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ULTRA-DIRECTIF BASÉ SUR
L’AUTO-DÉMODULATION NON LINÉAIRE
Alexandre Ritty
To cite this version:
Alexandre Ritty. CONCEPTION, RÉALISATION ET CARACTÉRISATION D’UN HAUT-PARLEUR ULTRA-DIRECTIF BASÉ SUR L’AUTO-DÉMODULATION NON LINÉAIRE. Acous-tique [physics.class-ph]. Université du Maine, 2007. Français. �tel-00201456�
Académie de Nantes
ÉCOLE DOCTORALE DE L’UNIVERSITÉ DU MAINE Le Mans, FRANCE
THÈSE DE DOCTORAT
Spécialité : Acoustique
présentée par
Alexandre RITTY
pour obtenir le titre de Docteur d’Université
CONCEPTION, RÉALISATION ET CARACTÉRISATION D’UN
HAUT-PARLEUR ULTRA-DIRECTIF BASÉ SUR
L’AUTO-DÉMODULATION NON LINÉAIRE
Soutenue le 22 juin 2007 devant le jury composé de
P. CERVENKA Directeur de Recherche, LMP, Paris Rapporteur
G. PLANTIER Enseignant Chercheur HDR, ESEO, Angers Rapporteur
X. MEYNIAL Professeur, Société Active Audio Président du jury
V. GUSSEV Professeur, LPEC, Le Mans Examinateur
B. CASTAGNEDE Professeur, LAUM, Le Mans Directeur de thèse
P. HAMERY Chercheur, ISL, St Louis Co-directeur de thèse
B. GAZENGEL Maître de conférences, LAUM, Le Mans Co-directeur de thèse
Remerciements
• Merci à l’ISL de m’avoir proposé ce vaste sujet et plus particulièrement à Pascal Hamery pour son encadrement sans lequel rien n’aurait été possible.
• Merci au LAUM pour m’avoir accueilli en son sein et notamment Bernard Castagnède, mon directeur de thèse, Pierrick Lotton et Bruno Gazengel, mes co-encadrants, pour leur disponibilité et leurs encouragements.
• Merci à tous ceux, scientifiques ou non, avec qui j’ai discuté de mes travaux de m’avoir permis d’ordonner et même parfois clarifier mes idées.
• Merci au groupe APC de l’ISL pour la bonne ambiance qui y règne et pour avoir mis à ma disposition du matériel de mesure de pointe sans lequel l’observation de certains phénomènes aurait été laborieuse.
• Merci à Gilbert Brom, Claude Beck, Jean-Paul Schmitt, Kevin Meder et l’atelier central de l’ISL pour leur contribution à la réalisation et la mise en oeuvre des différents prototypes tous plus compliqué les uns les autres.
• Merci à Sebastien De Mezzo et Thiery Broglin, pour leurs conseils en électronique et leurs aide pour mettre en place les chaines de mesure.
• Merci une nouvelle fois à Gilbert Brom, Claude Beck et Sebastien De Mezzo pour avoir accepté de faire des doubles journées pour m’accompagner lors des mesures de nuit.
Table des matières
Liste des notations . . . v
Table des figures . . . vii
Introduction 1 1 Propagation non linéaire 5 1.1 Introduction . . . 5
1.2 Non-linéarité de propagation dans l’air . . . 5
1.2.1 Paramètres utiles dans l’étude de la propagation non linéaire . . . 6
1.2.2 Propagation non linéaire . . . 7
1.2.3 Interaction non linéaire . . . 12
1.3 Conclusion sur l’antenne paramétrique . . . 18
2 Antennes de haut-parleurs 21 2.1 Introduction . . . 21
2.2 Modèles de rayonnement en champ lointain . . . 21
2.2.1 Sources ponctuelles . . . 21
2.2.2 Sources "pistons" . . . 25
2.3 Choix d’une configuration . . . 27
2.3.1 Démarche . . . 27
2.3.2 Étude de deux configurations . . . 28
2.4 Conclusion et application au cas de l’étude . . . 30
3 Étude du transducteur mono cellule 33 3.1 Introduction . . . 33
3.2 Cahier des charges et transducteurs choisis pour l’étude . . . 33
3.2.1 Contraintes liées à l’application . . . 33
3.2.2 Transducteur retenu pour l’étude . . . 34
3.3 Modèle du transducteur élémentaire . . . 35
3.3.1 Comportement statique de la membrane . . . 36
3.3.2 Comportement dynamique . . . 39 i
3.4 Évaluation des modèles . . . 47
3.5 Étude paramétrique - Dimensionnement . . . 50
3.6 Conclusion . . . 53
4 Conditionnement du signal 55 4.1 Méthodes existantes . . . 55
4.1.1 Application d’une racine carrée . . . 56
4.1.2 Modulation à Bande Latérale Unique (BLU) . . . 57
4.1.3 Pseudo-Bande Latérale Unique . . . 58
4.2 Performances comparées des traitements . . . 59
4.2.1 Indicateurs de qualité des traitements . . . 59
4.2.2 Travaux déjà réalisés . . . 61
4.2.3 Cas de l’émission d’une fréquence pure : étude analytique . . . 62
4.2.4 Cas des signaux multicomposantes : étude numérique . . . 63
4.3 discussion sur le choix d’un conditionnement . . . 65
5 Prototype d’antenne paramétrique 69 5.1 Le transducteur électroacoustique . . . 69
5.1.1 Description du transducteur . . . 69
5.1.2 Caractérisation en régime linéaire . . . 72
5.2 Caractérisation de l’antenne paramétrique . . . 77
5.2.1 Signaux de synthèse . . . 77
5.2.2 Le conditionneur réalisé . . . 81
5.3 Conclusion . . . 85
Conclusion 87 A Détails des calculs liés à la théorie des réseaux 89 A.1 réseaux rectilignes . . . 89
A.2 réseaux à deux dimensions . . . 91
B Résolution du problème de Hencky 95 C Modèle du transducteur : approche différentielle 99 C.1 Équation du mouvement du fluide dans la cavité . . . 99
C.2 Données du problème . . . 100
C.2.1 Condition aux limites dans la cavité . . . 100
C.2.2 Équation de la membrane . . . 100
C.3 Résolution du problème . . . 101
Table des matières iii
C.3.2 Équations de propagation . . . 101 C.4 Résolution . . . 103
D Modèle du transducteur : approche intégrale 109
D.1 Équations de comportement . . . 109 D.2 Fonction de Green de la cavité . . . 110 D.3 Solution du problème . . . 111
E Éstimation des distorsions : signal d’entrée composé de trois fréquences 115
F Description détaillé de l’électronique 119
G Plan du prototype de haut-parleur directif 121
Liste des notations
α coefficient d’absorption de l’air
β 1 + B/2A = (1 + γ)/2, coefficient de non linéarité γ rapport des chaleurs spécifiques
Γ, G nombre de Goldberg (nombre de Reynolds acoustique) εr, εθ déformations radiale et tangentielle en coordonnées polaires
ζ viscosité de volume η viscosité de cisaillement κ conductivité thermique λ longueur d’onde
νm coefficient de poisson de la membrane (PVDF)
ρ0 masse volumique de l’air au repos
ρm masse volumique de la membrane (PVDF)
σr, σθ contraintes radiale et tangentielle en coordonnées polaires
τ variation de température Φ potentiel de vitesse
ωp pulsation (ondes primaires)
ωd pulsation (ondes démodulés, ondes secondaires basses fréquences)
a rayon de la membrane/cavité
b ζ + 43η + κ(Cv−1− Cp−1), paramètre de viscosité et de conductivité thermique c0 célérité du son dans l’air
cm célérité du son dans la membrane (PVDF)
Cv, Cp chaleurs spécifiques isochore et isobar
dij coefficient piézoélectrique
Em module de Young de la membrane (PVDF)
G, Γ nombre de Goldberg (nombre de Reynolds acoustique) h(θ) fonction de directivité
h épaisseur de la membrane k nombre d’onde
lα distance caractéristique d’absorption
ldiv distance caractéristique de divergence
lp distance caractéristique de non linéarité
lv (4η/3 + ζ)/(ρc), distance caractéristique de viscosité
l0v η/(ρc), distance caractéristique réduite de viscosité lh κ/(ρcCp), distance caractéristique des effets thermiques
lC profondeur de la cavité
M nombre de Mach acoustique Ma masse molaire de l’air
N nombre de Kholkhlov
P différence de pression statique entre les deux faces de la membrane p pression acoustique
pe, pi pression acoustique rayonnée, pression acoustique dans la cavité
R rayon de courbure de la membrane R0 distance de Rayleigh
Rc distance de collimation
Rg constante des gaz parfaits
S surface de la source T température
Tm tension de la membrane
T0, Te tension de la membrane au repos, et tension suplémentaire due à l’application
d’un champ électrique
u déplacement/déformée statique radial de la membrane U tension électrique appliquée à la membrane
v vitesse particulaire vm vitesse de la membrane
V0 volume de la cavité
ws déplacement/déformée statique transverse de la membrane
wd déplacement/déformée dynamique de la membrane
Ze impédance acoustique de rayonnement
ANL Armes Non Létales
BLU modulation d’amplitude à Bande Latérale Unique ISL Institut franco allemand de recherche de Saint Louis LAUM Laboratoire d’Acoustique de l’Université du Maine PVDF polyfluoride de vinylidène
RTC Réseau Téléphonique Commuté THD Total Harmonique Distorsion
Table des figures
1 Domaines rentrant en jeu dans les systèmes à antenne paramétrique . . . 3
