L’INSTITUTFOURIER DE ANNALES

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E D L ’IN IT ST T U

F O U R

ANNALES

DE

L’INSTITUT FOURIER

Laurent LAFFORGUE

Construire un noyau de la fonctorialité ? Le cas de l’induction automorphe sans ramification de GL1à GL2

Tome 60, n^o1 (2010), p. 87-147.

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Article mis en ligne dans le cadre du

CONSTRUIRE UN NOYAU DE LA FONCTORIALITÉ ?

LE CAS DE L’INDUCTION AUTOMORPHE SANS RAMIFICATION DE GL

À GL

par Laurent LAFFORGUE

Introduction

Le but de cet article est de présenter une nouvelle méthode purement adélique pour réaliser le principe de fonctorialité de Langlands, dans le cas de l’induction automorphe non ramifiée deGL1à GL2. On se cantonne ici au cas des corps de fonctions ; le cas des corps de nombres demanderait une vérification de plus aux places infinies.

On construit un noyau de la fonctorialité sur le produit des groupes adé- liquesGL1et GL2. C’est une version “en famille” et locale de la construc- tion par les modèles de Whittaker globaux, utilisée classiquement dans les

“théorèmes réciproques” de Weil et Piatetski-Shapiro.

La plus grande partie de la construction et des vérifications nécessaires est locale, c’est-à-dire se fait place par place. Il s’agit de prouver que deux fonctions, dont chacune est définie localement, deviennent égales après som- mation sur les éléments rationnels de certains groupes. Cela résulte de la formule de Poisson, sur le modèle de la thèse de Tate, dès lors que l’on comprend comment nos deux fonctions se déduisent localement l’une de l’autre par une certaine transformation de Fourier.

Mots-clés :fonctions modulaires et automorphes, principe de fonctorialité de Langlands, induction automorphe, corps de fonctions, anneaux des adèles, transformation de Fou- rier, formule de Poisson, fonctions de Whittaker.

Classification math. :11F03, 11R11, 11R39, 11R56, 11R58.

La construction des deux fonctions se généralise dans le cadre de l’induc- tion automorphe deGL1 àGLrou même du transfert automorphe général entre groupes linéaires. Mais on ne connaît pas à ce jour de transformation de Fourier qui permette de passer localement de l’une à l’autre.

Voici le contenu des différents chapitres :

Le chapitre 1 rappelle d’abord en détail la formulation du principe de fonctorialité dans le cas de l’induction automorphe sans ramification deGL1

àGL₂. Puis il introduit en chaque place des “noyaux locaux” de la foncto- rialité ; leur définition est dictée par la règle de transfert de Langlands. Ces noyaux sont construits à partir des fonctions de Whittaker si bien qu’il y en a deux familles, l’une relative au sous-groupe des matrices triangulaires supérieures et l’autre relative au sous-groupe des matrices triangulaires in- férieures. Le chapitre 1 s’achève par l’énoncé du théorème général d’échange de ces deux familles de noyaux par une certaine transformation de Fourier.

Le chapitre 2 donne la démonstration de ce théorème par des calculs explicites, en examinant tous les cas de figures : places scindées ou places inertes, intégration contre un caractère multiplicatif non ramifié ou ra- mifié, absence ou présence d’une composante unipotente dans la matrice carrée de rang 2 en laquelle on évalue les fonctions. On pourrait donner une démonstration plus uniforme en utilisant un outil puissant – l’équation fonctionnelle locale des fonctions de Whittaker – mais nous avons préféré présenter des calculs complètement explicites et élémentaires.

Enfin, le chapitre 3 construit des noyaux globaux de la fonctorialité. Leurs propriétés d’invariance par des sous-groupes discrets assez grands résultent de la formule de Poisson, une fois connue la propriété d’échange par les transformations de Fourier locales dont la démonstration a occupé le cha- pitre précédent. Il faut noter en particulier que l’utilisation de la formule de Poisson fait apparaître des termes complémentaires qui sont les valeurs au point0des fonctions considérées. Ces termes complémentaires fournissent la partie des formes automorphes surGL2constitutives de nos noyaux glo- baux de la fonctorialité qui ne provient pas des fonctions de Whittaker.

