Refroidissement laser subrecul au nanokelvin : mesure directe de la longueur de cohérence spatiale. Nouveaux tests des statistiques de Lévy.

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Refroidissement laser subrecul au nanokelvin : mesure

directe de la longueur de cohérence spatiale. Nouveaux

tests des statistiques de Lévy.

Bruno Saubamea

To cite this version:

Bruno Saubamea. Refroidissement laser subrecul au nanokelvin : mesure directe de la longueur de cohérence spatiale. Nouveaux tests des statistiques de Lévy.. Physique Atomique [physics.atom-ph]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 1998. Français. �tel-00011778�

LABORATOIRE KASTLER BROSSEL

THÈSE

DE DOCTORAT DE

L’UNIVERSITÉ

PARIS VI

spécialité : Physique Quantique

présentée

par Bruno SAUBAMEA

pour obtenir le titre de Docteur de l’Université Paris VI

Sujet

de la thèse :

REFROIDISSEMENT LASER SUBRECUL AU NANOKELVIN

Mesure directe de la

_longueur

de cohérence

_spatiale.

Nouveaux tests des

_statistiques

de

_Lévy.

Soutenue le 07 Décembre 1998 devant le

_{jury composé}

de :

Mme. C. LHUILLIER Président

M. A. ASPECT

_Rapporteur

M. C. CHARDONNET

_Rapporteur

M. B. GIRARD Examinateur

M. M. LEDUC Examinateur

DÉPARTEMENT

DE

_PHYSIQUE

DE

L’ÉCOLE

NORMALE

SUPÉRIEURE

LABORATOIRE KASTLER BROSSEL

THÈSE

DE DOCTORAT DE

L’UNIVERSITÉ

PARIS VI

spécialité : Physique Quantique

présentée

par Bruno SAUBAMEA

pour obtenir le titre de Docteur de l’Université Paris VI

Sujet

de la thèse :

REFROIDISSEMENT LASER SUBRECUL AU NANOKELVIN

Mesure directe de la

_longueur

de cohérence

_spatiale.

Nouveaux tests des

_statistiques

de

_Lévy.

Soutenue le 07 Décembre 1998 devant le

_{jury composé}

de :

Mme. C. LHUILLIER Président

M. A. ASPECT

_Rapporteur

M. C. CHARDONNET

_Rapporteur

M. B. GIRARD Examinateur

M. M. LEDUC Examinateur

1

Table

des

matières

Remerciements 5

Introduction 9

I Traitement

_quantique

des

_degrés

de liberté externes d’un atome 17 I.1

_Description

de l’état des variables externes d’un atome _par

l’opérateur-densité ... 17

I.1.1

_{L’opérateur}

densité ... 19

I.1.2

_Quelques

états

_possibles

... 22

1.1.3 Etude

_{dynamique :atome}

en évolution libre ... 33

I.1.4

_{Longueurs caractéristiques}

... 36

1.2

_Applications

à une source d’atomes froids et

_{piégés ...}

39

I.2.1

_Populations

et cohérences dans un _nuage d’atomes froids . 39 1.2.2 Ordres de

_grandeur

et

_{approximations}

... 41

1.3

_Analogie

avec

l’optique classique

... 44

I 3.1

_Spectre

et cohérence d’une source lumineuse

classique ...

44

1.3.2

_{Spectroscopie de Fourier ...}

45

1.3.3 De

_{l’optique classique}

à la

_physique

_{atomique ...}

46

II Le refroidissement subrecul _par résonances noires 49 II.1

_{Principe général}

du refroidissement subrecul ... 49

II.2 Théorie

_simple

du refroidissement VSCPT ... 53

II.2.1

_Description

du

_système

étudié ... 53

II.2.2

_{Description qualitative}

de la

_dynamique

du refroidissement 62 II.3

_Dynamique

des

_paquets

d’ondes ... 67

II.3.1 Effet de la lumière ... 68

II.3.2

_{Interprétation}

du

_gel

des

_paquets

_{d’ondes par} la lumière . 73 II.3.3 Calcul exact dans le cas de

_paquets

d’ondes

_gaussiens

... 78

III

_{Spectroscopie}

de Fourier des

_paquets

d’ondes

_atomiques

85 III

_{1 Spectroscopie}

de Fourier de

_paquets

d’ondes obtenus _par VSCPT 87

III.1.1

_{Principe ...}

87

III.1.2 Calcul

_théorique

... 92

III.1.3

_Principe

de la mesure

expérimentale

de

F

NC

... 100

III.2 Contraintes

expérimentales

... 101

III.2.1

_{Impulsion d’analyse ...}

101

III.2.2 Rôle et influence du

_champ

_magnétique

... 101

III.2.3 Effet d’une variation de la

_phase

du

_champ

lumineux ... 118

IV Présentation du

_montage

_{expérimental}

131 IV.1

_Montage

_{expérimental}

... 131

IV.1.1 Le

_jet

d’atomes d’hélium métastable ... 134

IV.1.2 Ralentissement et

_piégeage

des atomes ... 137

IV.1.3 Les sources lasers ... 141

IV.1.4

_Séquence

_temporelle

... 143

IV.1.5 Détection des atomes ... 146

IV.2

_Compensation

du

_champ

_magnétique

... 154

IV.2.1 L’effet Hanle

_mécanique

... 156

IV.2.2 Procédure

_{expérimentale}

de

_compensation

... 162

IV.3 Mesure in situ de la

_pulsation

de Rabi ... 166

IV.3.1

Principe

et calcul

_théorique

... 166

IV.3.2 Mise en oeuvre

_{expérimentale}

... 171

IV.4 Mesure de la taille du

_piège

... 174

IV.4.1

_Principe

et calcul ... 174

IV.4.2 Réalisation

_{expérimentale}

... 176

V Nouvelle mesure de la

_température

179 V.1 Mesure de la

_température

_par

_temps

de vol ... 179

V.2 Mise en oeuvre

expérimentale

de la nouvelle méthode ... 186

V.2.1

_{Dépouillement}

et extraction de

_F

_NC

₍

_N

₎

... 187

V.2.2 Résultats ... 190

V.3 Effet de la taille du

_{piège ...}

192

V.4 Etude de l’influence des

_paramètres

... 199

V.4.1 Résultats et discussion

_qualitative

... 199

V.4.2

_Comparaison

_quantitative

avec les résultats de la simula-tion Monte-Carlo

_quantique

par la fonction délai... 203

VI Etude fine de la forme de raie 209 VI.1 Motivation et but de ce

chapitre

... 209

VI.2 Présentation du modèle ... 211

VI.2.1 Cadre

_général

du modèle ... 211

3

VI.3 Marche au hasard dans

l’espace

des

impulsions...

