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Modélisation et Simulation de la Croissance de grains et de la recristallisation primaire
R. Penelle, P. Paillard, T. Baudin
To cite this version:
R. Penelle, P. Paillard, T. Baudin. Modélisation et Simulation de la Croissance de grains et de la
recristallisation primaire. J. Phys. IV, 1995, 05 (C3), pp.C3-51-C3-66. �10.1051/jp4:1995305�. �jpa-
00253671�
JOURNAL DE PHYSIQUE IV
Colloque C3, supplément au Journal de Physique III, Volume 5, avril 1995 C3-51
Modélisation et Simulation de la Croissance de grains et de la recristallisation primaire
R. Penelle, P. Paillard et T. Baudin
Laboratoire de Métallurgie Structurale, URA 1107 du CNRS, Bât. 413, Université Paris-Sud, 91405 Orsay cedex, France
ABSTRACT :One of the main purposes in Materials Science remains the control of the microstructure because it influences a great number of properties : mechanical, magnetic, ... From the casting step, this microstructure transforms during the different thermal and thermomechanical treatments.
The driving force involved in primary recrystallisation is at the first order the dislocation density whereas the area reduction of grain boundaries, the grain size distribution, the spatial distribution of boundaries, the crystallographic texture, the chemistry of the material control grain growth.
In the first step, analytical models of growth will be recalled, then in a second step the recent progress on primary recrystallisation and growth simulation using Monte Carlo method will be described.
1. INTRODUCTION
La microstructure conditionne largement les propriétés des matériaux, quelles soient mécaniques, magnétiques, électriques ou autres ; la microstructure dépend de la chimie du matériau mais également de toute la gamme de transformation depuis la solidification, à savoir les traitements thermomécaniques (laminage à chaud, forgeage par exemple) e t les traitements mécaniques et thermiques. Tout au long de la gamme de fabrication, les transformations de phases, la déformation plastique des grains, la r e s t a u r a t i o n e t / o u la recristallisation des grains écrouis, les i n t e r a c t i o n s p r é c i p i t a t i o n - r e c r i s t a l l i s a t i o n , la croissance normale ou anormale des grains, influent sur la microstructure finale des matériaux. De nouvelles techniques permettent également d'élaborer des matériaux avec des microstructures ou d e s compositions impossibles à réaliser par les filières traditionnelles. A t i t r e d'exemple, des matériaux nanostructurés peuvent être obtenus à partir de poudres ultrafines, des phases hors d'équilibre peuvent être atteintes par solidification rapide... Compte tenu de l'ampleur du domaine le présent article sera essentiellement consacré à la modélisation e t à la simulation de la recristallisation primaire e t de la croissance des grains.
Les forces motrices impliquées dans les processus de recristallisation primaire et de croissance cristalline sont de nature différente : dans le premier c'est l'énergie associée à la densité de dislocations alors que dans le second c'est l'énergie de joints de grains. La croissance de grains qu'elle soit normale ou anormale dépend de l'orientation cristallographique des grains, de leur taille moyenne, de leur distribution en taille e t bien entendu de l'énergie de joint qui tend à réduire l'aire totale des joints de grains.
En général, on divise les joints de grains en deux grandes classes, les joints spéciaux et
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jp4:1995305
C3-52 JOURNAL DE PHYSIQUE IV
les joints généraux selon la propriété qui leur est associée, selon leur structure et les paramètres cristallographiques qui les décrivent. Les joints spéciaux comprennent les joints à faible angle dont la désorientation est inférieure à 1 S0, les joints généraux constituant le reste.
Une des propriétés qui caractérise le degré de spécialité d'un joint est sa vitesse de migration. On tend à associer aux joints généraux une vitesse de migration plus élevée que celle des joints spéciaux, cependant en présence de soluté les joints spéciaux possèdent des vitesses de migration supérieures à celles des joints généraux, AUST et RUlTER
[Il.
