2ème BAC Sciences Physiques et Sciences de la Vie et de la Terre (2BAC PC et SVT) http:// xriadiat.e-monsite.com

Cours et exercices d’applications et de réflexions sur les nombres complexes (Partie 2) PROF : ATMANI NAJIB

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I) LA FORME EXPONENTIELLE D’UN COMPLEXE NON NUL.

1) Notation et conséquence : Définition : Soit 𝜃 un réel on pose : 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜃 = e

^i

Soit 𝑧 = [𝑟, 𝜃] un complexe non nul, on a : 𝑧 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜃) = re

^i

Cette écriture s’appelle la forme exponentielle du complexe non nul 𝒛

Exemple : z  2  i 2 2

z  et ^arg   ²

z    4 Donc : z 2 e

ⁱ⁴





Conséquence de la notation :

Tous les résultats qu’on a vus au paravent concernant les modules et les arguments des nombres complexes non nuls

On peut les rapporter en utilisant la notation exponentielle.

Propriété : Soient z  re

^i

et z   r e 

^i

1) zz   rr e 

ⁱ

^

^{  }

^ 2) z

ⁿ

 r e

^{n in}

3) 1 1

i

z r e







  4) z r

ⁱ

^{ } z r e

  

  

5) z  re

^i

6)   z re

ⁱ

^

^{ }

^ Exemples : donner la forme exponentielle des complexes suivants :

1) z

₁

  2 2 i 2) z

₂

  1 i 3 3) z

₁

 z

₂

4)

¹

2

z

z 5)   z

2 ¹²

Solution :1) z

₁

  2 2 i z

₁

 2

²

 2

²

 8  2 2

1 1

2 2 2 2 2 2 cos sin

4 4

2 2

i  i    i  

            

Donc : z

₁

2 2 e

ⁱ⁴





2) z

₂

  1 i 3 ^z

²

^   ¹

²

^{ }   ³

²

^{ 4  2}

1 3

1 3 2 2 cos sin

2 2 3 3

i ^ i ^   i  

              

Donc :

₂

2 cos sin

3 3

z              i           

Donc : z

₂

2 e

ⁱ³





3) z

₁

 z

₂

3 4 3

4 12

1 2

2 2

ⁱ

2

ⁱ

4 2

^{i i}

4 2

ⁱ

z z e e e e

  

    

    

4)

^{1 4 4 3} 4 3 ⁷12

2 3

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

i i i i i i

i

z e

e e e

z e

     



 

   





  

5)  

12

12 3 123 4

2

2

ⁱ

2

ⁱ

2

ⁱ

z e e e

 

   

 

    

 

2) Formule de Moivre

Propriété :Pour tout réel 𝜃 on a :

  ^re

^{i n}

^{   r}

ⁿ

^re

^in

d’où :  ^{cos   i sin } 

ⁿ

^{ cos}   ^{n   i sin}   ^{n }

Applications : en utilisant la Formule de Moivre 1)montrer que : sin 2   2sin cos  

NOMBRES COMPLEXES(Partie 2)

Et que : cos 2   cos

²

  sin

²

    2)montrer que : cos 3   4 cos

³

  3cos  Et que : sin 3   3sin   4 sin

³

    3)montrer que : cos 4   8 cos

⁴

  8 cos

²

  1 Et que : sin 4   4 cos

³

 sin   4 cos sin 

³

 Solutions :1)d’après Moivre on a :

 ^{cos   i sin } 

²

^{ cos 2   i sin 2 }

Et on a :  ^{cos   i sin } 

²

^{ cos}

²

^{  sin}

²

^{  2 sin cos i  }

Donc : cos

²

  sin

²

  2 sin cos i    cos 2   i sin 2  Donc : cos 2   cos

²

  sin

²

 et sin 2   2cos sin   2) d’après Moivre on a :

 ^{cos   i sin } 

³

^{ cos 3   i sin 3 }

 ^{cos   i sin } 

³

^{ cos}

³

^{  3 cos}  ^ 

²

^{i sin   3cos }  ^{i sin }  

²

^{ i sin } 

^"

 

3 2 2 3

cos  3cos sin   i 3cos   sin sin 

   

Donc :

 

