ÎLE PENDULE DOUBLE

Mécanique Analytique

DYNAMIQUE DES SOLIDES ET DES SYSTEMES

ÎLE PENDULE DOUBLE

ÎLE SYSTEME DE 3 BARRES

Mécanique Analytique

LE PENDULE DOUBLE OU COMPOSE

Î Etude du mouvement, dans le plan vertical, de deux barres pesantes, homogènes, identiques, de masse m et de longueur .

Î OA (solide C₁), fixée au point O Î AB (solide C₂), articulée à OA en A

l

O

A

B G₁

G₂ R_ox R_oy

x y

θ1

θ2

g m g

m

Mécanique Analytique

PENDULE DOUBLE – THEOREMES GENERAUX (1)

Î Forces extérieures agissant sur le solide C₁ : Î Forces extérieures agissant sur le solide C₂ : Î 6 inconnues :

Î Considérons le système constitué des deux solides C₁ et C₂ : Î vitesses des centres de masses G₁ et G₂ :

g m , R , R

) R R

( g m ,

R

= −

2 1 Ay Ax

Oy

Ox

, R , R , R , ,

R θ θ

(

)

1

G

cos 1 sin 1

v 2

1

= l θ & θ + θ

 

 

 

 



 θ θ

+ θ θ

 +



 



 θ θ

+ θ θ

=

G

sin 1

sin 2 1

2 cos cos

v

&

&

&

&

l

Mécanique Analytique

PENDULE DOUBLE – THEOREMES GENERAUX (2)

Î Théorème de la résultante cinétique :

ÎMoments cinétiques en O des solides C₁ et C₂ :

( )

2 2 2

2 1

2 1 1

1

sin R

cos 2 m 2

sin cos

2 m

3  =



 



 θ θ

− θ θ

+ θ θ

− θ

θ && &

& l

&&

l

( ) ^{cos R 2 mg}

sin 2 m 2

cos sin

2 m 3

Oy 2

2 2 2

2 1

2 1 1

1

 = −



 



 θ θ + θ θ +

θ θ

+ θ

θ && &

& l

&&

l

z 1 2

C ,

O

1

3 M m

1

= l θ &

z 2

1 2

2 1

1 2 C

,

O

cos( ) 1

2 1 3

) 1 2 cos(

1 1 m

M

 

 

 

 



 + θ − θ θ

 +



 



 + θ − θ θ

= l & &

Mécanique Analytique

PENDULE DOUBLE – THEOREMES GENERAUX (3)

Î Théorème du moment cinétique

Î Considérons le système constitué uniquement du solide C₂

2 1

2 1 2 2 2

1 2

2 1 2 1 2

1 1

2 1 2

2 sin sin mg

2mg )) 3

2 sin(

) 1 2cos(

1 3 ) 1

2 sin(

)) 1 2cos(

1 1 ( 3 m

m + θ θ −θ =− θ − θ



 



 + θ −θ

θ + θ

− θ θ

−



 



θ + θ −θ +

θ&& l && & && & l l

l

A

B G₂

θ2

g m

R_A,x R_A,y

y'

x'

Mécanique Analytique

PENDULE DOUBLE – THEOREMES GENERAUX (4)

Î Théorème de la résultante cinétique

Î Moment cinétique en A

Î Théorème du moment cinétique

Ax 2

2 2 2

2 1

2 1 1

1

sin R

cos 2 sin 2

cos

m  =



 



 θ θ

− θ θ

+ θ θ

− θ

θ && & && &

l

mg R

2 cos 2 sin

cos sin

m

2 2 2

2 1

2 1 1

1

 = −



 