La croissance de grains peut-être fortement ralentie voire inhibée par la présence d'une fine phase dispersée qui épingle les joints de grains, c'est la force de freinage de ZENER [2].2. MODELISATION DE LA CROISSANCE DE GRAINS
Les premières tentatives pour décrire la croissance de grains datent d'une cinquantaine d'années ; ainsi SMITH [3] établit que la force motrice pour la migration de grains au cours de la croissance est I'énergie de joint. II insista sur le fait que la croissance des grains dépend de contraintes topologiques et de conditions d'équilibre liées à la tension superficielle des joints.
Dès 1920 CARPENTER et ELAM [4] montrèrent en suivant la croissance normale d'un alliage Sn-1,5%Sb à l'aide d'un microscope à platine chauffante que :
-
la croissance se produit par migration de joints et non par coalescence.-
la vitesse de migration d'un joint n'est pas constante au cours du recuit-
la direction de migration peut changer-
un grain donné peut croître aux dépens d'un grain voisin d'un côté mais être consommé par un voisin d'un autre côté.En utilisant la même technique, SUTOKI
[SI
montra qu'un joint de grains courbe migre généralement vers son centre de courbure. HARKER e t PARKER [6]confirmèrent cette observation et en outre observèrent que lorsque les joints de grains d'un métal font des angles différents de 120", le grain qui est limité par des joints faisant des angles nettement inférieurs à 120" disparaîtra.
En 1952, BURKE et TURNBULL [7] montrèrent que la vitesse de croissance normale suit une loi parabolique en supposant que I'énergie de surface du joint est la force motrice de migration et que le joint migre vers son centre de courbure pour réduite son aire et donc son énergie.
Dans le cas d'un métal pur la vitesse de migration est donnée par l'équation de mouvement :
où V est la vitesse du joint, m sa mobilité et P la pression motrice. La pression P est proportionnelle à la courbure du joint :
où y est I'énergie du joint et r i et r2 les rayons de courbure principaux de la surface du joint. Si le joint est assimilé à une sphère r i = 1-2. BURKE e t TURNBULL supposèrent en outre que :
-
l'énergie de joint y est la même pour tous les joints et qu'elle est indépendante de la taille de grains et du temps-
le rayon de courbure du joint, r, est proportionnel au rayon moyen des grains R . .- -
dR est proportionnel à V.dt En conséquence :
en supposant que m est constant, on obtient après intégration
où Ro est le rayon moyen des grains au temps t = O. Si
$
est négligeable par rapport à ~ 2 ,alors
2
= KtCependant expérimentalement l'exposant n de cette loi de croissance diffère de 2 ; la valeur la plus fréquemment trouvée est n = 3. Dans le cas de métaux de haute pureté (Al, Fe, Pb, Sn) les valeurs sont comprises entre 2 et 4 avec une valeur moyenne de 2,s. Cet écart à la valeur 2 pourrait être dû à des variations de la mobilité des joints liées au freinage des joints par les impuretés, à la présence d'une texture ou à I'anisotropie d'énergie des joints. Un autre point souvent négligé est le rôle de la taille initiale des grains Ro. Pour les métaux de zone fondue MARTIN et DOHERTY [8]
pensent que les valeurs n
>
2 sont dues soit au freinage des joints par les atomes de soluté entraînant une non linéarité entre la vitesse de migration des joints V e t la pression motrice P, soit au fait qu'il existe une force motrice minimale Po au dessous de laquelle la migration ne peut se déclencher.L'objectif de toute théorie de croissance de grains étant de prédire au premier ordre I'évolution de la microstructure granulaire, la modélisation doit être cohérente avec les observations expérimentales. Les analyses relatives à la croissance de grains privilégient soit les cinétiques de taille de grains soit la dynamique topologique de la microstructure.
