Exemple: le son

Ondes

v 5

18

Ondes sismiques

3

Types d'ondes

x

€

δy = δy(x,t) y

€

δx = δx(x,t)

x Exemples: son dans l'air: onde longitudinale.

lumière: transverse.

Ondes périodiques

t δ

période T

Exemple:

ondes sinusoïdales

δ T

t

Exemple: le son

On peut enclencher une onde de pression dans un gaz par la vibration de la membrane d'un haut-parleur. Celui-ci se

comporte comme un piston. Les molécules d'une couche transmettent le mouvement à la couche suivante etc.

Pression

externe = P₀ P₀+ΔP P₀−ΔP

P(t) = P₀ + ΔP sinωt

voir plus loin...

Exemple: ondes e.m. transverses

B x E

y

Onde électromagnétique polarisée horizontalement E_x = E sin ωt

Ondes dans le temps

Considérons des ondes d'eau que l'on génère en jetant une pierre (on néglige l'atténuation au cours du temps).

On peut fixer un point, à distance r du point d'impact et observer l'hauteur de l'onde au cours du temps:

h(t) = H sin(ωt + φ)

H est l'hauteur maximale (l'amplitude) et Hsin(φ) est l'hauteur à t = 0.

H t

h

ω = 2π/T T

Ex: amplitude champ Electrique d'une onde e.m. en un point E(t) = E sin(ωt)

Ondes dans l'espace

On peut aussi prendre une photo au temps t et observer l'hauteur de l'onde en fonction de la distance r du centre:

h(r) = H sin(κr + γ)

H est l'hauteur maximale (l'amplitude) et Hsin(γ) est l'hauteur en r = 0.

r H

h

κ = 2π/λ λ

Ex: amplitude champ Electrique d'une onde e.m. à un instant E(r) = E₀ sin(κr)

Vitesse des ondes

δ(x,t) = A sin(κx + ωt + φ) Une onde sinusoïdale est en général donnée par:

On peut extraire la vitesse de cette onde. On fixe un point de l'onde au temps t, on attend une période t → t + T, et on repère la distance parcourue.

Par définition elle sera une longueur d'onde λ plus loin.

La vitesse de propagation est donc v = λ/T

t

t+T λ

Si ν est la fréquence = 1/T v = λν

10

Vitesse des ondes .2

On parle d'onde progressive quand la vitesse n'est pas nulle et il y a donc transport d'énergie. Exemples:

La vitesse de la lumière dans le vide est c = 2.998 10⁸ m/s.

Le son dans l'air voyage à 344 m/s, dans le fer à 5120 m/s.

On peut relier la vitesse de propagation d'une onde à des caractéristiques physiques. P. ex., la vitesse dans une corde est donnée par

€

v = Tension

masse /longueur

Ex. 21.3: transmission d'une impulsion le long d'une corde de piano Tension=1098 N, masse par

unité de longueur = 0.065 kg/m ⇒ v = 130 m/s

Par contre: la vibration d'une corde de piano à la résonance constitue une onde stationnaire, v = 0.

v

Interférences

Des ondes peuvent s'additionner et former des figures complexes.

a(t) = A₁ sin(ω₁t + φ₁) + A₂ sin(ω₂t + φ₂) P. ex.:

Les ondes d'eau

peuvent se croiser sans se détruire.

* Ce principe de superposition est valable si le phénomène est

"linéaire".

Si par contre on a, p. ex., un phénomène de saturation, l'amplitude totale peut être plus petite que

l'addition linéaire.

Interférences

interférence destructive interférence constructive

les ondes sont en contre-phase les ondes sont en phase

Additionnons deux ondes de même amplitude et fréquence.

On a deux cas particuliers:

somme = onde avec le double d'amplitude

€

Asin(ωt) − Asin(ωt) = 0

€

Asin(ωt) + Asin(ωt) = 2Asin(ωt)

Ex.: considérer un cas intermédiaire.

Interférences .2

L'addition de deux ondes de fréquence différente, génère des battements.

Ex.: 2 sinusoïdes, même amplitude. Fréquences écartées de δ/2π

€

A(t) = sin

( )

(

)

= 2cos δ 2 t



  

  × sint(2ω + δ) 2

≈ 2cos δ 2 t



  

  × sin

( )

Donc, approximativement, on a une onde de même fréquence que l'onde initiale, mais modulée par le cosinus avec une

fréquence qui est égale à la moitié de la différence entre les fréquences des deux ondes.

Séries de Fourier

Approximations d'une onde carrée par superposition

d'ondes sinusoïdales de fréquences multiples (harmoniques)

m=7,9

m=21

m=501

€

f(t) = cte + a

sin (i ( ω )t )

i=1,M

∑

Fourier .2

SYNTHESIZER

Moog 1970

Ondes stationnaires et résonance

la distance entre les

"noeuds" est la moitié de la longueur d'onde de chaque onde

individuelle.

On peut faire interférer deux ondes voyageant en directions

opposées et produire une onde immobile (v=0) ou "stationnaire"

18

Ondes stationnaires et résonance .2

Dans plusieurs systèmes, on peut entretenir des ondes stationnaires, si les conditions "au bord" sont respectées. Par exemple, une corde tendue entre deux points, peut être sollicitée à vibrer selon des

"modes" de longueur d'onde qui dépendent de la longueur de la corde.

