujours d'apr s 7], on peut crire, avec les notations suivantes : Mi M M le diple magntique, la densit de masse de l'toile, R le rayon moyen de l'ellipso'de quasi-sphrique : =. (0. sin. cos. ). Qdist z^z^. =. M2 ; 20 GR 3 16. (1.56). Relions M au ralentissement de l'toile

(190) neutrons 12] en supposant que la plus grosse partie de ce ralentissement est due

(191) une perte d'nergie via le canal lectromagntique, une petite fraction seulement tant due au rayonnement gravitationnel :. M2. =. c3 IP P 0 2 2 . 4. _. 3. 8. sin. (1.57). Si l'on dnit comme suit :. . =. 2 2 0 MGIR2 4. (1.58).

(192) 20. Chapitre 1. Partie Thorique. on obtient une reformulation de (1.44) et (1.45) :. h+. " 2 i i R P crP . 2 i RcrPP 2 crPR P 2 _. =. 6. sin. 2 tan. _. h. =. 6. h0. =. 6. cos. sin. 2 tan. t ; t0 ;. cos (. ). t ; t0 ;. sin (. ). 1 + cos. cos. 2. i. 2. i. cos 2(. t ; t0. sin 2(. . t ; t0. ). _. # ). (1.59) (1.60) (1.61). sin. Ce qui nous donne comme liste d'amplitudes revisites :. hCrabe 0 hV0 ela h1957+20 0. R 2 2 Rkm 2 ;31 km 2 R 2 ;37 km 2 . (1.62). ;31. =. 4 08. 10. =. 1 81. 10. =. 4 51. 10. 10. sin. 10. sin. 10. sin. (1.63) (1.64) (1.65). Ces valeurs semblent tr s petites (h ' ;31), et, pour les dtecter, il faudrait intgrer les donnes pendant dix milliards d'annes avec un dtecteur comme Virgo. Mais, si est petit, h0 cro!t tr s rapidement. Malheureusement, l'quation (1.57) n'est vraissemblablement plus valable pour tr s petit ( < ;2). On doit donc esprer obtenir de grandes valeurs pour . Suivant les divers mod les utiliss pour dcrire l'intrieur de l'toile, on obtient diverses valeurs de 7] : 10. 10. mati re normale, conducteur parfait : ' ; intrieur de l'toile, supraconducteur de type I : ' ; intrieur de l'toile, supraconducteur de type II : valeurs non calcules Dans les cas extrmes prend des valeurs de l'ordre 3, en supposant ' ;1 , on obtient pour le pulsar du Crabe h ;26. Cela est encourageant pour la 1. 10]. 150. 6. 10. recherche de pulsar connus.. 5700]. 10. 10. 1.4 Donnes sur les pulsars connus Nous disposons de donnes sur les toiles

(193) neutrons gr&ce

(194) une de leurs sousclasses : les pulsars. Pour orienter nos recherches, nous pouvons nous intresser

(195) leur distribution frquentielle ainsi qu'

(196) leur distribution dans le ciel..

(197) 1.4. Donnes sur les pulsars connus. 21. 1.4.1 Distribution de la frquence des sources potentielles. nombre de pulsars. Plus de sept cents pulsars sont actuellement rpertoris dans le catalogue de Taylor 9]. La gure 1.3 prsente la distribution de leur frquence. Cette distribution nous montre l'intrt de dvelopper un dtecteur sensible aux signaux basse frquence (quelques Hertz). De plus, en regardant les quations (1.44) et (1.45), on remarque qu'il existe une mission d'ondes gravitationnelles

(198) la frquence double de l'toile

(199) neutrons, ce qui nous permet d'augmenter leur nombre dans la bande de frquences de Virgo. Nous pouvons remarquer que la distribution des pulsars en syst me binaire est concentre dans les hautes frquences, ce qui a ecte peu la distribution

(200) basse frquences, intressante pour la recherche aveugle (qui n'est pas encore envisage pour les toiles neutrons en systme binaire cause de l'inconnue que reprsente le compagnon de la source). 10 2 pulsars solitaires pulsars en système binaire 10. 1 10-1. 10-1/2. 100. 101/2. 101. 103/2. 102. 105/2. 103. fréquence en Hz. Figure 1.3: Distribution de la frquence radio des pulsars connus La faible proportion de pulsars en syst me binaire et la diculte de corriger l'e et Doppler d aux mouvements internes au syst me, fait que par la suite on ne s'intressera qu'aux toiles

(201) neutrons solitaires.. 1.4.2 Variation de la frquence des pulsars. Les pulsars mettent des ondes lectromagntiques. Par l

(202) mme, ils perdent de l'nergie, ce qui produit une diminution de leur frquence de rotation. Une mesure de ce ralentissement est P , ie la variation de la priode du pulsar. La gure 1.4 montre les variations de priode en fonction de celle-ci pour les 540 pulsars du catalogue de _.