3 2 2 3

cos   3cos sin    i 3cos   sin  sin   cos3   i sin 3 

Donc : sin 3   3cos

²

 sin   sin

³

 Et : cos 3   cos

³

  3cos sin 

²



 

3 2

cos  3cos  1 cos 

  

Donc :

3 3 3

cos 3   cos   3cos   3cos   4 cos   3cos 

Et ^{sin 3   3cos}

²

^{  sin  sin}

³

^{  3 1 sin}  ^

²

^  ^{sin   sin}

³

^

3sin  4 sin

3



 

3)montrons que : cos 4   8 cos

⁴

  8 cos

²

  1 Et que : sin 4   4 cos

³

 sin   4 cos sin 

³

 ? 3) d’après Moivre on a :

 ^{cos   i sin } 

⁴

^{ cos 4   i sin 4 }

 ^{cos   i sin } 

⁴

^{ cos}

⁴

^{  4 cos}  ^ 

³

^{i sin   6cos}

²

^{ sin}

²

^

3 4

4 cos i  sin  sin 

 

Donc : cos 4   cos

⁴

  6 cos

²

 sin

²

  sin

⁴

 Et sin 4   4 cos

³

 sin   4 cos sin 

³



Donc :

   

²

4 2 2 2

cos 4   cos   6 cos  1 cos     1 cos  Finalement en a donc :

4 2

cos 4   8 cos   8 cos   1

Et que : sin 4   4 cos

³

 sin   4 cos sin 

³

 3) Formule d’Euler :Soit z = 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜃 = e

^i

un nombre complexe non nul et son conjugué

z = 𝑐𝑜𝑠𝜃 - 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜃 = e

^i

en faisant la somme membre à membre on obtient : 𝑐𝑜𝑠𝜃 =

2

i i

e

^

 e

^

puis en faisant la différence membre à membre on obtient : 𝑠𝑖𝑛𝜃 =

2

i i

e e

i







Propriété : Pour tout réel 𝜃 on a :

cos 2

i i

e

^

e

^

  ^

^

_et sin

2

i i

e e

x i









Exemple1:Linéariser : cos

⁴

x On a :

 ^{a b } 

⁴

^{  a}

⁴

^{4 a b}

³

^{ 6 a b}

^{2 2}

^{ 6 ab}

³

^{ b}

⁴

Donc :

4

cos

4

2

i i

e

^

e

^

 _{ } ^{ }

^

^ _

 

 

4

4 3 2 2 3 4

1 3 6 3

2

i i i i i i i i

e

^

e e

^{ }

e

^

e

^{ }

e e

^{  }

e

^{ }

          



^{4 2 2 4}



1 3 6 3

16

i i i i

e

^

e

^

e

^{ }

e

^{ }

    

 



^{4 4 2 2}



1 3 6

16

i i i i

e

^

e

^{ }

e

^

e

^{ }

    

 

1 2 cos 4 3 2 cos 2 6

16  

   

Car e

^ni

 e

^ni

 2 cos n 

Donc : cos

⁴

  ¹  ^{cos 4 3 cos 2 3} 

8  

  

Donc : cos

⁴

  1 3 3

cos 4 cos 2

8  8  8

  

Exemple2:

1)Montrer que (∀(𝛼, 𝛽) ∈ ℝ

²

2 2 2 2 2 2

i i i

i i

e e e e e

     

  ^_ ^{ }_



^_ ^{ }_ ^_ ^{ }_



        

(Cette égalité nous permet de déterminer la forme trigonométrique de la somme de deux complexes de même module)

2)on pose : u 3 e

ⁱ⁵





et v 3 e

ⁱ⁷





et u

₁

1 e

ⁱ³



  Et u

₂

1 e

ⁱ³



 

Déterminer le module et l’argument du nombre complexes : u v  ; u

₁

_et u

₂

Solution :1) à vérifier

2)a) u v 3 e

ⁱ⁵

3 e

ⁱ⁷

3 e

ⁱ⁵

e

ⁱ⁷

 



 



      

 

6

35 10 14 10 14

3

i i i

u v e e e

    

       

     

 



   



        

6

35 35 35

3

i i i

u v e e e

  

      

     

 



   



      

 

6

6 cos

35

35

i

u v e



^_ ^_

 

   

  et puisque

6 cos 35

  

 