Leur présence est nécessaire puisque notre construction ne distingue pas entre les caractères deGL1 sur l’extension quadratique de départ dont le transfert dansGL₂est une représentation cuspidale, et ceux – se factorisant par la norme – dont le transfert est une série d’Eisenstein.

Sommaire

Chapitre I : Définition locale du transfert et construction de ses noyaux locaux 1. Anneaux et groupes adéliques

2. Algèbres de Hecke sphériques et formes automorphes non ramifiées 3. Définition locale du transfert de Langlands

4. Fonctions sphériques et fonctions de Whittaker 5. Noyaux locaux de la fonctorialité

6. Échange par transformation de Fourier Chapitre II : Vérifications locales

1. Réduction au cas d’un caractère additif régulier 2. Calculs sur les noyaux en une place scindée

3. Transformation de Fourier des noyaux en une place scindée 4. Calculs sur les noyaux en une place inerte

5. Transformation de Fourier des noyaux en une place inerte 6. Les valeurs au point0

Chapitre III : Construction des noyaux globaux par la formule de Poisson 1. Caractère additif et mesure auto-duale globaux

2. Construction locale et identification des termes complémentaires 3. Construction de noyaux globaux de la fonctorialité

Bibliographie

1. Définition locale du transfert et construction de ses noyaux locaux

1.1. Anneaux et groupes adéliques

On se placera toujours sur le corps des fonctions F d’une courbe X projective, lisse et géométriquement connexe sur un corps finiFq.

On note |X| l’ensemble des places deF identifiées aux points fermés de X, c’est-à-dire aux points de la courbe X à valeurs dans les extensions finies du corps de baseFq.

Pour toute placex∈ |X|, on note :

• deg(x) la dimension surFq du corps de définition κ(x) de x, avec donc|κ(x)|=q^deg(x)=q_x,

• x: F^× →Z la valuation définie comme l’ordre d’annulation en le pointxdeX des fonctions rationnelles non nulles, et| • |x=q^−x(•)x

la norme ultra-métrique associée,

• F_x le complété deF pour la norme| • |_x,

• O_x ={a_x ∈ F_x | x(a_x) >0} l’anneau des entiers de F_x, et m_x = {ax∈Fx|x(ax)>1}son idéal maximal, avec doncOx/mx=κ(x).

On rappelle que l’expression “pour presque toute placex” signifie “pour toutes les placesx∈ |X|sauf un nombre fini d’entre elles”.

On dispose de l’anneau topologique des adèles de F A=AF =n

(ax)_x∈|X|∈ Y

x∈|X|

Fx

ax∈Oxpour presque toute placexo , et de son sous-anneau ouvert compact des entiers adéliques

O_A=O_AF = Y

x∈|X|

Ox.

On connaît le résultat suivant qui est à la base de toute la théorie auto- morphe :

Proposition 1.1.

(i) Le groupe additif F est un sous-groupe discret de A. De plus, le quotientF\Aest compact.

(ii) Le groupe multiplicatifF^× est un sous-groupe discret deA^×. (iii) Le groupe matricielGL2(F)est un sous-groupe discret deGL2(A).

Dans cet énoncé, A^× =n

(ax)∈ Y

x∈|X|

F_x^×

ax∈O^×_x pour presque toute placexo est le groupe topologique des éléments inversibles deA. Il contient comme sous-groupe ouvert compact maximal le groupe des adèles entiers inver- sibles

O^×_A = Y

x∈|X|

O_x^×.

En toute placex, la valuation définit un isomorphisme x(•) =F_x^×/O^×_x →Z.

La définition deA^×autorise à combiner toutes les valuations pour définir un homomorphisme de degré

deg : A^× → Z

(a_x)_x∈|X| 7→ −P

xdeg(x)·x(a_x).

On connaît encore la “formule du produit” :

Proposition 1.2. — Le sous-groupe discretF^×deA^×est contenu dans le noyauA^×0 de l’homomorphisme de degré

deg :A^×→Z. De plus, le quotientF^×\A^×0 est compact.

Dans toute la suite, on notera H = GL2 considéré comme un groupe algébrique.

Ainsi,

H(A) = GL₂(A) =n

(g_x)_x∈|X|∈ Y

x∈|X|

GL₂(F_x)

g_x∈GL₂(O_x) pour presque toute placexo est le groupe topologique des matrices carrées inversibles de rang2 à coef- ficients dansA. Il contient comme sous-groupe ouvert compact maximal le groupe des matrices à coefficients entiers adéliques inversibles

K₀^H = Y

x∈|X|

GL2(Ox).