L'approche statistique du champ moyen traite du changement de taille d'un grain donné, noyé dans un milieu qui représente le comportement moyen de l'ensemble des grains. Comme au cours de la croissance normale il y a augmentation de la taille moyenne de grains e t diminution du nombre de grains, ces théories considèrent l'évolution temporelle de la fonction de distribution en taille F (R,t). Le premier travail fut celui de FELTHAM [9] qui observa que les distributions expérimentales de tailles de grains étaient approximativement "log-normale" et que dR
-
dépendaitdt
linéairement de la courbure. Suivirent alors les théories de HILLERT
[IO],
LOUAT [Il], HUNDERI et RYUM [12] pour ne citer que les principales : nous rappellerons ici brièvement les fondements du modèle de HILLERT. Ce modèle similaire à celui proposéC3-54 JOURNAL DE PHYSIQUE IV
par LlFSHlTZ et SLYOZOV [13] suppose que la vitesse de croissance ou de décroissance d'un grain dépend de sa taille R par rapport à un rayon critique Rc : ainsi la vitesse de croissance à un instant donné s'écrit :
où a est un facteur géométrique.
HILLERT introduisit sa loi de croissance dans I'équation de continuité qui s'écrit : dF d
- +
- [ F . ( ~ R 1 dt)] = O dt dRet résolut cette équation en 2 et en 3 dimensions.
La figure 1 représente la forme de la fonction F pour ces deux cas, les courbes de distribution ont une queue atteignant la valeur théorique 2 mais présentent des valeurs négligeables avant cette limite. On peut dire que la taille maximale est environ égale à 1,6 Rc en 3D e t 1,7 Rc en 2D.
Fiaure 1 : Fonction de distribution de taille de grains en 2 e t 3D
HILLERT traita aussi de l'effet des particules d'une seconde phase qui joue un rôle déterminant dans le cas de la croissance anormale des grains (recristallisation secondaire). II introduisit la force de freinage de ZENER dans l'équation 6 qui s'écrit alors :
où Z est le terme de ZENER, avec
où f est la fraction volumiaue de articules de taille r. Le signe doit être choisi de telle sorte que la contrainte de ;épulsion agit contre le mouvement du joint. Le signe négatif
I 1 Z
implique
-
<- - -
et le signe positif-
l >-
l+ -
ZR Rc a R Rc
a
HILLERT montra que son modèle permet de prédire le déclenchement de la croissance anormale de grains si trois conditions sont remplies simultanément
1 ) la croissance normale est inhibée par les particules de seconde phase 2) la taille de grains moyenne a une valeur inférieure à 1/2 Z
3) il y a au moins un grain plus grand que la moyenne.
Par une analyse plus fine HILLERT montra que la croissance anormale peut se
1 1
déclencher si le rayon critique Rc est tel que
-
< R, <-
32 2 2
Récemment ABBRUZZESE et LUCKE [14] développèrent un modèle qui prend en compte la microstructure e t la texture cristallographique, ces auteurs introduisent notamment un rayon critique par classe de tailles i et par classe d'orientations H.
Au lieu d'utiliser des distributions continues, les tailles de grains sont discrétisées en classes notées par les indices i, j,
...
Ns et les orientations en classes H, K,....
NT. NS et NT étant respectivement le nombre total de classes de tailles e t d'orientations. Dans le cas d'une texture présentant deux composantes A e t 6, les fractions T i de grains appartenant à une classe de taille ou à une classe d'orientation donnée sont :En raison de la croissance, le nombre total de grains NG diminue en fonction du temps.