€

λ = 2L /n

1

2

3 La fréquence dépend de la tension de

la corde:

€

ν = v

λ = n 2L

Tension masse /L

n = 0,1,2,3,...

On peut s'imaginer qu'il s'agit de 2 ondes progressives, de vitesse v, qui rebondissent aux bords et interfèrent continuellement.

(pas d'oscillation)

Ondes stationnaires et résonance .3

Il est possible d'exciter une corde de façon efficace seulement quand on tombe sur les fréquences propres du système, les harmoniques.

Sinon l'énergie est rapidement dispersée.

€

λ = 2L /n

antinodes

= ventres

Ondes stationnaires et résonance .4

tuyau ouvert: les ventres (antinodes) sont sur les extrémités

La fondamentale λ = 2L ν = v/2L

Harmonique λ = L ν = v/L

Ondes stationnaires et résonance .5

tuyau fermé: un ventre est sur l'ouverture, un noeud

sur le côté fermé. Fondamentale

λ = 4L ν = v/4L

Harmonique

λ = 4/3 L ν = 3v/4L

a) Source sonore stationnaire et b) en mouvement par rapport au milieu (p. ex. l'air). La longueur d'onde est modifiée, à cause du mouvement. La personne qui écoute le son, va enregistrer un son plus aigu ou plus bas suivant qu'elle voit la source s'approcher (position A) ou s'éloigner (B).

Si ν est la fréquence d'émission, dans a) on a λ = v/ν. v est la vitesse de propagation de l'onde, une constante.

Au point B on aura λ' = (v-V)/ ν, où V<v est la vitesse de la source.

La fréquence du son à l'oreille de B sera

L'effet Doppler

ν' = v/ λ' = v ν /(v−V) ν' = v/ λ' = v ν /(v+V)

et pour A:

et source en mouvement v v

a) b)

A B

v

v

v

La personne qui écoute le son, va enregistrer un son plus aigu ou plus bas suivant qu' elle se rapproche de la source (dans la figure, se serait pour V<0) ou elle s'en éloigne (V>0).

Si ν est la fréquence d'émission, au repos (V=0) on a λ = v/ν.

La vitesse du son d'après l'observateur vaut v' = v − V.

Donc la fréquence est modifiée par

Effet Doppler

ν' = v'/ λ = (v−V)ν/v et observateur en mouvement

V

Donc ν' > ν quand V > 0 ν' < ν quand V < 0

Ondes de choc

Quand la vitesse de la source est égale à celle de l'onde, V = v, une onde de choc se forme sur le front avant.

Si V>v, l'onde de choc suit la source. C'est l'origine du bang sonique.

région de haute pression

L'équivalent du bang sonique dans le cas électromagnétique est l'effet Cherenkov.

Transducteurs son ⇔ électricité

Haut-parleur

Transducteur piézoélectrique

26

Le son

On peut enclencher une onde de pression dans un gaz par la vibration de la membrane d'un haut-parleur. Celui-ci se

comporte comme un piston. Les molécules d'une couche transmettent le mouvement à la couche suivante etc.

Macroscopiquement, le comportement est décrit par le

module de compressibilité adiabatique K qui permet d'exprimer la variation de pression par rapport au changement de densité

€

ΔP = K Δρ ρ

Pression

externe = P₀ P₀+ΔP P₀-ΔP

P(t) = P₀+ΔP sinωt

Le son .2

On trouve que la vitesse de propagation du son

dans un milieu avec module de compressibilité adiabatique K et densité ρ est donnée par

€

v = K ρ

kg/m³ m/s

Air 1.2 344

Eau 998 1498

Fer 7900 5120

densité vitesse

Transport de l'énergie et de la quantité de mouvement par une onde

La quantité d'énergie transportée par une onde progressive est une fonction de l'amplitude de l'onde.

Pour un ressort "oscillateur harmonique" E = (1/2) k x², donc l'énergie est proportionnelle au déplacement au carré.

C'est en effet aussi le cas pour les oscillations sinusoïdales, pour lesquelles l'énergie est proportionnelle à l'amplitude au carré: Energie ∝ (Amplitude)².

De même pour la quantité de mouvement transportée par le phénomène oscillatoire.

Pour une onde stationnaire l'énergie est localisée. Dans le cas de la vibration d'une corde, il y a localement transformation de l'énergie potentielle élastique en énergie cinétique et vice versa.

29

Le son .3

La puissance sonore par unité de surface du son, ou intensité I, est proportionnelle à l'amplitude de l'onde de pression

au carré

€

I = ΔE

ΔSΔt = ΔP² 2ρv Ex.:

haut-parleur 1 W, S=0.05 m², I à la surface =1/0.05 = 20W/m² à R=1 m, l'onde est répartie sur une demi-sphère S=2πR²

R

€

I = (1 W) /(2 π × 1

m

) ≈ 1/6 Wm

€

ΔP = 2Iρv ≈ 2

1.2 × 344 ≈ 12

N/m²

Le son .4

Le décibel

€

β =10log I I₀

est une grandeur qui exprime la sensibilité "logarithmique"

de l'oreille.

Par convention, on utilise pour I₀ = 10⁻¹² W/m².

ce qui correspond à environ 0 dB pour le seuil d'audition à 1000 Hz.

Le seuil de la douleur est à 120 dB