En toute place x, GL₂(O_x) = K_0,x^H est un sous-groupe ouvert compact maximal deGL2(Fx) =H(Fx).

D’après la proposition 1.2, le sous-groupe discret H(F) = GL₂(F) de H(A) = GL2(A)est contenu dans le noyauGL2(A)⁰ de l’homomorphisme composé

GL2(A)−→^det A^×−→^deg Z.

Le quotientGL2(F)\GL2(A)⁰n’est pas compact mais il est de volume fini pour les mesures de Haar deGL2(A).

Considérons enfin une extension E de F de degré 2, que l’on suppose partout non ramifiée. Autrement dit,Eest le corps des fonctions rationnel- les sur un revêtementX⁰ fini étale de degré 2de la courbeX.

Pour toute placex∈ |X|, considérons l’algèbreE_x=E⊗FF_x. Deux cas sont possibles :

• Premier cas :L’algèbre E_xest le produit de deux corps isomorphes à Fx. Cela signifie qu’il existe dans le revêtementX⁰ deux points fermésx1

etx₂ au-dessus du pointxde X. Leurs corps de définitionκ(x₁)etκ(x₂) s’identifient àκ(x) et les complétions associées Ex₁ et Ex₂ s’identifient à Fx, avecEx=Ex₁×Ex₂. On dit alors que la placexest scindée dans E.

On noteO_Ex=O_Ex

1 ×O_Ex

2 =O_x×O_x.

• Second cas : L’algèbre Ex est un corps, extension de degré 2 de Fx. Cela signifie qu’il existe dans le revêtementX⁰ un unique point fermé x⁰ au-dessus du point fermé x de X. Son corps de définition κ(x⁰) est une extension de degré2 deκ(x)et la complétion associéeE_x⁰ s’identifie àE_x. On dit alors que la placexest inerte dansE. On noteOE_x=OE_x0.

On remarque que le produit tensoriel E⊗FAF s’identifie à l’anneau des adèlesAE du corps de fonctions E.

Dans toute la suite, on notera

G= ResE/F GL1

le groupe algébrique surF qui se déduit deGL1par restriction des scalaires à la Weil deEà F. Cela signifie que pour touteF-algèbreA, on a

G(A) = GL₁(E⊗_FA).

En particulier, on a en toute placex G(Fx) = E_x^×

=









 E_x^×

1×E^×_x

2 =F_x^××F_x^×

sixse scinde dans E en deux placesx1 etx2, E_x^×0 si xest inerte dansE

et quex⁰ est l’unique place qui la relève.

De plus,E_x^× possède un sous-groupe ouvert compact maximal qui est K_0,x^G = O_E^×

x

= (O_E^×

x1 ×O_E^×

x2 =O_x^××O^×_x sixest scindée, O_E^×

x0 sixest inerte.

On dispose aussi du groupe topologique adélique G(A) =A^×E

=n

(tx)_x∈|X|∈ Y

x∈|X|

E_x^×

tx∈O_E^×

x pour presque toute placexo et de son sous-groupe ouvert compact maximal

K₀^G= Y

x∈|X|

K_0,x^G = Y

x∈|X|

O^×_E

x.

En toute placex∈ |X|, on dispose de l’homomorphisme de norme local Nm : E_x^× → F_x^×

tx 7→ Nm(tx) =déterminant de l’endomorphisme de multiplication par t_xdansE_x vu comme espace vectoriel de dimension2 surFx. Il envoieO^×_E

x dansO_x^×.

Le produit des homomorphismes de norme locaux en toutes les places x∈ |X|définit un homomorphisme de norme global

Nm :G(A) =A^×E→A^×F.

Il envoie le sous-groupe ouvert compact maximalK₀^G dansO^×

A et le sous- groupe discretE^× dansF^×.

1.2. Algèbres de Hecke sphériques et formes automorphes non ramifiées

En toute place x, on note d^×tx la mesure de Haar sur E_x^× qui attribue le volume 1 au sous-groupe ouvert compact maximalO^×_E

x. On note H^G_x,∅

l’algèbre de convolution des fonctions à support compact surE_x^×=G(F_x) qui sont invariantes parK_0,x^G =O_E^×

x. Cette algèbre a un élément unité qui est la fonction caractéristique1I^G_x,∅ deK_0,x^G .