La vitesse de croissance des grains de la classe i s'écrit alors :
en posant pour A
-
q A ~ = . * M M + BMABM" =
PAPA + qBPB
et
@ R ~ A M M + P B ~ 2 , B ~ A B q A ~ M ~
+
p B ~ A B ~ B Aoù M représente la mobilité réduite, produit de m par y Si maintenant :
C3-56 JOURNAL DE PHYSIQUE IV
$
et@
étant les rayons critiques partiels pour les distributions partielles(pA
et ~$3.Si le rayon moyen des grains de la classe minoritaire B est inférieur à celui de la classe majoritaire A,
MB
sera plus grand que2
et les grains B se développeront aux dépens des grains A. A la fin du processus, les grains A seront minoritaires e t posséderont une taille inférieure à celle des grains B, dans ces conditions les grains A pourront alors se développer aux dépens des grains 6, en principe!..Ce modèle s'applique au cas de la formation de la texture de GOSS { 1 1 O} <O01
>
des tôles Fe-3%Si à haute perméabilité magnétique. A l'état recristallisé primaire, les tôles contiennent de fins précipités de AIN et MnS qui bloquent la croissance normale.La texture de ces tôles peut se décrire à l'aide des orientations idéales suivantes :
D = l'aléatoire qD
-
4 0 %ROUAG [15] e t ROUAG et PENELLE [16] ROUAG et al. [17] ont montré que la classe minoritaire des grains de GOSS appartient à la classe des petits grains alors qu'à l'état recristallisé secondaire, ils sont largement majoritaires et possèdent une taille centimétrique. Ces auteurs ont montré d'une part que la croissance anormale démarre à 960°C alors que les précipités de AIN et MnS sont encore présents et d'autre part que les grains {l 1 1 }
<
1 1 2 > disparaissent en premier et les grains {l OO}< O
1 2 > e n dernier. Les joints séparant les grains de GOSS des grains { 1 1 1 } <112> sont des joints spéciaux CSL (Coïncidence Site Lattice) à 4" de L9, les joints entre les grains de GOSS e t les grains {100} <O1 2> sont des joints généraux. Le fait que les grains de la composante { 1 1 1 } < 1 1 2> disparaissent en premier prouve qu'en présence d'impuretés (AIN+
MnS) les joints CSL sont plus mobiles que les joints généraux parce que moins freinés, conclusion en accord avec les travaux de AUST et RUlTER [l1.
Pour que le déclenchement de la croissance anormale des grains de GOSS 11 1 O} <O01
>
ait lieu, il faut que :
où R est le rayon moyen de l'ensemble des grains. Ici RGOSS = 5 pm et R = 25 pm Ces deux conditions sont compatibles avec le modèle de ABBRUZZESE et LUCKE.
3) que les grains de GOSS aient le bon voisinage cristallographique, c'est à dire qu'ils possèdent au moins un joint CSL à 4" de L9 grâce à la présence de la composante { I l l } <112>.
2.2 ROLE DE L A TOPOLOGIE
Dans toutes les théories précédentes qui traitent de l'évolution de la distribution en taille et de la taille moyenne des grains, les considérations topologiques ne sont pas prises en compte.
C.S. SMITH [3] fut le premier à souligner l'importance du rôle joué par la topologie pour la croissance de grains et à définir des conditions topologiques. Ainsi en 2D, SMITH établit une relation entre le nombre de polygones P, le nombre de côtés E et le nombre de sommets C :
II montra en outre, toujours en 2D, qu'en moyenne un grain est entouré par 6 joints à 120". Un grain possédant moins de 6 côtés aura donc tendance à disparaître et s'il en possède plus de 6 il aura tendance à grossir.
Fiaure 2 : Schéma des deux processus fondamentaux topologiques qui se produisent en 2D
a) échange de voisins b) disparition d'un grain
JOURNAL DE PHYSIQUE IV
HILLERT [IO] a montré que si dans un ensemble de grains hexagonaux o n introduit un grain à 5 côtés, un grain à 7 côtés doit lui être adjoint pour maintenir la cohérence de 6 côtés en moyenne.
Les deux processus topologiques fondamentaux qui se produisent en 2D sont l'échange de voisins et la disparition de grains (figure 2) [18]. L'échange de voisins figure 2a se produit lorsque deux sommets (deux points triples) se rencontrent le long d'un côté (joint) puis se séparent dans une direction perpendiculaire ; l'annihilation d'un grain figure 2b se produit lorsque les sommets d'un grain possédant 3 côtés se rencontrent pour former un seul sommet. Des interactions plus complexes, telles que la transformation d'un grain à 4 côtés à un seul joint, sont des combinaisons des processus élémentaires précédents.