(203) 22. Chapitre 1. Partie Thorique. Taylor dont on a une mesure du P_ positive. Cinq pulsars ont une mesure ngative. de P car ils sont acclrs par des phnom nes d'acrtion. q Les autres n'ont pas de P mesur. Pour un pulsar donn de priode P0, T P0 =P correspond au temps qu'il faut attendre pour que la phase additionnelle due

(204) P soit gale

(205) . Ce temps est important car il donne un ordre de grandeur du moment o l'intgration fait perdre du signal. En e et,

(206) partir de ce moment, le signal est en opposition de phase avec celui attendu. Ceci permet de dnir sur cette gure les zones o P est important en fonction du temps, T , pendant lequel le signal va tre intgr. _. _. =. 1. _. _. _. Variation de la période en s/s. -11. 10 -12 10 -13 10 -14 10 -15 10 -16 10 -17 10 -18 10 -19 10 -20 10 -21 10. T = un jour T = dix jours T = cent jours T = mille jours. pulsars solitaires pulsars en système binaire 1. 2. 10. 10 10 fréquence en Hz. 3. Figure 1.4: Variation de priode d'un pulsar en fonction de sa frquence De plus, la mesure de ce ralentissement permet de donner une limite maximum sur l'amplitude des ondes gravitationnelles mises par les pulsars connus. L'quation suivante 13] donne l'amplitude en fonction du ralentissement P en supposant que toute l'nergie mise par le pulsar soit mise sous forme d'ondes gravitationnelles

(207) la frquence double du pulsar. _. hmax. s =. p. GP I c3P r _. (1.66). I correspond au moment d'inertie de l'toile

(208) neutrons, qui vaut pour une toile

(209) neutrons typique de masse M : 38 Kg m2 . La gure 1.5 montre cette amplitude en fonction de la frquence de la source. 1 4. 10.

(210) hmax. 1.4. Donnes sur les pulsars connus 10. 10. 10. 10. 10. 23. -24. -25. -26. -27. -28. 1. 10. 10. 2. 3. 10 fréquence en Hz. Figure 1.5: Amplitude maximum d'mission d'ondes gravitationnelles pour les 706 pulsars connus en fonction de leur frquence d'mission. 1.4.3 Distribution spatiale des pulsars connus. Le catalogue prcise aussi la position de ces sources. La gure 1.6 nous montre cette distribution en coordonnes galactiques. Comme on peut s'y attendre, cette distribution est centre sur le plan galactique. Ceci s'explique aisment car les sources dtectes sont dans notre galaxie (distance de l'ordre de quelques kiloparsecs). De plus, des pulsars solitaires se trouvent dans une bande ;= < < = , ; < < rad qui reprsente seulement de l'angle solide total

(211) couvrir pour une recherche aveugle. Les recherches seront donc

(212) tenir prfrentiellement dans cette direction. Comme la majorit des sources se trouve approximativement dans le plan galactique, une vue du dessus de la Galaxie renseigne bien sur la distribution en distance des pulsars. Sur la gure 1.7 le centre galactique se trouve aux coordonnes (en kpc) (0,0) et la Terre aux coordonnes (-8,0). La distribution est centre autour de la position de la Terre de mani re

(213) peu pr s uniforme, avec un talement en direction du centre galactique. La recherche en aveugle de pulsar devra donc tre prfrentiellement dirige dans le plan galactique, sans zone plus particuli re. 46%. 0 1. 2. 2. 0 1. 5%. 1.4.4 Incertitude sur la position des pulsars. La position des pulsars est connue avec une plus ou moins grande prcision. La gure 1.8 prsente la distribution de l'incertitude sur la position des pulsars. Elle est.

(214) 24. Chapitre 1. Partie Thorique. 1.5. Pulsars en système binaire Pulsars solitaires. δ [−π/2,π/2]. 1 0.5 0 -0.5 -1. α [−π,π]. -1.5 -3. -2. -1. 0. 1. 2. 3. Figure 1.6: Distribution de la position des pulsars connus en coordonnes galactiques en moyenne centre sur un angle solide de l'ordre de ;10 sr. La prsence de deux pics peut s'expliquer par le fait que la liste de 706 pulsars a t faite

(215) partir d'un ancien catalogue (long temps d'observation pour 558 pulsars) et

(216) partir de l'ajout de 148 nouveaux pulsars dcouverts entre 1993 et 1995 9]. Pour ces derniers l'erreur sur la position n'a pas pu tre diminue, faute de temps d'observation. On peut remarquer sur la gure 1.9 que l'incertitude ne montre pas de dpendance en frquence. 2 6. 10.