217

VI.3.1

_Analyse

_statistique

de la marche au hasard ... 218

VI.3.2 Loi

_{d’arrosage ...}

222

VI 4 Calcul de la distribution

_{d’impulsion}

... 224

VI.4.1 Cas

_général

... 224

VI.4.2 Modèle déterministe ... 225

VI.4.3 Modèle

_probabiliste

... 229

VI.4.4

_Analyse

de la forme de raie ... 232

VI.4.5

_Comparaison

avec les simulations Monte-Carlo

quantiques

236 VI.4.6 Discussion ... 239

VI.5 Fonction d’autocorrélation

_spatiale

... 240

VI.6 Résultats

_{expérimentaux}

... 243

VI.6.1 Première

_analyse

... 243

VI.6.2 Retour sur certaines

_{approximations}

... 245

VI.6.3

_{Analyse complète}

du

_signal

... 249

VI.6.4

_Comparaison

avec une décroissance

exponentielle

... 251

VII Interférométrie

_temporelle

de

_paquets

d’ondes

_atomiques

257 VII.1

_Principe

... 257

VII.2 Calcul

_théorique

... 261

VII.3 Résultats

_{expérimentaux}

... 263

Conclusion 269 A Modes _propres d’un

_système

en A en

présence

de lumière 275 A.1 Hamiltonien du

_système

dans la base de l’atome habillé ... 276

A.2 Modes _propres du

_système

... 278

A.2.1 Perturbation _par le

_couplage

laser ... 279

A.2.2 Perturbation _par le

_couplage

motionnel ... 280

B Théorème de la limite centrale

_{généralisé}

et lois de

_Lévy

283 C "Direct Measurement of the

_Spatial

Correlation Function of

Ul-tracold Atoms"

5

Remerciements

Ce travail de thèse a commencé au Laboratoire de

Spectroscopie

Hertzienne de l’Ecole normale

_supérieure

à une

époque

où

Jacques

Dupont-Roc

en était

di-recteur. Je tiens à lui exprimer mes

_{remerciements,}

non seulement _{pour m’avoir} accueilli dans son laboratoire mais aussi pour la

gentillesse

et la

disponibilité

qu’il

ne _manque

jamais

de manifester

quand

on s’adresse à lui. Le laboratoire

_ayant

été

_rebaptisé,

ma thèse s’est achevée au Laboratoire Kastler

Brossel,

dirigé

_par Michèle

_Leduc,

_que

_j’ai

_pu

_apprécier

non seulement comme directeur de

labora-toire mais

_également

comme codirecteur de thèse

C’est Claude

Cohen-Tannoudji

qui m’a

proposé

de commencer une thèse sous sa direction. Par la

_suite,

Michèle Leduc a

_rejoint

son _groupe et a assuré la codirection de ma thèse avec Claude Les

personnalités

très

complémentaires

de

Claude et Michèle ont fait de cette direction

_bicéphale

un

_avantage

indéniable.

Comme tous les _gens

_qui

ont ont eu le

privilège

de travailler avec

Claude, je

ne peux que me déclarer

impressionné

_par sa connaissance extrêmement

profonde

de la

_{physique atomique}

et de la

_mécanique

_quantique

Les discussions

_{scientifiques}

avec lui ont

toujours

été un vrai bonheur tant les _images

_physiques,

les

explica-tions

_originales

et les idées nouvelles foisonnent Grâce à

_lui,

la

_physique

_s’anime,

devient

_vivante,

lumineuse et somme toute familière. Les _{gens qui} travaillent avec lui savent sa

_simplicité

et sa

disponibilité

constantes

_malgré

un

emploi

du

_temps

de

_plus

en

_plus

chargé

_depuis

un certain jour de Décembre 1997. Je ne saurai le remercier assez de m’avoir donné la chance de travailler avec lui et d’avoir con-sacré autant de

_temps

à discuter avec moi en

particulier

au cours de la rédaction de ma thèse.

Dès son arrivée dans le _groupe, Michèle a

_toujours

été très

impliquée

dans mon travail de thèse. Ses idées

_{originales, puisées}

dans une vaste culture

_scientifique

au-delà même du refroidissement

_laser,

et son

_optimisme

imperturbable

ont très

souvent été d’un

_grand

_secours, en

particulier

dans les

périodes,

malheureusement assez

fréquentes,

où les

expériences

semblaient faire du sur

place.

J’ai

beaucoup

apprécié

le soutien

_permanent

dont elle a fait _preuve,

y-compris

au cours des nombreuses nuits de

_manip

où elle n’hésitait _pas à mettre les mains dans le cambouis de la

_{physique expérimentale. Enfin,}

son souci de clarté et son sens

critique

très

_aigu

ont

_beaucoup

contribué à la rédaction de ma thèse.

Je ne _{peux repenser} à ma

première

année de recherche dans ce _groupe sans

remercier

_François

Bardou et Alain

_{Aspect qui}

ont

_joué

un rôle considérable dans

mon initiation à la recherche

expérimentale

en

physique

_atomique.

A travailler

jour

et nuit avec

François, j’ai appris

la

précision

et la

_patience,

l’acharnement

et

_{l’importance}

des détails

_apparemment

_anodins,

toutes choses sans

lesquelles

la recherche reste stérile. Alain m’a

_toujours

_{impressionné}

_par son inventivité

expérimentale

et sa

_grande

culture

scientifique.

Sa connaissance très

approfondie

de

_l’optique

lui

_permet

_toujours

de donner des

_images

_physiques

_simples

de pro-cessus

complexes

en utilisant cet outil merveilleux dont

_{j’ai appris}

le maniement dans le _groupe de

_Claude,

_{l’analogie.}

Au-delà de mon

admiration, je

tiens à exprimer ici mon amitié

profonde

et ma

_gratitude

envers

_François

et

_{Alain, qui}

ont

_toujours

été très

_disponible

à mon

_égard

et dont

_j’ai

_pu

_apprécier

à

_plusieurs

reprises les

qualités

humaines.

Malgré

leurs

_{agendas surchargés,}

Alain

_Aspect

et Christian Chardonnet ont

très

_gentiment

_accepté

d’être

_rapporteurs

de ma thèse. Je leur suis très recon-naissant du travail méticuleux

_qu’ils

ont fait en relisant le manuscrit dans ses

moindres détails. Cette thèse leur doit

_beaucoup.

Une

_partie

du travail

_présenté

ici a été fait en collaboration avec d’autres chercheurs et

_je

tiens à les associer étroitement à ces résultats.

Que

ce soit avec

Simone Kulin et John

_{Lawall, qui}

ont travaillé

_plusieurs

années au laboratoire ou avec Tom

Hijmans,

Ekkehard Peik ou Ernst

Rasel, qui

ont

_participé

avec entrain aux

expériences

les

plus récentes,

_je crois

_pouvoir

dire _que la

_"manip

hélium" a

_toujours

eu à son chevet une

équipe

soudée et enthousiaste. Je remercie sincèrement tous ces _compagnons dont la solidarité ne s’est

_{jamais démentie,}

tant

dans les moments de

_déprime

où la

_physique

s’entête à nous donner

_tort,

_que dans les instants

_magiques

où elle livre enfin les

_signaux

attendus sur l’écran des ordinateurs.