Quand la place xde F se scinde dansE en deux places x₁ et x₂, on a un isomorphisme

E_x^×/O^×_E

x=E_x^×₁/O_E^×

x1 ×E_x^×₂/O^×_E

x2 =F_x^×/O_x^××F_x^×/O^×_x

x(•)×x(•)

−−−−−−→∼ Z×Z si bien queH^G_x,∅s’identifie à l’algèbre de groupe deZ×Z. La mesured^×tx

est le produit des mesures de Haard^×t1etd^×t2surE_x^×₁ =F_x^×etE_x^×₂ =F_x^× qui attribuent le volume 1 àO_E^×

x1 =O^×_x et O_E^×

x2 =O_x^×.

Quand la placexdeF est inerte dansE, on a un isomorphisme E_x^×/O_E^×

x =E_x^×0/O^×_E

x0

x(•)◦Nm

−−−−−→∼ 2Z si bien queH_x,∅^G s’identifie à l’algèbre de groupe de2Z.

On déduit de ces considérations : Lemme 1.3.

(i) Quand la placexde F se scinde dans E en deux places x₁ et x₂, l’application

ϕ_x7→

Z

t=(t1,t2 )

∈E× x=F×

x×F× x

d^×t₁·d^×t₂·ϕ_x(t₁, t₂)·X₁^−x(t1)·X₂^−x(t2) définit un isomorphisme

S_x^G:H^G_x,∅−→^∼ C[X₁^±1]⊗C[X₂^±1] =C[X₁^±1, X₂^±1].

(ii) Quand la placexdeF reste inerte dans E, l’application ϕx7→

Z

t∈E^×_x

d^×t·ϕx(t)·X^−x(Nm(t)) définit un isomorphisme

S_x^G:H^G_x,∅ −→^∼ C[X^±2] =C[X^±1,−X^±1]^S2,

où le groupe symétrique S₂ agit sur l’algèbre C[X^±1,−X^±1] en permutant les variablesX et −X.

Le groupe topologique localement compact G(A) =A^×E peut être muni de la mesure de Haard^×tqui est le produit sur toutes les placesx∈ |X|des mesuresd^×txsur lesG(Fx) =E_x^×. Elle attribue le volume 1 au sous-groupe ouvert compact maximalK₀^G= Q

x∈|X|

K_0,x^G .

On note H^G_∅ l’algèbre de convolution des fonctions à support compact sur G(A) = A^×E qui sont invariantes par K₀^G = O^×

AE. Cette algèbre a un élément unité qui est la fonction caractéristique1I^G_∅ deK₀^G.

On a une décomposition naturelle H_∅^G= O

x∈|X|

H^G_x,∅

avec

1I^G_∅ = O

x∈|X|

1I^G_x,∅. Tout caractère χ

A^×E/O^×_A

E→C^×

peut aussi bien être vu comme une représentation irréductible, de dimension 1, de l’algèbreH^G_∅. Il se décompose canoniquement en un produit

χ= O

x∈|X|

χx

où chaqueχx est un caractère E_x^×/O^×_E

x→C^×

ou, ce qui revient au même, une représentation irréductible, de dimension 1, de l’algèbreH^G_x,∅.

Quand la placexest scindée dansE en deux placesx1et x2, se donner une telle représentation irréductibleχx de l’algèbreH^G_x,∅−→^∼ C[X₁^±1, X₂^±1] équivaut à se donner les imagesz_x1(χ_x), z_x2(χ_x)∈C^× des deux variables X1, X2.

Quand au contraire la placexest inerte dansE, se donner une représen- tation irréductibleχx de l’algèbre H^G_x,∅ −→^∼ C[X^±1,−X^±1]^S2 revient à se donner au signe près l’image±z_x(χ_x)de la variableX.

Un caractère global χ : A^×E/O^×_A

E → C^× est unitaire si et seulement si tous ses facteurs locauxχx:E_x^×/O^×_E

x→C^× le sont.

Et un caractère local χ_x:E_x^×/O^×_E

x→C^× est unitaire si et seulement si ses “valeurs propres”zx₁(χx),zx₂(χx)[resp.±zx(χx)] sont de module 1.

