Sur les Modules d’Iwasawa S -ramifiés T -décomposés
Jean-François Jaulent
Résumé.Nous corrigeons les formules fautives contenues dans un article précédent et explicitons le module de défaut pour les invariantsλd’Iwasawa attachés aux pro-`-extensions abéliennesS-ramifiéesT-décomposées sur la Z`-extension cyclotomique d’un corps de nombres. Les formules obtenues recoupent et prolongent les résultats de Itoh, Mizusawa et Ozaki sur les modules d’Iwasawa modérément ramifiés.
Abstract.We correct the faulty formulas given in a previous article and we compute the defect group for the Iwasawaλinvariants attached to theS-ramifiedT-decomposed abelian pro-`-extensions on theZ`-cyclotomic ex- tension of a number field. As a consequence, we extend the results of Itoh, Mizusawa and Ozaki on tamely ramified Iwasawa modules for the cyclotomicZ`-extension of abelian fields.
Introduction
Supposons donnés un corps de nombresK, un premier` et uneZ`-extensionK∞deK.
Le résultat emblématique de la théorie d’Iwasawa (cf. e.g. [20, 21]) affirme que les ordres respectifs`x(n) des `-groupes de classes d’idéaux C`(Kn) attachés aux étages finisKn de la tour K∞/K, de degrés respectifs[Kn:K] =`n sont donnés pournassez grand par la formule :
x(n) = µ`n + λn + ν,
où ν est un entier relatif, et où λ et µ sont des entiers naturels déterminés par la pseudo- décomposition de la limite projective (pour les applications normes) C(K∞) = lim
←−C`(Kn), regardée comme module de torsion sur l’algèbre d’Iwasawa Λ = Z`[[γ−1]] construite sur un générateur topologiqueγ du groupe procycliqueΓ = Gal(K∞/K). Il est alors commode de réécrire l’égalité précédente sous une forme ne faisant intervenir que ces deux derniers paramètres :
x(n) ≈ µ`n + λn,
en convenant de tenir pour équivalentes deux suites d’entiers dont la différence est ultimement constante. L’identité obtenue vaut alors identiquement si l’on remplace les`-groupes C`(Kn)par leurs quotients respectifs d’exposant`n (ou`n+k, pourkfixé), comme expliqué dans [11].
Soient maintenant S et T deux ensembles finis disjoints de places de K; et soit C`ST(Kn) le pro-`-groupe des T-classes S-infinitésimales de Kn. Ce pro-`-groupe correspond, par la théorie
`-adique du corps de classes (cf. [13]), à la pro-`-extension abélienne maximale deKn qui est non- ramifiée en dehors des places divisant celles deS et totalement décomposée aux places au-dessus de celles deT; et c’est en particulier unZ`-module de type fini. Son quotient d’exposant`n, disons
`nC`ST(Kn), est ainsi un`-groupe ; et on s’attend à ce que la`-valuationxST(n)de son ordre s’exprime asymptotiquement de façon simple à partir des invariants structurels du module d’Iwasawa :
CST(K∞) = lim
←−C`ST(Kn).
C’est le programme initié dans [11], puis développé dans [15]. La formule attendue xST(n) ' ρSTn`n + µST`n + λSTn,
qui fait intervenir la quantitéρST = dimΛ CTS(K∞)(i.e. la dimension sur le corps des fractionsΦde ΛduΦ-espaceΦ⊗ΛCTS(K∞)) ainsi que la`-valuationµST et le degréλST du polynôme caractéristique du sous-module de Λ-torsion TTS(K∞) de CTS est cependant en défaut dans certains cas, comme repéré par Salle [19]. Plus précisément, les paramètresρSTetµST coïncident bien avec les invariants structurels, mais ce n’est pas toujours le cas pour les paramètresλST. Précisons cela :
Définition. Étant données(an)n∈N et(bn)n∈N deux suites d’entiers relatifs, convenons d’écrire : an'bn, lorsque la différencean−bn est bornée ; etan≈bn, lorsqu’elle est ultimement constante.