Au-delà des

_{expériences,}

l’ambiance

_quotidienne

_{du groupe} de refroidissement

laser doit tout aux _gens

_qui

_y travaillent. Les membres

_permanents,

Christophe

Salomon,

Jean Dalibard et Yvan

_Castin,

sont

_toujours

_disponibles

_pour

_répondre

aux

_questions

et faire

_profiter

les thésards de leur

_{longue expérience}

de la recherche. Je les remercie vivement de m’avoir souvent évité de

_longues

heures de tâtonnement par un conseil

judicieux

ou une discussion devant la machine à café. C’est

également auprès

des

_"jeunes"

du _groupe

_(formule

consacrée _que

_je

n’utilise _que parce que

j’en

fait encore

partie),

_que

_j’ai

souvent trouvé des

_réponses,

des idées ou des

_{encouragements.}

Les discussions

_permanentes

entre _nous, favorisées _par une

promiscuité qui

n’a finalement pas que des

inconvénients,

sont une des richesses de ce _groupe. Merci donc à Markus

_Arndt,

Maxime

_Dahan,

Denis

_Boiron,

Isabelle

Bouchoule, Philippe Bouyer,

Frédéric

_Chevy,

Pierre

_Desbiolles,

Gabriele

_Ferrari,

7

Pavone,

Hélène

_Perrin,

Jakob

_Reichel,

Florian

_Schreck,

Johannes

_Soding,

_Pippa

Storey,

Pascal

_Szriftgiser.

Le laboratoire Kastler-Brossel ne serait rien sans ses

ateliers,

sa

bibliothèque

ou son secrétariat. Je remercie tous ceux _{qui assurent} cette

_logistique

indispens-able à l’avancée de la

recherche,

en

particulier

Lionel

Perennes,

Patrick Giron

et André

_Clouqueur

de l’atelier

_{d’électronique,}

Jean

_Outrequin,

Jean

_Lagadec

et Jean-Claude Guillaume de l’atelier de

_mécanique,

Didier Courtiade et

Jean-François

Point du service

_plomberie,

_{Monique Brouat,}

Jean

_Auquier

et

_Dominique

Giafferi de la

_{bibliothèque,}

Zaïre Dissi et

_{Thierry Besançon}

du service

informa-tique

ainsi que Michèle

_Sanchez,

Zohra

_Ouassyoun

et Geneviève Piard _qui,

_malgré

tout,

adorent

_l’équipe

6....

Le mot de la fin va à tous ceux

qui

n’ont cessé de me

soutenir,

non seulement au cours de ma

thèse,

mais aussi tout au

_long

de mes études et de mon _parcours

depuis

Case-Pilote

_jusqu’à

la rue d’Ulm. Je _pense bien sûr à mes

_parents,

mon frère et ma

grand-mère

dont l’amour et le soutien n’ont _pas une seule fois été mis en

défaut,

dans les moments de

_joie

comme dans les heures les

plus

tristes. C’est

avant tout à eux _que

_je

dédie cette thèse. Je suis très heureux

qu’une grande

partie

de ma famille soit venue assister à la _soutenance,

parfois

de très

loin,

et

je

les remercie sincèrement d’avoir fait de cet exercice un _peu formel une occasion de réunir

_parents,

_oncles,

tantes et cousins. La famille s’étendant

_parfois

au delà des liens du _sang,

_je

tiens à remercier

_Brigitte

et

_Pierre,

dont le soutien et l’affection inconditionnels ont

_toujours

été d’un

_grand

secours. Ceux

_qui

ont suivi mon parcours savent que cette thèse n’existerait

_probablement

_pas si _je n’avais _pas rencontré

_Brigitte

il _y a bientôt 10 ans

_jour

_pour

_{jour. Fatima, Haddouche, Aziz,}

Da-Omar, Hichem, Karim, Amel,

Saida et Si-Mohammed m’ont

_toujours

soutenu

au cours des dernières

années, je

les remercie tous du fond du c0153ur. Je termine en addressant une

pensée

à

Monique, Jean-Claude,

Gilles et

Na-Aghnima,

qui

se

réjouissent

certainement de l’aboutissement de ce travail et

_qui,

à leur

_façon,

_y

9

Introduction

Le refroidissement d’atomes par laser est un domaine extrêmement actif de la

physique

moderne. En utilisant astucieusement les

_aspects

les

_plus

variés de ce

qu’il

est convenu

d’appeler

l’interaction

matière-rayonnement,

il

permet

de

pièger

et de refroidir des échantillons de

_quelques

milliers à

_plusieurs

millions d’atomes

jusqu’à

des

_{températures qui}

ne sont

_qu’à

un milliardième de Kelvin au-dessus du zéro absolu.

On

_pourrait

penser

qu’à

des

températures

aussi

basses,

tous les

phénomènes

physiques

soient

_{progressivement "gelés"}

et

_qu’il

_{y ait bien peu} d’intérêt à étudier de tels

_systèmes.

C’est

_pourtant

tout le contraire.

_Lorsqu’on

descend l’échelle des ordres de

_grandeur,

une

physique

à la fois

_passionante

et foisonnante se révèle. De nouveaux états de la matière

_{apparaissent.}

Les

_atomes,

englués

dans des mélasses

_optiques

_[11],

se

déplacent plus

lentement _que des fourmis. Placés dans des conditions

_adéquates,

ils se cristallisent au sein de réseaux de lumière réalisant ainsi un nouvel état intermédiaire entre un solide cristallin et un _gaz sans interac-tion

_{[12, 13].}

Soumis à l’action de

_plusieurs

ondes lasers correctement

_choisies,

un

atome

_unique

se

démultiplie

en

plusieurs

_paquets

d’ondes

_qui

_peuvent

être

séparés

par des distances

macroscopiques,

mettant ainsi en

évidence,

de manière

spectac-ulaire,

un

_aspect

éminemment

quantique

de la matière

[22].

Lorsque

l’utilisation habile d’un

_{champ magnétique inhomogène}

et d’un nouveau mécanisme de

re-froidissement,

le refroidissement

_évaporatif,

viennent

_compléter

le refroidissement par

laser,

les atomes

atteignent

des

températures

tellement basses

qu’une

tran-sition de

_phase

vers un nouvel état de la matière

_peut

avoir lieu. Les atomes se condensent alors tous dans un seul état

quantique

dont la

population

devient

macroscopique,

réalisant ainsi un condensat de Bose-Emstein

[14].

