Lemme de rigidité

version du 2016-11-14 à 13h36TU (19c1b56)

Table des matières

1. Introduction. . . 1

2. Lemme de rigidité. . . 2

2.1. Énoncés. . . 2

2.2. Réduction au cas constant. . . 2

2.3. Réduction au cas strictement hensélien. . . 4

2.4. Fin de la preuve de 2.1.2. . . 6

3. Rigidité de la ramification. . . 8

3.1. La conditionc₂. . . 8

4. Théorème de rigidité de la ramification I : forme faible. . . 10

4.1. Variante du théorème de changement de base lisse. . . 10

4.2. Énoncé et réductions. . . 11

4.3. Preuve de 4.2.1. . . 13

4.4. Comparaison à la complétion : cas des coefficients abéliens dans le cas non nécessairement nœthérien. . . 14

5. Rigidité de la ramification II : forme forte. . . 15

5.1. Générisations étales immédiates. . . 15

5.2. Couples associés et condition (∗). . . 15

5.3. Le théorème de rigidité de la ramification. . . 16

6. Appendice 1 : sorites champêtres. . . 18

6.1. . . 18

6.2. Premières réductions. . . 19

6.3. Réduction au cas d’un champ de torseurs sous un groupe fini constant. . . 19

6.4. Preuve du lemme d’effacement. . . 20

7. Appendice 2 : théorème de changement de base propre d’Artin-Grothendieck pour les champs ind-finis sur des schémas non noethériens. . . 22

8. Appendice 3 : sorites sur les gerbes. . . 22

8.1. Image d’un morphisme de champs. . . 22

8.2. Groupoïdes libres. . . 23

8.3. Constructibilité de sous-gerbes. . . 24

Références. . . 25

1. Introduction

Le but de cet exposé est de démontrer les deux résultats techniques 2.1.1(comparaison des torseurs sur l’ouvert complémentaire SpecA−V(I)défini par un couple hensélien non nécessairement noethérien et l’ou- vert correspondant de SpecAb oùAdésigne le complétéI-adique deA) et5.3.1(rigidité de la ramification). Ils permettront dans l’exposé suivant de montrer l’énoncé de finitude suivant (exp.XXI,1.4) :

Théorème. — SoitAun anneau strictement local de dimension2. On suppose queAest normal, excellent, et on note X⁰ =Spec(A) −{m_A}son spectre épointé. Alors, pour tout groupe finiG, l’ensembleH¹(X⁰, G)est fini.

Ce résultat est la clef pour démontrer le résultat de finitude général suivant (exp.XXI,1.2) :

Théorème. — Soitf:Y →Xun morphisme de type fini entre schémas quasi-excellents. SoitLun ensemble de nombres premiers inversibles surX. Pour tout faisceau constructible de groupesFsurY_´etdeL-torsion, le faisceauR¹f?(F)surX_´et est constructible.

Par des techniques d’ultrafiltres, chères aux théoriciens des modèles, on est ramené à étudier des revête- ments étales de spectres épointés d’anneauxnon noethériens, ce qui explique qu’on soit contraint de démontrer les énoncés techniques hors de tout cadre noethérien.

1

Remarque. — SoitXun schéma. On considérera des champs en groupoïdesC surX_´et (on dira simplement champs). En général, la catégorie fibréeC n’est pas scindée de sorte que six, ysont deux objets deC(S)où S →Xest étale, il faut quelques précautions pour parler du faisceau Hom(x, y)surS_´et. Précisément, suivant [Giraud, 1971, I.2.6.3.1], on considère l’équivalence de catégories fibréesC →LC entreC et la catégorie libre LC engendrée parC, catégorie libre qui elle est scindée. On définit alors

Hom(x, y)(S⁰) =HomLC(S⁰)(Lx⁰,Ly⁰)

où Lx⁰,Ly⁰ sont les images inverses par le morphisme étale S⁰ → Sde Lx,Ly dansLC(S⁰). Bien entendu ([Giraud, 1971, I.2.6.3.2 (1)]),Linduit une bijection

Hom_C(S)(x, y)→^∼ H⁰(S,Hom(x, y)).

Ces remarques justifient qu’on puisse si besoin supposer sans dommage que les champs que l’on considérera sont scindés.

2. Lemme de rigidité

Soit(A, I)un couple hensélien (exp.V,1.2.1ou [ÉGAIV₄ 18.5.5]) non nécessairement noethérien,avecIde type fini⁽ⁱ⁾. SoitUun ouvert deX=Spec(A)contenant Spec(A) −V(I). On noteAb le complété⁽ⁱⁱ⁾I-adique deA etUbl’image inverse deUpar le morphisme de complétionπ:Xb=Spec(A)b →X. On suppose pour simplifierU quasi-compact (cf.2.1.4).

2.1. Énoncés. — Rappelons [SGA 4IX1.5] qu’un faisceau de groupesF surXest ind-fini si pour tout ouvert étaleu : U → XavecUquasi-compact, le groupeF(u)est limite inductives filtrante de ses sous-groupes finis. On dit alors qu’un champ en groupoïdesC surXest ind-fini si pour tout ouvert étaleu: U→XavecU quasi-compact et toutx_u∈C(u), le faisceau en groupesπ₁(C, x_u) =Aut_C(x_u)est ind-fini.

Le but de cette section est de démontrer le théorème de rigidité suivant.

Théorème 2.1.1(Théorème de rigidité de Gabber). — SoitF un faisceau d’ensembles surU_´et. Alors on a i. la flèche naturelleH⁰(U,F)→H⁰(U, πb ^?F)est bijective ;

ii. siF est de plus un faisceau en groupes ind-fini, la flèche naturelleH¹(U,F)→H¹(bU, π^?F)est bijective.

Les deux énoncés du théorème précédent sont conséquence du théorème suivant, apparemment plus fort, forme champêtre du théorème de rigidité⁽ⁱⁱⁱ⁾.

Théorème 2.1.2(Théorème de rigidité de Gabber, forme champêtre). — SoitC un champ en groupoïdes ind-fini surU_´et. Alors, la flèche naturelleγ(C) :Γ(U,C)→Γ(bU, π^?C)est une équivalence.

Remarque 2.1.3. — En fait, le théorème de rigidité2.1.1est a prioriéquivalent à la version champêtre2.1.2.

C’est ce qui ressort par exemple de l’énoncé6.3.2. Mais, formellement, on n’a pas besoin de démontrer cela à ce stade.

Remarque 2.1.4. — Les résultats précédents sont également valables lorsqueUn’est pas nécessairement quasi- compact. Cela résulte du fait que la catégorie des sections d’un champ sur U est équivalente à la2-limite projective des sections sur les ouverts quasi-compacts deUcontenant Spec(A) −V(I). L’hypothèse de quasi- compacité est utilisée dans un argument d’éclatement ci-dessous (cf.2.4.2).