Le résultat principal de [16], corrigeant [15], est le suivant : soitele plus petit entierntel que les places non contenues dans S qui se ramifient dans K∞/K le font totalement dansK∞/Kn et les places deT finiment décomposées dans K∞/Kn ne se décomposent pas dansK∞/Kn. Alors : Théorème(Jaulent–Maire–Perbet). Il existe un entier relatifκST tel que l’on ait le paramétrage :
xST(n) ' ρSTn`n + µST`n + (λST−κST)n,
(i) Dans le cas spécial où l’extension K∞/K est elle-mêmeS-ramifiée et T-décomposée, on a κST =−1 ainsi que l’estimation asymptotique stricte :
xST(n) ≈ ρSTn`n + µST`n + (λST+ 1)n.
(ii) Dans tous les autres cas, on a : 0 6κST 6`eρST. En particulier, le paramètre κST est nul dès que l’invariant structurel ρST l’est, autrement dit dès que CTS(K∞) est un Λ-module de torsion. Et, dans cette dernière situation, on a même l’estimation asymptotique stricte :
xST(n) ≈ ρSTn`n + µST`n + λSTn.
Le but de la présente note est de rectifier les formules défectueuses de [13], énoncées en termes de caractères, et de donner en particulier une formulation correcte des identités du miroir de Gras pour les caractèresλSTattachés à laZ`-extension cyclotomique d’un corps de nombres. Puis, dans un second temps, d’étudier le caractère de défautκST correspondant et d’en donner une interprétation arithmétique simple. Enfin, au moins sous certaines hypothèses, de le déterminer explicitement.
Pour ne pas alourdir cette étude, nous nous limitons au cas au cas`6= 2, techniquement plus facile, mais le cas` = 2 relève essentiellement des mêmes méthodes. Nous supposons que K est une extension abélienne contenant µ` d’un sous-corps totalement réel F , de groupe de Galois
∆ d’ordre étranger à `. Nous nous intéressons à laZ`-extension cyclotomique K∞ deK et nous définissons le défautκST correspondant comme un caractère de∆. Notant alorsχ7→χ∗l’involution du miroir etχ=χ⊕+χ la décomposition en composantes réelle et imaginaire, nous prouvons : Théorème principal. Soient ` un premier impair, K/F une extension abélienne contenantµ` d’un sous-corps totalement réel, de groupe de Galois∆ d’ordre étranger à`, etK∞=KF∞laZ`- extension cyclotomique de K. Soient enfin S etT deux ensembles finis disjoints de places finies deF dont la réunion contient l’ensemble Ldes places au-dessus de `.
Dans le cas spécial S⊃L,T =∅, le défaut :κS∅ =−1 est l’opposé du caractère unité. Il suit : λS∅ = (λ∅L+χS−1)∗.
Hors le cas spécialS ⊃L,T=∅, le défautκST est imaginaire :κST⊕= 0 etκST =κST >0 . (i) SiT contientL, on a de plus :κST = 0 et le défautκST est nul. Il suit :
λST =λSL =λ∅ L + (χS⊕−1)∗, où χS = P
p∈S`npχp est la somme des induits χp = Ind∆∆p1∆p des caractères unités des sous- groupes de décomposition respectifs ∆p des p deS dansK/F comptés avec une multiplicité égale à leur indice de décomposition `np dansK∞/K.
(ii) Si S contient L, on a : κST = χLT, où χLT est le caractère de l’image semi-locale pL(ET) duZ`-module construit sur les T-unités imaginaires du corpsK∞. Sous la conjecture de Leopoldt dansK∞et pour T contenant L, il vient ainsi (par inversion les rôles deS et deT) :
λST⊕=λSL =λ∅ ⊕L + (χS −χLS)∗.
(iii)PourF =Qenfin, etS ne contenant pas `, le caractère de défautχLS est donné par : χLT = (χS∧`maxp∈S{np}χr´eg) =P
ϕ[`maxp∈Sϕ{np}]ϕ,
oùϕdécrit les caractères irréductibles imaginaires de∆ etSϕ={p∈S |ϕ(∆p) = 1}. Il suit : λST⊕=λSL⊕=λ∅ ⊕L +P
ϕ[ (P
p∈Sϕ`np)−`maxp∈Sϕ{np}]ϕ∗.
En particulier, λST⊕et λ∅ ⊕L =λ∅ ⊕∅ ont mêmeϕ∗-composante dès queSϕ a au plus 1 élément.
La dernière assertion recoupe et prolonge les résultats de Itoh, Mizusawa et Ozaki [9,8] sur le Z`-rang des modules d’Iwasawa modérément ramifiés.
Une conséquence a priori surprenante est que, même dans le cas le plus simple oùF est le corps des rationnels, le caractère de défautκST s’avère ainsi généralement non-trivial.
