Etude des courants d'écoulement dans un tube rugueux en régime laminaire

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Submitted on 1 Jan 1987

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Etude des courants d’écoulement dans un tube rugueux en régime laminaire

M. Benyamina, S. Watanabe, G. Touchard, H. Romat

To cite this version:

M. Benyamina, S. Watanabe, G. Touchard, H. Romat. Etude des courants d’écoulement dans un tube

rugueux en régime laminaire. Revue de Physique Appliquée, Société française de physique / EDP,

1987, 22 (9), pp.1075-1079. �10.1051/rphysap:019870022090107500�. �jpa-00245646�

Etude des courants d’écoulement dans

un

tube _rugueux

en

régime

laminaire

M.

Benyamina (1),

S. Watanabe

(2),

^{G. Touchard}

(1)

^{et H. Romat}

(1)

(1)

L.E.A.-U.A. 191 du C.N.R.S., Laboratoire de

Physique

^et

Mécanique

^des Fluides, 40, ^{avenue du Recteur} Pineau, ⁸⁶⁰²² Poitiers, ^France

(2)

Aichi Institute of

Technology,

Dept. of Electrical Eng., Yakusa, Toyota 470-03, Japan

(Reçu

le 24 novembre 1986, accepté ^{le 20 mars}

1987)

Résumé. ²⁰¹⁴ Dans ce travail, ^une

première

partie ^est consacrée à l’étude

hydrodynamique

d’un écoulement laminaire dans un tube muni de

rugosités périodiques.

^Tout d’abord, ^une

analyse théorique

permet ^de déterminer les

lignes

^{de courants au}

voisinage

immédiat des

aspérités,

les dimensions de celles-ci restant

toujours

^très

petites

devant le diamètre intérieur de la conduite. Ces résultats conduisent dans une deuxième

partie,

à définir les zones de la couche diffuse

qui

^sont entraînées par l’écoulement

puis

à calculer la

charge

convectée et à la comparer ^aux valeurs obtenues

expérimentalement.

Abstract. ²⁰¹⁴ The first part ^{of this}

study

^{relate to} the laminar flow in

rough

^circular

pipes.

At first in a

theoretical

analysis

the streamlines are

computed

^{in the immediate}

viscinity

^{of the}

roughness, being

^considered

always

very small

compared

^to the diameter of the

pipe. Taking

^{into account} this theoretical results, ^the

region

of the diffuse

layer

^convected

by

the flow is settled in the second part ^{of this}

study.

^The

charge

convected is then

computed

^and

compared

^{with the}

experimental

values obtained.

Classification

Physics

^Abstracts

66.30J ^- 73.30 ^- 73.40B

1. Introduction.

Plusieurs

investigations

^{ont été} faites afin de mieux

comprendre

^le

phénomène

de formation et de trans-

port

de la couche diffuse dans un tube

[1, 2].

^{Il a été}

montré que ^{lors d’un} écoulement d’un

hydrocarbure

dans un

tube métallique capillaire,

^la

rugosité

^des

tubes

joue

^{un rôle}

important.

Si dans le cas d’un écoulement

turbulent,

^la

charge

convectée augmente ^{avec la}

rugosité

^des

tubes,

^c’est

l’inverse dans le cas d’un écoulement laminaire. Ce dernier cas semblant a

priori

^{difficile à}

expliquer,

nous ^avons

entrepris

^{une étude}

systématique

^{de ce}

phénomène.

2. Etude

dynamique.

2.1 GÉNÉRALITÉS. ^- Considérons un tube muni de

rugosités périodiques

^dont

l’épaisseur

^reste

toujours

très

petite comparativement

^au diamètre de la

conduite (Fig. 1).

La

longueur

^{totale d’une}

période

^{est noté L telle}

que :

La distance de la

paroi

du tube à l’axe est :

Fig.

^{1. 2013}

Configuration géométrique

interne du tube.

[Tube’s

^intemal

geometrical configuration.]

2.2 POSITION DU PROBLÈME. - Nous nous propo-

sons d’étudier l’écoulement

laminaire,

stationnaire et

symétrique

^{d’un fluide}

incompressible

^{dans une}

conduite décrite

précédemment [3-5].

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/rphysap:019870022090107500

1076

2.2.1

Equations

^{du mouvement.}

avec

X : coordonnée

axiale,

R : coordonnée

radiale,

U : composante ^{axiale de la}

vitesse,

V : composante radiale de la

vitesse,

03C1m : ^masse

volumique

^{du fluide}

étudié,

P :

pression.