2.2. Réduction au cas constant. — Le résultat est le suivant Proposition 2.2.1. — Supposons que pour toutUcomme plus haut,

i. pour tout ensemble fini F, la flècheH⁰(U, F) → H⁰(U, F)b est bijective. Alors, 2.1.1 (i) est vrai, c’est-à-dire le théorème de rigidité2.1.2est vrai pour les champs discrets.

ii. pour tout groupe finiG, la flècheTors(U, G)→Tors(bU, G)est une équivalence et2.1.1(i) est vrai. Alors le théorème de rigidité2.1.2est vrai.

(i)Cette hypothèse sera utilisée pour comparer les graduésI-adiques deAet de son complétéAb([Bourbaki,AC, III, § 2, nº 12])

(ii)On dira simplement complété pour séparé complété.

(iii)Les champs (ind-finis) en groupoïdes discrets s’identifient aux faisceaux d’ensembles : on dira parfois unchamp discret.

Démonstration. — D’après [SGA 4 XIIprop. 6.5], il suffit pour prouver 2.1.1(i) (resp. 2.1.2) de prouver que pour toutU⁰ →Ufini et tout ensemble finiF(resp. groupe finiG), la flèche

(2.2.1.1) H⁰(U⁰, F)→H⁰(cU⁰, F)(resp. Tors(U⁰, G)→Tors(cU⁰, G)) est bijective (resp. une équivalence) oùUc⁰=Ub ×UU⁰.

Lemme 2.2.2. — Il existe un schéma affineSpec(B)et un diagramme cartésien U⁰ //

Spec(B)

U //Spec(A)

oùBest fini surA. Le morphismeU⁰→Spec(B)s’identifie à l’immersion ouverteU_B,→Spec(B). De plus,U_Bcontient Spec(B) −V(IB).

Démonstration. — Comme U⁰ → U est fini, il est projectif ([ÉGA II 6.1.11]). Comme U est quasi-compact, l’immersion ouverteU ,→ Xest quasi-affine ([ÉGA II5.1.1]), donc quasi-projective de sorte que le composé f:U⁰→U→Xest quasi-projectif ([ÉGAII5.3.4]). CommeX=Spec(A)est affine,OXest certainement ample (cf. la définition ou [ÉGA II5.1.2]). Les hypothèses du théorème principal de Zariski ([ÉGA IV3 8.12.8]) sont donc vérifiées. Il existe doncX⁰ →Xfini de sorte quefse factorise enU⁰ ,→X⁰ →XoùU⁰ ,→X⁰ immersion ouverte etX⁰ →Xfini. L’adhérence schématique deU⁰ dansX⁰est fermée dansX⁰ : elle s’écrit donc Spec(B) oùBest fini surA. On a donc un diagramme commutatif

U⁰ //

UB

 //Spec(B)

U  //Spec(A)

où les flèches non horizontales sont finies. La flècheU⁰ → UB est donc propre. Comme c’est aussi une im- mersion ouverte d’image dense, c’est un isomorphisme. L’ouvertUcontenant Spec(A) −V(I), on déduit que U⁰=UBcontient Spec(B) −V(IB) = (Spec(A) −V(I))B.

D’après le lemme, la flèche (2.2.1.1) s’identifie à

(2.2.2.1) H⁰(UB, F)→H⁰(bUB, F)(resp. Tors(UB, G)→Tors(bUB, G))

(où?Best l’extension des scalaires duA-schéma?à Spec(B)). Il s’agit donc de montrer que (2.2.2.1) est bijectif (resp. une équivalence).

Par définition, on a

Ub_B=π⁻¹_C (U) oùπCest la projection naturelle

πC: Spec(C)→Spec(A), avecC=Ab⊗AB.

Dans le cas noethérien,Cest le complétéIB-adiqueBbdeBce qui prouve la proposition dans ce cas — ap- pliquer l’hypothèse2.2.1(i) àF constant de valeurFsurUB—. Dans le cas général, la flècheC→Bbn’est pas en général un isomorphisme.

Lemme 2.2.3. — Avec les notations précédentes, on a

i. Soit(A_n, I_n)un système projectif de couples henséliens. Le couple(A_∞, I_∞) = (lim←−A_n,lim←−I_n)est hensélien.

ii. Le complétéI-adiqueA^ deAest^I-hensélien.

iii. Les couples(B, IB)et(C, IC)sont henséliens et ont même complétéI-adique.

Démonstration. — SoitPun polynôme deA_∞[x]et ¯a∈A_∞/I_∞une racine simple (c’est-à-dire telle queP⁰(a)¯ inversible dansA_∞/I_∞). L’image ¯ande ¯adansAn/Inest une racine simple deP. Elle se relève donc de façon unique en une racinean ∈ An dePd’après le lemme de Hensel. CommeIn+1s’envoie dansIn, par unicité des relèvements, l’image dean+1dansAnest égale àande sorte que la suitea= (an)∈A_∞est le relèvement cherché de ¯ace qui prouve (i) d’après [Crépeaux, 1967, Prop. 1].

PuisqueA→A/Iⁿest notoirement entier, les couples(A/Iⁿ, IA/Iⁿ)sont henséliens de sorte que (ii) découle de (i).

Par associativité du produit tensoriel, le morphisme naturelB/IⁿB → C/IⁿCs’identifie à la tensorisation parBdu morphisme naturelA/IⁿA→A/Ib ⁿAb. Comme ce dernier est un isomorphisme ([Bourbaki,AC, III,

§ 2, nº 12, prop. 15 et cor. 2]),BetCont même complétéI-adique. (iii) suit alors de (ii) car un couple fini sur un hensélien est hensélien.

On a donc(U[_B) =(U[_C). D’après le lemme précédent, sous les hypothèses de2.2.1(i) (resp. (ii)), la flèche naturelle

H⁰(UB, F)→H⁰((U[B), F) =H⁰((U[C), F)←H⁰(UC, F) =H⁰(bUB, F) (resp.

Tors(U_B, G)→Tors((U[_B), G) =Tors((U[_C), G)←Tors(U_C, G) =Tors(bU_B, G)) est alors une bijection (resp. équivalence), ce qu’on voulait.

2.3. Réduction au cas strictement hensélien. — Résumons les notations dans le diagramme cartésien suivant Ub _ ^π //

bj

π //U _

j

Xb ^π //X

avecUquasi-compact contenant Spec(A) −V(I). Montrons le résultat suivant.

Proposition 2.3.1. — Supposons que pour toutUcomme plus haut,

i. pour tout ensemble finiF, la flècheH⁰(U, F)→H⁰(bU, F)est bijective siAest de plus strictement local. Alors,2.1.1 (i) est vrai (queAsoit strictement local ou non).

ii. pour tout groupe fini G, la flèche Tors(U, G) → Tors(bU, G) est une équivalence si Aest de plus strictement hensélien et2.1.1(i) est vrai. Alors,2.1.2est vrai (queAsoit strictement local ou non).