1 Énoncé du théorème des paramètres en termes de caractères
Supposons désormais que K/F est une extension abélienne de corps de nombres, de degré d étranger à `, de groupe de Galois ∆. L’algèbre`-adiqueZ`[∆]est alors une algèbre semi-locale, produit direct des extensions non ramifiées Zϕ=Z`[∆]eϕ deZ`; et les idempotents primitifseϕ sont donnés à partir des caractères`-adiques irréductiblesϕde∆par les formules classiques :
eϕ = 1dP
τ∈∆ϕ(τ−1)τ.
De façon toute semblable, l’algèbre de groupe Λ[∆]s’écrit canoniquement comme produit : Λ[∆] =⊕ϕΛ[∆]eϕ=⊕ϕΛϕ .
Et, pour chaque caractère irréductibleϕdu groupe ∆, la ϕ-composante Λϕ= Λ[∆]eϕ associée à l’idempotenteϕ s’identifie à l’algèbre des séries formellesZϕ[[γ−1]]en l’indéterminéeγ−1.
Plus généralement, par action des idempotents primitifs eϕ tout Λ[∆]-module noethérien X se décompose naturellement comme somme directe de ses ϕ-composantes Xϕ=Xeϕ, chaque Xϕ
étant pseudo-isomorphe, commeΛϕ-module noethérien à un uniqueΛϕmodule élémentaire : Xϕ∼Λρϕϕ⊕ ⊕si=0ϕ Λϕ/fϕ,iΛϕ
⊕ ⊕tj=0ϕ Λϕ/`mϕ,iΛϕ . Notant alorsPϕ=Qtϕ
j=0`mϕ,jQsϕ
i=0fϕ,i ∈Zϕ[γ−1]le polynôme caractéristique du sous-module de Λϕ-torsion deXϕ, on obtient ainsi les trois invariants structurelsρϕ= dimΛϕXϕ,µϕ=ν`(Pϕ)et λϕ= deg((Pϕ), qu’il est commode de coder globalement en introduisant les caractères structurels :
ρ=P
ϕρϕ ϕ , µ=P
ϕµϕϕ , λ=P
ϕλϕ ϕ.
Dans ce contexte équivariant, le Théorème principal de [16] se généralise comme suit : Théorème 1(Théorème des paramètres). SoitK/F une extension abélienne de corps de nombres, de degréd étranger à `, puis F∞ =SFn une Z`-extension arbitraire de F et K∞ =SKn, avec [Kn : K] = [Fn : F] =`n, de sorte qu’on a : ∆ = Gal(K∞/F∞)' Gal(K/F). Soit enfin γ un générateur topologique du groupe procyclique Γ = Gal(K∞/K) 'Gal(F∞/F) et Λ = Z`[[γ−1]]
l’algèbre d’Iwasawa associée.
Deux ensembles finis disjoints S et T de places de F étant donnés, notons ρST, µST et λST les caractères structurels pour sa structure de Λ[∆]-module attachés à la limite projective (pour la norme) CTS(K∞) = lim
←−C`ST(Kn)des (pro)-`-groupes de T-classesS-infinitésimales des corpsKn. Il existe alors un caractère `-adique virtuel κST de ∆ tel que la `-valuation xST(n)ϕ de la ϕ- composante du quotient d’exposant`n de C`ST(Kn) soit donnée asymptotiquement par :
xST(n)ϕ ≈< ρST, ϕ > n`n + < µST, ϕ > `n + < λST −κST, ϕ > n.
(i) Dans le cas spécial où l’extension F∞/F est elle-même S-ramifiée et T-décomposée, on a κST =−1 (opposé du caractère unité) ainsi que l’estimation asymptotique stricte :
xST(n) ≈< ρST, ϕ > n`n + < µST, ϕ > `n + < λST+ 1, ϕ > n.
(ii) Dans tous les autres cas, on a : 06κST 6`eρST, oùe est le plus petit entier n tel que les places ramifiées dans F∞/F le soient totalement dans F∞/Fn et les places de T finiment décomposées dans F∞/Fn ne se décomposent pas dansF∞/Fn. En particulier, pour ϕfixé
< κST, ϕ >est nul dès que< ρST, ϕ >l’est ; autrement dit dès que laϕ-composante de CTS(K∞) est unΛϕ-module de torsion ; auquel cas on a l’estimation asymptotique stricte :
xST(n) ≈< ρST, ϕ > n`n + < µST, ϕ > `n + < λST, ϕ > n.