On pose la définition suivante :

Définition 1.4. — On appelle représentations automorphes deH^G_∅ ses représentations irréductibles (de dimension1) qui apparaissent dans la dé- composition spectrale de l’espace de Hilbert

L²(G(F)\G(A)/K₀^G) =L²(E^×\A^×E/O_A^×

E) muni de l’action deH^G_∅ par convolution.

Autrement dit, ce sont les caractères unitaires χ:E^×\A^×E/O^×

AE →C^×.

Disons que deux caractères automorphes χ, χ⁰ : E^×\A^×E/O^×

AE → C^× sont dans la même classe si leur quotient χ⁰ ·χ⁻¹ se factorise à travers l’homomorphisme de degré

E^×\A^×E/O^×

AE

−→Nm F^×\A^×F/O^×

AF

−→deg Z.

Il résulte de la proposition 1.2 qu’il n’existe qu’un nombre fini de classes de caractères automorphesE^×\A^×E/O^×_A

E →C^×. Passons maintenant au groupeH.

En toute placex, on notedg_x la mesure de Haar surH(F_x) = GL₂(F_x) qui attribue le volume1 au sous-groupe ouvert compact maximalK_0,x^H = GL2(Ox). On note H^H_x,∅ l’algèbre de convolution des fonctions à support compact surH(F_x)qui sont invariantes à gauche et à droite parK_0,x^H . On l’appelle l’algèbre de Hecke sphérique deH(Fx). Elle admet pour élément unité la fonction caractéristique1I^H_x,∅ deK_0,x^H .

Rappelons la décomposition d’Iwasawa :

Lemme 1.5. — Tout élémentg_xdeH(F_x) = GL₂(F_x)peut s’écrire sous la forme

gx=

µ1 0 0 µ2

· 1 u

0 1

·g_∅ avecµ₁, µ₂∈F_x^×, u∈F_x,g_∅∈GL2(O_x).

De plus, si on note

• d^×µ1 oud^×µ2 la mesure de Haar surF_x^× qui attribue le volume1 àO_x^×,

• dula mesure de Haar additive deFxqui attribue le volume1àOx,

• dg_∅ la restriction dedgx àGL2(Ox),

on dispose de la formule suivante d’intégration des fonctionsh_xlocalement constantes à support compact surH(Fx) = GL2(Fx)

Z

H(Fx)

dgx·hx(gx) = Z

F_x^××F_x^×

d^×µ1·d^×µ2· Z

Fx

du· Z

GL2(Ox)

dg_∅

·hx

µ10 0µ₂

· 1u

0 1

·g_∅

. Rappelons maintenant l’énoncé du théorème de Satake :

Théorème 1.6. — L’application hx7→

Z

F_x^××F_x^×

d^×µ₁·d^×µ₂· Z

Fx

du·hx

µ1 0 0 µ2

· 1 u

0 1

·X₁^0−x(µ1)·X₂^0−x(µ2)·q

x(µ2 )−x(µ1 )

x 2

définit un isomorphisme

S_x^H :H^H_x,∅−→^∼ C[X₁^0±1, X₂^0±1]^S2.

En particulier, l’algèbre de Hecke sphériqueH^H_x,∅ est commutative.

Le groupe topologique localement compact H(A) = GL₂(A) peut être muni de la mesure de Haar dg qui est le produit sur toutes les places x∈ |X|des mesuresdg_x sur lesH(F_x) = GL₂(F_x). Elle attribue le volume 1au sous-groupe ouvert compact maximal

K₀^H= Y

x∈|X|

K_0,x^H = GL₂(O_A).

On noteH^H_∅, et on appelle algèbre de Hecke sphérique globale, l’algèbre de convolution des fonctions à support compact sur H(A) = GL2(A)qui sont invariantes à gauche et à droite parK₀^H = GL2(O_A). Cette algèbre admet pour élément unité la fonction caractéristique1I^H_∅ deK₀^H.

On a une décomposition naturelle H^H_∅ = O

x∈|X|

H^H_x,∅

avec

1I^H_∅ = O

x∈|X|

1I^H_x,∅,

si bien que, comme produit tensoriel d’algèbres commutatives,H^H_∅ est elle- même une algèbre commutative.