Cependant ces considérations topologiques ne spécifient pas les vitesses relatives de ces transformations. J. Von NEUMANN 1191 puis W. MULLINS [20]
relièrent, en 2D, la vitesse de croissance des grains à leur classe topologique e t montrèrent que la vitesse de variation d'aire des grains s'écrit :
où n est le nombre de côtés d'un grain d'aire A : si n
>
6 le grain grossit, dans le cas contraire il disparaît. Notons que cette loi semble vraie en moyenne.Sur la base de la loi de Von NEUMANN, FRADKOV [2 11 proposa une description statistique en 2D de la croissance des grains prenant en compte les vitesses des transformations topologiques. Récemment ABBRUZZESE, HECKELMANN et LUCKE [22- 231 proposèrent un modèle 2D prenant en compte les aspects statistiques e t topologiques : les auteurs établissent une théorie de la croissance des grains qui décrit l'évolution en fonction du temps de la fonction de distribution des rayons des grains comme une solution d'une équation de continuité à deux paramètres dépendant du rayon R et du nombre de côtés n. La vitesse de croissance d'un grain donné est déterminée par l'équation de Von NEUMANN et MULLINS. La vitesse de variation de n par échange avec les voisins doit également être évaluée : ABBRUZZESE e t al. aboutissent à une loi similaire à celle de HILLERT ; pour améliorer ce modèle il conviendrait certainement de tenir compte de la forme des grains et de I'anisotropie d'énergie et de mobilité des joints.
Pour être complet il faut souligner l'analyse topologique de RHINES e t CRAlG [24] dont le lecteur trouvera un excellent résumé dans l'article de ATKINSON [25]
ainsi que les travaux de KURTZ et CARPAY [26] et PANDE [27].
3. SIMULATION MONTE CARLO DE LA CROISSANCE DE GRAINS
Avant d'aborder l'approche probabiliste associée à la technique de MONTE CARLO qui a connu un grand succès ces dernières années, il convient de ne pas perdre de vue les modèles statistiques tels que celui de NOVIKOV [28] ou celui de HUNDERI et al 1291 et les modèles déterministes comme ceux de FRADKOV et UDLER [30], FROST et al [31]
ou KAWASAKI et al 1321.
La méthode de MONTE CARLO a été appliquée à différents types de croissance : normale ANDERSON et al [33], SROLOVITZ et al [34], SROLOVITZ et al [35], GREST et al [36], ANDERSON [37], ANDERSON et al [38], anormale, SROLOVITZ et al [39], ROLLETT e t al [40], GREST et al [41].
Récemment PAILLARD [42], PAILLARD e t a1[43-441 ont repris les travaux de ANDERSON et SROLOVITZ en les appliquant à la croissance de grains de tôles Fe-3%Si à haute perméabilité puis à des tôles Fe-Si obtenues par coulée directe en bandes minces.
La simulation est effectuée sur un maillage représentant la microstructure : en 2D le maillage est triangulaire et possède 200 x 200 noeuds appelés sites. A chaque site du maillage est affecté un nombre entier Q représentant I'orientation cristallographique de ce site. Pour se rapprocher au mieux de la texture expérimentale des tôles Fe 3%Si à haute perméabilité possédant les composantes { I l l } <1 12>, { 100 ] <O 1 2> et l'aléatoire avec quelques grains de GOSS [16], 1000 valeurs de Q ont été retenues.
Deux sites adjacents ayant la même orientation sont à l'intérieur du même grain, par voie de conséquence un joint de grain passe entre deux sites adjacents d'orientation différente, figure 3.
Fiaure 3 : Définition du maillage de la microstructure
-
les nombres entiers représentent les nombres d'orientation-
les traits représentent les joints de grainsLa méthode de MONTE CARLO appliquée à la croissance de grains est une méthode d'essais-erreurs. Un site est tiré au hasard sur le maillage, ce site a pour nombre caractérisant I'orientation, h i t e (1). L'énergie de ce site de coordonnées i, j est calculée à l'aide de l'équation.