Les conditions aux limites sont les suivantes

[3-5] : a)

^{à la}

paroi

U(X,Rp) = V(X, Rp) = 0 ⁽⁶⁾

b) symétrie

^axiale

(sU)/(sR)=0

^si

R=O;V(X,0)=0 (7) c) périodicité

^de l’écoulement

U(X, R) = U(X + L, R) ₍₈₎ V(X, R) = V(X + L, R).

2.2.2

Equations du

mouvement en variables adimen- sionnelles. ^- Nous avons choisi comme nouvelles variables la fonction de courant ol et la vorticité _w, de

plus,

pour rendre les

équations

adimensionnelles

nous choisirons les

grandeurs

^de références suivan- tes :

Distance :

Dl = 2 RI,

Vitesse :

Um = qy/7TRf (qy

^{étant le}

débit

volumique),

Pression : P ⁼ p m

U2m,

Fonction de courant :

.pref = Um D21,

Vorticité : Cdref ⁼

Um/D1.

Nombre de

Reynolds :

^{Re =}

Um . D1/ v .

Le

système précédent (3, 4, 5, 6, 7, 8)

^{devient :}

2.2.2.1 Conditions aux limites.

1)

^{A la}

paroi.

^{- La} fonction de courant doit être constante sur la

paroi.

On la choisit :

La

vorticité n’est pas

toujours

^à

l’avance,

^aussi

nous allons

l’expliciter

^à

partir

d’une relation entre 03C8

et w. Dans une étude réalisée avec la

méthode

des différences

finies,

^{Runchal et}

Spalding [4] supposent

que la vorticité varie linéairement

près

^{de la}

paroi.

Le domaine de calcul ayant ^été discrétisé en M valeurs suivant R et N

valeurs suivant

X

(Fig. 2),

^ils

donnent pour cette grandeur. J’exnression suivante:

avec, dans ce cas

u (1, M)

^{= 0.}

2) Symétrie

^axiale.

03C8(x, 0) = 0

£O (x, 0) 0.

3)

Périodicité de l’écoulement.

03C8(x, r) = 03C8(x + L, r) tù (x, r) w(x+L,r).

Le processus itératif est initialisé

par

^le

profil

^de

Poiseuille à l’entrée d’une

période

^et

pour

la pre- mière itération. Dans ce cas, la

distribution de 03C8

et de w est

respectivement (Fig. 2) :

Fig.

^{2. -} Domaine de calcul.

[Domain

^of

solution.]

2.3 MÉTHODE DE CALCUL ET RÉSULTATS OBTENUS.

- Pour calculer les différentes

grandeurs

^{en tous}

points

^du

maillage,

^nous utiliserons une méthode

itérative

^{dite de} sur-relaxation.

Ainsi,

pour ^un nombre de

Reynolds ^donné,

^nous déterminerons les

lignes

^{de courant au}

voisinage

^{immédiat de la}

paroi.

On calcule w à

partir

^de

l’équation (9)

et If ^à

partir

de

l’équation (10),

^{u et v} peuvent ^{être déduites de}

l’équation (11). (Ces

calculs ainsi _que ceux de la

charge convectée,

^{ont été effectués sur} les ordina- teurs du C.I.R.C.E. à

Orsay.)

Nous avons

représenté (Fig. 3)

^{une évolution des}

lignes

^{de courant au}

voisinage

^{immédiat de la}

paroi

pour ^un nombre de

Reynolds

^{de 1 000.} Nous voyons

sur cette

figure

que ^{la zone}

comprise

^{entre deux}

aspérités

^n’est

pratiquement

pas entraînée par l’écoulement

global

^{au sein du tube.}

Axial coordinate .

X

(mm)

Coordonnée axiale

Fig. 3.

^-

Répartition

^des

lignes

^{de courant}

pour

^un

nombre de

Reynolds égal

^à

1 000.

[Streamlines

^{for a}

Reynolds

^number

equal

^to

1 000.]

3. Transfert de

charge.

L’épaisseur

^{de la} couche diffuse étant

proportion-

nelle à la racine carrée de la

résistivité,

^{il en résulte} que ^la

partie

^{de la couche} diffuse affectée par l’écoulement dans le cas d’un tube rugueux

dépend

fortement à la fois de la taille des

aspérités

^{et de la}

valeur de la résistivité du

liquide.