1.1 Évolution de la forme d’une onde sinusoïdale . . . 8
1.2 Atténuation « supplémentaire » pour une onde plane. . . 9
1.3 Niveau de l’onde démodulée pour deux jeux d’ondes primaires de fréquences différentes. 15 1.4 Niveau de l’onde démodulée pour deux sources de dimensions différentes. . . 15
1.5 Niveau de l’onde démodulée pour des ondes primaires de niveaux différents. . . 16
1.6 Gabarit idéal du signal émis dans l’air. . . 18
1.7 Déformation de l’enveloppe due à l’apparition de chocs. . . 18
2.1 Réseau de n sources ponctuelles. . . 22
2.2 Exemple de diagramme de directivité. . . 23
2.3 Types d’arrangements étudiés. . . 24
2.4 Définition des angles. . . 25
2.5 Description des notations. . . 26
2.6 Directivité de piston de différentes tailles. . . 27
2.7 Comparaison de la directivité de deux types de réseaux dans le plan Oxz. . . 29
2.8 Comparaison de la directivité de deux types de réseaux dans le plan Oyz. . . 29
2.9 Comparaison de la directivité d’un réseau hexagonal et d’un réseau rectangulaire. . . . 29
2.10 Comparaison de la directivité d’un réseau de sources ponctuelles et d’un réseau de piston. 30 3.1 Coupe du transducteur à base de film PVDF. . . 36
3.2 Comparaison de la déformée statique mesurée et prédite par les modèles. . . 39
3.3 Prototype de validation du modèle démonté. . . 47
3.4 Comparaison de la vitesse au centre mesurée et des modèles pour Ze = 0. . . 48
3.5 Comparaison de la vitesse au centre lors de la prise en compte de l’impédance de rayonnement. . . 49
3.6 Pression rayonnée à 1,5 m mesurée et calculée à l’aide des modèles développés. . . 50
3.7 Influence de la dépression sur la fréquence des deux premiers modes. . . 50
3.8 Influence du rayon sur la fréquence des deux premiers modes. . . 51
3.9 Influence de la profondeur de cavité sur la fréquence des deux premiers modes. . . 52 vii
3.10 Débit volumique en fonction de la fréquence d’un transducteur prédit par les modèles. 52
4.1 Principe du traitement du signal avant l’émission. . . 56
4.2 Conditionnement basé sur l’équation de Berktay. . . 56
4.3 Distorsions dues à l’interaction fréquentielle. . . 57
4.4 Conditionnement basé sur la BLU. . . 58
4.5 Taux de distorsion estimé de l’onde démodulée. . . 65
4.6 Correction des distorsions résiduelles pour les conditionnements basés sur une BLU. . 65
4.7 Évaluation de l’algorithme de correction des distorsions résiduelles. . . 66
4.8 Taux de distorsion pour la BLU et la pseudo-BLU. . . 66
5.1 Vu d’un prototype réalisé. . . 70
5.2 Schéma du socle arrière des différentes antennes. . . 70
5.3 Schéma de l’arrangement des trous de la plaque percée. . . 71
5.4 Schéma bloc de la chaîne de mesure. . . 72
5.5 Réponse fréquentielle de l’antenne 4 mm pour 2 dépressions. . . 73
5.6 Réponse fréquentielle de l’antenne pour différents diamètres de cellules. . . 73
5.7 Directivité de l’antenne de 4 mm aux fréquences de résonance. . . 74
5.8 Comparaison des directivités des deux antennes. . . 74
5.9 Comparaison des directivités calculée et mesurée. . . 75
5.10 Comparaison de la pression rayonnée dans l’axe mesurée et prédite par les modèles. . . 76
5.11 Évolution de la forme d’onde de la porteuse relevée en fonction de la distance. . . 78
5.12 Évolution du niveau sonore de l’onde démodulée en fonction du type de traitement utilisé. 78 5.13 Évolution du niveau sonore de l’onde démodulée pour deux fréquences différentes. . . 79
5.14 Évolution du niveau sonore de l’onde démodulée en fonction de l’antenne utilisé. . . . 80
5.15 Comparaison de la directivité de l’onde démodulée et de la porteuse. . . 80
5.16 Directivité de l’onde démodulé à différente distances. . . 81
5.17 Directivité de l’onde démodulée pour les deux antennes. . . 81
5.18 Comparaison du niveau de la porteuse et du signal démodulé théorique (atténuation atmosphérique classique) et mesuré. . . 82
5.19 Comparaison du niveau de la porteuse (36,5 kHz) et du signal démodulé (1 kHz) théorique (atténuation atmosphérique modifiée) et mesuré. . . 82
5.20 Schéma de principe de l’électronique réalisée. . . 83
5.21 Comparaison des signaux de synthèse et des signaux issus du conditionneur. . . 84
5.22 Comparaison des signaux issus de l’antenne 2 mm pour des signaux de synthèse et des signaux issus du conditionneur. . . 84
A.1 Réseau de n sources ponctuelles. . . 90
Table des figures ix
E.1 Taux de distorsion suivant le numéro du trio de fréquences appliqué à l’entrée de l’algorithme. . . 117 E.2 Taux de distorsion après application de trois itérations de correction pour la BLU et la
pseudo-BLU. . . 117 F.1 Schéma du module racine du conditionnement du signal. . . 119 F.2 Schéma de la partie modulation et préamplification du conditionneur. . . 120
Introduction
Parmi les recherches actuellement menées sur l’évolution des systèmes militaires de défense, l’étude et le développement des armes non létales (ANL) occupent une place stratégique importante. Ces armes (non létales) doivent permettre de contrôler certaines situations de crise en évitant au maximum les dommages collatéraux. Les modes d’action de ces armes peuvent prendre diverses formes : neutralisation du pouvoir de nuisance de l’adversaire, désinformation, usage de leurres visuels ou auditifs, etc. C’est dans le cadre de la mise au point d’ANL basées sur la désinformation et l’utilisation de leurres auditifs que l’ISL (Institut franco-allemand de recherche de Saint Louis) s’intéresse aux systèmes de restitution du son ultra-directif. En effet une source sonore de directivité étroite permet de diffuser des informations contradictoires à différents groupes de personnes ou également de projeter un « faisceau » sonore sur un objet qui diffuse alors le son en donnant l’impression que ce dernier provient de cet objet.
Les systèmes sonores directifs sont classiquement employés pour l’imagerie acoustique en milieu marin (océanographie), dans le corps (échographie) ou dans les solides (contrôle non destructif). Le principe de l’imagerie acoustique consiste à émettre une onde acoustique très directive et à enregistrer les réflexions dues à un changement brusque d’impédance acoustique. En mesurant les temps de retour et en répétant l’opération dans différentes directions, il est possible d’effectuer une cartographie des changements d’impédance (entre l’eau et les fonds marins ou entre différents tissus, par exemple). Les systèmes directifs sont également utilisés pour la restitution de sons audibles dans l’air, sous la forme de colonnes de haut-parleurs. Ils sont principalement employés à la sonorisation d’espaces clos possédant une forte réverbération afin d’y éviter des réflexions indésirables.
Il est possible de réaliser des systèmes directifs en utilisant le phénomène d’auto-démodulation d’amplitude mis en évidence grâce aux recherches menées en acoustique non linéaire. Cet effet repose sur le principe suivant : deux ondes de fort niveau et de fréquences proches (ondes primaires) interagissent au cours de leur propagation en raison de la non-linéarité du milieu, ce qui génère de nouvelles composantes fréquentielles (ondes secondaires). En particulier, une onde de fréquence basse (différence des deux fréquences d’émission) est générée. Tout se passe comme si l’onde de fréquence différence était émise par une série de sources virtuelles étalées sur une distance de l’ordre de la longueur d’atténuation des ondes primaires. Ce réseau de sources virtuelles est désignée par le terme antenne paramétrique. Par extension cette dénomination désigne communément l’ensemble du système
de diffusion.
L’antenne paramétrique possède la propriété de générer des ondes basses fréquences dont la directivité est proche de celle obtenue avec les ondes primaires. Dans le cas d’ondes primaires de fréquences élevées, il est ainsi possible d’émettre un signal basse fréquence de façon directive avec un émetteur de petites dimensions. Ceci s’avère par exemple utile pour sonder sélectivement un milieu (imagerie médical, océanographie, ...), ou pour réaliser des haut-parleurs directifs et explique le grand nombre d’études réalisées sur ce sujet.
