Décomposition canonique de tableaux hermitiens semi-définis positifs d'ordre pair par rotation procustéenne: application à l'ICA.

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Décomposition canonique de tableaux hermitiens

semi-définis positifs d’ordre pair par rotation

procustéenne: application à l’ICA.

Laurent Albera, Ahmad Karfoul, Lieven de Lathauwer

To cite this version:

Laurent Albera, Ahmad Karfoul, Lieven de Lathauwer. Décomposition canonique de tableaux

hermi-tiens semi-définis positifs d’ordre pair par rotation procustéenne: application à l’ICA.. XXII colloque

GRETSI, Sep 2009, Dijon, France. pp.488. �hal-00913700�

positifs d'ordre pair par rotation pro ustéenne : appli ation à l'ICA LaurentAlbera 1 ,AhmadKarfoul 1 , LievenDeLathauwer 2 1

INSERM,U 642,Rennes,F-35000Fran e UniversitédeRennes1,LTSI,F-35000Fran e

2

LaboratoireTraitementdesImages

KatholiekeUniv.Leuven,Subfa ultyS ien eandTe hnology,B-8500Kortrijk,Belgium laurent.alberauniv-rennes1.fr,

ahmad.karfouluniv-rennes1.fr,Lieven.DeLathauwerkuleuven-kortrijk.be

Résumé  Nous présentons i i unenouvelle famille de méthodes itératives, nommée CanDeP (multi-way array Canoni al De omposition basedon Pro rustesrotation), an de al uler la dé omposition anonique d'un tableau hermitien semi-déni positifd'ordrepair.Cetteappro healternejusqu'à onvergen elarésolutiondu problèmedePro rustesetladé ompositionde tableauxderang1.Appliquéeaux umulantsd'ordre

2q

,laméthode

2q

-CanDePpermetderéaliseruneanalyseen omposantes indépendantesperformante,orant i)ungainimportantenrésolution, ii)la apa itéd'identierunmélangesous-déterminéde sour eset iii)unerobustesseàunbruitGaussiende ovarian espatialein onnue.

Abstra tAnewfamilyofiterativemethods,namedCandDep(multi-wayarrayCanoni alDe ompositionbasedonPro rustes rotation)is proposed in this paperin order to anoni ally de ompose an even higher orderpositive semi-denite array with hermitiansymmetry. Thisapproa hswit hes,untilthe onvergen e,betweenthebestrank-

1

approximationofagivenHOarray andthe resolution of the well-knownPro rustes problem. Applied to

2q

-thorder umulants, the

2q

-CanDepapproa hallows forawell-performedindependent omponentanalysis. Indeed,theproposedapproa henjoys i)agoodidenti ationresolution, ii)the ability ofpro essing underdeterminedmixturesofsour esand iii)agoodrobustnesstoaGaussiannoisewithunknown spatial ovarian e.

1 Introdu tion

L'algèbre multilinéaire est déni omme l'algèbre des tableaux d'ordre

q

(

q > 2

), i.e., les tableaux à plus de deuxentrées.Silespremierstravauxenmatièred'algèbre multilinéaireremontentauXIXèmesiè le,ilfautattendre lase ondemoitiédu XXèmesiè le pour voir e domaine prendreunetoutenouvelledimensionautraversde l'analy-sede donnéeset assister ausa redu modèle PARAFAC (PARallelFACtoranalysis)[6℄,quenousdésigneronspar CANDpourêtreégalementréféren ésouslenom de Dé- ompositionCANonique.

Le modèle CAND n'est autre que l'é riture d'un ta-bleaud'ordre

q

sousformed'une ombinaisonlinéairede tableauxd'ordre

q

etderang1.L'utilisationd'untel mo-dèle ne esse de se répandre, en tou hant à présent des domaines aussi ri hes et variés que eux de l'ingénierie biomédi ale[7℄etdutraitementd'antennes[10℄.Parmiles méthodesde dé omposition lesplus utilisées, on ompte lesappro hesitérativestelles quelaméthodedugradient onjugué,laméthode de Levenberg-Marquardt[11℄ mais aussila non moins populaireméthode ALS (Alternating LeastSquare) [6℄et sesdérivées[9℄.Parmi lesappro hes semi-algébrique, on trouve la méthode FOOBI proposée

rithme BIOME proposéedans [1℄ pourdestableaux her-mitienssemi-dénispositifsd'ordrepair.Silesappro hes algébriquesévitentlesproblèmesde onvergen epropres aux méthodes itératives, elles sont la plupart du temps trèsvoiretropgourmandesentermes de oûtde al ul.