  > 0 alors : 6 cos

u  v     35     Et ^arg   ⁶   ²

u  v  35  

b)

2

6 6 6

3

1

1

i i i

u e

i

e e e

  

 ^_ ^_{ }^_ ^_ ^_ ^_

   



 



         

6 6 6 6

1

2 cos

6

i i i i

u e e e e

  





       

       

 



   



 

         

Car : d’après Euler e

^ni

 e

^ni

 2 cos n 

alors :

₁

3

⁶

i

u e



 

 

  u

₁

 3

Et arg  

1

  2 u    6 c)

2

6 6 6

3

2

1

i i i

u e

i

e e e

  

 ^_ ^_{ } ^_ ^_ ^_ ^_

   



 



         

6 6 6 6

2

2 sin

6

i i i i

u e e e i e

   

     



 

       

 



   



 

        

 

Car : d’après Euler e

^ni

 e

^ni

 2 sins i n 

alors :

₂ ⁶

i

u i e



 

 

   u

₂

 1 Et arg  

2

  2

2 6

u       donc : arg  

2

  2 u     3 Et arg  

2

  2

2 6

u       donc : arg  

2

  2 u     3 Exercice1 :1) en utilisant la formule d’Euler Montrer que : cos

²

^{1 cos 2}

2

  ^    2) Montrer que : cos

³

¹ cos 3 ³ cos

4 4

    

3) Montrer que : sin

³

¹ sin 3 ³ sin

4 4

        4) Montrer que : sin

⁴

¹ cos 4 ¹ cos 2 ³

8 2 8

     

5) Linéariser : a) sin

⁵

 b) cos

²

 sin

³

 Solution :1)On a :

2

cos

2

2

i i

e e

x

 

  

  

 

 

2

2 2

1 2

2

i i i i

e

^

e e

^{ }

e

^{ }

        



^{2 2}

 ^{ }

1 1 cos 2 1

2 2 cos 2 2

4 4 2

i i

e

^

e

^{ }

  ^

     

2) cos

³

¹ cos 3 ³ cos

4 4

     ?

       

 

3

3 2 2 3

3

1

cos 3 3

2 8

i i

i i i i i i

e e

e e e e e e

 

     

  ^  ^

^

^    

^

 

^



^

 

 

3

1

3 2 2 3

cos 3 3

8

i i i i i i

e

^

e

^

e

^

e

^

e

^

e

^

   

^

 

^



^

   

 

3

1

3 3

cos 3

8

i i i i

e

^

e

^

e

^

e

^

  

^

 

^

On a : ^e

^in

^{ e}

^in

^{ 2 cos}   ^{n  donc :}

 

1 1 3

2 cos 3 3 2 cos cos 3 cos

8   4  4 

    

3) sin

³

¹ sin 3 ³ sin

4 4

      ? On a : _sin

2

i i

e e i

 

  ^

^

Donc :

       

 

3

3 2 2 3

3

1

sin 3 3

2 8

i i

i i i i i i

e e

e e e e e e

i i

 

     

  ^  ^

^

^     

^

 

^



^

 

 

3

1

3 2 2 3

sin 3 3

8

i i i i i i

e e e e e e

i

     

    

^

 

^



^

   

 

3

1

3 3

sin 3

8

i i i i

e e e e

i

   

   

^

 

^

Et on a : 2 sin i n   e

^in

 e

^in

donc :

 

1 1 3

2 sin 3 3 2 sin sin 3 sin

8 i i 4 4

i    

      

4) sin

⁴

¹ cos 4 ¹ cos 2 ³

8 2 8

      ?

On a : sin

2

i i

e e i

 

  ^

^

et  

4

sin

4

2

i i

e e i

 

 _{ } ^{ }

^

^ _

 

             



^{4 3 2 2 1 3 4}



4

1

sin 4 6 4

16

i i i i i i i i

e

^

e

^

e

^

e

^

e

^

e

^

e

^

e

^

   

^

 

^



^



^

 

4

1

4 3 2 2 3 4

sin 4 6 4

16

i i i i i i i i

e

^

e

^

e

^

e

^

e

^

e

^

e

^

e

^

   

^

 

^

 

^



^

 

4

1

4 2 2 4

sin 4 6 4

16

i i i i

e

^

e

^

e

^

e

^

    

