Physique quantique appliquée

(1)

Université Pierre et Marie Curie

M1 PGA & SDUEE Année 2007-2008

Physique quantique appliquée

Travaux dirigés n° 9 : Perturbations stationnaires

Exercice n°1 :

Reprenons l’exercice sur les compositions de moments cinétiques

La molécule d’eau est constituée d’un atome d’oxygène dont le spin du noyau est nul et de deux atomes d’hydrogène (discernables) dont les noyaux sont des protons de spin ½.

Nous considérons que l’espace des états de spin nucléaire est le produit des espaces

E

1

et

E

2 des états de spin de chacun des protons :

E

=

E

1 

E

2. La base composée de

E

est formées des vecteurs |1, 2> = |1> |2> où {|k>} (k = 1 ou 2) est la base standard de l’espace

E

^k^.

La molécule d’eau est soumise à l’action d’un champ magnétique uniforme et constant orienté suivant l’axe Oz. De plus, les deux moments cinétiques interagissent.

L’Hamiltonien total s’écrit donc :

H = H0 + W avec H0 = - Sz et W = A



S1 S2 3



S1 ez



S2 ez

 







Rappel : par un calcul exact dans la base standard, nous avions obtenus les niveaux d’énergie du système.

0 1 A 10 H

1 2 1

1 A 1 H

1 2 1

11 A H

0 0 0 H

2

2 2





 



 



 







 



 



On rappelle de même que, dans la base composée, nous avions obtenu la matrice de cet Hamiltonien :

(2)

H =



























2 2

2

2 2

2

2 0 A

0 0

2 0 2 A

A 0

2 0 2 A

A 0

0 0

2 0 A



Vérifier que, en supposant que W est une perturbation de H0, on retrouve bien l’expression des niveaux d’énergie du système par un calcul perturbatif au premier ordre dans la base composée.

Exercice n°2

Soit H₀ l’Hamiltonien décrivant un système physique : H₀ = ^A₂

 Jz2 +

 B J_z

où 

J représente le moment cinétique du système (j = 1).

1- Déterminer les états propres de H₀ ainsi que les différentes valeurs possibles de l’énergie. Étudier la dégénérescence des niveaux d’énergie du système en fonction des valeurs de A et B.

2- On considère un Hamiltonien H₁:

H₁ = ^^J_ dont l’effet est faible devant celui de H₀.

Avec J = Jx sin  cos  + Jy sin  sin  + Jz cos 

Ecrire la matrice de J dans la base des vecteurs propres de J² et Jz.

3- On suppose B = A et 

Déterminer les niveaux d’énergie du système à l’ordre 1 et les nouveaux états propres.

4- On suppose maintenant B = 2A. Déterminer le développement de l’état fondamental au premier ordre.