Westervelt ([2], 1957) est le premier à étudier les sons de combinaison qui sont produits par interaction non linéaire, tout d’abord dans le cas de deux faisceaux croisés. Il montre que ces sons de combinaison ne diffusent pas en dehors de la zone d’intersection des faisceaux (étude reprise notamment dans les références [3, 4, 5]). Il s’intéresse ensuite à l’interaction de deux faisceaux colinéaires [6] et calcule les caractéristiques du « son de différence » obtenu. En 1962, Bellin et coll. [7] présente des résultats expérimentaux d’antenne paramétrique dans l’eau et dans l’air, mais dans le cas de l’air ses résultats sont peu concluants en raison d’un faible rapport signal sur bruit. Les études de l’antenne paramétrique en milieu sous-marins se sont donc rapidement développées [8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16]. Les études et les applications dans l’air n’ont été développées que plus récemment. Les premiers résultats probants d’antenne paramétrique dans l’air sont présentés par Bennet et Blacksotck en 1975 [17] qui génèrent deux ondes de fort niveau (110 dB à 1 ft) à 18,6 kHz et 23,5 kHz et obtiennent des résultats proches de la théorie. En 1989, Yoneyama et coll. [18] s’intéresse à l’antenne paramétrique vue comme un haut-parleur directif. Il observe le signal démodulé et les distorsions émis par les interactions non linéaires d’une porteuse modulée en amplitude.
L’ISL a récemment entrepris des travaux pour évaluer l’intérêt d’utiliser l’antenne paramétrique comme haut-parleur directif. Dans ce cadre, deux prototypes industriels de technologies différentes ont été caractérisés expérimentalement de manière à connaître leurs directivités, réponses en fréquence et portées. Le premier système utilise des transducteurs piézocéramiques, le second des transducteurs piézoplastiques. Les directivités et portées mesurées sont similaires pour les deux prototypes. En revanche , le système à technologie piézocéramique présente une réponse plus accidentée [19]. Suite à ce travail, l’ISL a souhaité comprendre et maîtriser l’ensemble des phénomènes qui régissent le comportement d’un système utilisant des transducteurs piézoplastiques, les résultats de cette étude devant permettre de réaliser un haut-parleur directif à grande portée. Dans ce cadre les objectifs fixés par l’ISL sont :
– transmettre un signal de parole à 50 m à un niveau de 50 dB SPL, – obtenir une bande passante allant de 300 Hz à 3,4 kHz,
– obtenir un demi-angle d’ouverture à -6 dB de 10˚ maximum, – minimiser les distorsions.
L’objectif du travail présenté dans ce mémoire est d’une part de proposer une modélisation des phénomènes mis en jeu, et, d’autre part, de concevoir et réaliser un prototype sur la base de ces modèles.
Introduction 3
Cette étude aborde les différents aspects entrant en jeu (conditionnement du signal, transduction, propagation non linéaire) (Fig. 1). Elle suit la démarche nécessaire à la conception de l’antenne paramétrique répondant au cahier des charges, en partant du signal à produire pour définir la nature du champ d’onde primaire à émettre. Ensuite d’une part un système de transduction est étudié et d’autre part les prétraitements nécessaires à la diminution des distorsions sont présentés et évalués.
Fig. 1 – Domaines rentrant en jeu dans les systèmes à antenne paramétrique
En suivant cette démarche, le chapitre 1 s’intéresse à la propagation d’ondes de fort niveau dans l’air. L’étude de l’ensemble des phénomènes qui décrivent la transformation des ultrasons en sons audibles permet de caractériser le signal que doit émettre l’antenne paramétrique pour obtenir un signal de parole directif, d’une bonne portée et possédant un minimum de distorsion. La forme que prend ce signal émis conditionne les caractéristiques que doivent présenter les systèmes de transduction et de conditionnement du signal utilisés pour l’antenne paramétrique.
L’étude de la transduction regroupe celle de tous les éléments intervenant dans la transformation du signal électrique en signal acoustique. Cette étude n’a pas la prétention de couvrir l’ensemble des moyens de transduction, mais s’appuie sur les solutions utilisées dans les systèmes existants pour guider le choix d’un type de transduction. Elle est répartie sur deux chapitres. Dans un premier temps le chapitre 2 rappelle les propriétés d’un réseau de transducteurs. Ceci permet de définir un arrangement géométrique de sources pouvant répondre aux besoins en termes de champ d’onde primaire à émettre. Finalement les caractéristiques que doit posséder chacun des transducteurs composant ce réseau sont estimées.
Le chapitre 3 propose le choix d’un type de transducteur et réalise la modélisation de celui-ci. Une fois la modélisation éprouvée à l’aide d’un prototype, l’influence des différents paramètres est étudiée pour vérifier que ce type de transducteur peut répondre aux besoins exprimés dans le chapitre 2.
Le chapitre 4 vise à choisir un conditionnement du signal permettant de compenser les effets indésirables de la propagation non linéaire. Pour cela les différents conditionnements proposés dans la littérature sont présentés et un indicateur permettant de mesurer la distorsion des signaux traités est défini. L’efficacité des traitements est alors comparée par simulation ce qui permet de retenir une
méthode particulière.
Enfin, le dernier chapitre présente les deux prototypes d’antenne paramétrique réalisés. Dans un premier temps, la réponse des prototypes est caractérisée expérimentalement au voisinage de leur fréquence porteuse. Les résultats obtenus permettent d’une part de vérifier que ce prototype permet d’émettre le champ d’onde primaire nécessaire, d’autre part d’évaluer les modèles proposés aux chapitres 2 et 3. Dans un deuxième temps, le champ d’ondes démodulées est ensuite mesuré et comparé aux résultats attendus afin de conclure sur les éventuelles modifications nécessaires pour répondre au cahier des charges.
Chapitre 1
Propagation non linéaire
1.1
Introduction
L’interaction paramétrique non linéaire de deux ondes acoustiques dites « primaires » conduit à la génération d’ondes acoustiques, dites « ondes secondaires », dont les fréquences correspondent à la somme et la différence des fréquences des ondes « primaires ». L’émission paramétrique d’une onde de basse fréquence à partir de ce principe d’interaction de deux ondes de fréquences élevées, proches l’une de l’autre, a été particulièrement étudiée, car la directivité d’une telle onde est grande en regard de celles obtenues pour de telles basses fréquences avec des sources sonores classiques. L’émission paramétrique trouve alors des applications en acoustique sous-marine et dans le domaine de l’audible en milieu aérien.
L’étude des phénomènes non linéaires intervenant lors de la propagation d’une onde acoustique permet de comprendre les mécanismes de création des sons de basses fréquences et de prédire les déformations que subit le signal émis. Il est essentiel de bien comprendre ces phénomènes afin de pouvoir définir la forme du signal d’excitation nécessaire à la restitution du signal voulu. L’objet de ce chapitre est de mettre en évidence les paramètres importants du générateur acoustique qui permettent d’obtenir un signal basse fréquence se propageant sur une grande distance avec la meilleure directivité et le minimum de distorsions possible.
1.2
Non-linéarité de propagation dans l’air
La description de la propagation non linéaire d’une onde acoustique est souvent référencée dans la littérature, notamment pour des applications sous-marines [1]. Les phénomènes mis en oeuvre étant identiques pour l’air, à la valeur des paramètres (tel que la viscosité ou le coefficient de non-linéarité) près, la théorie développée pour la propagation non linéaire en milieu marin peut-être directement adaptée au cas de la propagation dans l’air. Cette théorie est brièvement rappelée dans ce paragraphe.
1.2.1 Paramètres utiles dans l’étude de la propagation non linéaire
Afin d’étudier la propagation non linéaire, il est nécessaire de développer les équations de propagation jusqu’au deuxième ordre. Pour faciliter leur manipulation quelques paramètres sont définis.
Le nombre de Mach acoustique M est défini comme étant le rapport de l’amplitude de la vitesse v des particules et de la vitesse du son c0, ou également le rapport de l’amplitude de la pression acoustique p et de la quantité c20ρ0, où ρ0 est la masse volumique du fluide,
M = v c0 = p c2 0ρ0 . (1.1)
La distance de non-linéarité lp, correspondant à la distance à partir de laquelle les effets non
linéaires apparaissent, est définie par
lp =
λ
πM (1 + γ), (1.2)
où λ est la longueur d’onde et γ le rapport des chaleurs spécifiques isobare Cp et isochore Cv. Elle est inversement proportionnelle à l’amplitude et à la fréquence de l’onde. En pratique, l’inégalité M 1 est toujours vérifiée, ce qui signifie que la distance lp est supérieure à la longueur d’onde (Tab. 1.1).
