3.2 Ajustement à un modèle théorique.

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1 Introduction

Regressi est un logiciel de traitement de données et de simulation :

◦ Regressi permet de traiter des mesures acquises au clavier ou via une carte d’acquisition. Ces mesures peuvent être traitées comme dans un tableur.

◦ Il peut aussi créer des courbes par simulation ou par saisie.

◦ Regressi peut, dans le cadre d’une modélisation, ajuster une courbe théorique à un ensemble de points expérimentaux.

Le logiciel peut exporter ses données en direction des tableurs classiques par enregistrement des données ou par Copier/Coller.

L’utilisation du logiciel se fait par menus déroulants ou par icônes. Décrivons trois grandes parties que nous utiliserons en séance de T.P.

Grandeurs : Cette partie gère les variables acquises (et permet d’en créer d’autres), les paramètres, les unités, les incertitudes, le tableau de mesures et tous les calculs. Les lettres grecques sont utili- sables via les touches Ctrl+ lettre ou Ctrl+Shift+ lettre :

lettre a b c d e f g h j k l n p q r s t w x z

Ctrl+ α β χ δ ε φ γ η ψ κ λ ν π θ ρ σ τ ω ξ ζ

Ctrl+Shift+ ∆ Φ Γ Ψ Λ Π Θ Σ Ω Ξ

Le module de calcul dispose de nombreuses fonctions mathématiques :

◦ Fonctions classiques LN, LOG, SQRT, SIN, COS, TAN, EXP, ABS, CH, SH, TH, ASIN, ACOS, ATAN.

◦ SINC(x)=^sin_x^x est la fonction sinus cardinal

◦ BESSEL(n,x) est la fonction de Bessel d’ordre entiernlimité à|x|<30.

◦ SIGN(x)=^|x_x^|fonction signe.

◦ INT(x) partie entière de x

◦ FRAC(x) partie fractionnaire de x

◦ CEIL(x) plus petit entier≥x

◦ ECH(x) fonction échelon :ECH(x) = 0 si x<0 et 1 sinon.

◦ RAND(x) : valeur aléatoire entre -x et x.

Le module de calcul permet également de résoudre des équations :

◦ x=solve(f(x)) définit et résout l’équation f(x)=0

◦ y’=f(x,y) résout l’équation différentielle du premier ordre ^dy_dx = f(x,y). Dans le cas d’une modé- lisation, la valeur initialey0expérimentale est utilisée pour résoudre l’équation différentielle.

◦ y”=f(x,y,y’) résout l’équation différentielle du second ordre ^d_dx^2y₂ = f(x,y,y⁰). Dans le cas d’une modélisation, la valeur initialey0expérimentale est utilisée pour résoudre l’équation différentielle ety⁰₀devient un paramètre à ajuster (dans l’onglet paramètres du tableur).

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Graphe : Ces principales possibilités sont :

◦ Une boîte de gestion des coordonnées (classiques et polaires), des axes (classiques, orthonormés, graduations linéaires, logarithmiques, inverses et en décibels) et des modes d’affichages avec choix des couleurs, des tracés (continus ou pointillés, normal ou en gras), du style des points. La ges- tion des tracés des vecteurs vitesses et accélérations avec choix des couleurs et de la taille y est implémentée. La gestion de superposition des courbes et/ou des pages complète cette fonction.

◦ Un module complet de modélisation manuelle ou automatique (linéaire, parabolique, logarith- mique, exponentielle, échelon, sinusoïde pure, amortie, divergente et les filtres). Plusieurs modèles sont possibles simultanément, soit sur la même courbes (modélisation par morceaux) soit sur plu- sieurs courbes. Les résultats de la modélisation sont disponibles avec l’écart quadratique et valeurs des coefficients.

◦ L’impression directe et le « Copier/coller » sont accessibles d’un seul clic de souris.

◦ Un module d’animation permet de visualiser l’influence d’un paramètre sur une ou plusieurs courbes.

◦ Enfin, un menu déroulant vous offre les possibilités suivantes : écriture de textes de la taille et de la couleur de votre choix avec cadre et/ou flèche, dessin de ligne continue ou non, gomme pour effacer soit un texte, soit une ligne, soit un point ou un ensemble de points de mesures, un réticule avec affichage des coordonnées, un ou deux curseurs de données avec ou sans : réticule, écart, coordonnées et pente, un curseur tangente simple ou tangente automatique pour les courbes de dosage avec accès aux coefficients stoechiométriques des produits, modification de l’origine de l’abscisse et des valeurs modélisées.

Statistiques : Permet de tracer l’histogramme d’une variable sélectionnée. On peut y ajouter une courbe de GAUSS, la droite médiane, la droite moyenne. Un tableau récapitulatif dispose des infor- mations principales :

◦ La moyenne :

m= Pxⁱ

N

◦ La médiane : valeur centrale d’un ensemble de nombres rangés par ordre croissant. C’est la valeur du milieu (si N est impair) ou la moyenne des valeurs du milieu (si N est pair). Par exemple pour l’ensemble :

991.3 992.2 993.8 994.0 994.9 995.5 996.2 996.5 996.8 997.3 997.4 998.0 998.0 998.9 999.0 la médiane est la valeur 996.5.

◦ écart type : il exprime la dispersion des résultats autour de la moyenne.

s=

r P(x−m)² N−1

◦ Le Coefficient de Variation CV nous renseigne sur la précision des résultats : CV(%) = 100s

m

◦ L’intervalle de confianceIC95%est un intervalle tel que la probabilité qu’une nouvelle mesure donne une valeur dans cette intervalle est de95%.