(217) y en kpc. 1.4. Donnes sur les pulsars connus pulsars solitaires 15. 25 pulsars en système binaire. 10 5 0 -5 -10 -15. -15. -10. -5. 0. 5. 10 15 x en kpc. nombre de pulsars. Figure 1.7: Distribution de la position des pulsars connus dans la Galaxie par rapport

(218) son centre. 40 35 30 25 20 15 10 5 0. pulsars en système binaire pulsars solitaires. -16. -14. -12 -10 -8 -6 -4 log10(erreur en sr sur la position). Figure 1.8: Distribution de l'erreur sur la position des pulsars connus, en stradians.

(219) Chapitre 1. Partie Thorique. log10(erreur en sr). 26. pulsars solitaires -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 -18 -1 10 1. pulsars en système binaire. 10. 2. 10 10 fréquence en Hz. 3. Figure 1.9: Distribution de l'erreur sur la position des pulsars connus en fonction de leur frquence, en stradians.

(220) 27. Chapitre 2 Dtecteurs d'ondes gravitationnelles. V. irgo est un dtecteur d'ondes gravitationnelles dont le principe est de. mesurer les variations de distances entre quatre masses libres. Sa mise en service est prvue pour la n de l'anne 2000. Pour cela on utilise l'interfromtrie laser. Pour maximiser les chances d'observer un signal, l'exprience Virgo tente d'attnuer toutes les sources potentielles de bruit. La bande de frquences accessibles pour la recherche d'ondes gravitationnelles s'tend alors de quelques hertz

(221) quelques kilohertz. La limite infrieure de cette bande de frquences est dtermine par le syst me d'attnuation du bruit sismique, syst me particuli rement ambitieux qui permet

(222) Virgo d'envisager des recherches de signaux

(223) basse frquence. Ceci est primordial pour la recherche d'toiles

(224) neutrons, comme la montr la distribution des frquences de la gure 1.3. La limite suprieure de la bande de frquences est donne par le ltrage des cavits Fabry-Prot. Dans ce qui suit, le principe de dtection de Virgo et les principales sources de bruit sont dtaills. Ceci permettra par la suite de comprendre plus aisment l'talonnage du dtecteur et la recherche de signaux priodiques.. 2.1 Principe de dtection de VIRGO La dtection d'ondes gravitationnelles consiste

(225) mesurer la distance entre des masses libres. Comme nous l'avons vu au chapitre 1, l'e et d'une onde gravitationnelle est d'augmenter les distances suivant une direction tandis qu'elle les diminue dans une direction perpendiculaire. C'est pourquoi un interfrom tre de Michelson, qui mesure la di rence entre deux distances L1 et L2 gnralement perpendiculaires, est appropri pour la dtection d'ondes gravitationnelles. La gure 2.1 montre le schma d'un tel interfrom tre. La di rence de chemin optique mesure est proportionnelle aux variations de L1 ; L2 . Le passage d'une onde gravitationnelle polarise h+, qui serait oriente de fa%on optimale c'est-

(226) -dire selon le syst me de mesure (concidence des bras du dtecteur avec les axes de polarisation h+ de l'onde), changerait L2 en ; (1.

(227) 28. Chapitre 2. Dtecteurs d'ondes gravitationnelles y L1. x L2. Laser. Lame séparatrice Signal observé. Figure 2.1: Schma d'un interfrom tre de Michelson 1 TT TT hTT L1 L. xx L2 , et L1 en 2 hxx L1 . La mesure est donc sensible

(228) hxx L, si L2 Ce syst me permet donc de tirer prot de la polarisation des ondes gravitationnelles. La sensibilit d'un interfrom tre a pour limite majeure le bruit de photons, qui est directement li

(229) la puissance prsente sur la lame sparatrice. L'interfrom tre est plac sur sa frange noire (interfrences destructrices) pour accro!tre la sensibilit. La lumi re prsente dans l'interfrom tre est donc renvoye vers le laser. C'est pour cela qu'est introduit un miroir dit de recyclage, qui rinjecte cette lumi re et augmente ainsi la puissance prsente dans l'interfrom tre. Le facteur de recyclage (gain en puissance) r envisag est de l'ordre de 50, ce qui permet de passer d'une puissance initiale de W

(230) une puissance e ective de l'ordre de kW. Pour augmenter la sensibilit de l'interfrom tre, des cavits Fabry-Prot (cf la

(231) gure 2.2) sont ajoutes dans les bras du dtecteur. Elles amplient la di rence de phase due au dplacement d'un miroir par un facteur F=, o F est la nesse de la cavit. La nesse prvue est de l'ordre de , ce qui, pour des bras de km de long, donne une longueur e ective de km. On peut donc calculer le temps de stockage de la lumi re dans les cavits FL=c ;4 s et la frquence de coupure de la cavit fp = Hz. Au del

(232) de cette frquence, la dtection d'une source sera limite par le ltrage passe-bas induit par les cavits. 1 2. ). (1 +. ). =. 20. =. 1. 2. 50. 3. 150. = 2. = 1 (2. ). = 3. 10. 500. 2.2 Bruits limitant la sensibilit de VIRGO La sensibilit de Virgo est limite par le bruit de photons ainsi que par les divers bruits thermiques et sismiques. La description qui suit doit permettre de mieux.