^



^

   

 

4

1

2 2 4 4

sin 4 6

16

i i i i

e

^

e

^

e

^

e

^

   

^

  

^

On a : ^e

^in

^{ e}

^in

^{ 2cos}   ^{n  donc :}

 

4

1

sin 4 2 cos 2 6 2 cos 4

  16      

 

4

1

sin 4 cos 2 3 cos 4

  8     

4

1 1 3

sin cos 4 cos 2

8 2 8

      5)a)On a :

 ^{a b } 

⁵

^{  a}

⁵

^{5 a b}

⁴

^{ 10 a b}

^{3 2}

^{ 106 a b}

^{2 3}

^{ 5 ab}

⁴

^{ b}

⁵

Donc :

5

sin

5

2

i i

e e

i

 

 _{ } ^{ }

^

^ _

 

 

5

5 4 3 2 2 3 4 5

1 5 10 10 5

2

i i i i i i i i i i

e e e e e e e e e e

i

             

           



^{5 3 3 5}



1 5 10 10 5

32

i i i i i i

e e e e e e

i

       

      

   



^{5 5 3 3}



1 5 10

32

i i i i i i

e e e e e e

i

       

      

 

1 sin 5 5sin 3 10 sin

16   

   

Car e

^ni

 e

^ni

 2 sin i n 

Donc : sin

⁵

x  1 5 5

sin 5 sin 3 sin

16  16  8 

   

5)b)

2 3

2 3

cos sin

2 2

i i i i

e e e e

i

   

   ^  ^

^

^{ }    ^

^

^ 

   

  

²



³

1 32

i i i i

e e e e

i

   

   





^{2 2}

 

²



1 32

i i i i

e e e e

i

    

   





^{4 4}

  

1 2

32

i i i i

e e e e

i

    

    



   



^{5 5 3 3}



1 2

32

i i i i i i

e e e e e e

i

       

     



 

1 2 sin 5 2 sin 3 2 2 sin

32 i i i

i   

   



 

1 sin 5 sin 3 2 sin

16   

   

II) LES EQUATION DU SECOND DEGRE DANS ℂ :

Considérons l’équation ^{P z}   ^{ az}

²

^{  bz c 𝐸)}

Où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des réels avec 𝑎 ≠ 0 On a :

 

^{2 2}

²

^{2 2}

2 2 2

b b b b

P z a z z c a z z c

a a a a

 

     

                         

 

^{2 2} 2

4

2 4

b b ac

P z a z

a a

    

             On pose :   b

²

 4 ac

1) Si Δ = 0 l’équation (𝐸) admet racine double : 2

z b

  a

2) Si Δ ≠ 0 ; soit 𝛿 l’un des deux racines carrées de Δ, on aura :  

^{2 2}2

2 4

P z a z b

a a

    

            

  2 2 2 2

b b

P z a z z

a a a a

 

  

          

  2 2

b b

P z a z z

a a

 

 

  

         On pose :

₁

2 z b

a



   et

₂

2 z b

a



   on a :

  

1



2



P z  a z z  z z 

  0 

1



2

 0 P z    z z z z  

z z

1

  _ou z  z

₂

Propriété :Considérons dans ℂ l’équation

az

2

 bz   c (𝐸) où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des réels avec 𝑎

≠ 0et soit   b

²

 4 ac son discriminant on a :

Si Δ = 0 alors l’équation (𝐸) admet comme solution le complexe

2 z b

  a

Si Δ ≠ 0 l’équation (𝐸) admet comme solution les complexes

₁

2 z b

a



   et

₂

2 z b

a



   où 𝛿 une racine carrées de Δ

Remarque : Si les coefficients 𝑎, 𝑏et 𝑐 sont des réels et Δ < 0 alors l’équation az

²

 bz   c admet deux racines complexes conjugué

₁

2 z b i

a

  

 et

₂

2 z b i

a

  



Exemple: Résoudre dans ℂ les équations suivantes : 1)   ^{E : z}

²

^{   z 2 0}

2)   ^{E : z}

²

^{   z 2 0}

3)   ^{E : z}

²

^{ 2 z   1 0}

Solution :1)   ^{E : z}

²

^{   z 2 0}

 