Preuve.Le Théorème s’obtient tout simplement en appliquantmutatis mutandisle résultat de [16]
rappelé plus haut aux ϕ-composantes des groupes C`ST(Kn), ce qui revient à remplacer l’anneau des scalairesZ` par son extension non-ramifiéeZϕ.
Il vient ainsi corriger le Théorème 2.2 de [14] qui se trouve en défaut lorsque le caractèreκST n’est pas nul.
Remarque. Le produit scalaire < ϕ, ϕ > est le degré degϕ = [Zϕ : Z`] du caractère `-adique irréductibleϕ. Il vaut1si et seulement siϕest absolument irréductible ; par exemple pourd|(`−1).
2 Conséquence des identités du miroir de Gras
Nous nous restreignons dans cette section au cas où`est impair,Kcontient les racines`-ièmes de l’unité etF∞ est laZ`-extension cyclotomique de F.
Dans ce contexte les identités du miroir de Gras (cf. [2, 14]) mettent en reflet les sous- groupes de `n-torsion respectifs des pro-`-groupes de S-classes T-infinitésimales et de T-classes S-infinitésimales attachés aux étages finisKn de la tour cyclotomique.
Précisons quelques notations : pour chaque placep∞deF∞, désignons par∆p∞ le sous-groupe de décomposition dep∞dans∆ = Gal(K∞/F∞)(qui ne dépend que de la placepdeF au-dessous dep∞) ; notonsχp∞ l’induit à∆ du caractère unité de∆p∞; posons enfin :
χS =P
p∞∈S∞χp∞ & χT =P
p∞∈T∞χp∞, où la somme porte sur les places deF∞au-dessus deS etT respectivement.
Introduisons le caractère de Teichmüller ω, défini ici comme le caractère de l’action de ∆ sur le module de Tate T` = lim
←−µ`n; notons χ−1 le contragrédient d’un caractère χ, donné par σ7→χ(σ−1); et écrivons
χ7→χ∗=ωχ−1 l’involution du miroir. Cela étant, il vient :
Théorème 2 (Théorème de réflexion). Si le nombre premier ` est impair,K contient le groupe µ` des racines `-ièmes de l’unité, et si la réunion S∪T contient l’ensemble L des places de F au-dessus de`, les caractères intervenant dans le Théorème des paramètres satisfont les identités :
λTS−κTS+ (χS−1) = λST −κST+ (χT−1)∗
.
Preuve.C’est exactement l’assertion(iii)du Théorème 2.6 de [14], une fois corrigés les caractères structurelsλdes défautsκ, conformément au Théorème des paramètres plus haut.
Corollaire 3. SiS contientL, il vient directement :λST =λS∅ = λ∅L+ (χS−1)∗ .
Preuve. Les places modérées (i.e. ne divisant pas`) étant sans inertie au-dessus deK∞, il vient CTS(K∞) =C∅S(K∞), doncλST =λS∅; puis, en vertu du cas spécialκS∅ =−1 :
λS∅ =λS∅ −κS∅ + (χ∅−1) = λ∅S−κ∅S+ (χS−1)∗
.
Et, CS∅(K∞)étant unΛ-module de torsion, on a :ρ∅S= 0, doncκ∅S = 0; d’où le résultat.
Corollaire 4. Si, au contraire,T contientL, il vient :λST =λSL=λ∅L+ (χS−1−κLS)∗. Et le caractèreκLS vérifie les inégalités :06κLS 6`eρLS =`eρL∅.
Preuve. CSL(K∞)est unΛ-module de torsion ; d’oùρSL= 0 etκSL= 0; puis, comme plus haut : λST+ (χL−1) =λSL+ (χL−1) =λSL−κSL+ (χL−1) = λLS−κLS+ (χS−1)∗
.
Les places modérées étant sans inertie au-dessus deK∞, il vient CSL(K∞) =C∅L(K∞)doncλTS =λT∅ : λST+ (χL−1) = λL∅ −κL∅ −(κLS−κL∅) + (χS−1)∗
, c’est à dire :
λST+ (χL−1) = λL∅ −κL∅−(χ∅−1)−κLS+ (χS−1)∗ , viaκL∅ =−1 en vertu du cas spécial ; et finalement, parκ∅L=ρ∅L= 0:
λST+ (χL−1) =λ∅L+ (χL−1) + (χS−1−κLS)∗.