Démonstration. — Commençons par un lemme.

Lemme 2.3.2. — Supposons que pour toutUcomme plus haut,

i. pour tout ensemble finiF, la flècheH⁰(U, F)→H⁰(bU, F)est bijective siAest de plus strictement local. Alors, la flèche de changement de base

γ:π^?j?F→bj?π^?F=bj?F est un isomorphisme (queAsoit strictement local ou non).

ii. pour tout groupe fini G, la flèche Tors(U, G) → Tors(bU, G) est une équivalence si Aest de plus strictement hensélien et2.1.1(i) est vrai. Alors, la flèche de changement de base

γ:π^?j?Tors(U, G)→bj?π^?Tors(U, G) =bj?Tors(bU, G),

où l’égalité résulte de[Giraud, 1971, III.2.1.5.7], est une équivalence (queAsoit strictement local ou non).

Démonstration. — Les formulesj^?j? =Id etbj^?bj?=Id assurent qu’on a bj^?π^?j_?=π^?j^?j_?=π^?=bj^?bj_?π^? de sorte que l’image inverse surUbde la flèche de changement de base

(2.3.2.1) π^?j?C →bj?π^?C

est une équivalence pour tout champ en groupoïdesC.

Soitx^un point géométrique deXbd’image le point géométriquex=π◦^xdeXet montrons que la fibre de la flèche de changement de base (2.3.2.1) en^xest une équivalence. D’après ce qui précède, on peut supposer

^

x6∈Ub. En particulier,x∈V(I).

SoitA^hs(resp.X(x)) l’hensélisé strict deA(resp.X) enxetAb^hs(resp.Xb(^x)) celui deAb(resp.X) enb x. On a un^ diagramme commutatif où les flèches sont les flèches de fonctorialité, complétion ou stricte hensélisation

bd X_(^x) //

Xb_(^x) //

Xb

Xb_(^x) //X_(x) //X On note alors

bd U_(^x) //

Ub_(^x) //

Ub

Ub_(^x) //U_(x) //U

l’image inverse du diagramme par l’immersion ouverteU→X. En particulier,U_(x)(resp.Ub_(^x)) désigne l’image inverse de l’hensélisé strictX(x)(resp.Xb(^x)) de X(resp.X) enb x(resp.^x) parj(resp.bj). CommeUest quasi- compact, il en est de même des ouvertsU_(x),Ub_(^x)deX_(x),Xb_(^x).

Les morphismesj,bjétant cohérents, dans le cas (i), la fibreγx^s’identifie à la flèche naturelle H⁰(U_(x), F)→H⁰(bU_(^x), F)

tandis que dans le cas (ii) elle s’identifie à

Tors(U_(x), G)→Tors(Ub_(^x), G).

On déduit que les flèches naturelles

H⁰(U(x), F)→H⁰(Ud(x), F)et H⁰(bU(^x), F)→H⁰(d Ub(^x), F) sont bijectives dans le cas (i) et que les flèches

Tors(U_(x), G)→Tors(Ud_(x), G)et Tors(bU_(^x), G)→Tors(Ubd_(^x), G) sont des équivalences dans le cas (ii). Il suffit donc de voir que la flèche naturelle

(2.3.2.2) d

Ub_(^x)→Ud_(x) est un isomorphisme, ou encore que

A^hsetAb^hsont mêmeI-complété.

Puisque l’anneau localA^hsest hensélien, il est a fortioriI-hensélien (exp.V,1.2.1). Utilisant (2.2.3), on constate que leI-complétédA^hsest hensélien. Comme son corps résiduel est celui deA^hs, il est strictement hensélien. La flècheAb →Ad^hsinduit donc une flècheAb^hs→Ad^hset donc, parI-complétion, une flèche

(∗) d

Ab^hs→Ad^hs.

Par ailleurs, la flèche de complétionA→Ab induit par hensélisation stricte puis complétion une flèche

(∗∗) Ad^hs→Adb^hs.

Les flèches (∗) et (∗∗) sont inverses l’une de l’autre, d’où le lemme.

On a le diagramme commutatif à carré cartésien

Ub _ ^π //

bj

π //U _

j

Xb ^π //X

XI=Spec(A/I)?OO +

88

Comme on l’a observé, les paires(A, I)et(A, Ib A)b sont henséliennes. La flèche H⁰(bX,C)→H⁰(XI,C_|X_I)est donc une équivalence pour tout champ ind-finiC surX_´etd’après [Gabber, 1994, théorème 1’].

On déduit d’une part

H⁰(U, F) =H⁰(X, j?F) =H⁰(XI,(j?F)_|XI) et, d’autre part

H⁰(U, F) =b H⁰(X,bb j?F)^2.3.2= H⁰(X, πb ^?j?F) =H⁰(XI,(π^?j?F)_|XI) ce dernier n’étant autre que H⁰(XI,(j?F)_|XI)(bien entendu l’isomorphisme induit

H⁰(U, F)→^∼ H⁰(bU, F) est la restriction).

De même, on a

H⁰(U,Tors(U, G)) =H⁰(X, j?Tors(U, G)) =H⁰(XI, j?Tors(U, G)_|XI) et, d’autre part

H⁰(U,b Tors(bU, G)) = H⁰(bX,bj?Tors(U, G))b

2.3.2

= H⁰(bX, π^?j?Tors(U, G))

= H⁰(XI, π^?j?Tors(U, G)_|XI)

ce dernier n’étant autre que H⁰(X_I, j_?Tors(U, G)_|XI)), l’équivalence induisant bien entendu H⁰(U,Tors(U, G))→^∼ H⁰(bU,Tors(bU, G)).

Reste à invoquer2.2.1.

2.4. Fin de la preuve de2.1.2. — D’après2.3.1, pour prouver2.1.2, il suffit de prouver l’énoncé suivant Proposition 2.4.1. — SupposonsAstrictement hensélien (etI⊂rad(A)) et soitUcomme plus haut.

i. pour tout ensemble finiF, la flècheH⁰(U, F)→H⁰(U, F)b est bijective.

ii. pour tout groupe finiG, la flècheTors(U, G)→Tors(U, G)b est une équivalence.

La formuleπ^?Tors(U, G) = Tors(bU, G) ([Giraud, 1971], III.2.1.5.7) permet de réécrire2.4.1 sous la forme suivante

Proposition 2.4.2. — SupposonsAstrictement hensélien (etI⊂rad(A)) et soitUcomme plus haut. Désignons par C le champ discretF_Uou bienTors(U, G). Alors, la flècheH⁰(U,C)→H⁰(U, πb ^?C)est une équivalence.

Démonstration. — On va se ramener par éclatement au cas ou l’idéalJdéfinissant le complémentaire deUest principal .

