La mathématique des drapeaux
Van Geet Patricia
Congrès SBPMef
Mardi 25 Août 2015
Introduction
Lors d’un concours radiophonique, la question suivante a été posée : Tous les drapeaux européens sont-ils
rectangles ?
Réponse donnée : oui
Réponse attendue : non, deux drapeaux sont carrés, celui de la Suisse et celui du Vatican.
Réponse du mathématicien oui, car un carré est un rectangle !
Introduction
Lors d’un concours radiophonique, la question suivante a été posée : Tous les drapeaux européens sont-ils
rectangles ?
Réponse donnée : oui
Réponse attendue : non, deux drapeaux sont carrés, celui de la Suisse et celui du Vatican.
Réponse du mathématicien oui, car un carré est un rectangle !
Introduction
Lors d’un concours radiophonique, la question suivante a été posée : Tous les drapeaux européens sont-ils
rectangles ?
Réponse donnée : oui
Réponse attendue : non, deux drapeaux sont carrés, celui de la Suisse et celui du Vatican.
Réponse du mathématicien oui, car un carré est un rectangle !
Introduction
Lors d’un concours radiophonique, la question suivante a été posée : Tous les drapeaux européens sont-ils
rectangles ?
Réponse donnée : oui
Réponse attendue : non, deux drapeaux sont carrés, celui de la Suisse et celui du Vatican.
Réponse du mathématicien : oui, car un carré est un rectangle !
Contexte
Lors d’une surveillance, un seul livre se trouve sur mon bureau : le dictionnaire . . .
L’heure d’activités mathématiques en 1C . . .
Le thème du Congrès : les mathématiques européennes . . . Le projet était né !
Contexte
Lors d’une surveillance, un seul livre se trouve sur mon bureau : le dictionnaire . . .
L’heure d’activités mathématiques en 1C . . .
Le thème du Congrès : les mathématiques européennes . . . Le projet était né !
Contexte
Lors d’une surveillance, un seul livre se trouve sur mon bureau : le dictionnaire . . .
L’heure d’activités mathématiques en 1C . . .
Le thème du Congrès : les mathématiques européennes . . . Le projet était né !
Contexte
Lors d’une surveillance, un seul livre se trouve sur mon bureau : le dictionnaire . . .
L’heure d’activités mathématiques en 1C . . .
Le thème du Congrès : les mathématiques européennes . . . Le projet était né !
Drapeaux à lignes
Consigne donnée aux élèves :
« Dessine le drapeau d’un de ces pays : Espagne, Lettonie, Estonie, Lituanie ». (Drapeaux à lignes horizontales) Les élèves ont accès à Internet.
Drapeaux à lignes
Les élèves ont été attentifs aux dessins et aux couleurs . . . Aucun d’entre eux ne s’est arrêté à l’information de type
« 3:5 », c’est-à-dire le rapport entre le guidantsoit la largeur du drapeau et lebattant soit la longueur du drapeau.
Drapeaux à lignes
Nouvelle consigne :
Dessine le drapeau de l’Espagne, la Lettonie, l’Estonie ou la Lituanie (sans les armoiries)
le plus grand possible, sur une feuille A4 (21 cm/29 cm) en respectant les rapports de chaque drapeau
Drapeaux à lignes :Espagne
En 1981, le drapeau espagnol reprend son ancien dessin, di- visé en trois bandes horizon- tales rouge, jaune, rouge. La bande jaune, aussi haute que les deux rouges réunies, porte les armoiries d’Espagne du côté du hissant.
Drapeaux à lignes : Espagne
CADRE (2:3)
Proposition des élèves :
l =20 cm et L=30 cm OU l =18 cm et L =27 cm
☞Et entre les deux ?
l =19 cm et L=19+9,5=28,5 cm
☞Et si l =19,5 cm ? L=19,5+9,75=29,25 cm
Dimensions gardées : l =19 cm et L=28,5 cm
Drapeaux à lignes : Espagne
TRACÉS INTÉRIEURS
Comment placer 1/2 entre 1/4 et 1/4 ? Solutions proposées :
par pliage
par division de 19 cm par 4 soit 4,75 cm
en dessinant les bandes extérieures de 1/4 soit 4,75 cm
☞Comment mesurer 4,75 cm ?
☞Constructions successives de deux médiatrices
Drapeaux à lignes :Lettonie
La couleur rouge du drapeau de la Lettonie est d’un ton sombre particulier, qui est connu sous le nom de « rouge letton » dans le monde en- tier. Les couleurs du drapeau sont disposées dans les pro- portions suivantes :2:1:2 (les bandes rouges supérieures et inférieures sont toujours deux fois plus larges que la bande blanche du milieu), et la
corrélation entre la largeur et la longueur du drapeau est de 1:2.