2 Remplissage du tableau

Le plus simple est d’illustrer les caractéristiques de Regressi sur un exemple : cherchons à remplir un tableau de données expérimentales et testons différents modèles.

Imaginons qu’une expérience donne accès à la mesure de deux grandeursxety. Nous voulons rentrer ces mesures dans un tableau Regressi :

1. Cliquons sur l’icône Regressi sur le bureau Windows pour démarrer le logiciel.

2. Dans Fichier , faire Nouveau . Là on nous propose différentes options (voir figure 1 (a) ) :

(a) Ouvrir un tableau (b) Gestion des grandeurs

FIG. 1 – Remplissage d’un tableau de données.

◦ Clavier permet de rentrer au clavier des mesures. Nous choisirons donc Clavier .

◦ Simulation permet de simuler un phénomène à l’aide de fonctions, d’équations différentielles et de paramètres.

◦ Presse Papier permet de copier le contenu du presse papier (par exemple la copie d’un tableau de mesure d’un logiciel d’acquisition de données) dans un tableau Regressi.

3. Après avoir valider Clavier , le logiciel nous demande les noms, les unités et les intervalles de variation des grandeurs que nous allons saisir.

◦ Pour les noms, il est conseillé d’utiliser exclusivement des minuscules et il faut absolument éviter les espaces, les accents ainsi que les noms de plus de 8 caractères.

◦ Les unités et l’intervalle de variation sont facultatives.

4. Une fois les grandeurs définies, un tableau nous est proposé (onglet variables). Le remplissage du tableau ne pose pas de difficulté particulière.

5. Un clic droit de la souris permet de supprimer, créer etc. d’autres variables (voir figure 1 (b)). On peut aussi utiliser l’icone pour ajouter une colonne et l’icône pour en supprimer une.

6. Nous souhaitons créer la variablesz = cosxdans le but de représenteryen fonction decosx(la théorie prévoit par exemple quey= cosx). Pour cela un clic droit de la souris permet d’ouvrir une boîte de dialogue nous demandant quel type de grandeur nous voulons créer. Ici, nous cocherons la case grandeur calculée puis nous donnerons l’expression de la fonction.

7. Nous vérifions que cette opération a ajouté dans l’onglet expression, en mode tableur, la formule z = cosx. Ainsi, on peut définir autant de variables calculées en tapant directement les formules dans l’onglet expression.

Finalement, nous avons créé trois colonnes, deux contenant des variables rentrées par l’intermédiaire du clavier et une colonne de données calculées. Voyons maintenant comment représenter graphiquement ces données et comment les confronter à un modèle.

FIG. 2 – Création d’une nouvelle colonne

3 Représentation et ajustement

3.1 Représentation graphique

Pour obtenir le graphe, il suffit de cliquer sur l’icone . Un graphe par défaut est représenté. Pour spécifier les variables en abscisse et en ordonnées il suffit de valider dans le menu contextuel (clic droit de la souris - voir figure 3) l’option coordonnées qui ouvre une boîte de dialogue permettant les réglages sur les coordonnées, l’échelle, le lissage, le type de tracé etc....

FIG. 3 – Menu contextuel en mode graphique.

Sur le graphe, il est possible de faire de nombreuses opérations en utilisant les icônes de la fenêtre Graphe :

◦ écrire du texte.

◦ zoomer une partie de la courbe.

◦ utiliser le réticule pour repérer un point.

◦ tracer une tangente à la courbe.

◦ tracer un segment.

◦ et bien sûr imprimer le résultat.

3.2 Ajustement à un modèle théorique.

Nous voudrions tester le modèle suivant lequely= cos(x) =z. Il suffit donc de traceryen fonction dez.

Nous remarquons que bien que les points ne soient pas rigoureusement alignés (du fait des incertitudes de mesure), il est tentant de penser que les points sont reliés par une relation linéaire.

Regressi offre la possibilité d’ajuster une courbe modèle (iciy(z) =azoùaest un paramètre ajustable), en utilisant une méthode de moindes carrés : le programme cherche à minimiser la somme des carrés des écarts entre les points expérimentaux et la courbe. Le Logiciel propose plusieurs modèles (affine, parabolique, logarithmique etc.) mais on peut également écrire dans la boîte expression du modèle son propre modèle - attention cependant à ne pas donner aux paramètres du modèle une lettre déjà prise par une variable ! - Enfin dans certains cas (régression non linéaire) il faut donner des valeurs initiales aux paramètres - si possibles proches des paramètres optimaux - pour ensuite ajuster la courbe modèle aux points (voir figure 4 et 5)

FIG. 4 – Ajustement à un modèle linéaire. Le paramètre est obtenu en cliquant sur ajuster. Le logiciel trouvey= 0,993 cosx

Regressi offre également la possibilité d’ajuster une équation différentielle à un ensemble de points expé- rimentaux. Pour cela, il suffit de taper dans la fenêtre expression du modèle l’équation différentielle (voir figure 6).

FIG. 5 – Régression non linéaire. Ajustement à un modèle à deux paramètres : y(x) = acos(bx). La courbe modèle n’est pas ajustée. Il faut , en jouant sur les valeurs deaet b, se rapprocher des points expérimentaux puis cliquer sur ajuster.

FIG. 6 – Ajustement de l’équation différentielley” = −aydont la solution esty(x) =Acos(√

ax+φ).

Ce modèle prévoity(x) = 0.93 cos(0.99x+ 7,8^◦)