E i j = J
C(
1-
6 Qsite (1) Qsite voisin) 6 premiersvoisins
où J est une constante qui définit une échelle d'énergie du joint de grains par unité de longueur, 6 est la fonction de KRONECKER, hite (1) la valeur de I'orientation du site choisi e t Qçite voisin, les nombres correspondant à I'orientation des sites qui sont voisins du site choisi Qite (1). Une nouvelle valeur d'orientation Qsite (2) est attribuée au hasard au site i, j, l'énergie du site affectée de sa nouvelle valeur
C3-60 JOURNAL DE PHYSIQUE IV
d'orientation est à nouveau calculée. Si la variation d'énergie L E est négative ou nulle ie changement d'orientation est accepté ; par contre si la variation est positive
,
le changement d'orientation est accepté avec la probabilitéoù k~ est la constante de BOLTZMANN et T la température en degré KELVIN.
Les transitions aux joints de grains donnent alors lieu à la migration des joints et un segment de joint se déplace avec une vitesse
où m est la mobilité.
La durée des simulations est mesurée en pas MONTE CARLO, sachant qu'un pas MONTE CARLO est atteint lorsque tous les sites du maillage, soit 200 x 200 sites ont subi une tentative de réorientation
.
Dans le cas de la croissance anormale la prise en compte de la texture implique de tenir compte de l'anisotropie d'énergie e t de mobilité des joints.
L'anisotropie d'énergie de joints de grains intervient dans le calcul de l'énergie du site i, j avant et après réorientation. Ainsi :
Ei,j = 2 (JI, J2, J3....J10) (1- 6 Qsite voisin) ( 1 8) 6 premiers
voisins
où J i
....
J i 0 sont les différentes constantes d'énergies liées aux différents types de joints, tableau 1.L'anisotropie de mobilité du joint intervient au niveau de l'acceptation de la réorientation. Si la variation d'énergie est négative ou nulle, la réorientation est acceptée avec la probabilité
où Y' est le rapport des mobilités p l , pz, p3,
...
p l 0 avant et après réorientation. Si la variation d'énergie est positive, la probabilité d'acceptation devient :PAILLARD 1421 a simulé la croissance normale e t anormale dans le cas d'une tôle Fe 3%Si étudiée précédemment par ROUAG [16].
TABLEAU 1 TABLEAU 2
Constante d'énergie Constante de mobilité TYPE DE JOINT DE GRAINS
I
TYPE DE JOINT DE GRAINS J tnm1 x 102 Constante de mobilité
aléatoire aléatoire JI O 1 O
(5541 <225> (5541 <225> J8 8
(1 101 <001> (5541 <225> J1 1
(100) <O1 2> ( 1001 <O1 2> J9 9
(554) <225> aléatoire J5 5 (5541 <225> (5541 <225> 45 02
(1 10) <001> (100) <O1 2> J2 2 (100) <O1 2s aléatoire 35 2,s
(1 101 <001> (5543 <22S> 33 2,s
(1001 <012> aléatoire J6 6 (1 00) <O1 2> (100) <O1 2> 25 0,1
(1 10) <O01 > (1 10) <O01 > 25 0, 1
(1 10) <001> aléatoire 30 2,s
(1 10) <O01 > (1 00) <O1 2, 26 0,1
(1 10) <001> (1 10) <O01 > 57 7
(1 10) <001> aléatoire 53 3 aléatoire aléatoire 65 0,4
(5541 <225> (1 00) <O1 2> J4 4 1554) <225> (1 001 <O1 2> 36 23
(554) <225> aléatoire 38 2,s
JOURNAL DE PHYSIQUE IV
Fiaure 4 : Variation du diamètre moyen en fonction du temps de simulation,
-
J = 2,201 0' m-1 kt800 pmc
Fiaure 5 : Simulation de la croissance anomale pour l'alliage Fe 3% Si, Hi-B, T = 1 173"K, J voir tableau 2
Dans le cas de la croissance normale PAILLARD a trouvé en traçant la variation du diamètre moyen des grains
Dm
en fonction du temps de simulation (nombre de pas MONTE CARLO) que la loi de croissance est de la forme.D m = K't" (2 1 )
avec n = 0,46 (figure 4).