M v [m/s] p [dB] lp lp à 40 kHz lp à 50 kHz lp à 100 kHz
0,01 3,4 157 13 λ 11 cm 8 cm 4,5 cm
0,002 0,64 142 75 λ 67 cm 50 cm 28 cm
0,001 0,34 137 130 λ 1,14 m 85 cm 44 cm
Tab. 1.1 – Exemples de distances de non-linéarité, pour des valeurs de M et p données (v dépendant de M est donné à titre indicatif)
Le coefficient d’absorption α qui traduit la perte énergétique de l’onde par relaxation thermique et visqueuse lors de son déplacement dans un milieu est défini par
α = bω
2
2c30ρ0
, (1.3)
où b est un paramètre incluant le coefficient de viscosité de volume ζ et de cisaillement η, ainsi que celui de la conductivité thermique κ,
b = ζ +4η 3 + κ(C −1 v − C −1 p ). (1.4)
L’inverse du coefficient d’absorption α correspond à la distance de propagation lα pour laquelle
l’amplitude de l’onde est divisée par e. Une faible valeur du coefficient d’absorption α signifie que cette distance est plus grande que la longueur d’onde (lα = 1/α λ).
Le nombre de Reynolds acoustique (ou nombre de Goldberg) G caractérise l’influence relative entre les effets dissipatifs (absorption) et les effets non linéaires et est donné par la relation suivante,
G = lα lp = vc0ρ0 bω = p bω. (1.5)
1.2 Non-linéarité de propagation dans l’air 7
Quand G 1, les processus non linéaires dominent les processus dissipatifs, l’atténuation « supplémentaire » due aux effets non linéaires est alors importante par rapport à l’atténuation atmosphérique normale et une onde de choc apparaît avant que ce dernier phénomène ait pu se manifester de manière significative. Lorsque G 1, la viscosité l’emporte sur la non-linéarité et l’absorption est plus rapide que l’accumulation des effets non linéaires : il n’y a pas de « choc ». Les exemples numériques suivants permettent de fixer les ordres de grandeur : à la fréquence f = 40 kHz, G ≈ 1 pour un niveau de pression de 120 dB SPL et G ≈ 13 pour un niveau de pression de 140 dB SPL ; à la fréquence f = 50 kHz, G ≈ 3 pour un niveau de pression de 140 dB SPL.
Pour l’étude de l’interaction non linéaire d’ondes acoustiques, il est intéressant de prendre en compte le rapport de l’amplitude de l’onde secondaire considérée (Aωd) générée dans le milieu et de celle de l’onde primaire (Aωp) rayonnée dans le milieu par la source sonore. Si la condition Aωd/Aωp 1
est vérifiée, la méthode des approximations successives peut être utilisée pour résoudre l’équation de propagation acoustique non linéaire [1]. Dans de nombreux cas, cette condition n’est pas vérifiée. Toutefois, si la pulsation ωd des ondes secondaires est petite par rapport à la pulsation ωp des ondes
primaires (ωd ωp), cette méthode de résolution peut être utilisée.
Afin de faciliter l’étude, les ondes primaires peuvent être assimilées à des ondes planes. Il est alors utile de connaître la valeur de la distance de Rayleigh R0 sur laquelle l’onde est plane, définie par
R0 =
S λωp
(1.6) où S est la surface de la source et λωp est la longueur d’onde de l’onde primaire.
La distance de collimation Rc est une distance plus longue que la distance de Rayleigh R0 et
correspond à la distance sur laquelle l’onde reste collimatée (les plans d’ondes sont toujours considérés comme parallèles entre eux), même si elle n’est plus plane. C’est sur cette distance qu’a lieu la plupart des interactions non linéaires. Cette distance Rc est donnée par
Rc = R0
ωp
ωd
. (1.7)
1.2.2 Propagation non linéaire
Le contenu de ce paragraphe est largement inspiré des publications de Rudenko (1977, [20]) et Novikov (1987, [1]).
1.2.2.1 Description qualitative de la propagation
Dans le cas d’une propagation non linéaire (G 1), la vitesse locale de propagation des ondes n’est pas constante : elle varie avec la pression (et donc avec la masse volumique ou la vitesse particulaire). Dans les régions où la variation de pression est positive, la vitesse de propagation est plus élevée que la célérité du son et inversement. Les maximums de pression se déplacent alors plus rapidement que les minimums. Une onde sinusoïdale subit donc une distorsion au cours de la propagation (premier stade de la Fig. 1.1) qui s’accentue jusqu’à ce que l’onde prenne l’allure de dents de scie après avoir
parcouru la distance lp. C’est alors une onde de choc caractérisée par un saut de pression suivi d’une
décroissance linéaire jusqu’au minimum de pression (deuxième stade). À ce phénomène correspond l’apparition d’harmoniques de la fréquence fondamentale (pour une onde en dents de scie parfaite, l’amplitude du n-ième harmonique est proportionnelle à 1/n).
L’atténuation est faible pendant le premier stade, mais croît fortement lorsque l’onde de choc est formée : d’une part, l’atténuation est plus importante aux fréquences élevées des harmoniques supérieures, d’autre part, l’apparition du choc se traduit par une saturation qui peut être vue comme une atténuation supplémentaire due uniquement aux effets non linéaires. L’amplitude de l’onde (ainsi que la distorsion) diminue alors lentement jusqu’à ce que la pression soit suffisamment faible pour que la propagation redevienne linéaire (troisième stade de la Fig. 1.1). Si les processus non linéaires dominent les processus dissipatifs (G 1), seule l’atténuation supplémentaire non linéaire peut être prise en compte. Il faut noter qu’en régime de choc faible la vitesse de propagation de l’onde reste identique à la célérité du son.
Fig. 1.1 – Évolution de la forme d’une onde sinusoïdale
Dans le cas où un choc est créé au cours de la propagation (la probabilité de cette occurrence étant d’autant plus élevée que le niveau d’émission est fort), la distance à laquelle débute le troisième stade ne change pas significativement en fonction du niveau d’émission : les distorsions non linéaires fixent une limite supérieure à l’intensité qui peut être transmise à une distance donnée (pour les distances supérieures à celle à laquelle débute le « choc », z > lp). Une augmentation de l’amplitude de départ conduit donc à une installation plus précoce du choc (diminution de lp) et à des pertes plus importantes
jusqu’à la fin du deuxième stade . L’atténuation non linéaire, due au « choc », peut se produire dans la région de Rayleigh (z < R0) ou au-delà. Si elle se produit dans la région de Rayleigh, l’ antenne
paramétrique est limitée par la saturation (dans l’autre cas elle est limitée par la diffraction).
En résumé, le niveau efficace de pression acoustique d’une onde plane demeure pratiquement constant pendant le premier stade (mais de plus en plus d’énergie est transférée aux harmoniques). Les distorsions non linéaires s’additionnent mais les fronts ne sont pas encore assez raides pour que des effets dissipatifs importants apparaissent.
1.2 Non-linéarité de propagation dans l’air 9
Fig. 1.2 – Atténuation « supplémentaire » pour une onde plane en fonction du nombre de Reynolds acoustique et de σ = z/lp.
basse qui est atteinte pour deux fois l’inverse du coefficient d’absorption (cette diminution n’est pas due à l’expansion géométrique) (deuxième stade). Pendant ce stade, les effets non linéaires et les effets dissipatifs sont importants.
Enfin, l’atténuation finale est exponentielle (troisième stade).
Dans le cas de « faisceaux » d’ondes, la diffraction doit être prise en compte. La contribution relative des effets de la non-linéarité et de la diffraction est décrite par le nombre de Khokhlov N défini par N = λ a 2 π2(γ + 1)M = lp ldiv (1.8)
où lp est la distance de formation du choc, ldiv est la distance nécessaire pour transformer une onde
plane en onde divergente sphériquement, a est le rayon du faisceau initial.
De grandes valeurs de N correspondent au cas où la diffraction domine et où la propagation peut être considérée comme linéaire avec les effets de diffraction usuels. Si N 1, les effets non linéaires prédominent. À titre d’exemple, avec une antenne de 30 cm de diamètre émettant à 40 kHz, N ≈ 0, 01 pour M = 0, 01 et N ≈ 0, 1 pour M = 0, 002. Dans ce cas, avec des fronts d’onde plans au départ, un choc se forme d’abord sur l’axe puisque l’amplitude est maximale à cet endroit. Comme la dissipation est également maximale au même endroit, le profil du faisceau s’aplatit et sa largeur augmente.