Drapeaux à lignes : Lettonie
CADRE (1:2)
Proposition des élèves : l =14,5 cm et L=29 cm TRACÉS INTÉRIEURS
Comprendre que 2:1:2 signifie respectivement 2/5, 1/5 et 2/5 de la largeur.
Il reste à partager 14,5 cm en 5 parts égales. . .
☞Diviser un segment par Thalès
Drapeaux à lignes : Estonie
Le drapeau national de l’Es- tonie est composé de trois bandes horizontales égales : de haut en bas, bleu, noir et blanc. La taille normale du drapeau est de 105×165 cm.
Quel est le rapport l/L ?
Drapeaux à lignes : Estonie
CADRE
Besoin de passer par la proportionnalité
l 105 7 21 ?
L 165 11 33 29
La longueur de 33 cm n’est pas acceptable. La recherche de K, coefficient de proportionnalité, permet de trouver la largeur correspondant à une longueur de 29 cm, soit 18,4545. . . Les mesures gardées sont : l =18,5 cm et L=29 cm
Drapeaux à lignes : Estonie
TRACÉS INTÉRIEURS : Trisection d’une diagonale (1)
☞Pour partager un segment de 18,5 cm en 3 parts égales, commençons par partager la diagonale d’un rectangle en 3 parts égales. |BN| vaut la moitié de |ND| donc le tiers de |BD|.
b bb
b b b
A B
C D
M
N
// //
Drapeaux à lignes : Estonie
☞Reste à adapter cette technique au côté de 18,5 cm. . .
A B
D C
E A B
D C
E
G H
F F
I
Trisection d’un segment
Trisection d’un segment (2)
//
bb
A B
Trisection d’un segment
//
bb
A B
Db // C
//
//
// // //
Trisection d’un segment
//
bb
A B
Db C Db
Eb
//
//
//
// // //
Trisection d’un segment
//
bb
A B
Db C
Eb
b O
//
//
//
// // //
Trisection d’un segment
//
bb
A B
Db C
E
b b O
//
//
//
// // //
Dans cette figure se trouvent deux triangles semblables OCA et OEB ainsi qu’une configuration de Thalès. On peut déduire que OBOA = OCOE = ACBE = 12
Trisection d’un segment
Trisection d’un segment (3)
Le centre de gravité d’un triangle (médianes) partage chaque médiane en deux segments de rapport 12
Trace un segment [AB], segment que l’on va trisecter.
Place un pointO n’appartenant pas à [AB].
ConstruisC, image de Apar la symétrie de centre O. ConstruisD, image de C par la symétrie de centre B. Trace le triangleACD.
[AB] est la médiane relative au segment [CD].
Trace [OD], médiane relative au segment [AC].L’intersection de ces médianes est le centre de gravité du triangleACD.
bb
B A
Trisection d’un segment
bb
bO
B A
b M
b b
C
D BM = 1
Si les drapeaux n’ont pas tous le même rapport l/L, comment font-ils alors pour obtenir ceci . . . ?
Rapports rencontrés 1:1 1:2 2:3 3:5
7:11 8:11 28:37 5:8 11:18 13:15 (Belgique)
Soit 1 0,5 0,666 0,6 0,6363 0,7272 0,7567 0,625 0,6111 0,8666
Drapeau du Salvador 189:335 ! (0,51642. . .)
Le Secrétariat Général du Conseil de l’Union Européenne m’informe que les drapeaux extérieurs au Juptis Lipsus (siège principal du Conseil de l’UE et du Secrétariat général du Conseil, rue de la Loi, 175) mesurent tous 3 m/5 m, tandis que les drapeaux au Lex (bâtiment abritant le service de traduction du Secrétariat général du Conseil, rue de la loi 145) mesurent 2 m/3 m). Le drapeau suisse fait exception. . .Néanmoins, lorsqu’il est aligné avec d’autres drapeaux, sa superficie ne peut jamais dépasser celle des autres drapeaux.
Un fameux « problème » de non-proportionnalité !
Drapeaux à croix
Dans un deuxième temps, j’invite les élèves à dessiner un drapeau comportant une croix, à partir de documents que je leur fournis.