II convient d'être prudent à propos de la valeur de n car elle dépend du nombre de sites choisis au départ : n tend en effet vers 0,s pour un grand nombre de sites.
Pour la simulation de la croissance anormale seules les anisotropies d'énergie e t de mobilité des joints ont été prises en compte : en l'absence de données sur les énergies de joints dans les matériaux de structure cubique centrée, PAILLARD a repris les valeurs d'énergie et de mobilité utilisées par ABBRUZZESE e t al [45], en les modifiant légèrement (tableau 2)
.
Les microstructures simulées pour la croissance anormale sont présentées, figure 5. D'après cette figure on remarque que les quelques grains de GOSS envahissent rapidement la totalité de la microstructure.4. SIMULATION DE LA RECRISTALLISATION PRIMAIRE
SROLOVITZ et al [46-471 ont simulé la recristallisation primaire en 2D en modifiant I'équation de I'énergie de site, ces auteurs ont ajouté un terme qui tient compte de I'énergie stockée au cours de la déformation, ainsi
E = J 2 = (1- 6 Qsite (1 ) Qsite voisin) + H 0 (Qsite) ( 2 2 ) voisins
où H est I'énergie stockée par unité d'aire en 2D, O (Qsite) est une fonction qui vaut 1 pour les grains non recristallisés et O pour les grains recristallisés. Après initialisation de la microstructure la germination est simulée en ajoutant au hasard de petits germes ou embryons, dans le matériau.
On attribue à chaque germe une orientation aléatoire correspondant au grain recristallisé dont I'énergie stockée est alors mise à zéro. Deux modèles de germination ont été testés. Dans le cas de la saturation de sites, les germes sont tous introduits au début de la simulation et dans l'autre cas un nombre fixe de germes sont introduits à chaque pas MONTE CARLO. Les deux techniques aboutissent en fait au même résultat. La figure 6 montre la fraction d'aire recristallisée F(t) en fonction du temps. En ajustant la courbe F(t) en fonction de t à l'équation classique de JOHNSON, MEHL, AVRAMI et KOLMOGOROV
F(t) = 1
-
exp (AtP) ( 2 3 )où p est l'exposant d'AVRAMI. On trouve p = 2,3, c'est à dire une valeur proche de celle trouvée par la théorie de ces derniers auteurs. TAVERNIER e t SZPUNAR [48] ont également simulé la recristallisation à l'aide de la même technique dans le cas d'un acier à bas carbone laminé de 70%.
Outre la technique de MONTE CARLO celle des automates cellulaires a été récemment appliquée avec succès à la recristallisation primaire par HESSELBARTH e t GOBEL 1491.
C3-64 JOURNAL DE PHYSIQUE IV
Fiaure 6 Fraction d'aire b
recristallisée (F) en fonction du "temps" pour les conditions germination de saturation de sites
a) H/J = 3 b) H/J = 5 d'après Srolovitz.
Les nombres sur les courbes correspondent au nombre de germes utilisés.
5. CONCLUSION
Les auteurs n'ont pas voulu conclure mais plutôt inciter les jeunes chercheurs à explorer quelques pistes non exhaustives afin que progressent la modélisation e t la simulation de la croissance des grains y inclus la recristallisation primaire qui n'est autre que la croissance de cellules d'écrouissage ou de sous grains aux dépens de la matière écrouie.
II conviendrait de stimuler les recherches visant à :
-
déterminer la mobilité de joints de grains parfaitement définis,-
déterminer l'énergie relative des joints et le rôle des jonctions aux points triples en 2D en vue de passer en 3D,-
appréhender I'énergie des joints en dynamique moléculaire en l'absence puis en présence d'éléments ségrégeant,-
découpler mobilité et énergie des joints,-
déterminer s'il existe une température critique ordre-désordre des joints spéciaux à partir de mesures de mobilité et à partir si possible d'observations in situ en microscopie électronique à haute résolution,-
faire correspondre physiquement temps réel et temps MONTE CARLO,-
explorer la simulation de la croissance au sens large du terme à l'aide de la technique des automates cellulaires.R é f é r e n c e s
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