1.2.2.2 Équations de propagation
Afin de déterminer les équations de propagation d’une onde acoustique dans un fluide, les non-linéarités introduites par le milieu ainsi que celles découlant du mouvement des particules sont prises en compte. Dans le cas d’un fluide thermovisqueux, quatre équations sont nécessaires :
– la loi de conservation de la masse dans un fluide au repos : ∂ρ ∂t + − → ∇·(ρ−→v ) = Dρ Dt + ρ − → ∇·−→v = 0 (1.9)
où ρ est la masse volumique du fluide, −→v est le vecteur vitesse, et D/Dt =∂/∂t +−→v·
− → ∇ est la dérivée temporelle matérielle, – l’équation de Navier-Stokes : ρD− →v Dt = − − → ∇p + 1 3η + ζ −→ ∇(−→∇.−→v ) + η∆−→v (1.10) où η et ζ sont les coefficients de viscosité de cisaillement et de volume,
– la loi de conservation de l’énergie : ρTDs Dt = κ∆T + 1 2η ∂vi ∂xj +∂vj ∂xi −2 3δij ∂vk ∂xk 2 (1.11) où s est l’entropie, κ la conductivité thermique et T la température,
– l’équation d’état du fluide :
p = p(ρ, s). (1.12)
Dans le cas, retenu dans la suite de ce paragraphe, où les processus sont considérés comme adiabatiques (seuls les effets dissipatifs dus à la viscosité étant pris en compte), l’équation (1.11) n’a pas lieu d’être écrite et la pression p ne dépend que de ρ.
L’onde acoustique correspond à de petites perturbations autour des valeurs au repos (notées avec un indice 0) des grandeurs caractéristiques du milieu, p = p0+ p0, ρ = ρ0+ ρ0, le fluide étant supposé
au repos la vitesse particulaire en l’absence d’onde acoustique est nulle : −→v = −→v0.
Grâce à un développement de Taylor à l’ordre 2 de l’équation d’état (1.12), l’expression suivante est obtenue : p0= ∂p ∂ρ s,0 ρ0+1 2 ∂2p ∂ρ2 s,0 ρ02. (1.13)
En partant de l’égalité pour des transformations adiabatiques dans le cas de gaz parfaits (pργ0=p0ργ), la relation (1.13) s’écrit : p0 = γp0 ρ0 ρ0+1 2 γ(γ − 1)p0 ρ20 ρ 02. (1.14) Or ∂p ∂ρ s,0 = c 2
0 et, en introduisant le paramètre BA = ρ0 c2 0 ∂2p ∂ρ2 s,0 caractérisant la non-linéarité
thermodynamique du fluide, la relation (1.14) s’écrit :
p0= c20ρ0+ B 2A c2 0 ρ0 ρ02, (1.15)
d’où, d’après les équations (1.14) et (1.15), c20= γp0
ρ0 et
B
1.2 Non-linéarité de propagation dans l’air 11
Les équations traduisant les variations de la pression et non celles de la masse volumique sont obtenues en utilisant plutôt l’équation d’état sous la forme :
ρ0 = p 0 c2 0 − B 2A p02 ρ0c40 . (1.16)
En substituant les relations des petites variations dans l’équation (1.9) et en séparant les termes d’ordre 1 dans le premier membre et ceux d’ordre 2 dans le second (les ordres supérieurs étant négligés), la loi de conservation de la masse s’écrit :
∂ρ0 ∂t + ρ0
− →
∇.−→v = −ρ0−→∇.−→v − −→v .−→∇ρ0. (1.17)
En avançant l’hypothèse de se placer suffisamment loin de toute surface pour obtenir une propagation irrotationnelle, l’équation de Navier-Stokes (1.10) devient :
ρ0 ∂−→v ∂t + − → ∇p0 = −ρ0∂− →v ∂t − 1 2ρ0 − → ∇−→v2+ 4 3η + ζ ∆−→v . (1.18) En utilisant l’équation d’état (1.16), il est possible d’éliminerρ’ dans les équations (1.17) et (1.18) ; elles deviennent : 1 c2 0 ∂p0 ∂t + ρ0 − → ∇.−→v = −p 0 c2 0 − → ∇.−→v − − →v c2 0 .−→∇p0+ 1 ρ0c40 B 2A ∂p02 ∂t , (1.19) ρ0 ∂−→v ∂t + − → ∇p0 = −p 0 c2 0 ∂−→v ∂t − 1 2ρ0 − → ∇−→v2+ 4 3η + ζ ∆−→v . (1.20) Afin de conserver dans les premiers termes uniquement ceux correspondant à la pression, l’opéra-teur divergence est appliqué à l’équation (1.20) puis y est soustraite la dérivée seconde par rapport au temps de l’équation (1.19). Comme seuls les termes d’ordre inférieur ou égaux à 2 sont considérés, les relations linéaires suivantes sont utilisées afin de simplifier les termes d’ordre 2 :
∂−→v ∂t = − − → ∇p0 ρ0 , −→∇.−→v = − 1 c2 0ρ0 ∂p0 ∂t. (1.21)
Il en découle alors la relation : ∆p0− 1 c2 0 ∂2p0 ∂t2 + 4 3η + ζ 1 ρ0c20 ∂ ∂t∆p 0 = −Q (1.22)
où Q désigne l’ensemble des termes non linéaires :
Q = 1 ρ0c40 ∂p0 ∂t 2 + 1 c40ρ0 B 2A ∂2p02 ∂t + ρ0 2∆− →v2+ ρ 0−→v ∆−→v . (1.23)
La méthode des « lentes variations de profil » est utilisée pour simplifier l’équation de propagation. Considérons un faisceau ultrasonore se propageant suivant l’axe z. L’onde est quasiment plane sur des distances comparables à la longueur d’onde, son profil ne se modifie de manière significative suivant l’axe z qu’après plusieurs fois la longueur d’onde. Ainsi, les variations transversales (suivant x et
y) sont plus rapides que celles intervenant dans la direction de propagation. Pour traduire cela, le changement de variables suivant est effectué :
p0 = p0(τ = t − z c0
, x0 =√µx, y0 =√µy, z0 = µz). (1.24)
En effectuant les changements de coordonnées et en négligeant les termes d’ordre 3, l’équation de propagation devient alors :
∂2p0 ∂z0∂τ = c0 2∆⊥p 0+ 4 3η + ζ 1 2ρ0c30 ∂3p0 ∂τ3 + β 2ρ0c30 ∂2p02 ∂τ2 , (1.25) où ∆⊥ = ∂ 2 ∂x02+ ∂ 2
∂y02 est l’opérateur Laplacien transverse et β = 1 + B/2A est le coefficient de non-linéarité.
Cette équation est connue sous le nom de KZK (Khokhlov, Zabolotskaya, Kuznetsov) du nom de ses auteurs. Il est intéressant de noter que dans le cas où l’équation est considérée comme ne dépendant que d’une seule variable spatiale (onde plane : ∆⊥p0 = 0 et p0 = p0(τ, z0)), elle est équivalente à
l’équation de Burgers : ∂p0 ∂z0 − 4 3η + ζ 1 2ρ0c30 ∂2p0 ∂τ2 − β 2ρ0c30 ∂p02 ∂τ = 0. (1.26)
1.2.3 Interaction non linéaire
Si deux ondes de pulsations ωa et ωb (ondes primaires) se propagent dans un milieu non linéaire comme l’air, le principe de superposition ne s’applique plus et des sons de combinaison apparaissent (de pulsations nωa+ mωb, n et m étant des entiers).
Le « son de différence » (pulsation : ωd= ωa− ωb) présente un intérêt particulier, car il est moins
absorbé par le milieu que les ondes primaires (ωa et ωb sont supposées proches et situées dans le
domaine ultrasonore pour obtenir une bonne directivité).
Puisqu’il n’y a pratiquement pas de dispersion dans l’air (la célérité du son ne dépend pas de la fréquence), les contributions au « son de différence », qui sont produites en tous les points du faisceau constitué par les sons primaires colinéaires, se propagent à leur tour (à la même vitesse) et interfèrent de manière « constructive » le long de ce faisceau. Du fait de ces interférences, et tant que le niveau des ondes primaires reste élevé (à faible distance de la source), le niveau du « son de différence » croît linéairement avec la distance à la source (principe de l’antenne paramétrique).
Les sources du « son de différence » étant distribuées le long de l’axe de propagation des ondes « primaires », en champ lointain les interférences constructives ne se produisent que dans un petit secteur angulaire autour de cet axe, et la largeur du faisceau du « son de différence » est beaucoup plus faible que si une source de la même taille émettait directement ce son (du fait de la diffraction due à la plus grande longueur d’onde).
Afin de connaître l’influence du champ d’onde primaire en termes de niveau, de fréquence et de dimension de l’émetteur sur le champ d’onde secondaire, il est nécessaire de résoudre l’équation de KZK. Des méthodes de résolutions numériques existent, mais demandent beaucoup de ressources.
1.2 Non-linéarité de propagation dans l’air 13
Toutefois il est possible d’estimer l’influence de chacun de ces paramètres grâce à une méthode simple nommée approximation quasi-linéaire. Un autre facteur de l’auto-démodulation non linéaire est l’apparition de distorsions dans le signal démodulé. L’étude de ces distorsions permet de définir quels types de prétraitements peuvent être utilisés afin de diminuer leur importance.