Drapeaux à croix : Danemark
Ayant la mesure du cadre, un seul calcul est suffisant pour
Drapeaux à croix : Norvège
Le drapeau de la Norvège est rouge, avec une croix bleue bordée de blanc s’étendant jus- qu’aux limites du drapeau. Le centre de la croix est décalé vers la hampe du drapeau, de telle sorte que la branche flottante de la croix soit plus longue que les trois autres. Cette particularité est destinée à corriger l’effet d’optique qui aurait fait paraître plus courte la branche de la croix la plus agitée par le vent.
Proportion 8:11
Les proportions des éléments figurant sur le drapeau sont : En largeur et de gauche à droite, de 6−1−2−1−12 En hauteur et de haut en bas, de 6−1−2−1−6
Drapeaux à croix : Suède
Les dimensions et la position de la croix sont données par la loi suédoise. La barre verticale doit être placée entre les 5/16eet les 7/16e de la largeur du drapeau, tandis que la barre horizontale doit être placée entre les 4/10e et les 6/10ede la hauteur du drapeau.
Proportion 5:8
Drapeaux à croix : Finlande
Drapeaux à croix : Suisse
La forme du drapeau suisse, habituellement car- rée, n’est pas prescrite par la loi mais fait partie de la tradition. Par contre, sa couleur est défi- nie précisément depuis le 1ejanvier 2007 : rouge Pantone 485, soit 100% de magenta et 100%
de jaune.
Les dimensions de la croix sont également définies : un décret datant de 1889 stipule que les bras de la croix doivent être d’égale longueur et un sixième plus longs que larges.
« Le modèle contenu dans l’annexe à la présente loi est déterminant pour la forme, la couleur et les proportions ».
https ://www.ige.ch/fileadmin/user_upload/Juristische_Infos/f/j10805.pdf
Drapeaux à croix : Suisse
Le rapport entre la longueur « du bras horizontal de la croix » et la largeur du drapeau est de 5:8, ce qui correspond
approximativement aux proportions du rectangle d’or. Le drapeau comporte 4 axes de symétrie.
Drapeaux à croix : Suisse
Drapeaux à croix : La Grèce
Observe. . .puis dessine. . .
Proportion 2:3
Drapeaux à 5 croix : Géorgie
Ce drapeau comporte cinq croix : une croix de Saint Georges et quatre croix dites « croix de la Grappe » ou croix de la Sainte Chrétienne de Géorgie (symbole de l’Église orthodoxe de Géorgie).
Programme de construction
Trace un rectangle de 16 cm sur 24 cm
Construis une croix de 4 cm de large, partageant le rectangle en quatre petits rectangles égaux
Drapeaux à 5 croix : Géorgie
Dans chaque petit rectangle
Construis, en son centre, un carré de 4 cm de côté, dont les côtés sont parallèles à ceux du rectangle
Note A,B,C et D les sommets du plus petit carré sur pointe comportant ce carré
À partir du sommet A, trace deux arcs de cercle à l’intérieur du carré, le premier de rayon√
13 cm et le second de√5 cm. Fais de même à partir des sommets B, C et D.
Efface les deux carrés
Drapeaux à 5 croix : Géorgie
A
D B
Drapeau Royaume Uni : superposition de trois croix
Le drapeau du Royaume Uni combine la croix de saint Georges du drapeau anglais et la croix de saint André du drapeau écossais. Après l’Union de 1801, ce drapeau fut augmenté de la croix de saint Patrick pour représenter l’Irlande.
Drapeau Royaume Uni : superposition de trois croix
Proportion 1:2
Dimensions conseillées : 12 cm/24 cm
☞Quelle fraction représente la mesure 6 par rapport à la largeur du drapeau ?
☞Quelle fraction représente la mesure 10 par rapport à la largeur du drapeau ?
Utilise ces fractions pour dessiner la croix de saint Georges et la croix de saint André.
Pour partager la croix de saint André en six fines bandes obliques de même largeur, utilise le théorême de Thalès.
Drapeaux à blason : Le Portugal
Rapport 2:3
Drapeaux à blason : Le Portugal
Drapeau à blason : Croatie
Drapeau à blason : Croatie
Commencer par dessiner le blason.
Prends ta feuille A4 dans le sens « paysage »
Trace un rectangle ABCD de 5,5 cm sur 3,6 cm, sachant que |AB|= 5,5 cm et |BC|= 3,6 cm. Le point A est placé dans le coin supérieur gauche et les autres points notés dans le sens horloger ; place-le au centre de ta feuille Place le point O à même distance des points C et D, et à 3,3 cm de la droite AB, à l’intérieur du rectangle ABCD Trace un arc de cercle de centre O, reliant les points C et D ; cet arc se construit en dehors du rectangle ABCD Construis la droite perpendiculaire à CD passant par O.
Elle coupe l’arc de cercle au point P.