Nous n’avons cité là _que

_{quelques exemples parmi}

les

_plus

_marquants

mais

_l’étude,

et de

_plus

en

plus

les

applications,

des atomes refroidis _{par laser} sont à l’heure actuelle un domaine en _expansion constante

L’idée

_générale

à la base du refroidissement _par laser est la

_possibilité

_que

présente

la lumière d’exercer des effets

_mécaniques

sur des atomes. Ceci a été mis pour la

_première

fois en évidence en 1933

lorsque

R. Frisch découvrit

qu’il

pouvait

défléchir un

_jet

d’atomes de sodium à l’aide de la lumière émise _par une

lampe

à sodium

[4].

Il

apportait

ainsi la _preuve

expérimentale

de

l’idée,

émise une

quinzaine

d’années

_auparavant

en 1917 _par A

Einstem,

_que le

pho-ton

_transporte

non seulement de

l’énergie

mais aussi de

l’impulsion. Lorsqu’un

atome absorbe ou émet un

photon,

son

impulsion

est modifiée et l’atome subit donc une force de la

_part

de la lumière.

Cependant,

du fait de la

quantification

des niveaux

_d’énergie

d’un

_atome,

ces

phénomènes

ne

_peuvent

se

produire

_que

lorsque

la

_fréquence

de la lumière est

_proche

d’une

_fréquence

propre de l’atome.

L’apparition

du laser au début des années

60,

a donc été un moteur très

puissant

de

_{développement}

de ce secteur de

_{recherche, puisqu’il permettait}

d’obtenir des faisceaux lumineux

_cohérents,

très intenses et

_{pratiquement monochromatiques.}

En

_adaptant

la

_longueur

d’onde de ces lasers aux transitions

_atomiques,

il deve-nait

_possible

de controler

_{précisément}

l’interaction entre la lumière et les atomes.

Depuis,

le refroidissement laser s’est

_développé

sans discontinuer.

Le

_premier

mécanisme de

_{refroidissement,}

basé sur l’effet

_Doppler,

est

_proposé

en 1975 _par Hänsch et Schawlow pour les atomes neutres

[6]

et par Wineland et Dehmelt _pour les ions

_piégés

_[7]

Au début des années

_80,

la

_possibilité

de ralen-tir et d’arrêter

_pratiquement

un

jet atomique

est demontrée

_[8,

_9,

_10].

En 1985

est réalisée la

_première

mélasse

_optique

_[11]

dans

_laquelle

les atomes sont soumis à une force de friction

_{importante qui}

amortit

_rapidement

leur mouvement et

abaisse leur

_température

_jusqu’à

une valeur

proche

de la limite

prévue

_par la théorie du refroidissement

_Doppler.

Commence alors à

_apparaître

le

_problème

de la détermination de la

_température

_pour ces échantillons très froids. La

_première

méthode de mesure de la

_{température,}

dite de "release and

_recapture"

[11],

est

rapidement remplacée

par une

technique

_qui

va

_s’imposer

comme la méthode de référence et

_qui

est encore la

plus largement

utilisée à l’heure

actuelle,

la méthode

du"temps

de vol"

_[19].

Cette méthode va en

particulier

_permettre

de démontrer

que les

températures

atteintes dans les mélasses

optiques

sont en réalité beau-coup

plus

basses que celles initialement mesurées et donc très en

deça

de la limite

Doppler.

Ceci trouvera son

explication

dans la découverte des mécanismes de re-froidissement

_sub-Doppler

_{[17, 18],}

communément

_appelés

nouveaux mécanismes.

Enfin, apparaît

dans le même

_temps

ce

_qui

deviendra

_rapidement

un élément clé des

_expériences

de refroidissement laser : le

_{piège magnéto-optique.}

_Proposé

_par J. Dalibard en

1986,

il fut

_{expérimentalement}

démontré un an

_plus

tard aux lab-oratoires Bell

_[20]

et

_{représente depuis}

la source d’atomes froids la

plus répandue

dans le monde.

Une fois franchie la limite

_Doppler,

une autre

_{limite, beaucoup plus}

fonda-mentale,

est

_rapidement

_{apparue :} la limite du recul. Dans tous les mécanismes de refroidissement _que nous venons

d’évoquer,

la friction

qui

amortit le

mouve-11

ment des atomes résulte d’une interaction incessante entre ceux-ci et la lumière. L’émission

_spontanée

a un rôle central dans ces _processus car c’est elle _qui in-troduit la

_dissipation

et

_qui

_permet

d’évacuer vers les modes vides du

_champ,

l’énergie cinétique prélevée

sur l’atome. Mais l’effet de l’émission

spontanée

est

double _car, de _par son caractère

aléatoire,

elle introduit

également

une marche au hasard dans

_l’espace

des

_impulsions

avec un _pas élémentaire de l’ordre de

l’impulsion

de recul :

Cette valeur est

_{simplement l’impulsion}

d’un

_photon

de vecteur d’onde k et

représente

donc

_{l’impulsion acquise}

_par un atome initialement au _repos,

_lorsqu’il

absorbe ou émet un seul

photon.

On

_conçoit

facilement _que

l’impulsion

d’un

atome

_{qui interagit}

continuellement avec la lumière ne

_puisse

être définie à mieux que hk. La

température cinétique

associée à cette

_impulsion

est

_appelée

tempéra-ture de recul et se définit _par

où

k

B

est la constante de Boltzmann et M la masse de l’atome considéré. La valeur

T

R

apparaît

donc comme une limite ultime des _processus de

refroidisse-ment

_reposant

sur une interaction continuelle des atomes avec la lumière.

Puisque

cette limite résulte de l’émission

_spontanée,

le seul _moyen de la

con-tourner est _{de supprimer}

_celle-ci,

c’est-à-dire de

_placer

les atomes dans des états

quantiques

où ils sont

_découplés

de la lumière. De tels états noirs étaient

_déjà

connus

_depuis

_longtemps

Le _pompage

_optique

sur des transitions J ~ J et

J ~ J - 1 avec une onde lumineuse

_polarisée

circulairement avait

_déja

montré la

possibilité

d’accumuler les atomes dans des états

_découplés

de la lumière à la fin des années 60

_[15].

La notion d’états noirs

_proprement

dite est introduite _pour la

_première

fois en 1976 par G Alzetta et A. Gozzini

_[16].

Ces auteurs montrent

qu’en

éclairant des atomes avec deux lasers de

fréquence

03BD et 03BD +

039403BD,

en

présence

d’un

_{champ magnétique,}

il existe une valeur de 039403BD _pour

laquelle

les

amplitudes

des deux transitions

_{correspondantes}

_peuvent

interférer destructivement si bien que l’atome n’est

plus couplé

à la lumière.