1.2.3.1 Résolution de l’équation de KZK, approximation quasi-linéaire
En première approximation dans le cas de non-linéarités faibles (pas de déformation de l’onde sur plusieurs longueurs d’onde) et de source axisymétrique, il est possible de résoudre l’équation de KZK (éq. (1.25)) grâce à une méthode dite quasi-linéaire [1, 21].
La méthode décrite ci-dessous ne concerne que la génération de la seconde harmonique lorsque une onde primaire de pulsation ω est émise. La solution quasi-linéaire de la forme p = p1 + p2 est
considérée, où p1 représente la solution linéaire de l’équation de KZK (éq. (1.25)), et p2 est une petite
correction de p1 à la fréquence de la seconde harmonique soit 2ω (valable uniquement si |p2| |p1| le long de la zone d’interaction. Il est possible de décrire les pressions acoustiques par
pn(r, z, τ ) =
1
2jAn(r, z)e
jnωτ+ c.c. n = 1, 2, (1.27)
où An est l’amplitude complexe de la pression et c.c. le complexe conjugué du terme précédent.
En utilisant ces expressions il est possible d’écrire l’équation de KZK (éq. (1.25)) sous la forme du système ∂A1 ∂z + j 2k∆⊥A1+ α1A1 = 0, ∂A2 ∂z + j 4k∆⊥A2+ α2A2 = βk 2ρ0c20A 2 1, (1.28)
où αn est l’atténuation classique due aux effets viscothermiques à la fréquence nω et k = ω/c0 est le
nombre d’onde du fondamental.
Les deux équations du système sont linéaires (le terme A21 de la seconde équation étant calculé indépendamment). Elles peuvent être résolues classiquement avec l’aide des fonctions de Green. Soit Gn la fonction de Green, à la fréquence nω, solution de l’équation différentielle
∂ Gn ∂z + j 2nk∆⊥Gn+αnGn= 1 2πrδ(r − r 0 )δ(z − z0), (1.29)
il est possible de montrer que Gn est de la forme,
Gn(r, z|r0, z0) = jnk 2π(z − z0)J0 nkrr0 z − z0 exp −αn(z − z0) −jnk(r 2+ r02) 2(z − z0) . (1.30) Le terme source pour le calcul de A1 est localisé en z0 = 0 (position de l’émetteur) et est
donnée par A1(r0, 0) qui dépend du type d’émission (piston, gaussienne ...). Pour A2 le terme source
est l’ensemble du faisceaux d’ondes primaires (A1(r0, z0)) jusqu’au point considéré. Les solutions du
système d’équation (1.28) sont donc, A1(r, z) = 2π
Z ∞
0
A2(r, z) = πβk ρ0c20 Z z 0 Z ∞ 0 A21(r0, z0) G2(r, z|r0, z0)r0dr0. (1.32)
Il est possible de suivre la même démarche pour obtenir l’expression intégrale des ondes secondaires différences et somme dans le cas de l’interaction de deux ondes de fréquences ωa et ωb en considérant
p1(r, z, τ ) = 1 2jA1a(r, z)e jωaτ + A 1b(r, z)ejωbτ + c.c., (1.33) et p2(r, z, τ ) = 1 2j A2a(r, z)e j2ωaτ + A
2b(r, z)ej2ωbτ + A2d(r, z)ejωdτ + A2s(r, z)ejωsτ + c.c., (1.34)
où l’indice d désigne l’onde différence (ωd = |ωa− ωb|), et l’indice s désigne l’onde somme (ωs =
|ωa+ ωb|). L’onde différence est alors donnée par
A2d(r, z) = − πβkd ρ0c20 Z z 0 Z ∞ 0 A1a(r0, z0)A∗1b(r 0 , z0) Gd(r, z|r0, z0)r0dr0, (1.35)
où Gd est donnée par l’équation (1.30) en remplaçant nk par kd = ωd/c0, αn par αd, et l’exposant ∗
indique que le complexe conjugué est considéré.
Une onde modulée en amplitude peut-être considérée comme une somme d’ondes primaires (le nombre de « fréquences primaires » étant supérieur à deux), à partir de l’équation (1.35) il est donc possible de connaître l’influence du champ d’ondes primaires sur le champ d’ondes démodulées .
La figure 1.3 montre la différence d’évolution du niveau d’une onde démodulée à 1 kHz, lorsqu’elle est générée par des ondes primaires de fréquence fa = 40 kHz et fb = 41 kHz ou fa = 400 kHz et
fb = 401 kHz. Les ondes primaires sont émises par une source plane circulaire de rayon a = 12,5 cm à un
niveau de 130 dB SPL. Lorsque la fréquence des ondes primaires est grande, l’onde démodulée décroît plus rapidement. Ceci est du à la longueur de la zone d’interaction des ondes primaires (distance sur laquelle l’onde démodulée est générée) qui diminue lorsque la fréquence des ondes primaires augmentent (α croit en w2). Le choix de la fréquence porteuse pour le fonctionnement de l’antenne paramétrique est donc très important car sa longueur est limitée par l’atténuation des ondes primaires.
La figure 1.4 présente l’évolution du niveau d’une onde démodulée à 1 kHz, lorsqu’elle est générée par des ondes primaires de fréquence fa = 40 kHz et fb = 41 kHz émises par deux sources de rayon
différents (a = 12,5 cm et a = 6 cm) à un niveau de 130 dB SPL. La différence de niveau des ondes démodulées générées est due à la section du « faisceau » d’ondes primaires, en raison de la surface sur laquelle à lieu l’intégration pour la détermination de l’onde démodulée (éq. (1.35)). D’autre part, la distance de collimation (éq. (1.7)) diminuant avec la surface de la source, la propagation des ondes primaires émises par la source de rayon 6 cm devient sphérique à une plus courte distance et leur niveau décroît donc plus rapidement que les ondes primaires émises par la source de rayon 12,5 cm.
La figure 1.5 montre l’évolution du niveau d’une onde démodulée à 1 kHz, lorsqu’elle est générée par des ondes primaires de fréquence fa= 40 kHz et fb = 41 kHz émises par par une source de rayon
a = 12,5 cm à des niveaux de 136 dB SPL et 124 dB SPL à 1 m. L’atténuation atmosphérique classique ne dépendant pas de l’amplitude des ondes émises, dans les deux cas les ondes primaires décroissent
1.2 Non-linéarité de propagation dans l’air 15
Fig. 1.3 – Niveau de l’onde démodulée à 1 kHz en fonction de la distance pour deux jeux d’ondes primaires de fréquences différentes (fa = 40 kHz, fb = 41 kHz et fa = 400 kHz, fb = 401 kHz), de
niveau 130 dB SPL à 1 m, émises par une source plane circulaire de rayon 12,5 cm fonctionnant en piston.
Fig. 1.4 – Niveau de l’onde démodulée à 1 kHz en fonction de la distance pour deux jeux d’ondes primaires de fréquences fa= 40 kHz et fb = 41 kHz, de niveau 130 dB SPL à 1 m, émises par deux
de façon identique, ce qui se répercute sur l’évolution du niveau de l’onde démodulée. La considération des phénomènes non linéaires entraîne l’apparition d’une atténuation supplémentaire dépendant de l’amplitude qui n’est pas prise en compte par ce modèle, l’interprétation de ces courbes reste donc délicate.
Fig. 1.5 – Niveau de l’onde démodulée à 1 kHz en fonction de la distance pour deux jeux d’ondes primaires de fréquences fa= 40 kHz et fb = 41 kHz, de niveaux différents (136 et 124 dB SPL à 1 m)
émise par une source plane circulaire de rayon 12,5 cm fonctionnant en piston.
La section de la zone d’interactions non linéaires (liée aux dimensions de la source) influe sur le niveau de l’onde démodulée, tandis que sa longueur (liée à la fréquence des ondes primaires et aux dimensions de la source) définie son profil de décroissance. La directivité de l’onde démodulée est également améliorée lorsque les dimensions de la zone d’interaction augmentent. Concrètement la fréquence de l’onde porteuse est choisie entre 20 kHz (pour sortir du domaine audible) et 60 kHz (afin d’éviter de trop limiter la longueur de la zone d’interaction en raison de l’atténuation atmosphérique). Les dimensions du transducteur sont limitées à 30 cm maximum suivant une direction par les contraintes technologiques. D’après les courbes présentées le champ d’ondes primaires émis à 130 dB SPL à 1 m par une source plane circulaire de rayon 12,5 cm fonctionnant en piston et travaillant autour de 40 kHz (fréquence de l’onde porteuse) permet de répondre aux cahier des charges.
1.2.3.2 Distorsions induites par l’auto-démodulation
Afin d’utiliser une antenne paramétrique en tant que haut-parleur directif, il est nécessaire d’émettre un signal audible avec un minimum de distorsions. Un signal modulé en amplitude est composé de plusieurs composantes fréquentielles. Étant donné la nature de l’auto-démodulation, ces composantes fréquentielles se combinent entre elles et génèrent de nouvelles fréquences. Ces dernières correspondent au signal démodulé sur lequel se rajoute des distorsions.