²

   

²

2

4 1 4 2 7 7

b ac i

        

Donc les solutions sont :

₁

1 7 1 7

2 2 2

z   i   i

Et

_{2 1}

1 7

2 2

z  z   i

Donc : ^{1 7 1} _; ⁷

2 2 2 2

S      i  i   

 

 

2)   ^{E : z}

²

^{   z 2 0}

 

²

   

²

2

4 1 4 2 9 3

b ac

         Donc les solutions sont :

₁

^{1 3} 1

z   2   e

2

1 3 2 z   2 

Donc : ^{S  }  ^{1; 2} 

3)   ^{E : z}

²

^{ 2 z   1 0}

 

²

2

4 2 4 0

b ac

      

L’équation (𝐸) admet comme solution le complexe 2 1

2 2

z b

a

      donc : ^{S }   ¹

Propriété :Si l’équation (𝐸) admet deux racines distinctes z

₁

_et z

₂

_alors

1 2

z z b

   a et z

₁

z

₂

^c

  a Exemple: soit z  on pose : ^{P z}   ^{ z}

²

^{ 2 z  2}

1)calculer : ^P  ^{1  i} 

2)en déduire dans ℂ la résolution de l’équations

  ⁰

P z 

Solution :1)

    ^{1 1}

²

^{2 1}   ^{2 2 2 2 2 0}

P    i i          i i i

Donc z

₁

  1 i est une racine de de l’équations

  ⁰

P z  et on a : z

₁

z

₂

^b

   a donc :

2

1 2

i z  1

    donc z

₂

     2 i 1 1 i

Par suite : ^{S   }  ^{1 i ;1 i} 

Exercice2 :Résoudre dans ℂ les équations suivantes : 1)  ^z

²

^{ 9}  ^z

²

^{ 4}  ^{ 0}

2) z

²

 6 z  13  0

3)  ^{4cos }  ^z

²

^{ 2 cos 2}  ^  ^{z i  sin   0 avec :} 0;

2

 _{  } ^  ^

  Solution :

1)  ^z

²

^{ 9}  ^z

²

^{  4}  ^{0 ssi z}

²

^{  4 0 ou z}

²

^{  9 0}

Ssi z

²

 4 ou z

²

  9

Ssi z  4 ou z   4 ou z  9 i _ou z   9 i

Ssi : z  2 ou z   2 ou z  3 i ou z   3 i Donc : S    3 ;3 ; 2; 2 i i  

2) z

²

 6 z  13  0

 

²

   

²

2

4 6 4 13 36 52 4

b ac i

        

Donc les solutions sont :

₁

^{6 4} 3 2 2

z  i i

  

Et z

₂

   z

₁

3 2 i donc : ^{S  }  ^{3 2 ;3 2 i  i} 

3)  ^{4 cos }  ^z

²

^{ 2 cos 2}  ^  ^{z  i sin   0}

 

 ^{2 cos 2 } 

²

^{4 4 cos}  ^  ^{sin }  ⁱ

  

4 cos 2

2

 16 cos sin i  

  



²



4 cos 2  4 cos i  sin 

  

On a : 2cos sin    sin 2  et cos 2

²

   1 sin 2

²

 Donc : ^{  4 1²}  ^{  i}

²

^{sin 2}

²

^{  2 sin 2 i } 

Donc : ^{ }  ^{2 1}  ^{ i sin 2 }  

²

les solutions sont :    

 

1

2 cos 2 2 1 sin 2 2 4 cos

z  i 



 



et :    

 

2

2 cos 2 2 1 sin 2 2 4 cos

z  i 



 



les solutions sont :

₁

cos 2 1 sin 2 4 cos

z  i 



  

et :

2

cos 2 1 sin 2 4 cos

z  i 



  

et on a : cos 2     1 2sin ²  et cos 2    1 2cos ²  donc :

₁

2 cos ² 2 sin cos cos sin

4 cos 2

i i

z     



 

 

et

₂

sin ² sin cos 2 cos

z  i  



 



Exercice3 :1) Résoudre dans ℂ l’équation :

2

 8   17 0

z z

2) Soit ^{P z}   ^{  z}

³

 ^{  8 i z} 

²

^  ^{17 8  i z}  ^{ 17 i}

a) Montrer que l’équation 𝑃(𝑧) = 0 admet un imaginaire pur unique comme solution.