Mais le seul fait

_qu’il

existe des états

_découplés

de la lumière n’est _pas

suff-isant. Il

_s’agit

en effet ici de refroidir les atomes en dessous de la

_température

de

recul,

c’est-à-dire

_{d’augmenter}

la fraction d’atomes dont la vitesse est inférieure à la vitesse de recul. Pour

_cela,

seuls les atomes très froids

_{(statistiquement}

il

y en a

toujours

une

_petite

fraction)

doivent

_pouvoir

être

_pompés

dans des états noirs et _y restés

_piégés

tandis _{que les} autres doivent continuer à diffuser

_jusqu’à

éventuellement atteindre une vitesse assez faible _pour être à leur tour

_découplés

de la lumière et

_piégés

dans les états noirs. Pour

_pouvoir

servir au refroidissement

laser,

les états noirs doivent donc

présenter

cette

caractéristique

très

importante

d’être sélectifs en

vitesse,

c’est-à-dire d’être

découplés

de la lumière

unique-ment

_lorsque

la vitesse de l’atome est

_quasiment

nulle . On voit ainsi

_apparaître

les deux notions essentielles du refroidissement subrecul : le

_piégeage

ou

filtrage

des atomes de vitesse très faible dans des états

_découplés

de la lumière et le

re-cyclage

des atomes dont la vitesse est élevée _par une marche au hasard diffusive

qui

leur donne une chance de tomber au

_voisinage

de la vitesse nulle.

Bien

_qu’il

ne soit pas le

premier

schéma de refroidissement subrecul à avoir été

proposé

[21],

le

_Piégeage

Cohérent de

_Population

Sélectif en Vitesse ou

PCPSV,

plus

connu sous son abréviation

anglaise

de

VSCPT,

est le

_premier

à avoir connu un réel

développement

Mis en évidence sur des atomes d’hélium métastables en 1988 _par A.

_Aspect

et al. dans notre _groupe à Paris

_[22],

il a

permis

la

première

observation d’une

_température

inférieure à la

_température

de recul. Le

_principe

fondamental de ce mécanisme est l’existence _{pour certaines transitions} du

_type

J ~ J d’une interférence

_quantique

destructive entre deux

_amplitudes

de tran-sition menant de l’état fondamental à l’état excité. Cette interférence ne

_peut

se maintenir au cours du

_temps

_{que pour} les atomes dont la vitesse est

pra-tiquement

nulle,

ce

_qui

introduit la sélectivité en vitesse dans le _processus. Les

autres

_{(v ~ 0)}

diffusent librement dans

_l’espace

des vitesses

_jusqu’à

tomber _par hasard au

voisinage

de v = 0 où ils

_peuvent

rester

piégés.

Le

point

clé est donc

l’inhomogénéité

du taux de fluorescence des atomes _qui s’annule en v = 0 _en

présentant

une résonance

étroite,

d’où le nom de "refroidissement _par résonances noires"

_également

donné au refroidissement VSCPT. Une des

caractéristiques

de ce mécanisme est _que la

_température

des atomes

_peut

décroître indéfiniment sans limite autre _que celle introduite _par d’éventuels _processus de

_pertes

par-asites. Seul

_compte

le

_temps

d’interaction 03B8 des atomes avec la lumière et la

température

peut

théoriquement

tendre vers 0 si 03B8 tend vers l’infini.

La version initiale de

_{l’expérience}

était réalisée à une dimension sur un

_jet

atomique

et ne

_permettait

d’obtenir

_qu’un

_temps

d’interaction très réduit. Cela fut néanmoins suffisant _pour mettre clairement en évidence le refroidissement subrecul et une

température

de ~

T

R

/2

soit 2

03BCK

fut obtenue. La mise au

point

d’un

_piège

_{magnéto-optique}

d’hélium métastable a ensuite

permis

d’augmenter

considérablement le

_temps

d’interaction et donc de _pousser

_beaucoup

_plus

loin le refroidissement. Dans le même

_temps

des schémas

_théoriques

d’extension de

cette méthode à deux et à trois dimensions ont été

_proposés

_[23,

_24,

_25]

_puis

démontrés

_{expérimentalement}

_[28,

_{66, 41,}

_77].

L’autre mécanisme subrecul

qui

a été

expérimentalement

démontré est le re-froidissement

_Raman,

mis en évidence _pour la

première

fois _par M. Kasevich et

13

al. à Stanford

_[29]

sur des atomes de Césium. Bien _que le

principe

de base soit le

_même,

la combinaison entre un

filtrage

des atomes de vitesse v = 0 et _un

re-cyclage

des atomes de vitesse non

nulle,

le mécanisme utilisé est assez différent de celui du VSCPT. Tirant

_parti

de la

_grande

sélectivité des transitions Raman

entre deux sous-niveaux

hyperfins

de l’état

fondamental,

ce _processus utilise une succession

d’impulsions

dont le désaccord et l’intensité sont

_ajustés

de manière à reconstituer un taux de fluorescence

_inhomogène

s’annulant en v = 0. Des

températures

de l’ordre de

_T

_R

_/100

ont été atteintes à une dimension

[31].

A deux

et trois dimensions en

revanche,

le refroidissement Raman

_permet

d’abaisser

sig-nificativement la

_température

_{d’un nuage} d’atomes libres sans

_pourtant

atteindre tout-à-fait le

_régime

subrecul

_[32].

Notons

_cependant

_qu’à

_3D,

il est

_possible

de

généraliser

le mécanisme à des atomes non

_plus

libres mais confinés dans un

piège

dipolaire

très désaccordé et d’atteindre ainsi un

régime

légérèment

subrecul

[33].

Avec le

_{développement important}

du refroidissement subrecul et la

_possibilité

d’atteindre ainsi des

_{températures}

très inférieures au

03BCK

est _apparue une nou-velle

_exigence.

Comment mesurer

précisément

la

dispersion

de vitesse et donc la

_température

de ces atomes ultrafroids? De _{même que la} méthode de "re-lease and

_recapture"

s’était révélée

_trop

_imprécise

_pour mesurer correctement la

température

dans les mélasses

_optiques

et avait dû être

_remplacée

_par la tech-nique du

temps

de

vol,

cette dernière

présente

une résolution insuffisante _pour mesurer

précisément

des

températures

nettement subrecul.

Le

_principe

du

_temps

de vol est

_simple.

Une fois _que les lasers de

refroidisse-ment ont été

_coupés,

le _{nuage d’atomes} tombe en chute libre dans le

champ

de

gravité.

Du fait de la

_dispersion

initiale des vitesses des atomes

_03B4v,

il subit dans le même

_temps,

une _expansion

ballistique

La distribution de vitesse initiale se tranforme ainsi en un

profil

de

positions

de

largeur

03B4x. Connaissant le

_temps

de vol libre des atomes, on

_peut,

de la mesure de

03B4x,

déduire la valeur de 03B4v et donc de la

_{température.}

Cette

méthode,

très

_{largement utilisée,}

a

_pourtant

une limite évidente liée à la taille initiale

_03B4x

₀

du _nuage

_atomique.