1.3 Conclusion sur l’antenne paramétrique 17
En considérant un signal modulé en amplitude dont l’enveloppe est notée E, Berktay montre en 1965 [8] que sur l’axe et en champ lointain le signal acoustique produit est donné par :
pd(z, τ, θ = 0) = p2ωpSβ 16πρ0c40zαp ∂2 ∂τ2E 2(ω dτ ), (1.36)
où β est le coefficient non linéaire, pωpest l’amplitude de la porteuse, αpest l’atténuation de la porteuse
et τ est la coordonnée temporelle retardée.
L’amplitude du signal démodulé est proportionnelle à la dérivée seconde du carré de l’enveloppe du signal émis (éq. (1.36)). Concrètement, dans le cas d’un signal modulant harmonique et pour un coefficient de modulation égal à 1, l’enveloppe du signal est donnée par E(t) = A + A cos ωdt, la dérivée seconde du carré de E(t) est
∂2E2 ∂t2 = 2 ∂2E ∂t2 E + ∂E ∂t 2!
= −2A2ωd2[cos(ωdt) + cos(2ωdt)] (1.37)
où les termes en cos(ωdt) correspondent au signal utile et les termes en cos(2ωdt) correspondent aux
distorsions. La présence du carré de l’enveloppe dans l’équation (1.36) implique donc un taux de distorsions élevé. L’expérience montre que, en diminuant le taux de modulation, on réduit également la distorsion, mais au détriment du niveau sonore du signal démodulé. D’autres traitements permettant d’augmenter la qualité de la restitution du son en diminuant les distorsions dues à l’élévation au carré sont donc recherchés.
La dérivée seconde entraîne la multiplication de l’amplitude par ωd2, ce qui implique une augmen-tation de l’efficacité de l’antenne paramétrique pour les fréquences élevées, correspondant à une pente de +12 dB par octave. Pour obtenir une efficacité équivalente, sans tenir compte des distorsions, quelle que soit la fréquence de travail, il faut donc compenser cette pente soit par un prétraitement consistant en un filtre ayant une pente opposée (deux filtres intégrateurs à la suite), soit idéalement grâce à un transducteur qui aurait une réponse en fréquence adaptée. Ceci est également vrai pour les signaux composés de plusieurs composantes fréquentielles étant donné que les combinaisons de fréquences dues à l’élévation au carré sont considérées comme des distorsions.
Étant donné qu’une modulation d’amplitude est appliquée, pour obtenir le signal s(t) à émettre, dans le domaine fréquentiel, le spectre du signal modulant est translaté autour de la fréquence de la porteuse. Le signal d’entrée étant réel l’amplitude de son spectre est pair. Le spectre résultant est donc bien symétrique par rapport à la fréquence de la porteuse fp et le gabarit idéal à l’émission pour
compenser la dérivée seconde est donc celui présenté par la figure 1.6.
1.3
Conclusion sur l’antenne paramétrique
Grâce à l’étude de la propagation des ondes acoustiques dans un milieu non linéaire (ici l’air), quelques caractéristiques du générateur acoustique peuvent déjà être définies.
Fig. 1.6 – Gabarit idéal du signal émis dans l’air (fp est la fréquence de porteuse et lb est la largeur
de bande à transmettre).
Afin d’obtenir une portée assez longue, des ondes sonores d’amplitude importante sont requises. Il est possible, dans ce but, d’augmenter la longueur de l’antenne paramétrique, c’est-à-dire la zone de l’espace où les interactions non linéaires des ondes primaires prennent place. La distance sur laquelle ces interactions existent est limitée par l’atténuation atmosphérique. Il est possible d’augmenter la puissance d’émission de la porteuse pour compenser la dissipation, mais alors l’apparition des chocs survient d’autant plus tôt, et le signal utile n’est plus démodulé (Fig. 1.7).
Fig. 1.7 – Déformation de l’enveloppe due à l’apparition de chocs ; Π = p0/p et σ = z/lp [1].
L’atténuation atmosphérique étant proportionnelle au carré de la fréquence, une solution alterna-tive à l’augmentation de puissance est de diminuer la fréquence de la porteuse, ce qui permet également d’augmenter la distance lp. Typiquement, cette fréquence est comprise entre 30 et 60 kHz suivant la bande passante voulue.
La directivité de l’antenne, en ce qui concerne le signal utile, est liée à la fois à la longueur de l’antenne paramétrique (plus il y a de sources virtuelles, plus l’onde obtenue sera directive) et à la directivité des ondes primaires. Pour améliorer cette dernière, à taille d’émetteur constante, la fréquence d’émission doit être élevée (nécessité d’un compromis entre la directivité et la pénétration
1.3 Conclusion sur l’antenne paramétrique 19
dans l’air). Par ailleurs, plus la surface émettrice d’une source est grande, plus la directivité est importante.
La résolution de l’équation KZK (éq. 1.25) par la méthode quasi-linéaire a montré que le champ d’ondes primaires émis à 130 dB SPL à 1 m par une source plane circulaire de rayon 12,5 cm (soit environ 300 cm2) fonctionnant en piston et travaillant autour de 40 kHz (fréquence de l’onde porteuse) permet de répondre aux cahier des charges en termes niveau et de directivité de l’onde démodulée.
Chapitre 2
Antennes de haut-parleurs
2.1
Introduction
La réalisation d’un système de restitution du son directif, utilisant le principe des antennes paramétriques nécessite pour répondre aux besoins de l’ISL, d’utiliser un transducteur plan de surface 300 cm2 fonctionnant en piston et émettant environ 130 dB SPL à 40 kHz et à 1 m. Cependant l’utilisation d’un unique transducteur ne permet pas d’émettre des niveaux suffisants à une fréquence élevée (40 kHz), notamment en raison de l’inertie des pièces mobiles. Afin d’obtenir une directivité étroite et des niveaux élevés, la solution la plus communément employée est la mise en réseau d’un grand nombre de petits transducteurs. Ce chapitre vise à définir un arrangement géométrique, et le débit minimal de chaque source permettant de générer un niveau de 130 dB SPL à 1 m tout en gardant une directivité comparable à celle du piston plan de 300 cm2 à 40 kHz. Dans un premier temps les modèles de rayonnement des réseaux sont rappelés. Dans une seconde partie, le type d’arrangement géométrique est choisi de façon à répondre au cahier de charges en matière de directivité. Enfin le débit de chaque source est estimé de manière à obtenir le niveau de pression souhaité pour l’onde porteuse.
2.2
Modèles de rayonnement en champ lointain
Nous présentons ici succinctement la théorie des réseaux de sources, afin de rappeler les propriétés de la fonction de directivité d’un réseau rectiligne régulier d’une part et de la fonction de directivité d’un réseau à deux dimensions (rectangulaire et hexagonal) d’autre part.
2.2.1 Sources ponctuelles
Dans un premier temps, les sources électroacoustiques étudiées sont assimilées à des sources ponctuelles. La gamme de fréquence d’étude est alors limitée, une source de dimensions finies pouvant être considérée comme ponctuelle si ses dimensions sont très petites devant la longueur d’onde émise.
La pression acoustique rayonnée par une telle source est donnée par p(−→r ) = jkρ0c0qs
exp(−jk|−→r − −→rs|)
4π|−→r − −→rs|
, (2.1)
où ρ0 est la masse volumique du milieu au repos, c0 la célérité du son dans le milieu au repos, qs le débit volumique de la source, −→rs le vecteur position de la source et −→r le vecteur position du point
d’observation.
2.2.1.1 Réseaux rectilignes
Fig. 2.1 – Réseau de n sources ponctuelles.
Soit un réseau linéaire de N sources ponctuelles de débits volumiques qn, espacées deux à deux
d’une distance 2d (Fig. 2.1). La source n de débit qn et à la position −→rn, rayonne une pression
pn(−→r ) = jkρ0c0qn
exp(−jk|−→r − −→rn|)
4π|−→r − −→rn|
. (2.2)
De façon à faciliter l’écriture, N est supposé impair et l’indice n = 0 correspond au centre du réseau. Il est toutefois possible de suivre la même démarche pour N pair (cf. annexe A). Lorsque la distance d’observation est grande devant la taille du réseau (|−→r − −→r0| 2(N − 1)d), la relation
|−→r − −→rn| = |−→r − −→r0| + 2nd sin θ, avec θ l’angle formé par la droite perpendiculaire au réseau et |−→r − −→r0|,
est vérifiée. Il est donc possible de décrire l’espace grâce à un système de coordonnées polaires, ou r représente la distance entre le centre du réseau et la source (r = |−→r − −→r0|) et θ est l’angle formé par
− →r − −→r
0 et la normale au réseau. La pression rayonnée par le réseau en champ lointain étant la somme
des pressions induites par chaque source, elle est donné par p(r, θ) = jkρ0c0 exp(−jkr) 4πr X n qnexp(−2jkdn sin θ), (2.3)
ce qui correspond à une pression dans l’axe (θ = 0), pax(r) = p(r, 0) = jkρ0c0 exp(−jkr) 4πr X n qn. (2.4)
2.2 Modèles de rayonnement en champ lointain 23
La fonction de directivité, définie comme le rapport de la pression dans la direction θ et de la pression dans l’axe, est
h(θ) = p(r, θ) pax(r) = P1 nqn X n qnexp(−2jkdn sin θ). (2.5)
Il est possible de faire varier la directivité grâce à une pondération en amplitude des sources du réseau [22]. Lorsque le réseau est composé de sources identiques (qn= q ∀n) la fonction de directivité
s’écrit
h(θ) = sin(N kd sin θ)
N sin(kd sin θ). (2.6)
Fig. 2.2 – Exemple de diagramme de directivité pour f =40 kHz, d= 5 mm et N =7.