Toute représentation irréductible π de cette algèbre commutative H^H_∅ est nécessairement de dimension1. Elle se décompose canoniquement en un produit tensoriel

π= O

x∈|X|

π_x

où chaqueπxest une représentation irréductible (de dimension1) de l’algè- breH^H_x,∅.

Se donner une telle représentation irréductible πx de l’algèbreH^H_x,∅ −→^∼ C[X₁^0±1, X₂^0±1]^S2 équivaut à se donner, à l’ordre près, les images z₁(π_x), z2(πx)∈C^× des deux variablesX₁⁰,X₂⁰.

On pose la définition suivante :

Définition 1.7. — On appelle représentations automorphes deH^H_∅ ses représentations irréductibles (de dimension1) qui apparaissent dans la dé- composition spectrale de l’espace de Hilbert

L²(H(F)\H(A)/K₀^H) =L²(GL2(F)\GL2(A)/GL2(O_A)) muni de l’action deH^H_∅ par convolution à droite.

Considérons une représentation irréductible π = N

x∈|X|

π_x de l’algèbre H^H_∅ . Elle est caractérisée par la donnée, pour toute placex∈ |X|, des deux

“valeurs propres de Hecke”z1(πx),z2(πx)bien définies à l’ordre près.

On appelle “forme automorphe propre” de πtoute fonction h:H(F)\H(A)/K₀^H →C

telle que, pour toute place x ∈ |X| et tout élément hx de l’algèbre de Hecke sphérique localeH^H_x,∅, on ait la formule suivante pour le produit de convolution

h∗h_x=S_x^H(h_x)(z₁(π_x), z₂(π_x))·h.

Citons le “théorème de mutiplicité 1” de Piatetski-Shapiro :

Théorème 1.8. — Pour toute représentation automorphe π de H^H_∅ , l’espace de ses “formes automorphes propres” est de dimension1.

1.3. Définition locale du transfert de Langlands

Rappelons que nous travaillons sur les deux groupes algébriques surF G= ResE/F GL1 et H = GL2.

En toute placex∈ |X|, nous allons définir un homomorphisme d’algèbres commutatives

ρ^∗_x:H^H_x,∅→ H^G_x,∅

qui va constituer la règle locale de Langlands pour le transfert automorphe par induction deGà H.

Posons :

Définition 1.9. — En toute placex∈ |X|, on appelle homomorphisme de transfert par induction deGà H et on note

ρ^∗_x:H^H_x,∅→ H^G_x,∅

l’homomorphisme défini de la manière suivante :

(i) Si la place x se scinde dans E en deux places x1 et x2, avec les isomorphismes

S_x^H :H^H_x,∅−→^∼ C[X₁^0±1, X₂^0±1]^S2, S_x^G:H^G_x,∅−→^∼ C[X₁^±1, X₂^±1],

ρ^∗_x est donné par la substitution des variables (à l’ordre près) X₁⁰ 7→X1,

X₂⁰ 7→X2.

(ii) Si la placexest inerte dansE, avec les isomorphismes S_x^H:H_x,∅^H −→^∼ C[X₁^0±1, X₂^0±1]^S2,

S_x^G:H_x,∅^G −→^∼ C[X^±1,−X^±1]^S2,

ρ^∗_x est donné par la substitution des variables (à l’ordre près) X₁⁰ 7→X,

X₂⁰ 7→ −X.

La composition avecρ^∗_x:H^H_x,∅→ H^G_x,∅permet d’associer à tout caractère χxdeH^G_x,∅ vu comme un homomorphisme d’algèbres

H^G_x,∅→C un caractère deH^H_x,∅ noté(ρx)_∗χx.

Autrement dit, pour tout caractère non ramifié χx:E_x^×/O_E^×

x →C^×,

(ρx)∗χx est l’unique représentation irréductibleπxdeH^H_x,∅ telle que :

• Si la placexse scinde dansEen deux placesx₁ etx₂, on a égalité à l’ordre près des paires de valeurs propres de Hecke

(z1(πx), z2(πx)) = (zx1(χx), zx2(χx)).

• Si au contraire le placexest inerte dans E, on a égalité à l’ordre près des paires

(z1(πx), z2(πx)) = (zx(χx),−zx(χx)).