Celle-ci donne une contri-bution fixe au

profil

détecté et limite la résolution de la méthode. En

_particulier,

lorsque

la

_température

des atomes devient tellement basse _que la contribution

cinétique

est

_{beaucoup plus petite}

_que la taille du

_piège,

la méthode de

_temps

de vol s’avère

_{complètement}

inutilisable car

beaucoup

_trop

imprécise.

Bien _que dans la

_plupart

des

_expériences

de refroidissement

_laser,

les

_{températures}

atteintes soient suffisamment élevées _pour

_pouvoir

être mesurées correctement _par

_temps

de

_vol,

ceci n’est

_plus

le cas _pour les

expériences

de refroidissement subrecul

qui

requièrent

le

_{développement}

de nouvelles méthodes.

Dans le cadre du refroidissement

_Raman,

M. Kasevich et al. ont

_proposé

réaliser la

_{spectroscopie}

d’une transition Raman à l’aide de deux faisceaux

con-trapropageants

et de déduire la

_largeur

de la distribution de vitesse de la

_largeur

de raie mesurée. Cette méthode a ainsi

_permis

de mesurer des

températures

de l’ordre de

_T

_R

_/80

_pour des atomes de césium soit environ 2.5 nK. Elle

_présente

cependant

un double

désavantage.

D’une

_part

le

profil

des

impulsions

Raman utilisées limite sa résolution à environ

v

R

/20.

Par ailleurs cette méthode est très bien

_adaptée

_pour le refroidissement Raman mais ne

_peut

se

généraliser

à des

atomes ne

présentant

_pas, comme le

césium,

deux niveaux stables connectés _par

une transition Raman. Elle est en

particulier

inutilisable _pour l’hélium.

Cette thèse

_présente

une méthode entièrement nouvelle de détermination de la

_température

_et,

_au-delà,

de la forme détaillée de la distribution

_{d’impulsion.}

Cette méthode est basée sur un

principe

très

général

en

_{physique qui}

veut _que,

lorsque

la distribution d’une

_grandeur

est

_trop

étroite _pour

_pouvoir

être mesurée avec

précision,

il est souvent

_avantageux

d’en mesurer la transformée de Fourier.

Ceci est _par

_{exemple largement}

utilisé en

_{optique photonique}

où la détermination de la densité

_spectrale

_I(w)

d’une source lumineuse hautement

monochromatique

se fait souvent via la mesure de la fonction d’autocorrélation

temporelle

G(t),

_qui

n’est autre _que la tranformée de Fourier de

_I(w).

C’est une méthode très

analogue

que nous avons mise au

point

_pour mesurer la distribution

d’impulsion

d’atomes

d’hélium refroidis _par VSCPT à 1D. Nous avons _pour cela tiré

parti

du fait _que ces atomes se trouvent dans des états

_{particuliers, qui}

sont des

_{superpositions}

linéaires de deux

_paquets

d’ondes

_{d’impulsions}

_moyennes

_opposées.

Dès la fin

de la

_phase

de

_{refroidissement,}

ces deux

_paquets

d’ondes se

séparent

donc l’un de l’autre. En mesurant comment leur recouvrement décroît au cours du

_temps,

nous accédons directement à la fonction d’autocorrélation

_{spatiale atomique}

F(03BE)

dont la transformée de Fourier est la distribution

_{d’impulsion}

_G(p).

Le

_signal

ainsi obtenu ne

dépend

_pas de la

_position

initiale de l’atome et n’est donc _pas brouillé par l’extension

spatiale

du nuage

atomique.

Nous avons _{pu ainsi mesurer,} avec une

précision jamais

atteinte

_auparavant,

la

_température

des atomes refroidis _par VSCPT. Les valeurs trouvées sont

con-sidérablement

_plus

basses _que celles déduites _par la méthode habituelle de

_temps

de vol. Des

_{températures}

aussi basses que

T

R

/800

soit

quelques

nK seulement ont _{pu être} mesurées alors même _que la résolution de la mesure _par

_temps

de vol

ne

dépasse guère

_T

_R

_/80.

Au delà de la mesure de

température,

cette

_méthode,

en donnant accès à la forme de la distribution

_{d’impulsion,}

ouvre la voie à une

analyse

très fine du refroidissement VSCPT. Deux

_{approches théoriques}

différentes

_basées,

respec-tivement sur des simulations Monte Carlo

quantiques

utilisant la fonction délai

et sur une

description statistique

de la marche au

hasard,

ont en effet récemment

15

Le modèle

_{statistique, qui}

utilise les lois de

_Lévy

_pour

_analyser

la marche au hasard des atomes dans

_l’espace

des

_impulsions,

_permet

en

particulier

de calculer

exactement la distribution

_{d’impulsion}

_G(p)

des atomes refroidis Il fait alors

apparaître

le caractère non

gaussien

et non lorentzien de

G(p),

montrant en par-ticulier

_{"l’aplatissement"}

de celle-ci au _voisinage de _p = 0. Il

_permet

également

de relier cette forme

_{particulière}

de

_G(p)

à une

caractéristique

essentielle. la

non-ergodicité

du refroidissement VSCPT. Des

_{comparaisons quantitatives}

extrêmement

_précises

ont _{pu ainsi être} faites entre les résultats

_{expérimentaux,}

les résultats de simulations Monte Carlo

_quantiques

et les

_prédictions

_théoriques

du modèle

_analytique

basé sur les

statistiques

de

Lévy.

Le

_présent

mémoire de thèse

_s’organise

en 7

_chapitres.

Nous _{commençons par}

_{présenter rapidement}

dans le

_chapitre

I des notions élémentaires sur la

description

des

degrés

de libertés externes d’un atome dans un _nuage

atomique

refroidi. Ce

chapitre

nous

_permet

d’introduire la

description

des atomes _par des

_{mélanges statistiques}

de

_paquets

d’ondes et d’insister sur la distinction entre des

_{paramètres importants}

tels _que la

_longueur

de cohérence

atomique,

l’extension

_spatiale

d’un

_paquet

d’ondes et la taille initiale du

_piège.

Nous introduisons

_également

à la fin de ce

chapitre

l’idée

générale

de la mesure de la

_température

des atomes _par une méthode

analogue

à la

_{spectroscopie}

de Fourier en

_optique

_photonique.

Le

_chapitre

II est consacré à la

_description

du refroidissement VSCPT.

Nous nous limitons ici à la

configuration

à une dimension avec deux ondes lasers

contrapropageantes

de

_{polarisations}

circulaires

_{orthogonales, configuration}

dans

laquelle chaque

atome est laissé dans une

superposition

cohérente de deux

_paquets

d’ondes

_{d’impulsions}

_moyennes

_opposées.