Le dénominateur de h(θ) ainsi que son numérateur s’annulent pour kd sin θ = mπ avec m entier, dans ce cas h(θ) = 1 et un lobe principal apparaît. Dans l’axe (θ = 0) le lobe principal existe quelque soit la fréquence. Pour les fréquences supérieures à la fréquence de Nyquist correspondant à f > mc/2d, des lobes principaux discordants (cf. Fig. 2.2) apparaissent aux angles sin θpd = mλ/(2d). Les zéros
de h(θ) correspondent à l’annulation du numérateur lorsque le dénominateur est différent de zéro, ce qui se produit aux angles
sin θz=
m N
λ
2d, (2.7)
avec m entier non nul et non multiple de N (sinon le dénominateur s’annule). L’angle des lobes secondaires est alors donné par environ
sin θs=
m + 1/2 N
λ
2d, (2.8)
avec m et m + 1 entiers non nuls et non multiples de N . L’amplitude de ces lobes secondaires est quand à elle [23],
pm(θs) =
pax
N sinm+1/2N π .
(2.9)
Pour les réseaux de grande dimension par rapport à la longueur d’onde (λ), le demi-angle d’ouverture à -6 dB (θ0 avec h(θ0) = 0, 5) est donné approximativement par θ0 = λ/(2L) [24] où L est la longueur du réseau.
2.2.1.2 Réseaux à deux dimensions
Deux types de réseaux à deux dimensions sont étudiés ici. Le premier est l’arrangement le plus simple envisageable, à savoir le réseau rectangulaire. Il correspond à une disposition matricielle des sources possédant des distances inter-sources suivant x (2dx) et suivant y (2dy) pouvant être différentes (cf. Fig. 2.3 a). Le second est le réseau dit hexagonal qui est la combinaison de deux réseaux rectangulaires placés en quinconce, l’un de N × M sources et l’autre de (N − 1) × (M − 1) sources, les deux réseaux possédant les mêmes espacements dx et dy (cf. Fig. 2.3 b).
Fig. 2.3 – Types d’arrangements étudiés ; a) distribution rectangulaire, b) distribution hexagonale. Le réseau hexagonal a l’avantage de maximiser le nombre de sources circulaires qu’il est possible de placer sur une surface donnée lorsqu’il faut tenir compte d’un écartement minimum entre les sources. Cet écartement minimum doit être pour des sources réelles (non ponctuelles) égal à deux fois le rayon d’une source afin d’éviter le chevauchement. Afin que les distances inter-sources soient égales il faut créer un hexagone régulier et pour cela il suffit de respecter l’égalité dy =
√ 3dx.
Deffarges [25] précise que la directivité d’un réseau 2D est le produit de deux directivités dès lors qu’il existe un repère dans lequel les variables sont séparables. Ceci revient à dire que lorsque deux sources placées sur la même colonne (déplacement suivant x) sont considérées, la différence de distance parcourue par l’onde acoustique pour arriver au point d’observation dépend d’un angle (θx) et lorsque deux sources placées sur la même ligne (déplacement suivant y) sont considérées, la différence de trajet de l’onde dépend d’un autre angle (θy). Afin de suivre cette proposition, un repère cartésien dont
l’origine est placée au centre du réseau est utilisé et les angles sont définis comme suit : le vecteur−−→OM forme les angles ϕx, ϕy, ϕz avec les axes correspondant (Mx = OM cos(ϕx), My = OM cos(ϕy), Mz =
OM cos(ϕz)). Par souci de similitude avec le cas du réseau rectiligne nous considérons les angles
θx= π/2 − ϕx, θy = π/2 − ϕy et θz = ϕz (cf. fig. 2.4)
Cette définition des angles permet de montrer que pour les réseaux rectangulaires |−→r − −r−→nm| =
r + 2ndxsin θx+ 2mdysin θy, avec −r−→nm le vecteur position de la source qnm et r la distance entre le
centre du réseau et le point d’observation. La pression rayonnée par le réseau peut s’écrire p(r, θx, θy) = jkρ0c0 exp(−jkr) 4πr X n X m
qnmexp(−2jkdxn sin θx) exp(−2jkdym sin θy). (2.10)
Lorsque le réseau est composé de sources identiques (qnm= q ∀n, m), la pression dans l’axe est
pax(r) = jkρ0c0
exp(−jkr)
2.2 Modèles de rayonnement en champ lointain 25
Fig. 2.4 – Définition des angles.
et la fonction de directivité est donnée par
hr(θx, θy) = sin(N kdxsin θx) N sin(kdxsin θx) sin(M kdysin θy) M sin(kdysin θy) . (2.12)
La fonction de directivité hr(θx, θy) est la multiplication de deux termes similaires à la directivité
d’un réseau rectiligne (équation (2.6))[25]. Le diagramme de directivité d’un réseau rectangulaire à θx
constant (réciproquement θy constant) est donc équivalent à celui d’un réseau rectiligne.
Les réseaux hexagonaux étant composés de deux réseaux rectangulaires, l’un de N1× M1 sources
et l’autre de N2× M2 sources (avec N2 = N1− 1 et M2 = M1− 1), la même démarche peut-être suivie.
Pour un réseau de sources identiques (qn1m1 = qn2m2 = q ∀n1, m1, n2, m2) la pression dans l’axe est
donnée par (cf. détail annexe A)
pax(r) = jkρ0c0 exp(−jkr) 4πr (N1M1+ N2M2)q, (2.13) et la fonction de directivité hh(θx, θy) = 1 N1M1+ N2M2 sin(N1kdxsin θx) sin(kdxsin θx) sin(M1kdysin θy) sin(kdysin θy) + 1 N1M1+ N2M2 sin(N2kdxsin θx) sin(kdxsin θx) sin(M2kdysin θy) sin(kdysin θy) . (2.14)
La fonction hh présente des similitudes avec la fonction de directivité des réseaux rectangulaires. En effet, aux termes de normalisation près (tous les termes hors des sinus), elle correspond à la somme des fonctions de directivité des deux réseaux rectangulaires constituant le réseau hexagonal.
2.2.2 Sources "pistons"
Lorsque la longueur d’onde λ n’est pas grande devant le rayon des sources, l’hypothèse des sources ponctuelles ne peu plus être retenue. Il est alors possible d’assimiler chaque source à un piston oscillant.
2.2.2.1 Rayonnement d’un piston
Afin de déterminer le rayonnement d’une surface vibrante S, celle-ci est considérée comme un réseau continu de sources élémentaire dS de débit dQ = vdS. Lorsque cette surface vibrante est située dans un écran infini rigide, la pression rayonnée est donnée par [26],
p(~r) = jkρc 2π Z Z S e−jk|~r−~r0| |~r − ~r0| v(~r0)dS, (2.15) où ~r0 est la position d’une source élémentaire située sur la surface vibrante et ~r est la position du
point d’observation situé dans le demi espace à l’avant de l’écran (cf. figure 2.5)
Fig. 2.5 – Description des notations.
Dans le cas d’un piston oscillant, la vitesse est constante sur l’ensemble de la surface (v(~r0) = v0).
En considérant un piston circulaire de rayon a, il existe une symétrie de révolution, et il est possible de décrire l’espace à l’aide des coordonnées ~r = (r, θz) ou r est la norme de ~r, et θz l’angle entre ~r et
l’axe z perpendiculaire à S. Le pression dans l’axe est alors donnée par, p(r, 0) = jρc 2 v0 a r ka e −jkr , (2.16)
et la fonction de directivité par
hp(θz) = 2
J1(ka sin(θz))
ka sin(θz)
. (2.17)
La figure 2.6 montre la fonction de directivité du piston et illustre l’augmentation de la directivité lorsque la fréquence augmente. Lorsque a < λ/4 le piston est quasi omnidirectionnel et peut être considéré comme une source ponctuelle.
2.2.2.2 Réseaux de pistons
La directivité du réseau de pistons est donnée, en champ lointain, par le produit de la directivité du réseau de sources ponctuelles équivalent (h)et de la directivité d’un piston (hp) [23],