Pour tout idéal ˜Id’un anneau ˜A, on note

´EclI˜(A) =˜ Proj(M

n≥0

˜Iⁿ)

l’éclatement de ˜Idans Spec(A)˜ . Si ˜Iest de type fini, le morphisme structurale: ´EclI˜(A)˜ →Spec(A)˜ est projectif, en particulier propre.

On suppose donc Astrictement hensélien de corps résiduel k et F = F_U comme plus haut. On a déjà observé queAb était aussi strictement hensélien. Il suit en particulier que l’ensemble des sections globales de tout faisceau étale surXouXbs’identifie à sa fibre spéciale, ce qu’on utilisera sans plus de précaution.

CommeUest quasi-compact, il existe un idéalJde type fini tel queU=Spec(A) −V(J). CommeUcontient SpecA−V(I)et queIest de type fini, on peut supposerI⊂J. Soit

Y= ´EclJ(A)etY⁰= ´EclJ(bA).

(On aurait dû écrire ´Ecl_JAb(A)b pour ´EclJ(bA)). Pour des raisons de cohérences, on notera simplement X⁰ le schémaXb=Spec(A)b (resp.U⁰sa restrictionUb =π⁻¹(U)àU).

Sous-lemme 2.4.3. — Soientn, mdes entiers≥0. Le morphisme de complétion définit des isomorphismes A/I^mJⁿ 'A/Ib ^mJⁿAbetA/Jⁿ'A/Jb ⁿAb

induisant un isomorphisme

Jⁿ/I^mJⁿ'JⁿA/Ib ^mJⁿA.b

Démonstration. — CommeIest de type fini, le morphisme de complétion induit des isomorphismes A/I^m+n'A/Ib ^m+nAb etA/Iⁿ'A/Ib ⁿAb

d’après [Bourbaki,AC, III, § 2, nº 12, cor. 2 de la prop. 16]. Mais commeJcontientI, on a I^m+n ⊂I^mJⁿetIⁿ ⊂Jⁿ,

de sorte que les changements de base

A/I^m+n →A/I^mJⁿetA/Iⁿ →A/Jⁿ donnent alors des isomorphismes

A/I^mJⁿ'A/Ib ^mJⁿAb etA/Jⁿ 'A/Jb ⁿAb qui donnent2.4.3.

La flèche naturelleY⁰ →Yest donc un isomorphisme au-dessus de Spec(A/I)⊂Xcar elle est induite par le morphisme gradué

MJⁿ/IJⁿ→JⁿA/IJb ⁿAb

qui est un isomorphisme. On identifiera ces restrictions par la suite. En particulier, le morphismeps:Y_s⁰ →Ys

entre fibres spéciales (c’est-à-dire au-dessus du point fermé des∈Spec(A/I)⊂X) est un isomorphisme grâce auquel nous les identifierons. Regardons le solide commutatif

Ub =U⁰ ^j0 //

p

Y⁰

p

e

((

Ys

))

? _

i⁰

oo

Xb=X⁰

π

Spec(k)

? _

oo

U  ^j //Y

e

((

Ys

))

? _ oo i

Xoo ? _Spec(k) Admettons pour un temps le résultat suivant.

Lemme 2.4.4. — SoitC =FU(resp.C =Tors(U, G)). Alors, la flèche de changement de base γ:p^?j?C →j_?⁰p^?C

est bijective (resp. une équivalence).

Déduisons alors l’équivalence cherchée

H⁰(U,C)→^∼ H⁰(U⁰,C) =H⁰(U⁰, p^?C)

grâce au théorème de changement de base propre d’Artin-Grothendieck ([Giraud, 1971] dans le cas noethérien et théorème7.1dans le cas général) appliqué aux faces inférieure et supérieure du diagramme précédent. On a en effet un diagramme essentiellement commutatif où toutes les flèches sont les flèches naturelles (obtenues par adjonction)

H⁰(U,C)

α

H⁰(Y, j?C) ^b //

a

H⁰(Ys, i^?j?C)

H⁰(Ys, i^0?p^?j?C) uu c

H⁰(U⁰, p^?C) H⁰(Y⁰, j_?⁰p^?C) ^d //H⁰(Y_s, i^0?j_?⁰p^?C)

Les flèchesb, d sont bijectives (resp. des équivalences) grâce au théorème de changement de base propre (7.1) tandis quecest une bijection (resp. une équivalence) grâce à2.4.4. Il suit queaetαsont des bijections (resp. des équivalences).

Preuve du lemme2.4.4. — Soit x⁰ un point géométrique de Y⁰ d’image x dans Y. On peut supposer x⁰ ∈ V(JOY⁰). SoitBl’hensélisé (strict) deYenx⁰etB⁰celui deY⁰enx. On doit étudier la flèche

(?) H⁰(Spec(B) −V(JB),C)→H⁰(Spec(B⁰) −V(JB⁰),C)

Observons que par définition de l’éclatement,JB(resp.JB⁰) est un idéal principal engendré par un élément non diviseur de zéro et non inversiblet∈B(resp.t⁰ ∈B⁰) (équation locale du diviseur exceptionnel). Par ailleurs, les couples(B, JB)et(B⁰, JB⁰)sont henséliens carB, B⁰sont locaux henséliens (exercice). Les isomorphismes

JⁿA/J^n+mA→^∼ JⁿA/Jb ^n+mA, n, mb ≥0 assurent queBetB⁰ont même complétéJ-adiqueBb=cB⁰.

On utilise alors les généralisations des résultats d’Elkik [Elkik, 1973] — et donc de Ferrand-Raynaud pour leπ0— au cas principal non noethérien de [Gabber & Ramero, 2003]. Précisément, le théorème 5.4.37loc. cit.

appliqué auB[t⁻¹]-groupoïde discretF_B =Spec(B[t⁻¹])×Fassure qu’on a H⁰(Spec(B[t⁻¹]), F) =π₀(F_B) =π₀(F

Bb) =H⁰(Spec(bB[t⁻¹]), F)

et de même en remplaçantB, tparB⁰, t⁰. CommeBetB⁰ont même complétéJ-adique, on a donc H⁰(Spec(B[t⁻¹]), F) =H⁰(Spec(B⁰[t⁰⁻¹]), F),

ce qu’on voulait. Dans le cas C = Tors(U, G), on déduit du cas discret que (∗) est pleinement fidèle. Soit alors bP un revêtement galoisien de groupe G sur Ub = Spec(bB) − V(JbB). D’après le théorème 5.4.53 de [Gabber & Ramero, 2003], il provient d’un (unique) revêtementPdeU. La pleine fidélité de (?) assure que le groupe d’automorphismes dePestG. Dire quePest galoisien de groupeG, c’est dire que la flèche canonique

φ:P×G→P×UP

est un isomorphisme. On peut voir cette flèche comme un morphisme de revêtements étales deU. Après image inverse surU, elle s’identifie à la flèche analogueb

bP×G→bP×

Ub bP

qui est un isomorphisme (de revêtements étales dePbdonc de revêtements étales deUb) par hypothèse. La pleine fidélité de (?) assure queφest un isomorphisme de sorte quePest bien galoisien de groupeG. On a donc obtenu que le foncteur naturel entre les catégories deG-revêtements galoisiens surUetUbsont équivalentes. Il en est donc de même pour le foncteur les catégories deG-revêtements galoisiens surU⁰etUc⁰. On conclut en se souvenant de l’égalitéUb =Uc⁰.