Ce

_chapitre

se termine par une anal-yse

dynamique

du mouvement relatif de ces deux

_paquets

d’ondes. Cette étude

originale

montre avec des

_arguments

simples,

_que les deux

_paquets

d’ondes, qui

ont tendance à se

séparer

l’un de l’autre en l’absence de

lumière,

sont

_"gelés"

_par

l’interaction avec celle-ci

pendant

le refroidissement.

La

_séparation

_progressive des

_paquets

d’ondes dès la _coupure des lasers VSCPT

est _par contre la clé de la méthode de mesure de la fonction d’autocorrélation spa-tiale des

_atomes,

_présentée

dans le

_chapitre

III

_Après

avoir

_expliqué

le

_principe

de cette

_méthode,

nous

_envisageons

d’un

_point

de vue

théorique

les différentes limitations

_auxquelles

elle

_peut

être sensible et en déduisons les contraintes à

respecter

pour sa mise en 0153uvre

_{expérimentale}

Le

_montage

_{expérimental}

est

_présenté

dans le

_chapitre

IV où nous avons

en

particulier

insisté sur trois

_{points :}

la

_compensation

des

_champs

_magnétiques

par effet Hanle

mécanique

dont la résolution a été considérablement

améliorée,

la mesure directe et m situ de la

_pulsation

de Rabi sur un

_{signal atomique}

_par une

méthode

_originale

utilisant

_également

l’effet

_Hanle,

et

_enfin,

la mesure de la taille

du

_piège

par une méthode nouvelle et très

précise.

Ces trois éléments se sont

révélés absolument

_{indispensables}

dans la réalisation et

_l’analyse

des

_expériences

présentées

dans cette thèse.

Les

_expériences

_proprement

dites de mesure de la fonction de corrélation spa-tiale sont décrites dans le

chapitre

V. Nous verrons _que les valeurs de

température

ainsi déterminées sont très inférieures à celles déduites de la méthode de

_temps

de vol et nous montrerons

_qu’on

_peut

_parfaitement

rendre

_compte

de cette différence

en tenant

_compte

de l’effet de la taille du

_piège.

Nous utilisons alors cette nou-velle méthode _pour

_analyser

l’effet des

_paramètres

du refroidissement

_(temps

d’interaction,

pulsation

de

_Rabi)

sur la

température

et mettons en évidence une vérification

_quantitative

des

_prédictions

des simulations Monte Carlo.

Le

_chapitre

VI examine un des

_points

les

plus

_importants

de la

thèse,

la forme

exacte de la distribution

_{d’impulsion}

_G(p)

des atomes refroidis. Le

_principe

et les

grandes

lignes

du modèle

_statistique

du refroidissement VSCPT basé sur les vols de

_Lévy

sont

_expliqués

sans rentrer dans le détail des calculs et en

_renvoyant

aux références existantes sur ce

_sujet.

Le calcul de la distribution

d’impulsion

est _par contre

_présenté

en détail et nous

_permet

de mettre en évidence des

caractéristiques

très

_importantes

comme le

profil

non lorentzien et autosimilaire de la forme de raie ou

_l’aspect

non

ergodique

du refroidissement. La forme de raie calculée et les

caractéristiques

mentionnées ci-dessus sont ensuite confrontées aux résultats des simulations Monte Carlo _puis aux données

expérimentales.

Dans les deux _cas, l’accord est très satisfaisant et valide

_{complètement}

le modèle

_statistique.

Le

_chapitre

VII

_présente

enfin le résultat d’une

_expérience

d’interférométrie

atomique

dans le domaine

_temporel

utilisant des

_paquets

d’ondes ultrafroids. Bien que cette

_expérience

soit un _peu en _marge du

_{sujet principal}

de cette

_thèse,

c’est-à-dire l’étude fondamentale du refroidissement

_VSCPT,

elle constitue un

prolongement

naturel des

_expériences

du

_chapitre

V et

_permet

de mettre

di-rectement en évidence la cohérence entre les

_paquets

d’ondes

_atomiques

issus du refroidissement VSCPT.

17

Chapitre

I

Traitement

_quantique

des

_degrés

de

liberté

externes

d’un

atome

I.1

_Description

de l’état des variables

externes

d’un

atome

_par

_{l’opérateur-densité}

Le

_principe

d’incertitude de

_{Heisenberg stipule qu’il}

_{n’est pas}

_possible

de connaître simultanément la

_position

x et

l’impulsion

_p d’une

particule

avec une

précision

arbitrairement

_grande.

Si on

appelle

0394x et

0394p

les incertitudes

respectives

sur ces deux

grandeurs,

ce

_principe

se traduit

mathématiquement

_par

l’inégalité :

Ainsi,

si on _suppose

qu’un

atome

_possède

une

impulsion

_p

parfaitement déterminée,

on doit considérer

qu’il

est délocalisé

_spatialement

sur une distance sinon infinie du moins très

_grande

devant toutes les dimensions du

_problème

étudié. On doit alors le décrire _par une onde

_plane

de la forme :

et sa densité de

probabilité

de

présence

en _x, donnée _par

~(x)~*(x)

est uniforme. Dans le formalisme de Dirac habituellement utilisé en

mécanique quantique

on décrira l’atome _par un état _propre de

l’opérateur impulsion

|03A8> =

|p>.

On sait en effet

qu’un

tel ket

correspond,

en

représentation position

à une onde

plane :

La densité de

_probabilité

de

_présence

en x sera alors donnée

par

|<x|03A8>

|

2

,

également

Dans la

_plupart

des

_problèmes

cette

_description

n’est _pas

_physiquement

réaliste car l’atome reste localisé dans une

région

de

l’espace

dont les dimensions

car-actéristiques

n’excèdent _que rarement

_quelques

_03BCm. La solution la

_plus

sim-ple

consiste alors à le

_décrire,

non _{pas par} une onde

plane d’impulsion p

bien

définie,

mais par une

superposition

continue d’ondes

planes d’impulsions

_p avec

des coefficients donnés _par une fonction

g(p)

de

_largeur

finie. Bien _que

_chaque

onde

_plane

ait une extension

spatiale infinie,

l’interférence entre toutes les ondes constituant cette

_{superposition}

continue résulte en une

amplitude

spatiale

dont

l’enveloppe

a une

largeur

finie. On obtient alors ce

qu’on appelle

couramment un

_paquet

d’ondes

localisé,

dont le centre et la

largeur

sont

respectivement

la

position

moyenne x

et l’extension

_spatiale

0394x de l’atome. Bien

_sûr,

il existe alors une incertitude

0394p

sur

l’impulsion atomique

_qui

est de l’ordre de la

largeur

de

|g(p)|

2

.

Le

_gain

de

_précision

sur la

position

de l’atome s’est fait au détriment de la

_précision

sur son

impulsion.