^C’est

pourquoi

dans la

première partie

^{de notre étude}

expérimen- tale,

^{nous avons cherché à} déterminer l’influence de

ce

paramètre

^{sur la}

charge

^convectée.

3.1 ETUDE EXPÉRIMENTALE.

3.1.1

Influence

de la résistivité. ^- Pour faire varier la conductivité du

liquide (heptane),

^{nous avons}

utilisé des additifs tels que

l’A.O.T.,

^{L’A.S.A.3 et} l’OLOA

218A,

^aux concentrations suivantes :

0,01

ppm ;

0,1

ppm ; 1 ppm ; 10 ppm ; 100 ppm ; 1000 ppm. Nous ^ne donnons ici que ^les résultats obtenus avec l’OLOA 218A.

Des

expériences

^{ont été faites avec deux tubes}

(l’un

^{lisse et l’autre}

rugueux)

^{en acier}

inoxydable

^de

longueur

^{1 m et de diamètre 3 mm.}

Sur la

figure 4,

nous avons

représenté

l’évolution de la conductivité en fonction de la concentration ainsi que ^la variation de la densité

volumique

^de

charge

^convectée pour ^le tube lisse. Il

apparaît

que pour ^une concentration

égale

à 1 ppm, la densité

volumique

^de

charge

^{est maximale et} la courbe de conductivité

présente

^un

changement

^{brutal de}

pente. ^Watanabe

[6]

^{a montré} que ^ce

phénomène

^est

lié à l’association de monomères libres en

agrégats

que ^{l’on nomme} micelles.

La concentration de 1 ppm

correspond

^{à la}

C.M.C.

(Concentration

Micellaire

Critique).

D’autres études

plus

détaillées de C.M.C. ont été faites par G. Porte et Y.

Poggi [10].

^{Nous avons}

utilisé _{pour la} suite des

expériences

^un

liquide

^avec

une concentration de 1 ppm d’OLOA 218A de

façon

à ce que ^la

charge ^convectée

^{soit maximale et varie}

peu ^avec la

concentration

afin d’avoir des

expérien-

ces

reproductibles.

3.1.2 INFLUENCE DE LA RUGOSITÉ. ^- Nous avons

mesuré la densité

volumique

^de

charge

^convectée

pour deux ^{tubes en acier}

inoxydable :

- le

premier

^est

^lisse,

de rayon

1,5

^{mm et a une}

longueur

^{de 2 m ;}

- le second est rugueux :

L1 = ^0,18

^{mm ;}

L2

⁼

0,42

mm ;

R1 = 1,5 mm; R2 ^{= 1,62}

^mm

(cf. Fig. 1)

et

de

^même

longueur

que ^{le tube} lisse.

Ces tubes ont été

fabriqués

^à

partir

de tubes lisses taraudés avec des tarauds

spécialement

usinés pour obtenir des dimensions de

rugosité

relativement faibles et une forme

correspondant

^{au modèle}

théori-

que.

Sur la

figure 5,

^{nous avons}

représenté

^{la variation}

de la densité

volumique

^de

charge

^{convectée en}

fonction du nombre de

Reynolds

pour ^une seule valeur de la conductivité

(1,28

^x

^10-11 0-I.m-l)

correspondant

à 1 ppm d’OLOA 218A.

La valeur de la

charge

^convectée pour ^{un tube} lisse et pour un nombre de

Reynolds

^{inférieur à 500}

est constante, c’est-à-dire que ^la couche diffuse est établie _pour ces nombres de

Reynolds

^{à la sortie du}

tube de 2 m. Pour un tube rugueux, la

charge

convectée est inférieure et semble tendre vers une

valeur constante pour des nombres ^de

Reynolds supérieurs

^à

^700,

alors que, l’évolution de la

pression appliquée

pour obtenir cet écoulement nous permet d’assurer que nous nous situons dans le domaine laminaire. Une

explication

^{de ce}

phénomène

peut être

explicitée

^à

partir

^{de la}

figure

^{3. En}

effet,

pour

ces nombres de

Reynolds,

^la

détermination

des

lignes

^{de courant montre}

qu’un

tourbillon se déve-

loppe

^{dans toute la cavité}

comprise

^{entre deux}

aspérités

^{de telle sorte} que ^la

charge

^convectée

1078

Fig.

^{4. -} Variation de la densité

volumique

^de

charges

^et

[Charge density

^and

conductivity according

^{to OLOA}

de la conductivité en fonction de la concentration en 218A

concentration.]

OLOA 218A.