Remarque 2.4.5. — Le théorème2.1.2entraîne immédiatement que la flèche de changement de base π^?j?C →bj?π^?C

est une équivalence. En effet, on l’a déjà vu surUb (2.3.2.1). Si^x6∈Ub, on a déjà observé dans la preuve de2.3.2 queU(x)etUb(^x)avaient même complétéI-adique de sorte que deux applications de2.1.2assurent que la fibre de

π^?j?C →bj?π^?C en^xest une équivalence.

3. Rigidité de la ramification

3.1. La condition c2. — Rappelons ([ÉGA IV4 18.6.7]) que l’hensélisé A^h d’un anneau semi-local Aest le produit des hensélisés des localisés deAen ses idéaux maximaux. Pour tout anneau noethérien, on noteA^nor son normalisé, à savoir la clôture intégrale deAdans l’anneau totalK(A)des fractions deA_r´ed. PuisqueK(A) est le produit desK(A/p)où pdécrit les points maximaux de Spec(A), le normalisé deAest le produit des normalisés desA/p. SiA^norn’est en général pas noethérien ([Nagata, 1962, exemple 5 de l’appendice]), ses

fibres réduites surAsont finies ([Nagata, 1962, V.33.10]). En particulier, siAest local noethérien,A^norest semi- local de sorte que son hensélisé est bien défini. On a alors (comparer avec [Nagata, 1962, 43.20 et exercice 43.21])

Lemme 3.2. — SoitAun anneau local noethérien.

i. La flèche canoniqueA^h→(A^nor)^hinduit un isomorphisme(A^h)^nor→^∼ (A^nor)^h.

ii. Cette bijection induit une bijection canoniquep7→p^?entre les points maximauxpdeSpec(A^h)et les points fermés p^?deSpec(A^nor)de telle sorte que les anneaux intègres(A^h/p)^noret(A^nor_p?)^hsont (canoniquement) isomorphes.

Démonstration. — D’après [ÉGAIV4 18.6.8], le morphisme canoniqueA^nor⊗AA^h → (A^nor)^hest un isomor- phisme. Le morphisme canoniqueA → A^h étant ind-étale, il est normal. D’après [ÉGA IV₂ 6.14.4], le mor- phisme canoniqueA^h→A^nor⊗_AA^hidentifieA^nor⊗_AA^hà la fermeture intégrale deA^hdansA^h⊗_AK(A). Si maintenant,A→Best étale, la fibre au point maximalp ∈Spec(A)s’identifie à Spec(K(B)). En passant à la limite, on déduit l’égalitéA^h⊗AK(A) =K(A^h)de sorte queA^nor⊗AA^hs’identifie à la fermeture intégrale de A^hdansA^h⊗AK(A) =K(A^h)et donc(A^h)^nor→^∼ A^nor⊗AA^h. La composition

(A^h)^nor→^∼ A^nor⊗AA^h→^∼ (A^nor)^h

est l’isomorphisme annoncé. Pour le second point, on observe d’une part que le spectre du normalisé deA^h est la somme disjointe des normalisés de ses composantes irréductibles

(3.2.1) Spec((A^h)^nor) = a

ppoint maximal

Spec((A^h/p)^nor),

chaque fermé Spec((A^h/p)^nor)étant intègre (puisque local et normal) de sorte que3.2.1est une la décompo- sition en composantes irréductibles de Spec((A^h)^nor). D’autre part, par définition de l’hensélisé d’un anneau semi-local, on a

(3.2.2) Spec((A^nor)^h) = a

p^?point fermé

Spec((A^nor_p?)^h).

Or,(A^nor_p?)^hest local et normal (commeA^nor_p?), donc intègre, prouvant que3.2.2est la décomposition en compo- santes irréductibles de Spec((A^nor)^h). Le lemme suit.

Proposition 3.3. — Soit Zun sous-schéma fermé d’un schéma noethérienX. Les conditions suivantes sont équiva- lentes :

(i) Soitp:X^nor→Xle morphisme de normalisation. Alors,p⁻¹(Z)est de codimension≥2dansX^nor. (ii) Pour toutz∈Z, toutes les composantes irréductibles deSpec(OX,z^h )sont de dimension≥2.

(iibis) Pour toutz∈Z, toutes les composantes irréductibles deSpec(O_X,z^hs )sont de dimension≥2. (iii) Pour toutz∈Z, toutes les composantes irréductibles deSpec([OX,z)sont de dimension≥2.

Démonstration. — NotonsA = OX,z pourz ∈ Z. Notons d’abord que le morphisme A^h → A^hsest injectif, entier et fidèlement plat. Ceci prouve que le morphismeh:Spec(A^hs)→Spec(A)vérifie dim(h(x)) =dim(x) et induit une surjection au niveau des points maximaux, ce qui prouve l’équivalence de (ii) et (iibis).

Un anneau intègre et son normalisé ainsi qu’un anneau local et son hensélisé, ont même dimension. Conser- vant les notations de3.2, on a donc

dimA^h/p =dimA^nor_p?.

Or, dire codimp⁻¹(Z)≥2, c’est dire dimA^nor_p? ≥2lorsquep^?décrit les points fermés de Spec(A^nor) =p⁻¹(Spec(OX,z))

lorsquezdécritZ. Ceci revient donc à dire que toutes les composantes irréductibles Spec(A^h/p)de Spec(A^h) sont de dimension≥2prouvant l’équivalence de (i) et (ii).

Pour montrer l’équivalence de (i) et (iii), on peut supposer queX=Spec(A)est local hensélien et queZest réduit à son point fermé.

Prouvons d’abord que (iii) implique (ii). SoitY une composante irréductible deX. Le morphisme de com- plétionc:Xb→Xétant fidèlement plat,Yb=c⁻¹(Y)est une réunion de composantes irréductibles deXbde sorte qu’on a dim(bY)≥2. CommeYest local noethérien, on a dim(Y) =dim(bY)≥2.

Prouvons la réciproque. Quitte à se restreindre à une composante irréductible (réduite), on peut supposerX intègre de dimension≥2. Soit^x(resp.x) le point fermé deXb(resp.X) (ce n’est pas une composante irréductible deXbqui est de dimension≥2). Si une des composantes deXbétait de dimension≤1, elle serait de dimension

1(car{^x}n’est pas une composante) et donc son point générique serait un point isolé deXb−{^x}de sorte que Xb−{^x}serait disconnexe (étant de dimension≥2). Or, d’après [Ferrand & Raynaud, 1970, corollaire 4.4], la flèche

π0(bX−{^x}) =π0(c⁻¹(X−{x}))→π0(X−{x})

est bijective. Or, commeXest intègre de dimension≥2, l’ouvertX−{x}est intègre donc connexe.