Partage le côté AB en 5 parts égales et note les points respectivement E, F, G et H
Partage le côté BC en 3 parts égales et note les points I
Drapeaux à blason : Croatie
À partir des points E, F, G et H , trace les droites parallèles à AD
À partir des points I et J, trace les droites parallèles à AB À partir du point P, trace six segments de 8,4 cm, le premier passant par A, le deuxième par E, le troisième par F, le quatrième par G, le cinquième par U et le sixième par B. Note les extrémités de ces segments
respectivement A’, E’, F’, G’, H’ et B’.
Trace deux arcs de cercle de 1 cm, l’un de centre A’ et l’autre de centre E’ : note S le point d’intersection le plus éloigné du rectangle ABCD, S. Trace [A’S] et [E’S]
Trace deux arcs de cercle de 1 cm, l’un de centre E’ et l’autre de centre F’ : note T le point d’intersection le plus éloigné du rectangle ABCD, T. Trace [E’T] et [F’T]
Drapeaux à blason : Croatie
Fais de même entre les paires de points F’et G’, G’ et H’, H’ et B’
Trace un arc de cercle de centre P, reliant les points A à B Prolonge [AB] de 12 cm de chaque côté et note X et Y les extrémités de ce nouveau segment
Trace les parallèles à [XY], distantes de 4,9 cm ; le blason est centré dans le drapeau
Construis le drapeau comportant ce blason sachant qu’il est constitué de trois bandes horizontales d’égale distance et que son rapport l/L est 1:2
Drapeau « soleil » : République de Macédoine
Rapport 1:2
Drapeau à une étoile : la Turquie
Ce drapeau est consisté d’une lune décroissante et d’une étoile à cinq branches, les deux de couleur blanche, sur un fond rouge.
Drapeau à une étoile : la Turquie
Le calcul des mesures s’effectue par groupe, en fonction des dimensions choisies pour le drapeau.
Drapeaux à triangle : la Tchèquie
Dessiner l’intérieur du drapeau en utilisant uniquement le compas et la règle non graduée.
Drapeaux non-européens
Un seul drapeau a, pour proportion, le nombre d’Or . . .
Le drapeau du Togo (proportion 1:1,618)
Drapeaux non-européens
Drapeau comportant trois losanges, en forme de V
Saint-Vincent-et-les-Grenadines (Etat des petites Antilles, dans les Caraïbes)
Drapeaux non-européens
Drapeau en éventail, non symétrique
Drapeau des Seychelles
Drapeaux non-européens
Comparaison des angles
//
//
Drapeaux non-européens
Le seul drapeau national non-rectangulaire, qui est plus haut que large.
Drapeau du Népal
Mon drapeau
Merci pour votre écoute et votre participation !
Et un remerciement particulier à Cédric de Fougerolle,
Bibliographie
https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau _ de _ l’estonie http ://svowebmaster.free.fr/drapeaux _ Espagne.htm www.bibliomonde.com/donnee/lettonie-drapeau-442.htm https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau _ de _ la _ lituanie https ://fr.wikipedia.org/wiki/Croix_ scandinave
http ://svowebmaster.free.fr/drapeaux_ suede.htm http ://svowebmaster.free.fr/drapeaux_ danemark.htm https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_ Finlande http ://tavmjong.free.fr/INKSCAPE/MANUAL/html_
fr/AShortExample.html
Bibliographie
https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_ Norvege
http ://www.vtg.admin.ch/internet/vtg/fr/home/themen/internationale_
kooperation/MP/organisation_
von_besuchen.parsysrelated1.7593.downloadList.80882.DownloadFile.tmp/51340f.p (annexe page 49)
https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_ Grece https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_ Georgie https ://fr.wikipedia.org/wiki/Croix_ de_ la_Grappe https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ du_ Royaume-Uni http ://www.jdawiseman.com/papers/union-jack/union- jack.html
http ://www.collegeleseyquems.fr/IMG/jpg/consignes_
drapeau.jpg (à modifier, mais une bonne base pour démarrer) https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_ Macedonie
Bibliographie
https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_ Turquie https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_
Republique_ Tcheque
https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ du_ Togo https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_
Saint-Vincent-et-les-Grenadines
https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ des_ Seychelles
http ://statistique.blogs.sciencesetavenir.fr/archive/2015/05/06/le- drapeau-du-nepal-23256.html (version officielle :
http ://www.servat.unibe.ch/icl/np01000_.html)
https ://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b8/Flag_of_P http ://www.portugalmania.com/savoir/drapeau.htm
Le Secrétariat Général du Conseil de l’Union Européenne