Le but de cet article est de présenter une nouvelle démonstration pure- ment adélique du théorème suivant :

Théorème 1.10. — Pour tout caractère automorphe non ramifié χ= Y

x∈|X|

χx:E^×\A^×_E/O^×

AE →C^×, il existe une (unique) représentation automorpheπ= N

x∈|X|

πx de l’algèbre de Hecke sphériqueH^H_∅ du groupeH(A) = GL2(A)telle que

∀x∈ |X|, π_x= (ρ_x)∗χ_x.

Remarque 1.11. — Ce théorème implique que, pour tout caractère auto- morpheχ= Q

x∈|X|

χ_xcomme dans l’énoncé, il existe une forme automorphe non nulle (et unique à multiplication près par un scalaire)

h: GL2(F)\GL2(A)/GL2(O_A)→C telle que, en toute placex∈ |X|, on ait

• h∗hx=S_x^H(hx)(zx₁(χx), zx₂(χx))·h , ∀hx∈ H^H_x,∅, sixse scinde dansE en deux placesx1 etx2,

• h∗h_x=S_x^H(h_x)(z_x(χ_x),−zx(χ_x))·h , ∀h_x∈ H^H_x,∅, sixreste inerte dansE.

Mais réciproquement, si on prouve l’existence d’une forme automorphe hvérifiant une telle propriété relativement à un caractère automorpheχde E^×\A^×E/O^×

AE, la représentation irréductibleπdeH^H_∅ engendrée par cette forme h sera nécessairement automorphe, c’est-à-dire apparaîtra dans la décomposition spectrale hilbertienne deL²(H(F)\H(A)/K₀^H). Cela résulte de ce que toutes les valeurs propresz_x1(χ_x), z_x2(χ_x)ouz_x(χ_x)ont1pour module.

1.4. Fonctions sphériques et fonctions de Whittaker En toute place x ∈ |X|, construisons sur G(Fx)/K_0,x^G et H(Fx)/K_0,x^H des formes propres relatives aux caractères unitaires des algèbres de Hecke sphériques localesH^G_x,∅ etH^H_x,∅.

Lemme 1.12.

(i) Si la place x se scinde dans E en deux places x1 et x2, et λ• = (λ1, λ2)est un couple de nombres complexes de module1, la fonc- tion

Φ^G_x,λ• : E_x^×=E_x^×₁×E_x^×₂ =F_x^××F_x^× →C t= (t₁, t₂)7→λ^x(t₁ ¹⁾·λ^x(t₂ ²⁾

est caractérisée par les trois propriétés suivantes :

• elle est invariante parK_0,x^G =O^×_E

x1×O^×_E

x2 =O^×_x ×O_x^×;

• Φ^G_x,λ• ∗ϕ_x=S_x^G(ϕ_x)(λ₁, λ₂)·Φ^G_x,λ•,∀ϕ_x∈ H^G_x,∅;

• Φ^G_x,λ•(1) = 1.

(ii) Si au contraire la placexreste inerte dansE, et queλest un nombre complexe de module1, la fonction

Φ^G_x,λ : E_x^× → C t 7→ λ^x(Nm(t)) est caractérisée par les trois propriétés suivantes :

• elle est invariante parK_0,x^G =O^×_E

x;

• Φ^G_x,λ∗ϕx=S^G_x(ϕx)(λ²)·Φ^G_x,λ,∀ϕx∈ H^G_x,∅;

• Φ^G_x,λ(1) = 1.

Après le groupe multiplicatifG(F_x), passons au groupe matricielH(F_x)

= GL2(Fx).

Nous avons besoin de choisir un caractère additif continu non trivial ψ:F_x→C^×.

On rappelle que le conducteurNψd’un tel caractèreψest l’unique entier tel queψsoit trivial sur le sous-groupe ouvert compact{u∈Fx|x(u)>Nψ} mais non trivial sur{u∈Fx |x(u)>Nψ−1}. Quand le conducteur Nψ

est nul, on dit que le caractèreψest régulier.

Pour n’importe quel élément γ₀∈F_x^× de valuationN_ψ, on peut écrire ψ(u) =ψ0(γ₀⁻¹·u), ∀u∈Fx,

oùψ₀ est un caractère régulier deF_x.

Utilisant la décomposition d’Iwasawa des élémentsg∈H(Fx) = GL2(Fx), g=

µ1 0 0 µ₂

· 1 u

0 1

·g_∅,

telle que rappelée dans le lemme 1.5, on peut énoncer la proposition sui- vante qui explicite et caractérise ce que l’on appelle les fonctions de Whit- taker :

Proposition 1.13. — Soit λ_• = (λ1, λ2) un couple de nombres com- plexes de module1.