Définition 3.4. — Avec les notations de3.3, siZvérifie les conditions équivalentes de3.3, on dit queZestc2

dansX.

Remarque 3.5. — Si Xest intègre et excellent, Zest c2 si et seulement siX−Z contient tous les points de codimension≤1. En effet, comme le morphisme de normalisation est fini etXuniversellement caténaire, on a dimOX^nor,z^nor =dimOX,p(z^nor)pour toutz^nor∈p⁻¹(Z)(cf. [ÉGAIV25.6.10]).

Proposition 3.6. — Soitf : X⁰ → Xun morphisme plat de schémas noethériens etZun fermé deX. Alors, siZest c2dansX, son image inverseZ⁰ =f⁻¹(Z)estc2dansX⁰. En particulier, la conditionc2est invariante par localisation Zariski ou étale.

Démonstration. — Soit z⁰ ∈ Z⁰ d’imagez = f(z⁰) ∈ Z. On suppose donc (3.3) que toutes les composantes deA = O[X,zsont de dimension ≥ 2et on veut prouver que toutes les composantes deB = O\X⁰,z⁰ sont de dimension≥2. On peut donc supposer quefest morphisme local de schémas noethériens, locaux et complets.

Commefest plat, toute composante deX⁰domine une composanteX₀deXet est une composante def⁻¹(X₀). On peut donc supposerXintègre de dimension> 1, de point ferméz. D’après [SGA 2VIII2.3], leA-module O(X−z)est de type fini. CommeBest plat surA, on déduit queB⊗AO(X−z) =O(X⁰−f⁻¹(z))est de type fini surB. CommeBest noethérien, le sousB-moduleO(X⁰−z⁰)deO(X⁰−f⁻¹(z))est de type fini.

Supposons qu’une composante deX⁰soit de dimension1. Soitηle point générique d’une telle composante et définissons alorsX₀⁰ comme l’adhérence schématique Spec(OX⁰,η)dansX⁰. Le complémentaireX₀⁰−z⁰serait alors réduit àηqui serait isolé dansX⁰−z⁰. AinsiO(X₀⁰ −z⁰)serait un sousB-module deO(X⁰−z⁰), donc de type fini (Best noethérien). A fortiori,O(X₀⁰ −z⁰)serait de type fini commeO(X₀⁰)-module, ce qui contredit [SGA 2VIII2.3] puisqueX₀⁰ est de dimension1.

4. Théorème de rigidité de la ramification I : forme faible

Nous allons commencer par démontrer une variante du changement de base lisse qui est cruciale dans la preuve du théorème de rigidité4.2.1.

4.1. Variante du théorème de changement de base lisse. — Soit G un groupe fini. On va démontrer une variante du théorème de changement de base lisse [SGA 4XVI1.2] pour les faisceaux deG-torseurs sans hy- pothèse sur le cardinal deG, mais en se restreignant au cas d’immersions ouvertes (pour une preuve un peu différente, voir [Gabber & Ramero, 2013, 10.2.2]).

Théorème 4.1.1. — Considérons un diagramme cartésien U⁰  ^j0 //

X⁰

p

U  ^j //X

SupposonsXexcellent normal,p:X⁰ →Xlisse etj:U→Ximmersion ouverte telle queUcontient tous les points de codimension≤1. Alors, le morphisme de changement de baseΦ:p^?j?Tors(U, G)→j_?⁰Tors(U⁰, G)est une équivalence.

Démonstration. — D’après le théorème de changement de base lisse pour les faisceaux d’ensembles [SGA 4 XVI 1.2], Φ est pleinement fidèle. Il suffit de prouver l’essentielle surjectivité. Soit x⁰ un point géométrique deX⁰ d’imagex = p(x⁰). Passant aux fibres, on est ramené à prouver que la flèche d’image inverse des torseurs

(∗) H¹(U(x), G)→H¹(U_(x⁰ 0), G)

est bijective, avec de plusx⁰fermédans sa fibre [SGA 4VIII3.13 b)]. La stricte hensélisation préserve la norma- lité et la codimension (platitude). Les propriétés de permanence des anneaux excellents (cf. exp.I,8) assurent donc qu’on peut supposerX= Spec(A), X⁰ =Spec(A⁰)avecA= OX,x^hs , A⁰ = OX^hs0,x⁰ strictement locaux, nor- maux et excellents.

Il se peut que l’extension résiduellek(x⁰)/k(x)soit purement inséparable. Comme dans la preuve du théo- rème d’acyclicité locale usuelle ([SGA 4XV2.1]), pour se ramener au cas séparable, donc au degré1, on consi- dère une extension finieA ⊂ B telle que l’extension résiduelle contiennek(x⁰)/k(x)(on peut par exemple considérer ungonflementdeA⁰/Aau sens de Bourbaki). On peut supposerBintègre et normal et considérer alors

π: Y=Spec(B)→X=Spec(A)

ainsi queY⁰ = Y ×XX⁰ et V l’image inverse deUdansY. Le couple(Y, V)vérifie les mêmes propiétés que (X, U). Le morphisme tautologique Tors(U, G)→ π_∗Tors(π⁻¹(U), G)est fidèle. On peut alors invoquer6.2.1 pour ramener la preuve de (∗) à l’énoncé analogue sur(Y, V), autrement dit on peut supposerk(x) =k(x⁰).

Comme p est lisse, le choix de coordonnées locales t1,· · ·, tn de X⁰ en x⁰ définit un A-isomorphisme A{t₁,· · · , t_n}→^∼ A⁰ où comme d’habitudeA{t₁,· · · , t_n}désigne l’hensélisé strict deA[t₁,· · · , t_n]à l’origine.

Une récurrence évidente permet de supposern=1. On s’est ramené à la situation U⁰

p

 //X⁰

p

U  ^j //

σ

AA

X

σ

]]

avecAstrictement local, normal et excellent etσ la section depdéfinie par l’immersion fermée d’équation t=0. CommeX, X⁰sont locaux et normaux, ils sont intègres. Les ouverts non vides deX, X⁰sont donc intègres et donc connexes. Le composé

π₁(U)−^σ−→^? π₁(U⁰)−^p−→^? π₁(U)

étant l’identité, il suffit de prouver queσ? est surjectif. Soit alorsV⁰ un revêtement étale connexe deU⁰. On doit prouver que sa restrictionV→Uau ferméU,→^σ U⁰d’équationt=0est connexe.