(233) 2.2. Bruits limitant la sensibilit de VIRGO. L1. 29. 3 km. y 6m. x L2. Laser 6m. 3 km. Miroir de recyclage Signal observé. Figure 2.2: Schma optique de Virgo comprendre le dtecteur Virgo.. 2.2.1 Le bruit de photons Le bruit de photons est d

(234) la uctuation du nombre de photons observs. Si N est le nombre moyen de photons prsents p pendant un temps dt, les uctuations statistiques nous donnent une incertitude N sur la mesure de N . De plus, pour minimiser la sensibilit aux variations de puissance du laser, on utilise la technique de modulation/dmodulation

(235) haute frquence qui consiste en une modulation de la phase du laser et une dmodulation synchrone du signal observ. L'erreur P sur la puissance observe P est alors :. P. q. =. 2.

(236) P rhP L pW Hz. (2.1). o

(237) est l'ecacit quantique des photo-diodes de dtection et L la frquence du laser. En reliant la variation de puissance au dplacement d'un miroir, en prenant en compte l'e et d'amplication ainsi que le phnom ne de ltrage des cavits Fabry-Prot, Pour caractriser les diverses sources de bruit on utilise, dans Virgo, leur densit p spectrale, c'est--dire l'intgrationpdu signal sur une seconde. On obtient alors un bruit en 1 Hz. En eet, le (T est le temps d'observation du signal), on peut, partir de la courbe bruit croissant comme obtenue (courbe de sensibilit 2.4) pour une seconde d'intgration, calculer quel sera le bruit pour p un temps d'observation quelconque, en multipliant par la courbe unit. . =. T. T.

(238) 30. Chapitre 2. Dtecteurs d'ondes gravitationnelles. la densit spectrale du bruit de photons pour la mesure de h est :. hBP ~. o . =. c L. (. s. ). =. v u hP L u t

(239) r P FL. 2. 4. 1 +. 2 p 2 fp Hz. (2.2). 1. est la longueur d'onde du laser.. 2.2.2 Le bruit sismique. Virgo est un interfrom tre suspendu car, pour dtecter les ondes gravitation-. nelles, il faut que les miroirs soient libres dans les directions de mesure. Il mrite d'autant plus ce nom qu'un syst me unique d'isolation sismique est utilis. Il est fond sur une succession de ltres passe-bas dont les frquences de coupure sont les plus basses possibles an d'attnuer les vibrations du sol dans la bande de frquences de mesure. Les lments de base de cette suspension sont des #ltres$ qui agissent comme un pendule et comme un ressort vertical fonctionnant suivant les six degrs de libert. En e et, compte tenu depl'norme attnuation ncessaire, le dplacement du sol tant de l'ordre de ;8 m/ Hz, il faut attnuer ces vibrations de plus de dix ordres de grandeurs dans toutes les directions, an qu'elles n'induisent pas de dplacements longitudinaux au travers de couplages mcaniques faibles mais toujours prsents. Le syst me d'attnuation de Virgo est constitu d'une cha!ne de cinq attnuateurs, suspendue

(240) un pendule invers. Cette suspension est complte par un double pendule, constitu du miroir et d'une masse de rfrence suspendus

(241) une marionnette qui assure le contrle. Cela donne huit ltres frquentiels qui permettront

(242) Virgo d'obtenir la plus large bande de frquences de tous les dtecteurs d'ondes gravitationnelles. Le pendule invers est constitu d'une masse attache au sommet d'une barre exible qui fournit la force de rappel pour ramener le pendule en position verticale. Cette force de rappel compense la force de gravitation et permet d'ajuster facilement la priode du pendule. Ce pendule a une frquence de rsonance tr s faible : mHz 14]. La gure 2.3 montre le schma de suspension d'un miroir et la tour prvue pour placer la cha!ne d'attnuateurs dans le vide. On modlise le bruit sismique, hBS , transmis au miroir par la formule suivante : 10. 100. ~. hBS ~. (. ). =. 0 16 L jx jsismique 4. (2.3). ~( ). o 0 Hz est la frquence e ective de l'ensemble de la cha!ne pour des frquences suprieures