Aussi, présentons-nousi i une nouvelle famillede mé-thodesitératives,nomméeCanDeP(multi-wayarray Ca-noni alDe ompositionbasedonPro rustesrotation),an de al ulerladé omposition anoniqued'untableau her-mitien semi-dénipositifd'ordrepair.Cetteappro he al-terne jusqu'à onvergen e la résolution du problème de Pro rustesetladé ompositiondetableauxderang1. Ap-pliquéeaux umulantsd'ordre

2q

,laméthode

2q

-CanDeP permet de réaliser une analyse en omposantes indépen-dantesperformante,orant i)ungainimportanten réso-lution, ii)la apa itéd'identierunmélange sous-détermi-né desour es et iii)une robustesse àunbruit Gaussien de ovarian espatialein onnue.

2 Outils préliminaires et présenta-tion du problème

Avant tout, rappelonsquelques notionsd'algèbre mul-tilinéaire[2℄.

Dénition1 Soit

T

∈

C

N

1

×···×N

q

un tableau d'ordre

q

(

q ≥ 2

). On dira que

T

est de rang 1 s'il peut s'é rire omme le produit externe

u

(1)

_{◦ · · · ◦ u}

(q)

de

q

ve teurs

u

(i)

_∈

C

N

i

(

1 ≤ i ≤ q

) où haque omposante de

T

est donnéepar

T

i

1

,··· ,i

q

= u

(1)

i

1

· · · u

(q)

i

q

.

Demême quepourlesmatri es, ilest possiblededénir lerangd'untableau d'ordresupérieur:

Dénition2 Soit

T

∈

C

N

1

×···×N

q

un tableau d'ordre

q

(

q ≥ 3

).Lerangde

T

,noté

rk(T )

,estlenombreminimal de tableauxd'ordre

q

, et de rang 1 dé rivant exa tement

T

par ombinaison linéaire. Cette ombinaison linéaire, minimale en son nombre de terme, dénit la CAND du tableau

T

.

Notonsque, ontrairementau as matri iel,lerang d'un tableau d'ordre stri tement supérieur à2 n'est pas obli-gatoirementmajoréparlapluspetite desesdimensions. Parailleurs,ladénition 2montre quel'ordreet la pon-dération des diérents tableaux de rang 1 dénissant la CAND d'un tableau

T

peuventêtre modiés sans han-gerlavaleurde

T

.Sil'existen ed'unetelledé omposition est toujoursassurée, son uni itéquant àellene sera ga-rantie,auxdeuxindéterminations itéespré édemmment, quesous ertaines onditions(voirlesréféren esdans[10℄ pour des onditions susantes d'uni ité). Considérons à présentlatransformationtableau-à-matri esuivante : Dénition3 Soit

T

untableau arré d'ordre

2q

(

q ≥ 2

) de dimensions

N

. Soient respe tivement

⌊q/2⌋

et

⌈q/2⌉

les parties entières inférieure et supérieure de

q/2

. La (

i, j

)ème omposantedelamatri e

T

= mat

1

(T )

detaille (

N

q

_{× N}

q

) estdéniepar:

(mat

1

(T ))

i,j

=

T

n

1

,··· ,n

⌈q/2⌉

,n

⌈q/2⌉+1

,··· ,n

q

,n

q+1

,··· ,n

q+⌈q/2⌉

n

2q+⌈q/2⌉+1

,···,n

2q

où















i = (n

1

− 1)N

q−1

+ · · · + (n

⌈q/2⌉

− 1)N

⌊q/2⌋

+ (n

q+⌈q/2⌉+1

− 1)N

⌊q/2⌋−1

+ · · · + (n

2q

− 1)N + n

2q

j = (n

q+1

− 1)N

q−1

+ · · · + (n

q+⌈q/2⌉

− 1)N

⌊q/2⌋

+ (n

⌈q/2⌉+1

− 1)N

⌊q/2⌋−1

+ · · · + (n

q

− 1)N + n

q

Prenonsàtitred'exemplele asd'untableau

T

hermitien d'ordre

2q

(

q ≥ 2

)dedimensions

N

telque

ξ(ω) = 1

pour

ω ∈ {1, . . . , q}

et

ξ(ω) = −1

pour

ω ∈ {q + 1, . . . , 2q}

.

Dénition4 Un tableau

T

d'ordre

q

(

q ≥ 2

) à valeurs omplexesseradit hermitien sisa CANDprend la forme suivante:

T

₌

P

X

p=1

λ

p

a

p

ξ(1)

◦ a

p

ξ(2)

◦ · · · ◦ a

p

ξ(q)

(1)

oùles

P

valeurs

λ

p

sontréellesetl'appli ation

ξ

estdénie par

ξ(ω) = ±1

ave pour onventions

x

1

_{= x}

et

x

−1

_{= x}

∗

,

x

∗

désignant la onjuguéede

x

.