 θ θ + θ θ + θ && θ + θ & θ

&

&&

l

z 2 1

1 2

z 2 2

A

cos( ) 1

2 1 m

3

M = m l θ & + l θ & θ − θ

2 2

1 2

1 2

2 1

1 2

2 2

2 sin ) mg

2 sin(

) m 2 cos(

m 3

m l θ && + l θ && θ − θ − l θ & θ − θ = − l θ

Mécanique Analytique

PENDULE DOUBLE - METHODE DE LAGRANGE

Î Fonction de Lagrange

Î Equations de Lagrange

2 1

2 1

2 1 2 2

2 2 2

1

2

mg cos

2 cos 1

2 mg ) 3

cos(

2 m 1 6

m m 3

L = 2 l θ & + l θ & + l θ & θ & θ − θ + l θ + l θ

0 sin

2 mg ) 3

sin(

2 m ) 1

cos(

2 m m 1

3 4

1 2

1 2

2 2 2

1 2

2 1

2

θ && + l θ && θ − θ + l θ & θ − θ + l θ =

l

0 sin

2 mg ) 1

sin(

2 m ) 1

cos(

2 m 1 3

m

2 2

1 2

1 2 2

1 1

2 2

2

= θ +

θ

− θ θ

− θ

− θ θ

+

θ && l && l & l

l

Mécanique Analytique

LE SYSTEME DES 3 BARRES (1)

Î Considérons 3 tiges pesantes, homogènes, rectilignes, de masse m, de longueur

Î Nous n'avons que 2 degrés de liberté indépendants entre eux : Î Par exemple :

Î Utilisons 7 coordonnées de Lagrange généralisées :

l

2

1

et θ

θ

2 1

3

sin sin

sin θ = − θ − θ

2 2 1

3

( ) 1 (sin sin )

cos θ = ± − θ + θ

3 3 2 2 3 2

1

, θ , θ , x , y , x , y

θ

O

A B

C' C x

y

G₁ G₃

θ1

θ2

θ3

Mécanique Analytique

LE SYSTEME DES 3 BARRES (2)

Î Il y a 5 restrictions, holonomes :

2 2

1

cos

x 2

cos θ = − l θ l

2 2

1

sin

y 2

sin θ = − l θ l

3 3

2

2

cos

x 2 2 cos

x + l θ = − l θ

3 3

2

2

sin

y 2 2 sin

y + l θ = − l θ 0

2 sin

y

+ l θ

=

O x

y

A₁ A₂

B₃

G₂ B₂ G₃ C

G₁

θ1

θ2 θ³

Mécanique Analytique

APPLICATION : LE SYSTEME DES 3 BARRES (3) Î Nous devons introduire 5 multiplicateurs de Lagrange

Î L'énergie cinétique et l'énergie potentielle deviennent :

: , , ,

, _{2 3 4 5}

1 λ λ λ λ

λ 0

) 2sin

x sin

( _{1 1 2 2 2}

1 − θ δθ − δ − θ δθ =

λ l

l

0 ) 2cos

y cos

( _{1 1 2 2 2}

2 θ δθ − δ + θ δθ =

λ l

l

0 ) 2sin

x 2sin

x

( _{2 2 2 3 3 3}

3 δ − θ δθ − δ − θ δθ =

λ l l

0 ) 2cos

y 2cos

y

( _{2 2 2 3 3 3}

4 δ + θ δθ − δ + θ δθ =

λ l l

0 ) 2cos

y

( _{3 3 3}

5 δ + θ δθ =

λ l

2 3 2 2

3 2

3 2

2 2 2

2 2

2 2

1 2

12 m 2 ) 1 y x

( 2m 1 12

m 2 ) 1 y x

( 2m 1 3

m 2

T = 1 θ + + + θ + + + l θ&

&

&

&

& l

&

&

l

3 2

1 mg y mg y

2 sin

V = mgl θ + +

Mécanique Analytique

LE SYSTEME DES 3 BARRES (4)

Î 12 équations à 12 inconnues beaucoup plus simples, plus courtes

… que les 2 équations à 2 inconnues pour les 2 degrés de liberté !

⇒

1 2

1 1

1 1

2

cos sin

2 cos mg 3

m l θ && = − l θ − λ l θ + λ l θ

2 4

2 3

2 2

1 1

2 2

2 cos 2 sin

2 cos 2 sin

12

m l θ && = − λ l θ + λ l θ − λ l θ + λ l θ

3 5

3 4

3 3

3 2

2 cos 2 cos

2 sin 12

m l θ && = − λ l θ + λ l θ + λ l θ

3 1

x

m && = − λ + λ

3

x

m && = − λ

4 2

2

mg

y

m && = − − λ + λ

5 4

3

mg

y

m && = − − λ + λ