Fig.

^{5. -} Evolution de la densité

volumique

^de charges ^en

fonction du nombre de Reynolds pour ^un tube lisse et un

tube rugueux.

[Charge density

^{in terms of} Reynolds number for a smooth and a rough

pipe.]

provient

essentiellement des zones de rétrécissement ju tube.

La

charge

^{convectée dans un} tube rugueux ^{est la}

somme des

charges

convectées dans la zone de rétrécissement et dans la zone tourbillonnaire. Dans la zone de

rétrécissement,

l’écoulement

hydrodyna- mique

^{étant semblable à ce}

qu’il

^{serait dans un}

^tube liesse,

^nous supposerons que ^la

charge

^convectée peut être calculée de la même

façon,

notamment, que le

profil

^{de couche diffuse} pour ^{cette zone est} le même

[7-9].

Cette

charge

convectée pour ^un tube lisse devrait

également

^être celle obtenue pour ^un tube rugueux

avec Re tendant vers 0. Mais l’étude de l’écoulement

hydrodynamique

^montre que ^l’on doit descendre à les nombres de

Reynolds

inférieurs à l’unité _pour ne

plus

^{avoir de}

tourbillons,

^{et ce domaine étant}

mpossible

^{à atteindre du}

point

^{de vue}

expérimental,

1 est

préférable

^{de se référer au tube lisse.}

La somme des

charges

par unité de

longueur

^dans

:oute la section dans le cas du tube lisse est

égale

^à

),8

^x

10- 9

C/M

(valeur

^{calculée à}

partir

^{de la densité}

eolumique

^de

charge

convectée :

0,645

^x

to- 5 C/M3) .

^{Dans la}

partie

tourbillonnaire du tube Tigueux, ^on peut ^admettre que ^la couche diffuse est

iomogénéisée

par les tourbillons et que par consé-

quent

^{la densité}

volumique

^de

charges

est constante dans cette

partie.

^En

^effet,

^{la vitesse} de relaxation de la couche diffuse est de l’ordre de

2,9

^x

10- 5 m/s,

alors que la vitesse de recirculation calculée ^au sein des tourbillons est de l’ordre de

10-2

m/s. En faisant de

plus, l’hypothèse

^en

première approximation

que la

charge

totale par unité ^de

longueur

^{est la même}

que pour la ^zone de rétrécissement, ^{on trouve} que ^la densité

volumique

^de

charges

^{moyennes dans cette}

partie

^{doit être de l’ordre de p t =}

^0,6

^x

10- 3 CIM3.

A la sortie du

tourbillon,

^la valeur de la densité

volumique

^de

charge

doit avoir une évolution sem-

blable à ce

qu’elle

^{a dans la zone} de rétrécissement mais avec une

charge

^{sur la}

ligne

^{de courant}

pariétale

^{à la zone de} rétrécissement

égale

^{à la}

valeur

précédente

p t.

La

charge

^{convectée dans cette}

partie

^{est alors}

calculée et on trouve :

0,25

x

10-5 CIM3.

En tenant

compte ^{des surfaces}

respectives

^{des zones} tourbillon- naires et de

rétrécissement,

^{on obtient une}

charge transportée

^{de l’ordre de}

^0,365

^x

^{10- 5} C/M3

ce

qui

semble en assez bon accord avec nos

expériences (Fig. ^5,

^courbe

3).

4. Conclusion.

Dans ^cette

étude,

nous avons montré que l’évolution de la

charge

^{convèctée en} fonction du nombre de

Reynolds

pour ^un tube rugueux ^de

rugosité parfaite-

ment

définis, peut

^être

explicitée.

Pour

cela,

^{il est} nécessaire de calculer le

profil

^de

l’écoulement

hydrodynamique

^{dans un tel tube et de}

connaître l’évolution de la densité

volumique

^de

charge

^{dans un tube lisse de même} dimension.

Ainsi,

en

s’appuyant

^{sur une}

analyse approchée

^du

phéno- mène,

^{nous avons} pu

prévoir convenablement,

^dans

un cas

donné,

^{la valeur}

expérimentale

^{obtenue pour}

la

charge

^{convectée dans un} tube rugueux, connais- sant celle recueillie pour ^un tube lisse.

Une étude

systématique

^{en fonction du}

rapport

^de

l’épaisseur

^{de.la couche diffuse et de la} hauteur des

aspérités

^est actuellement en cours et fera

l’objet

d’une

prochaine publication.

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