Supposonségalementque

T

soitsemi-dénipositif,les

P

valeurs

λ

p

de la CAND (1) de

T

sont alors toutes po-sitives. Construisons la matri e

T

= mat

1

(T )

de taille

(

N

q

_×N

q

),onpeutalorsdémontrerd'aprèslesdénitions 3et4l'égalité

T

= A

q

ΛA

q

H

,où

A

q

= A

⊘⌈q/2⌉

_{⊘ A}

∗⌊q/2⌋

,

⊘

est l'opérateur du produit de Khatri-Rao produ t [1℄,

⊘

désignel'opérateurde puissan e de Khatri-Rao [1℄,

A

est la matri e de taille (

N × P

)égale à

[a

1

, . . . , a

P

]

et

Λ

estlamatri ediagonale

diag{[λ

1

, · · · , λ

P

]}

.De ette éga-litédé oulele ara tèrehermitiensemi-dénipositifde

T

garantissantl'existen ed'unera ine arréde

T

.Enn, in-troduisonslatransformationtableau-à-ve teursuivante : Dénition5 Soit

T

∈

C

N

1

×···×N

q

ave

q ≥ 2

. Les om-posantes du ve teur olonne

t

= vec(T )

de dimension

N

1

· · · N

q

sont déniespar:

t

(n

1

−1)(N

2

···N

q

)+(n

2

−1)(N

3

···N

q

)+···+n

q

= T

n

1

,··· ,n

q

(2)

On peutalors dénir l'opérateur ré iproque

unvec

tel que l'on ait

unvec (vec(T )) = T

.

Leproblèmetraitédans epapierpeut êtrerésumédela manièresuivante:

Problème 1 Cal uler la CAND d'un tableau

T

hermi-tiensemi-déni positifd'ordrepair.

3 La famille de méthodes CanDeP Nous proposons dans ette se tion une méthode per-mettantde résoudreleproblème1évoqué i-dessus. Soit

T

untableauhermitiensemi-dénipositifd'ordre

2q

(

q ≥

2

).Laméthodeproposéei i,baptisée

2q

-CanDeP, al ule la CAND de

T

en alternant jusqu'à onvergen e deux étapes de minimisation. Présentons tout d'abord la pre-mièreétape.Pour e faire,notons

T

1/2

unera ine arrée de

T

= mat

1

(T )

obtenue par diagonalisation de

T

. En eet,

T

estdiagonalisablesouslaforme

ELE

H

,dufaitdu ara tèrehermitiende

T

,où

E

estlamatri edesve teurs propresorthonormés asso iés aux

P

valeurspropresnon nulles de

T

rangées dans la matri e diagonale

L

. On a alors

T

1/2

_{= EL}

1/2

où

L

1/2

estlara ine arréede

L

.On aalorslapropositionsuivante :

Proposition1 Sous les hypothèses pré édentes, la ma-tri e

B

= (L

1/2

₎

−1

_E

H

_A

q

Λ

1/2

est une matri e orthonor-mée(unitaire) de taille(

P ×P

),à valeursréelles lorsque

q

estpair.

Ainsi,lapremièreétapede

2q

-CanDeP onsisteà mini-miserlanormedeFrobeniusdeladiéren eentre

T

1/2

et le produit matri iel

A

q

Λ

1/2

_B

H

, ie,sans perte de généra-lité auvu des indéterminationsde la CAND,entre

T

1/2

etleproduitmatri iel

A

q

B

H

sousla ontrainted'avoir

B

unitaire.Ensupposant onnuelamatri e

A

q

, eproblème d'optimisationest onnusouslenomdeproblèmede Pro- rustes[5℄.Lasolutionoptimaleausensdesmoindres ar-rés onsisteà hoisir

B

= U V

H

,où

U

et

V

sont respe ti-vementlesmatri essingulièresgau heetdroitedela ma-tri e

A

H

q

T

1/2

(la démonstrationproposéedans[5℄dansle asdematri esréellespeutfa ilementêtreétendueau as omplexe).