b)déterminer les réels a b c ; ; tels que :

   ^{  i}  

²

^{ } 

P z z az bz c

c) Résoudre dans ℂ l’équation : ^{P z}   ^{ 0}

Solution :1) z

²

 8 z   17 0

 

²

   

²

2

4 8 4 17 64 68 2

b ac i

        

les solutions sont :

₁

^{8 2} 4 2

z   i   i et z

₂

 z

₁

  4 i donc : ^{S }  ^{4  i ; 4  i} 

2)a)soit z

₀

 bi une solution imaginaire pur de l’équation 𝑃(𝑧) = 0 donc :

   

3 2

0

   8

0

 17  8

0

 17  0

z i z i z i

Donc :    ^bi

³

^{   8 i}   ^bi

²

^  ^{17  8 i}   ^{bi  17 i  0}

Donc : ^{ ib}

³

^  ^{  8 i b} 

²

^{ 17 bi  8 b  17 i  0}

Donc :  ib

³

 8 b

²

 i b

²

 17 bi  8 b  17 i  0

Donc : ^{8 b}

²

^{ 8 b   i}  ^b

³

^{ b}

²

^{ 17 b  17}  ^{ 0}

 

2

3 2 3 2

8 8 0 8 1 0

17 17 0 17 17 0

  

  

 

   

         

 

 

b b b b

b b b b b b

3 2

0 1

17 17 0

  

  

    



b oub

b b b

 0

b ne vérifies pas    b

³

b

²

17 b  17  0 Car    0

³

0

²

170 17   0

  1

b vérifies    b

³

b

²

17 b  17  0 car :

    ¹

³

¹

²

¹⁷   ^{1 17 0}

       

Donc : b   1 donc : z

0

    1 i   i est l’unique solution imaginaire pur de l’équation 𝑃(𝑧) = 0 2)b)  ^{z  i}   ^az

²

^{ bz   c}  ^az

³

^{ bz}

²

^{  cz aiz}

²

^{ biz  ci}

  ^

³

^  ^ 

²

^  ^  ^

P z az b ai z c bi z ci

Et on a : ^{P z}   ^{  z}

³

 ^{  8 i z} 

²

^  ^{17 8  i z}  ^{ 17 i}

Donc :

1 1

8 8

17 8 8 17 8

17 17

 

 

       

  

       

 

   

 

a a

b ai i b

c bi i c i i

ci i c

donc : a  1 et b   8 et c  17

Donc : ^{P z}    ^{ z  i}   ^z

²

^{ 8 z  17} 

2)c) ^{P z}   ^{  0}  ^{z  i}   ^z

²

^{ 8 z  17}  ^{ 0}

2

8 17 0

 z  z   ou z  i  0

1

4

 z   i ou z

₂

  4 i ou z

₀

  i

Donc : ^{S }  ^{4  i ; 4   i ; i} 

Exercice4 : Résoudre dans ℂ les équations suivantes :

1) 2Z -2Z+5=0

²

2) 3Z -3Z +2Z-2=0

^{3 2}

Solutions :1) 2Z -2Z+5=0

²

   36

Donc :

₁

^{2 36}

₂

^{2 36}

4 4

 

 i  i

z ; z

Donc : ^{1 3} ; ^{1 3}

2 2

 

 

  

 

i i

S

2) 3Z -3Z +2Z-2=0

^{3 2}

On remarque que 2 est solution

donc : 3Z -3Z +2Z-2

^{3 2}

est divisible par : z  1 La division euclidienne de 3Z -3Z +2Z-2

^{3 2}

par :

 1

z nous donne : 3Z -3Z +2Z-2 = Z-1 3Z +2

^{3 2}

  

²



2 2

2 2

3Z +2=0 Z

3 Z i 3

     ou 2

 3 Z i

Donc les solutions de : 3Z -3Z +2Z-2=0

^{3 2}

sont : Z  1 ou 2

 3

Z i ou 2

  3

Z i

Donc : 1; ² ; ²

3 3

 

 

   

 

 

S i i

Exercice5 : soit : ^{1 3}

2 2

z i

i

  



