[ CONCOURS POUR L’ADMISSION EN FORMATION DES INGÉNIEURS \ DE L’ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE MARITIME
ANNÉE 2018
Durée : 2 heures
Le candidat traitera 3 questions au choix parmi les 4 proposées, chaque question représentant le même nombre de points.
1requestion 1. Soitula fonction définie sur l’intervalleI=]0 ;+∞[ par
u(x)=x2−2+ln(x).
a. Dresser le tableau de variations (limites comprises) de la fonctionusur l’intervalleI.
b. Justifier l’existence d’un unique réelαde l’intervalleItel queu(α)=0. On admettra par la suite queα≈1,31.
c. En déduire le tableau de signes deu(x).
d. Montrer que ln(α)=2−α2.
2. On considère la fonctionf définie surIpar
f(x)=x2+[2−ln(x)]2. a. Calculerf′(x) et montrer quef′(x)=2u(x)
x .
b. En déduire les variations de la fonctionf sur l’intervalleI.
c. Montrer quef(α)=α2¡ 1+α2¢
.
3. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note :
• Γla courbe représentative de la fonction logarithme népérien.
• A le point de coordonnées (0; 2).
• Mun point de d’abscissexdeΓ.
a. Démontrer que AM=p f(x).
b. En déduire les coordonnées du pointM0pour lequel la distance AM0est minimale.
c. Montrer que AM0=α
p1+α2.
d. Démontrer que la droite (AM0) est alors perpendiculaire à la tangente àΓenM.
2equestion 1. Étude d’une fonction
On considère la fonctionf définie sur [0 ;+∞[ par f(x)=5− 4
x+1.
a. Dresser le tableau de variations complet def sur son ensemble de définition.
b. Résoudre l’équationf(x)=xet montrer qu’elle admet une unique solutionαdont on don- nera la valeur exacte et un arrondi à 10−2près.
c. Démontrer que pour toutx∈[0 ;α], f(x)∈[0 ;α].
2. Étude d’une suite
On considère la suite (un) définie paru0=0 et pour tout entier natureln,un+1=f(un).
Ingénieurs de l’école nationale supérieure maritime 2018 A. P. M. E. P.
a. Calculeru1.
b. Sur le graphique donné en annexe en dernière page du sujet, on a tracé la courbe représen- tative def ainsi que la droite d’équationy=x.
Construire graphiquement sur l’axe des abscisses les pointsP0,P1,P2etP3d’abscisses res- pectivesu0,u1,u2etu3.
c. Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de (un) ? d. Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln, 0<un<un+1<α. e. En déduire que (un) est convergente et calculer sa limite.
f. Écrire en langage naturel un algorithme qui demande la valeur deǫet affiche en sortie le premier entierntel que|un−α| <ǫ.
3. Généralisation :
On donne désormais àu0une valeur positive quelconque.
Emettre une conjecture sur le sens de variation et la limite de la suite (un) en fonction des valeurs deu0.
3equestion On munit le plan complexe d’un repère orthogonal direct³
O,−→ u,−→
v´ .
On notera A le point d’affixea=3i, B le point d’affixeb=2i et C le point d’affixec=3p 2eiπ4.
On considère l’applicationf qui, à tout pointMdu plan d’affixezdifférent de B, associe le pointM′du plan d’affixez′= 3iz
z−2i.
1. Déterminer les affixes des points A′et C′, images respectives des points A et C parf. On donnera ces affixes sous forme algébrique.
2. Déterminer, s’il existe, le point D dont l’image par l’applicationf est le point d’affixe i.
3. Déterminer les affixes des points invariants parf, c’est-à-dire les points du plan vérifiant zM′=zM.
4. Montrer que, pour tout pointMdu plan, distinct de B, l’affixez′deM′vérifie l’égalité : z′−3i= −6
z−2i (∗)
5. En déduire que siMappartient au cercleΓde centre B et de rayon 3, alorsM′appartient à un cercleΓ′dont vous préciserez le centre et le rayon.
6. Déduire de l’égalité (*) une relation entre une mesure de l’angle³−→ u,−−−→
AM′´
et une mesure de l’angle
³→− u,−−→BM´
.
7. Montrer que le pointN d’affixe 3 p2+
µ 2+ 3
p2
¶
i est un point deΓpuis déterminer la mesure de l’angle³−→
u,−−→BN´ .
8. En déduire une méthode de construction du pointN′, image deN par l’applicationf.
Vous illustrerez votre explication d’une figure faisant apparaitre les pointsN etN′, ainsi que les éléments permettant la construction de ces points.
4equestion
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points :
A(−4 ; 0 ; 1) ; B(3 ; 3 ;−1) ; C(1 ; 5 ; 1) et D(0 ; 2 ; 6).
1. Justifier que les points A , B et C ne sont pas alignés.
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2. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C, puis calculer son aire.
3. Soit−→ n
1 b c
un vecteur de l’ espace, oùbetcdésignent deux réels.
a. Déterminer les valeurs debetcpour que−→
n soit un vecteur normal au plan (ABC).
b. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
c. Le point D appartient-il au plan (ABC) ? 4. Soitdla droite orthogonale à (ABC) passant par D.
a. Donner une représentation paramétrique ded.
b. Déterminer les coordonnées du point d’intersection H dedet de (ABC).
5. a. Calculer la distance DH (On donnera la valeur exacte).
b. En déduire le volume du tétraèdre ABCD (on donnera la valeur exacte) 6. Calculer une mesure de l’angleADB arrondie au degré près.
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Ingénieurs de l’école nationale supérieure maritime 2018 A. P. M. E. P.
Annexe à rendre avec la copie
0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5
0 1 2 3 4 5
Cf
y=x
Nota :
1. Aucun document n’est autorisé.
2. Délits de fraude : « Tout candidat pris en flagrant délit de fraude ou convaincu de tentative de fraude se verra attribuer la note zéro, éliminatoire, sans préjudice de l’application des sanctions prévues par les lois et règlements en vigueur réprimant les fraudes dans les examens et concours publics ».
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