1000

1500

2000

2500

10

−3

Number of Samples

log

10

(

α

1

)

6−BIOME

6−CanDep

(a) sour e

1

1000

1500

2000

2500

10

−2.4

10

−2.3

10

−2.2

10

−2.1

Number of Samples

log

10

(

α

2

)

6−BIOME

6−CanDep

(b)sour e

2

1000

1500

2000

2500

10

−2.6

10

−2.5

10

−2.4

10

−2.3

10

−2.2

Number of Samples

log

10

(

α

3

)

6−BIOME

6−CanDep

( ) sour e

3

Figure 1 Pseudo-distan e

D

al ulée pour6-CanDeP et6-BIOMEenfon tiondunombred'é hantillons

La se onde étape de la méthode

2q

-CanDeP onsiste àidentier lamatri e

A

q

, et plusexa tement les

P

ve -teurs olonnes

a

p

de

A

. Supposant onnuelamatri e

B

, la matri e

A

q

peut être identiée, àune matri e diago-nale près, en al ulant leproduit

T

1/2

_B

. On peut alors montrerqu'appliquerl'opérateur

unvec

au

p

-èmeve teur olonnededimension

N

q

delamatri e

A

q

identiée per-met d'obtenir letableau arré

A

(p)

d'ordre

q

et derang 1,déni par

A

(p)

_{= a}

p

◦⌈q/2⌉

◦ a

p

∗

◦⌊q/2⌋

. La se ondeétape

onsistedon à al ulerlaCANDderang1de haque ta-bleau

A

(p)

àl'aidede laméthodedes puissan esd'ordre supérieure[2℄and'identieràuns alaireprèsles

P

ve -teurs olonnes

a

p

. Notons que la dé omposition est pro-poséedans[2℄pourdestableauxderang1estégalement réaliséeausensdesmoindres arrés.

4 Simulations

Uneétude omparativeentermesdesimulations numé-riquesestprésentée i-dessousdansle ontextede l'identi- ationdemélangesous-déterminédesour es.Cetteétude permetde omparerlesperforman esdelaméthode Can-DeP et d'uneautreméthode plus onnue souslenomde BIOME [1℄. Notons que BIOME a pour ara téristique deproposerunesolutionsemi-algébriqueauproblèmede CAND.Enfait,lesméthodes

6

-CanDePet

6

-BIOMEont été utilisées an d'obtenirla CAND d'un tableau umu-lant

C

6, x

estiméàpartirderéalisationsd'unve teur aléa-toire

x

suivantlemodèle

x

= As + ν

où

s

estunve teur aléatoire dont les omposantes sont mutuellement indé-pendantes et

ν

un ve teur Gaussien. La CAND de

C

6, x

onduit alors à l'identi ation du mélange

A

de taille (

N ×P

)parpropriétédes umulants[3℄.Atitred'exemple, nousnoussommespla ésdansle adrede ommuni ations satellitaires où

P = 3

modulations QPSKltréesNyquist (roll-o de

0.3

)ontété générées et dontla ré eptionsur unréseaude

N = 2

apteursaété simulée.Lesporteuses des QPSK ont été respe tivement prises égalesà0, 0.35 et0.7(aufa teurprèsdelafréquen ed'é hantillonnage). Le ritère d'évaluation de performan e utilisé i i est la pseudo-distan e,

D(A, c

A

) = (α

1

, α

2

, · · · , α

P

)

,entre

A

et sonestimée

c

A

où

α

p

= min

1≤i≤P

{d(a

p

, b

a

i

)}

ave :

d(u, v) = 1 − |u

H

_v

_|

2

_{/(||u|| ||v||)}

(3) Les résultatsontétémoyennéssur100expérien es indé-pendantes.

La gure1 montre les variationsde

D

en fon tion du nombrederéalisationsduve teur

x

pourunRapport Si-gnalàBruit(RSB) de20dB.Lesdeux méthodesontdes performan estrèsvoisines ommeentémoignelagure1.

750

é hantillonssusentauxdeuxalgorithmespour assu-rerdesperforman estout àfait orre tes(i.e.

D < 0.01

) malgré l'usage de umulants d'ordresupérieur (l'ordre 6 esti iutilisé)réputéspouravoirunegrandevarian e d'es-timation.Lagure2montrequant-à-ellelesvariationsde

D

en fon tion du RSB pour

2500

réalisationsde

x

. On noteunbon omportementde

6

-CanDePaudelàde0dB, omportementsimilaireà eluide

6

-BIOME.

−30 −20 −10

0

10

20

30

40

50

10

−3

10

−2

10

−1

SNR

log

0

(

α

1

)

_6−BIOME

6−CanDep

(a) sour e

1

−30 −20 −10

0

10

20

30

40

50

10

−2

10

−1

SNR

log

10

(

α

2

)

6−BIOME

6−CanDep

(b)sour e

2

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

10

−2

10

−1

SNR

log

10

(

α

3

)

6−BIOME

6−CanDep

( ) sour e

3

Figure 2 Pseudo-distan e

D

al ulée pour6-CanDeP et6-BIOMEenfon tionduRSB.

dedeux ontratsANR blan s,àsavoir"De otes" (ANR-06-BLAN-0074)et"mv-EMD"(ANR-BLAN07-0314-02).

Référen es

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