Enfin, le caractère κLS vérifie :06κLS 6`eρLS; et l’on aρLS =ρL∅, toujours parce que les places modérées non-ramifiées au-dessus deK∞sont complètement décomposées.
Définition 5. Nous disons que κLS = (χS −1)−(λSL−λ∅L)∗ est le caractère de défaut attaché à l’ensemble de places modérées S dans l’involution du miroir.
Tout le problème est alors d’évaluer précisément κLS et de l’interpréter arithmétiquement.
3 Étude en présence de conjugaison complexe
Pour aller plus loin, plaçons-nous dans le cas où le corps de base F est totalement réel et notons τ¯ ∈ ∆ la conjugaison complexe. Il est habituel dans ce cadre de dire qu’un caractère `- adique estréellorsque tous ses facteursabsolumentirréductibles prennent la valeur+1enτ¯; qu’il est imaginaire lorsque tous prennent la valeur −1; et de décomposer chaque caractère `-adique comme sommeχ=χ⊕+χ de ses composantes réelles et imaginaires.
Par exemple, il résulte de la finitude bien connue du défaut de Leopoldt dans la Z`-extension cyclotomique (cf. e.g. [21]) que les caractèresρST sont imaginaires. En particulier, hors le cas spécial, il suit :06κST⊕6`eρST⊕= 0, donc, en vertu du Corollaire4 :
Proposition 6. En dehors du cas spécial S ⊃L &T = ∅, où l’on a κST =−1, la composante réelle du caractère de défaut est triviale : κST⊕= 0.
En particulier, pour T ⊃L, convenant d’écrire λL pourλ∅L, on a : λST =λSL =λL+ (χ⊕S−1)∗.
Pour les composantes réelles, c’est plus compliqué, car le défautκST peut être non-trivial : Proposition 7. PourT ⊃Let S non-vide, on a seulementλST⊕=λSL⊕ avec :
06λSL⊕−λ⊕L = χ∗S−κSL∗⊕ 6χ∗S⊕.
La Proposition assure en particulier que le caractère de défaut κST est indépendant des places modérées intervenant dansT. C’est également le cas des places sauvages, au moins sous la conjec- ture de Leopoldt. Nous avons, en effet, généralisant un résultat de Greenberg ([4], Prop. 1) : Théorème 8. Pour tout corps de nombres totalement réel K, si la conjecture de Leopoldt est¯ satisfaite pour le premier `à chaque étage fini de la Z`-tour cyclotomique K¯∞/K, le sous-module¯ du pro-`-groupe CKS¯
∞ = lim
←−C`KS¯
n construit sur les places au-dessus de` est fini.
En particulier, dans le contexte de cette note, on a l’égalité : λSL⊕=λS∅⊕.
Preuve. La propriété annoncée étant asymptotique, ce n’est pas restreindre la généralité que de supposer (pour cette démonstration) que les places au-dessus de ` se ramifient totalement dans K¯∞/K. Or, sous cette hypothèse, les classes de rayons modulo¯ S des places de K¯n au-dessus de
` sont invariantes par le groupe de GaloisΓn = Gal( ¯Kn/K). Tout revient donc à vérifier que les¯ classes ambiges de rayons moduloS restent bornées lorsqu’on monte la tourK¯∞/K.¯
La formule des classes ambiges, écrite pour les `-groupes de classes S-infinitésimales (cf. [11], Cor. II.2.35, ou l’appendiceinfrapour plus de détails) donne ici :
|(C`KS¯n)Γn|=| C`KS¯|
Qep( ¯Kn/K)¯
[ ¯Kn: ¯K] ES( ¯K) :ES( ¯K)∩NK¯n/K¯(RK¯n)
Dans celle-ci le produit des indices de ramificationep( ¯Kn/K)¯ au numérateur est tout simplement l’indice normique UL( ¯K) : NKn/K¯(UL( ¯Kn))
, où UL désigne le groupe des unités semi-locales attachées aux places deL; et ES( ¯K)au dénominateur est le`-groupe des unitésS-infinitésimales.
Maintenant, sous la conjecture de Leopoldt, ES( ¯K)s’identifie par le morphisme canonique de semi-localisation à un sous-module d’indice fini du noyau UL∗( ¯K)de la normeNK/¯ Q dans UL( ¯K).