1)Donner la forme exponentielle et la forme algébrique du nombre complexes z

2)en déduire : cos ¹¹ 12

 et sin ¹¹ 12



Solution :1)

3 11

3 4 12

4

2 2

i

i i

i i

z e e e e

e

    





  





 

 ^{1 3}  ^{2 2}  ^{6 2}  ^{6 2} 

1 3

4 4

2 2

i i i

z i

i

    

      



 ^{6 2}   ^{2 6} 

4 4

z i

  

 

2) 11  ^{2 6} 

sin 12 4

 

  et 11  ^{6 2} 

cos 12 4

 ^

  

Donc : 11  ^{6 2} 

cos 12 4

 

  et 11  ^{6 2} 

sin 12 4

 



III)LES TRANSFORMATIONS DANS LE PLAN COMPLEXE.

1) La translation :

1.1 Définition géométrique.

Soit u un vecteur de 𝒱

2

; on appelle translation la transformation dans le plan qui associe à tout point 𝑀 du plan le point 𝑀′ tel que : MM   u 1.2 Ecriture complexe d’une translation.

Soit u un vecteur de 𝒱

2

tel que : 𝑎𝑓𝑓( u ) = 𝑎 et t _u la translation de u . La translation t _u

transforme 𝑀(𝑧) en 𝑀′ (𝑧′) tel que : MM   u

( ) ( )

    

MM u aff MM aff u

(  ) ( ) ( )

 aff M  aff M  aff u

 

      z z a z z a

Propriété :Soit u un vecteur de 𝒱

2

tel que : 𝑎𝑓𝑓( u ) = 𝑎 ; la Translation t

_u

transforme 𝑀(𝑧) en 𝑀′(𝑧′) si et seulement si :𝑧′= 𝑧 + 𝑎

Cette égalité s’appelle l’écriture complexe de la translation t

_u

de vecteur u tel que 𝒂𝒇𝒇( u ) = 𝒂 Exemple: Dans le plan complexe  ^{O i j ; ,}  ^{, on}

considère les points : A ;B ;C d’affixe

respectivement z

_A

  3 5 i _; z

_B

  3 5 i ; z

_C

  7 3 i Et soit z  l’affixe de M’ l’image de M   ^z par la translation t

_u

tel que 𝑎𝑓𝑓( u ) = 4  2 i

1)montrer que : z     z 4 2 i ( l’écriture complexe de la translation de vecteur u )

2) verifier que le Point C est l’image de A par t

_u

3) déterminer z

B

l’affixe de B’ l’image de B par la translation t

_u

Solution:1) ^{T M}   ^{ M '  MM '  u}

 z

_M'

 z

_M

 z

_u

 z

_M'

 z

_M

 z

_u

    z z z

_u

 z     z 4 2 i (l’écriture complexe de la translation de vecteur u )

2)on a : z

_A

  3 5 i

Donc : z   3  5 i   4 2 i Donc : z   7  3 i  z

_C

Donc: le point C est l’image de A par t

_u

3)on a : z

_B

  3 5 i Donc : z   3  5 i   4 2 i

 z   7  7 i  z _{B }

Donc l’affixe de B’ l’image de B par la translation

t

u

_{est z B    7 7 i}

2) L’homothétie

2.1 Définition géométrique.

Définition : Soient Ω(𝜔) un point dans le plan et 𝑘 un réel non nul ; on appelle l’homothétie de centre 𝛀 et de rapport 𝒌,la transformation dans le plan qui associe à tout point 𝑀 du plan le point 𝑀′

tel que  M '   k M . et se note ℎ(Ω,𝑘)

 Si 𝑘 = 1 alors la transformation ℎ(Ω,1) est l’identité de (𝒫) et tous les points du plan seront invariants

 Si 𝑘 ≠ 1 alors le seul point invariant par ℎ(Ω,𝑘) est le point Ω le centre de la transformation ℎ(Ω,𝑘) 2.2 Ecriture complexe d’une homothétie.

Ω(𝜔) un point dans le plan complexe et 𝑘 un réel non nul et different de 1

et ℎ(Ω,𝑘) l’homothétie de centre Ω(ω) et de Rapport 𝑘, qui transforme le point 𝑀(𝑧)en 𝑀′(z′)

  ^

h M M '   M '   k M .