CommeX⁰ est excellent, la clôture intégrale Y⁰ deX⁰ dansV⁰ est finie surX⁰, normale et intègre (comme X⁰). CommeX⁰est hensélien, il en de même deY⁰qui est donc une union disjointe de ses composants locaux.

CommeY⁰est intègre,Y⁰est local. SoitD⊂Y⁰le diviseur de Cartier d’équationt=0:Dest connexe, puisque fermé dans un schéma local.

On a donc un diagramme commutatif à carrés cartésiens et où les flèches verticales sont finies (et domi- nantes).

V⁰  //

Y⁰

? _D

oo

? _V

oo

U⁰  //X⁰ oo ^σ ? _Xoo ? _U

Soit x⁰ un point deD −V, d’image xdans X−U. Comme D → X est fini, on a dim{x⁰} = dim{x} et dim(D) =dim(X). CommeX, Dsont caténaires (ils sont même excellents) etDéquidimensionnel, on en déduit l’égalité dimOD,x⁰ =dimOX,xce qui assure que l’ouvertVdansDcontient tous les points de codimension1 dansD(de même queUcontient tous les points de codimension1dansX). D’après le lemme exp.XXI,4.2.1 appliqué au diviseur de Cartier connexe du schéma normal, excellentY⁰, le schémaVest connexe.

4.2. Énoncé et réductions. —

Théorème 4.2.1(Rigidité de la ramification). — Soient X, X⁰ des schémas noethériens, Z ⊂ X un sous-schéma fermé, U ,→^j˜ X l’ouvert complémentaire et X⁰ −→^π X un morphisme plat. Notons U^{0 j˜}

0

,→ X⁰ l’immersion ouverte U⁰ =π⁻¹(U),→X⁰. On suppose queπest régulier au-dessus deZ. SoitC un champ en groupoïdes surU_´et. Alors, la flèche de changement de base

φ(C) :π^?˜j?C →˜j_?⁰π^?C est une équivalence dans les deux cas suivants :

(i) C est discret (c’est-à-direC équivalent à un faisceau d’ensembles).

(ii) Zestc₂etC =Tors(U, G)avecGun groupe (ordinaire) fini.

En considérant les fibres, on peut supposer queπest un morphisme local de schémas strictement locaux (la conditionc2ne dépendant que des hensélisés stricts aux points deZ).

Soientx, x⁰ les points fermés respectifs deX, X⁰. Par récurrence sur la dimension deX⁰, on peut supposer queφ(C)_y¯⁰ est une équivalence en tout point géométrique ¯y⁰deX⁰−{x⁰}et il suffit de prouver queφ(C)_x⁰

est une équivalence. On peut de plus supposerx ∈Z(sinonU= Xet c’est terminé). Par hypothèse, la fibre spécialeF=π⁻¹(x)deπest géométriquement régulière.

On a un diagramme commutatif à « carrés » cartésiens (avec des notations un peu abusives) U⁰ _

j⁰

j˜⁰

%% //U _

j

j˜

yy

X⁰− _F

//X−{x} _

X^{0 π} //X

Par hypothèse de récurrence, la flèche de changement de base associée au carré supérieur est une équiva- lence de sorte qu’on a une équivalenceπ^?j?C →^∼ j_?⁰π^?C surX⁰−F. CommeX, X⁰ sont strictement henséliens, la flèche de changement de baseφ(j?C)x⁰

H⁰(X,˜j?C) = H⁰(X−{x}, j?C)

π^?

−−→ H⁰(X⁰−F, π^?j?C)

= H⁰(X⁰−F, j_?⁰π^?C)

= H⁰(X⁰,˜j_?⁰π^?C) s’identifie à la flèche d’image inverse

(4.2.1.1) π^?: H⁰(X−{x}, j_?C)→H⁰(X⁰−F, π^?j_?C).

NotonsXbleschémacomplété deXle long de son point fermé etcX⁰le complété deX⁰le long deF. Pour tout S-espaceE surS_´etavecS=X, X⁰, on noteEbson image inverse surbS. On a un diagrammecommutatif

Xc^{0 γ}

0 //

^

π

X⁰

π

Xb ^γ //X

oùγ, γ⁰sont les morphismes de complétion, donc sont plats, etπ^est plat commeπest un morphisme local de schémas noethériens. Sa fibre spéciale est encoreFde sorte qu’elle est géométriquement régulière. Ainsi,π^est formellement lisse ([ÉGAIV419.7.1]) et donc régulier ([André, 1974]) puisqueXbest local noethérien complet donc excellent. D’après3.6,Zb=Xb−Ub est encorec₂(dans le cas (ii)). D’après le théorème de rigidité de Gabber (2.1.2) appliqué aux paires henséliennes(X, x)et(X⁰, F), il suffit, pour prouver que le foncteur4.2.1.1est une équivalence, de prouver que le foncteur

(4.2.1.2) π^^?: H⁰(Xb−{x},jd?C)→H⁰(cX⁰−F,πb^?jd?C) est une équivalence.

SiC est un faisceau d’ensembles, on procède comme dans (exp.XIV,2.5.3) pour montrer la bijectivité de (4.2.1.2) et achever la preuve du théorème4.2.1dans le cas discret.

Dans le cas (ii), montrons un lemme.

Lemme 4.2.2. — On peut supposer que π est un morphisme essentiellement lisse de schémas strictement locaux et excellents.

Démonstration. — Mais le morphisme de changement de base

ι: γ^?j?C =jd?C →bj?γ^?C =bj?Cb

est fidèle. En effet, en considérant les faisceaux de morphismes, il suffit démonter que le morphisme de chan- gement de base

γ^?j_?F →bj_?γ^?F

est injectif pour tout faisceau d’ensembles surU. La fibre de ce morphisme en un point géométrique^ξdeX^ d’imageξdansXs’identifie au morphisme d’image inverse

Γ : H⁰(U×_XX_(ξ),F)→H⁰( ^U×_X^X^_(^ξ), γ^?_ξF) par le morphisme canonique

γξ: ^U×X^X^_(^ξ)→U×XX(ξ). Mais la platitude deγassure queγ_ξest surjectif et doncΓ injectif.

D’autre part

Cb=Tors(bU, G)

d’après [Giraud, 1971, III.2.1.5.7]. Dans le cas (ii), pour prouver que (4.2.1.1) est une équivalence, on peut donc supposer d’après (6.2.1) queXest complet, donc excellent etπun morphisme local régulier.

D’après le théorème de Popescu ([Swan, 1998]), le morphisme régulier πest limite projective filtrante de morphismes locaux essentiellement lissesπi :X_i⁰ →X. Notons que lesX_i⁰sont strictement locaux et excellents commeX. Comme lesX_i⁰sont cohérents, le foncteur section globale commute à la limite projective au sens de [SGA 4VII5.7] de sorte qu’il suffit de prouver le théorème pour lesπi.