Considérons la fonction W_x,λ^H,ψ_• définie par la formule cohérente W_x,λ^H,ψ

•(g) =ψ µ1

µ2

·u −1

·q

x(µ2 )−x(µ1 )

x 2 · X

n1 +n2 =x(µ1µ2 ) x(µ1 )>n1,n2>x(µ2 )

λⁿ₁¹·λⁿ₂²

en tout élémentg=

µ1 0 0 µ2

· 1 u

0 1

·g_∅, dans le cas où le caractèreψ est régulier ; puis, dans le cas d’un caractère non trivial général écrit sous la formeψ(u) =ψ0(γ₀⁻¹·u)avecγ0∈F_x^×, x(γ0) =Nψ etψ0 régulier, par la formule cohérente

W_x,λ^H,ψ

•(g) =W_x,λ^H,ψ0

•

γ⁻¹₀ 0

0 1

·g

=W_x,λ^H,ψ_•⁰

1 0 0 γ0

·g

·(λ1λ2)^−Nψ. Alors cette fonction

W_x,λ^H,ψ

• :H(F_x) = GL₂(F_x)→C,

dite fonction de Whittaker, vérifie les propriétés suivantes, qui la caracté- risent :

• elle est invariante à droite parK_0,x^H = GL2(Ox);

• W_x,λ^H,ψ

•

1 u 0 1

·g

=ψ(u)⁻¹·W_x,λ^H,ψ

•(g), ∀u∈F_x;

• W_x,λ^H,ψ

• ∗h_x=S^H_x(h_x)(λ₁, λ₂)·W_x,λ^H,ψ

•,∀h_x∈ H^H_x,∅;

• on aW_x,λ^H,ψ

•(1) = 1siψest régulier et W_x,λ^H,ψ

•

γ₀ 0 0 1

= 1 dans le cas d’un caractère non trivial général écrit sous la formeψ(u) = ψ0(γ⁻¹₀ ·u)avecψ0 régulier.

Insistons sur le fait que la fonction de Whittaker W_x,λ^H,ψ

• ne dépend pas de l’ordre des deux composantes deλ_•= (λ1, λ2).

1.5. Noyaux locaux de la fonctorialité La définition des homomorphismes de transfert

ρ^∗_x:H^H_x,∅→ H^G_x,∅

par substitution des valeurs propres de Hecke conduit à poser la définition suivante :

Définition 1.14. — On appelle noyaux locaux de la fonctorialité les fonctions

K_x,P^G,H,ψ

x :G(Fx)×H(Fx)→C définies de la manière suivante :

• Dans le cas où la placexse scinde dansE en deux placesx1etx2, K_x,P^G,H,ψ

x ((t₁, t₂), g) = Z

|λ1|=1=|λ2|

dλ₁·dλ2·Px(λ₁, λ₂)·Φ^G_x,λ•(t₁, t₂)·W_x,λ^H,ψ_•(g) oùPxest un polynôme, élément de C[X₁^±1, X₂^±1],

(t₁, t₂)décritG(F_x) =E_x^×=E_x^×

1×E_x^×

2 =F_x^××F_x^×, gdécrit H(Fx) = GL2(Fx),

λ• = (λ1, λ2) décrit le produit de deux copies du cercle unité de C^×,

dλ₁et dλ₂ désignent la mesure invariante de volume1sur le cercle unité deC^×.

• Dans le cas où la placexreste inerte dans E, K_x,P^G,H,ψ

x (t, g) = Z

|λ|=1

dλ·P_x(λ²)·Φ^G_x,λ(t)·W_x,(λ,−λ)^H,ψ (g) oùPxest un polynôme pair, élément deC[X^±2],

tdécritG(F_x) =E_x^×, gdécrit H(F_x) = GL2(F_x), λdécrit le cercle unité deC^×,

dλdésigne la mesure invariante de volume1sur ce cercle unité.

La raison pour laquelle on baptise ces fonctions K_x,P^G,H,ψ

x :G(Fx)×H(Fx)→C

du nom de “noyaux locaux de la fonctorialité” est fournie par le lemme suivant :