Nous pouvons donc, à un borné près, remplacer le quotient à droite par UL( ¯K) :NK¯n/K¯(UL( ¯Kn))
[ ¯Kn: ¯K] UL∗( ¯K) :NK¯n/K¯(UL∗(Rn)) = 1.
Corollaire 9. En dehors du cas spécial, sous la conjecture de Leopoldt dans K∞, le caractère de défautκLS est donné par :
κLS = [χS−(λSL−λ∅L)∗] = [χS−(λS∅−λ∅∅)∗] ,
où le caractère structurel λ∅∅ est attaché à la limite projective des `-groupes de classes d’idéaux C`K¯n tandis que le caractèreλS∅ l’est à celle des `-groupes C`KS¯
n de classes de rayons moduloS.
4 Interprétation arithmétique du caractère de défaut
Pour interpréterκS, appuyons-nous sur la théorie `-adique du corps de classes (cf. [13]). Rap- pelons que, pour tout ensemble finiΣde places d’un corps de nombresN, le pro-`-groupe d’idèles associé à la pro-`-extension abélienneΣ-ramifiée maximaleNΣ deN est le produitUΣR, avec
UΣ=Q
p∈Σ/ Up et R=Z`⊗ZN×
où Up= lim←−Up`k est le`-groupe des unités enpetRle groupe des idèles principaux. Posant alors : UΣ=Q
p∈ΣUp. on obtient :
Gal(NLS/NS)' USR/ULSR ' UL/(UL∩ ULSR)' UL/pL(ES),
où pL est le morphisme canonique de semi-localisation, E = Z`⊗ZE le `-adifié du groupe des unités et ES =E ∩ US son sous-groupeS-infinitésimal. De façon semblable, il vient :
Gal(NLS/NL)' ULR/ULSR ' US/(US∩ ULSR)' US/pS(EL)' US,
avec ici EL= 1, dès que le corpsN vérifie la conjecture de Leopoldt en`(cf. [13], §2.3). Et enfin : Gal(NLS/NLNS)'(ULR ∩ USR/ULSR)'(US∩ USR)/(US∩ ULSR)'pS(E),
toujours sous la conjecture de Leopoldt dansN.
Appliquons cela aux divers étagesK¯nde laZ`-extension cyclotomique du sous-corps réelK¯ de K en supposant satisfaite la conjecture de Leopoldt dansK¯∞. Par passage à la limite projective pour les applications normes, nous obtenons les isomorphismes deΛ[∆]-modules :
Gal( ¯K∞LS/K¯∞L)'←US, Gal( ¯K∞LS/K¯∞LK¯∞S)'pS(←E), Gal( ¯K∞LS/K¯∞S)'←UL/pL(←ES), où←E = lim
←−E( ¯Kn)est la limite projective des groupes d’unités ;←UL= lim
←−UL( ¯Kn)celle des groupes d’unités locales attachées aux places au-dessus de `; et ←US = lim
←−US( ¯Kn)'Q
p∞∈S lim
←−µpn est unZ`[∆]-module projectif de caractèreωχS =ωχ−1S =χ∗S.
Or, nous avons directement, par projection via l’idempotent 12(1+ ¯τ)(et avecK¯∞L∩K¯∞S = ¯K∞∅ ) : Gal( ¯K∞L/K∞)' CKL⊕
∞, Gal( ¯K∞L ∩K¯∞L/K¯∞)' CK∅ ⊕
∞, Gal( ¯K∞S/K¯∞)' CKS⊕
∞. L’ensemble de ces résultats est donc résumé dans le diagramme galoisien :
K¯∞LS
K¯∞LK¯∞S
K¯∞L K¯∞S
K¯∞∅ = ¯K∞L ∩K¯∞S
K¯∞
Q Q
Q Q
Q QQ
Q Q Q Q Q QQ
pS(←E)
←US
←UL/pL(←ES)
CLK¯
∞ CKS¯
∞
CK¯∞
Et chacun des six groupes de Galois précédents est un Z`|∆]-module noethérien. Ainsi, de l’isomorphismeGal( ¯K∞S/( ¯K∞L ∩K¯∞S))'Gal( ¯K∞LK¯∞S/K¯∞L)'←US/pS(←E), nous tirons :
Proposition 10. Le refletκSL∗ du caractère de défautκSLest le caractère duZ`[∆]-module projectif Gal( ¯K∞LS/K¯∞LK¯∞S)'pS(←E).