4.3. Preuve de 4.2.1. — On suppose donc queπ est un morphisme local essentiellement lisse de schémas excellents etC =Tors(U, G). On doit prouver pour conclure la preuve du théorème4.2.1la variante suivante du théorème de changement de base lisse de Gabber (4.1.1).

Proposition 4.3.1. — Considérons un diagramme cartésien U⁰  ^j0 //

X⁰

π

U  ^j //X

oùπ est un morphisme local essentiellement lisse de schémas excellents strictement locaux. On suppose que le fermé complémentaireZ=X−Uest non vide etc2(c’est-à-dire sous ces hypothèses, queUcontient les points de codimension 1(3.5)). Alors, le morphisme

π^?:H⁰(X−{x}, j?Tors(U, G))→H⁰(X⁰−π⁻¹{x}, π^?j?Tors(U, G)) est une équivalence, oùxest le point fermé deX.

Démonstration. — Le morphisme de normalisationp:X^nor→Xétant entier, son image est fermée. Commep est (ensemblistement) dominant,pest surjectif. Commepest surjectif, le foncteur

j_?Tors(U, G)→j_?p_?p^?Tors(U, G)[Giraud, 1971, III.2.1.5.7]

= p_?j^nor_? Tors(U^nor, G) est fidèle^(iv). D’après6.2.1et le théorème4.2.1(i), il suffit de prouver que la flèche

(4.3.1.1) π^?:H⁰(X−{x}, p?j^nor_? Tors(U^nor, G))→H⁰(X⁰−π⁻¹{x}, π^?p?j^nor_? Tors(U^nor, G)) est une équivalence.

Considérons le diagramme cartésien

X^{0nor π}

nor //

p⁰

X^nor

p

X^{0 π} //X

Commepest fini (donc propre), on aπ^?p_? = p_?⁰π^nor? de sorte que (4.3.1.1) s’identifie à la flèche d’image inverse

(4.3.1.2) π^nor?:H⁰(X^nor−{x}^nor, j^nor_? Tors(U^nor, G))→H⁰(X^0nor− (π^nor)⁻¹{x}^nor, π^nor?j^nor_? Tors(U^nor, G)).

(iv)On noteE 7→E^norle foncteur d’image inverse parp.

Notons que, la conditionc2ne dépendant que du normalisé, le complémentaireZ^nordeU^norest encorec2

dansX^nor, etU^norcontient tous les points de codimension1. D’après le théorème de changement de base lisse de Gabber4.1.1, la flèche de changement de base

π^nor?j^nor_? Tors(U^nor, G)→j_?^0norTors(U^0nor, G) est une équivalence de sorte que (4.3.1.2) s’identifie à l’image inverse

π^nor?: Tors(U^nor, G)→Tors(U^0nor, G).

Il suffit alors de constater que la preuve du théorème4.3.1assure queπ^nor?est une équivalence.

4.4. Comparaison à la complétion : cas des coefficients abéliens dans le cas non nécessairement nœthérien.

—

Le paragraphe suivant est uneesquissede démonstration de l’analogue du théorème4.2.1pour les co- efficients abéliens. Le cas des schémas nœthériens est traité dans [Fujiwara, 1995]. Nous reproduisons ici fidèlement une lettre d’Ofer Gabber aux éditeurs (20 juin 2012).

Let (A, I) → (A⁰, I⁰) be a map of henselian pairs with I finitely generated, I⁰ = IA⁰, Ab →^∼ Ac⁰ (I-adic completions).X=Spec(A),X⁰=Spec(A⁰),π:X⁰→X,U=X−V(I),U⁰=X⁰−V(I⁰),j:U→X,j⁰:U⁰→X⁰.

CTC : For every torsion abelian sheaf F on U, the base change arrow π^?R^qj_?F → R^qj_?⁰π^?F is an isomorphism for allq.

Analogue of4.2.1(notations as there) : IfFis a sheaf ofZ/nZ-modules onUwheren > 0is invertible on X, thenπ^?R^qj?F→R^qj_?⁰π^?Fare isomorphisms.

This is reduced to CTC by the same argument.

Sketch of proof of CTC using Zariski-Riemann spaces: For comparing stalks we may assumeA,A⁰strictly henselian andIa proper ideal, and we want

(∗) H^q(U, F)→^∼ H^q(U⁰, F).

We call a finitely generated idealJ⊂Acontaining a power ofIadmissible. We consider the admissible blow- upsBlJ(X)which form a cofiltered category using X-scheme morphisms. In general there can be more than one X-morphism between two admissible blow-ups but if we restrict ourselves to J’s withV(J) = V(I) (set theoretically) (so thatUis schematically dense in the blow-up), there is at most one. DefineJ≤J⁰ iff there is anX-morphismBlJ⁰(X) →BlJ(X). This is a filtered preorder. WhenV(J)⊂ V(J⁰),J ≤J⁰ is equivalent to the condition that for somen > 0and idealK,J⁰ⁿ =JK. Thus we have an isomorphism of the preordered set of admissibleJ’s of full support inAand the corresponding set forA⁰. LetZRSI(X) =lim←−BlJ(X)(a locally ringed space). For the closed pointsofXwe can consider the special fiberZRSI(X)s and its étale topos, which for our purposes may be defined as the projective limit of the étale topoi(BlJ(X)s)_´etas in [SGA 4]. It has enough points by Deligne’s theorem. The points are given by "geometric points" ofZRSI(X)s(i.e.a point and a choice of a separable closure of the residue field). For every admissibleJwe have

jJ :U,→BlJ(X) giving a spectral sequence (using proper base change)

(∗∗) H^p(BlJ(X)s,R^qjJ?F)⇒H^p+q(U, F).

We pass to the limit using the general theory of [SGA 4VI]. We get a spectral sequence (∗∗)_lim involving cohomology on(ZRSJ(X)s)_´et. Since the latter topos is the same forX⁰, to show (∗) we use the morphism of the limit spectral sequence to reduce to stalks of the limits of theR^qjJ?sheaves.

Using the study in [Fujiwara, 1995] of the local rings of ZRS’s and their henselizations, one reduces (∗) to the case of local rings at geometric points of the special fibers of ZRS’s. Thus we are reduced to the case A,A⁰ are henselian andI-valuative. SayI= (ϕ). ThenA[ϕ⁻¹]is a henselian local ring with maximal ideal corresponding toP=T

Iⁿ, andA/Pis a henselian valuation ring whose valuation topology is theϕ-adic one.

In this case to prove (∗) one reduces to the corresponding statement forFrac(A/P)→Frac(A⁰/P⁰). In fact for K→K⁰a dense embedding of henselian valued fields, if we choose separable closuresK_sep,K_sep⁰ and a map between them we haveGal(K_sep⁰ /K⁰)→^∼ Gal(K_sep/K), using forms of Krasner’s lemma (cf. [Bourbaki,AC,VI,

§ 8, exercices 12, 14 a]).