Dans le formalisme de

_Dirac,

_que nous utiliserons

_{systématiquement à-partir}

de

_maintenant,

on décrira un tel

_paquet

d’ondes _par un état de la forme :

Dans cette

_expression,

_|03A6>

est un vecteur de

_l’espace

hilbertien des états d’une

particule

à une dimension et l’ensemble

_{|p>}

des états _propres de

_{l’opérateur}

impulsion

P,

une base

(continue

et

infinie)

de cet _espace. Dans le cas

_général

la fonction

_g(p)

_peut

être

_complexe

et nous

imposerons simplement qu’elle

soit normée :

Dans

_(I.4),

la base choisie _pour

_développer

le vecteur d’état

_atomique

est celle des états _propres de

P.

On

peut

de manière

_équivalente

utiliser la base

_{|x>}

des états _propres de

_{l’opérateur}

position

et écrire

_|03A6>

sous la forme :

Les fonctions

_f(x)

et

_g(p)

sont

_simplement

les fonctions d’onde associées au

vecteur

_|03A6>

en

représentations

_position

et

_impulsion

_{respectivement.}

Le lien entre les deux

_{représentations}

s’obtient _par

_exemple

en

_projetant

(I.4) et(1.6)

sur le ket

19

On constate _que le passage de l’une des

représentations

à l’autre se fait _par une transformation de Fourier

(la

définition de la TF utilisée habituellement en

mécanique

quantique

est

_rappelée

dans

_{l’appendice}

_{A) :}

Rappelons

que deux fonctions transformées de Fourier l’une de l’autre ont la même norme

(inégalité

de

Parseval-Plancherel)

si bien que :

On supposera par

ailleurs,

sans

perdre

le caractère

général

de la

description,

_que

|f(x)|

2

est maximale et centrée en x =

0,

c’est-à-dire

que la

position

moyenne de l’atome est confondue avec

l’origine

du

repère.

Bien _que cette

_description

de l’état d’un atome _par un vecteur

|03A6>

soit

sim-ple

et

_adaptée

à de nombreux

_problèmes,

ce n’est _pas la

plus

générale

_{qui soit.}

Considérons en effet un atome dans l’état

(I6)

La mesure de sa

_position

don-nera x avec une

probabilité

|f(x)|

2

.

En

répétant

cette mesure un

grand

nombre de

_fois,

on reconstituera la distribution de

_position

du

_paquet

d’ondes dont la po-sition moyenne est en x = 0 _et dont l’extension

spatiale

reflète la délocalisation

intrinsèquement

quantique

de l’atome. En réalité même la

_position

_moyenne d’un

atome est rarement connue avec exactitude. Dans le cadre du

piégeage

et du re-froidissement laser _par

_exemple,

les atomes sont

_piégés

dans des échantillons dont les

_longueurs

_{caractéristiques}

varient de

_quelques

dizaines de microns à

_quelques

millimètres Les atomes sont donc

_{répartis spatialement}

selon une distribution

statistique

dont la

_largeur

est

_typiquement

_{la taille du nuage}

_atomique.

En

_plus

de l’incertitude

_purement

_quantique

sur la

_position

exacte de l’atome existe donc une incertitude

statistique

sur sa

_position

_moyenne et la

_description

de l’atome

doit,

dans le cas

général, prendre

en

_compte

ces deux incertitudes. Ce

_type

de situation est très courant en

mécanique quantique

et nécessite le recours au formalisme de

_{l’opérateur}

densité.

I.1.1

_{L’opérateur}

densité

I.1.1.1 Généralités

On considère

_souvent,

dans les cours de

physique quantique, qu’un

système

donné

est caractérisé _par un vecteur d’un _espace de

_{Hilbert, appelé}

vecteur d’état et

décrivant l’ensemble des

_propriétés

du

_système.

Dans tous les domaines de la

physique classique,

la connaissance d’une telle fonction d’état suffirait à

_prédire

quantique

au

_contraire,

une mesure est associée à un ensemble de résultats pos-sibles et on

_peut

seulement

calculer,

connaissant le vecteur

_d’état,

la

_probabilité

de trouver chacun de ces

_résultats,

sans

qu’on

_puisse

prévoir lequel

sera

effec-tivement réalisé Il existe donc une incertitude

intrinsèquement quantique

sur les résultats

_pouvant

être obtenus lors d’une mesure des

propriétés

d’un

système.

En

_réalité,

dans la

_plupart

des situations

_physiques,

il n’est même _pas possi-ble de décrire le

_système

_par un vecteur d’état

_unique.

L’état du

_système

n’est connu _que

partiellement

et il est seulement

possible

de

prédire qu’à

un instant

donné,

il se trouve dans un certain état

>

i

|~

avec une certaine

probabilité

_pi. A l’incertitude essentiellement

_quantique

liée au _processus de mesure et

_qui

existe même

_lorsque

l’état du

_système

est

_{parfaitement déterminé,}

vient alors

_s’ajouter

une incertitude de nature

_statistique

liée à l’indétermination sur l’état exact du

sytème.

On montre alors

_qu’on

ne doit

plus

décrire celui-ci _par un vecteur d’état mais _par un

opérateur

densité défini _{par :}

Cet

opérateur

a de nombreuses

propriétés

_que nous ne détaillerons _{pas ici.} Précisons seulement _que, sur une base orthonormée

donnée {|~

j

>},

il est décrit _par une ma-trice dont les éléments

_diagonaux,

ou

populations,

sont les

_{probabilités}

de

trou-ver le

système

dans les états

|~

j

>,

et les éléments

_{non-diagonaux}

ou cohérences caractérisent les corrélations entre les différents états

_|~

_j

_>.

La

_description

_par

_{l’opérateur}

densité est la

_plus

_{générale puisqu’elle englobe}

celle _par un vecteur d’état. En

_effet,

dans le cas

particulier

où le

système

est dans un état

|03A6>

parfaitement

déterminé

l’opérateur

densité se réduit à :

et on montre facilement _que les

_{prédictions physiques}

obtenues

_à-partir

du vecteur

|03A6>

ou de

_{l’opérateur}

_p sont

_identiques.

_{L’opérateur}

densité est donc la

_description

la

_plus

_générale

_possible

_pour un

_système

_quantique

_puisqu’il

_permet

tout aussi bien de décrire un cas _pur, dans

lequel

le

système

est caractérisé _par un vecteur

d’état

_{unique, qu’un mélange statistique}

d’états

_{qui représente}

la situation la

plus générale.

I.1.1.2

_Opérateur

densité en

_{représentation position}

et

_impulsion

Nous voulons à

_{présent appliquer}

le formalisme de

_{l’opérateur}

densité à la

de-scription

des

_degrés

de liberté externes d’un

_atome,

c’est-à-dire la

_position

et